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张景