拉格朗日乘子定理：从一道2005年全国高中联赛试题的高等数学解法谈起 刘培杰数学工作室 9 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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刘培杰数学工作室 著

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• 解题方法

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出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560353456

商品编码：29280401994

出版时间：2015-08-01

书名	拉格朗日乘子定理：从一道2005年全国高中联赛试题的高等数学解法谈起
定价	28.00
ISBN	9787560353456
出版社	哈尔滨工业大学出版社
作者	刘培杰数学工作室
编号	1201204360
出版日期	2015-08-01
印刷日期	2015-08-01
版次	1
字数	118.00千字
页数	158

D11章引言 1.1一道2005年全国高中联赛试题的高等数学解法 1.2几个例子 D12章经典*优化——无约束和等式约束问题 2.1无约束极值 2.2等式约束极值和拉格朗日方法 D13章约束极值的*优性条件 3.1不等式约束极值的一阶必要条件 3.2二阶*优性条件 3.3拉格朗日式的鞍点 D14章数学规划的拉格朗日乘子 D15章凸规划的拉格朗日乘子法则 D16章线性规划和拉格朗日乘子的经济解释 D17章*大原则和变分学 7.1变分学的基本问题 7.2拉格朗日问题 D18章科学中的数学化 8.1科学中的数学化 8.2数学的目标 D19章D1二次世界大战与美国数学的发展 9.1二次大战前美国的数学环境 9.2应用数学专门小组的建立 9.3战时计算和战后计算机规划 9.4应用数学专门小组工作概述 9.5战时研究对数学家和统计学家的影响 9.6数学家的贡献在军事上的价值 9.7战时工作对数学的一些影响 参考文献

'＜数学中的小问题大定理＞丛书·拉格朗日乘子定理:从一道2005年全国高中联赛试题的高等数学解法谈起'从一道2005年全国高中联赛试题的高等数学解法谈起 详细介绍了拉格朗日乘子定理的相关知识及应用 全书共9章 读者可以较全面地了解这一类问题的实质 并且还可以认识到它在其他学科中的应用。

数学之美的探索：从联赛试题窥探拉格朗日乘子定理的深刻内涵 本书并非仅仅是一道高中数学联赛试题的解法集锦，而是一次对“拉格朗日乘子定理”这一数学工具深邃奥秘的探寻之旅。我们将以一道2005年全国高中联赛试题为引子，层层剥离，深入浅出地展现拉格朗日乘子定理的核心思想、强大威力及其在解决各类优化问题中的广泛应用。 一、 试题缘起：微小的问题，巨大的潜力 我们选择的这道2005年全国高中联赛试题，表面上看是一道需要巧妙构思才能求解的组合数学或几何题。然而，在深究其本质时，我们会惊奇地发现，其背后蕴含着一个典型的约束优化问题。正是这种“意想不到”的联系，为我们提供了绝佳的切入点，用以揭示拉格朗日乘子定理的优雅与强大。 许多看似初等或中等难度的数学问题，在经过抽象和转化后，往往能够映射到更高级的数学理论框架之下。这道联赛试题恰好是一个绝佳的范例，它以一种“隐藏”的方式，巧妙地将我们引入了函数最优化的领域。我们将详细分析这道试题的结构，识别其中的目标函数和约束条件，为后续的拉格朗日乘子法铺设基础。我们将不回避任何细节，力求让读者对题目的每一个要素都有清晰的认识，理解为何它能够成为我们探索拉格朗日乘子定理的“钥匙”。 二、 拉格朗日乘子法的“前世今生”与核心思想 在正式引入拉格朗日乘子定理之前，我们将简要回顾其发展历史，让读者对这一重要数学工具的诞生背景有所了解。我们将探讨在没有拉格朗日乘子法之前，数学家们是如何尝试解决约束优化问题的，以及这些方法存在的局限性。 接着，我们将聚焦于拉格朗日乘子定理的核心思想。我们将以直观的几何语言和代数语言相结合的方式，解释其基本原理。 几何直观： 对于一个目标函数 $f(x, y)$，我们希望找到其在约束条件 $g(x, y) = c$ 下的最优值。在几何上，目标函数 $f(x, y) = k$ 的等值线描绘了函数的“高度”。而约束条件 $g(x, y) = c$ 则限制了我们只能在一条特定的曲线上寻找最优值。当等值线与约束曲线相切时，我们通常就找到了最优解（或局部最优解）。此时，目标函数的梯度 $ abla f$ 与约束函数的梯度 $ abla g$ 是平行的，这意味着它们指向相同的（或相反的）方向，它们之间的关系可以用一个常数 $lambda$ 来表示，即 $ abla f = lambda abla g$。这个 $lambda$ 就是我们所说的“拉格朗日乘子”。 代数推导： 我们将通过偏导数的概念，严谨地推导出拉格朗日乘子定理的必要条件。构建拉格朗日函数 $L(x, y, lambda) = f(x, y) - lambda(g(x, y) - c)$，然后求解其偏导数等于零的方程组： $frac{partial L}{partial x} = frac{partial f}{partial x} - lambda frac{partial g}{partial x} = 0$ $frac{partial L}{partial y} = frac{partial f}{partial y} - lambda frac{partial g}{partial y} = 0$ $frac{partial L}{partial lambda} = -(g(x, y) - c) = 0$ 我们将详细解释这三个方程的含义，以及它们如何共同作用，引导我们找到潜在的最优解。我们将强调，拉格朗日乘子法提供的是一个“必要条件”，这意味着找到的解是“潜在”的最优解，还需要进一步的分析来确定其真实的最优性（例如，通过二阶条件或对函数性质的分析）。 三、 从联赛试题看拉格朗日乘子法的应用 现在，我们将回归最初的2005年全国高中联赛试题，并运用拉格朗日乘子法来求解。我们将详细展示： 1. 识别目标函数与约束条件： 仔细分析试题的题设，将其转化为清晰的数学表达式，明确我们需要最大化或最小化的目标函数 $f$，以及必须满足的约束条件 $g = c$。 2. 构建拉格朗日函数： 根据目标函数和约束条件，构建相应的拉格朗日函数 $L$。 3. 求解偏导数方程组： 计算拉格朗日函数的各个偏导数，并令其等于零，得到一个方程组。 4. 解方程组，求得候选解： 运用代数技巧，仔细求解该方程组，得到一组或多组候选解 $(x, y, lambda)$。 5. 判断最优性： 将候选解代回原目标函数，并结合约束条件，分析这些解是否为最大值或最小值。在某些情况下，可能需要结合函数的单调性、有界性等性质进行判断。 我们将特别关注在解题过程中可能遇到的困难和技巧，例如： 多元函数的偏导数计算： 确保读者掌握正确的偏导数求法。 解非线性方程组的策略： 探讨一些常用的解法，以及如何处理方程组中可能出现的参数。 约束条件的理解与转化： 有时约束条件可能不是直接给出的，需要一定的数学功底去识别和转化。 通过对这道联赛试题的深入剖析，读者将能够直观地感受到拉格朗日乘子法解决约束优化问题的强大能力，以及其在数学竞赛中的应用潜力。 四、 拉格朗日乘子法的推广与延伸 在掌握了基本用法后，我们将把视野进一步拓宽，讨论拉格朗日乘子法的推广和延伸： 多个约束条件： 当存在多个约束条件时，拉格朗日函数的形式会如何变化？我们将展示如何引入多个拉格朗日乘子来处理这种情况，并给出相应的推导。 不等式约束： 拉格朗日乘子法主要处理等式约束。对于不等式约束，我们将简要介绍KKT条件（Karush-Kuhn-Tucker conditions），并解释它与拉格朗日乘子法的联系。 高维空间中的应用： 拉格朗日乘子法不仅仅局限于二维或三维空间，它在更高维度的优化问题中同样适用。我们将给出一些在高维情况下应用的例子（尽管不进行详细计算）。 拉格朗日乘子的经济学解释： 在经济学领域，拉格朗日乘子通常被称为“影子价格”，它代表了在约束条件下，目标函数随约束条件微小变化的敏感度。我们将尝试给出一些经济学上的直观解释，帮助读者从不同的角度理解拉格朗日乘子的意义。 五、 拉格朗日乘子法在其他领域的启示 拉格朗日乘子法的思想触及了许多数学分支，其影响深远。我们将简要探讨： 微积分与最优化： 拉格朗日乘子法是微积分在最优化理论中的重要应用，体现了代数与几何的完美结合。 线性代数： 在某些情况下，例如二次型优化问题，可以结合线性代数的方法来求解。 物理学： 在物理学中，许多重要的原理，如最小作用量原理，都可以用拉格朗日函数来表达，拉格朗日力学就是其典型代表。 机器学习与人工智能： 在现代机器学习算法中，约束优化问题普遍存在，拉格朗日乘子法及其扩展思想在模型训练、参数估计等过程中扮演着重要角色。 六、 学习建议与总结 本书的最终目标是帮助读者不仅“学会”拉格朗日乘子定理，更能“理解”它，并将其作为一种有力的数学工具，灵活应用于解决各种数学问题。我们将提供一些学习建议： 勤于练习： 通过大量的练习题来巩固所学知识，熟练掌握拉格朗日乘子法的运用。 深入思考： 不仅要会套用公式，更要理解公式背后的原理和思想。 联系实际： 尝试将所学知识与现实生活中的问题联系起来，体会数学的魅力。 总结而言，本书将带你进行一次由浅入深的数学探索。从一道看似平常的高中联赛试题出发，我们将一步步揭示拉格朗日乘子定理的精妙之处，理解其强大的理论支撑，并领略它在数学乃至其他科学领域的广泛应用。这不仅仅是一本关于拉格朗日乘子定理的书，更是一扇通往数学更深层次理解的大门，期待与你一同开启这段精彩的数学旅程。

评分☆☆☆☆☆

对于一个长期在工程和应用领域摸爬滚打的人来说，纯粹的理论推导固然重要，但如何将这些工具灵活地“投放到实战”中，才是检验学习成果的试金石。因此，我非常关注书中对该方法应用边界的探讨。拉格朗日乘子法在处理等式约束问题上威风八面，但书中是否会适度地提及不等式约束下的KKT条件（Karush-Kuhn-Tucker）的初步引介，哪怕只是作为一种前瞻性的讨论？哪怕只是用那道竞赛题的变体来暗示更广阔的优化世界？这种对知识体系的“拓展性思考”，能够帮助读者建立起更完整的数学建模思维框架。我希望作者能展现出那种“授人以渔”的境界，而非仅仅提供解题的“鱼食”，让读者在掌握核心技巧的同时，对优化理论的未来发展方向有所感知。

评分☆☆☆☆☆

从一个纯粹的数学美学角度来看，拉格朗日乘子法本身就是对约束优化问题最优雅的解决方案之一。我衷心希望这本书不仅仅停留在“如何求得答案”的层面，而是能深入挖掘其背后的数学哲学。例如，探讨为什么引入“乘子”这个虚拟变量，能够神奇地将一个在约束曲面上的极值问题，转化成一个在无约束空间中求梯度交点的等价问题。这种从“被限制的舞蹈”到“自由空间的相遇”的抽象升华，是数学之美最令人着迷的部分。这本书的成功，或许不在于它教会了多少人解开那道特定的联赛题，而在于它是否能点燃读者心中那团对数学结构之和谐与统一的探究之火，让人在合上书本后，依然能感受到那份由严密逻辑带来的精神愉悦。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计初见端倪，就透露出一种严谨而又富有探索精神的气质。装帧的选择和字体的排布，无不展现出一种对数学之美的敬畏之心。我尤其欣赏它将一个看似枯燥的数学定理，通过一个具体的、有着时代烙印的竞赛试题来引入，这种“以小见大”的叙事手法，极大地激发了读者的好奇心。它不像那些教科书式的讲解，上来就堆砌晦涩的定义和复杂的公式，而是像一位经验丰富的导师，循循善诱，将我们带入问题的核心。我期待书中对拉格朗日乘子法几何意义的剖析，毕竟，理解其背后的直观图像，远比死记硬背推导过程来得深刻。这种从具体实例出发，逐步攀登到抽象理论高峰的路径设计，无疑是对数学学习规律的深刻洞察，非常适合那些渴望触类旁通、而非满足于表面知识的进阶学习者。那种“柳暗花明又一村”的惊喜感，想必是贯穿全书的体验。

评分☆☆☆☆☆

这本书的命名方式，尤其是“刘培杰数学工作室”的署名，带有一种鲜明的个人印记和教学特色。这通常意味着内容会带有强烈的个性化色彩，摒弃了出版社流水线作业的痕迹。我期待看到的是一种充满激情和教学智慧的文字风格，可能夹杂着一些作者在多年教学实践中总结出的“独门秘籍”或者“思维误区排查”。比如，在计算$ abla f = lambda abla g$时，学生常犯的代数错误、对$lambda$正负号的误解等，如果能被预见性地指出来并提供简洁的规避方法，那么这本书的实用价值将立刻提升一个量级。这不再是一本冰冷的数学著作，而更像是一位耐心的老师，在你解题的每一个关键步骤旁驻足，帮你清除障碍，这种温度感，是普通教材难以企及的。

评分☆☆☆☆☆

初翻阅目录时，便被其结构安排所吸引。它并非简单地罗列知识点，而是构建了一个知识的“探险地图”。从那道2005年的联赛题为引子，想必作者精心设计了一条逻辑清晰的“知识链条”。我预感书中会对传统教材中常常被一带而过的背景知识进行详尽的梳理，比如对多元函数极值问题在约束条件下的几何直观的深度描绘。更重要的是，期望它能清晰地阐述拉格朗日乘子法背后的核心思想——即在约束曲面上寻找与梯度向量平行的切平面（或切线），这种“垂直性”的判据，究竟是如何通过引入乘子$lambda$而实现的。如果书中能辅以丰富的图示来展示这些在高维空间中的“相切”与“正交”关系，那将是对理解该定理的一大助力。这种对细节的打磨，往往是区分优秀教材与平庸参考书的关键所在。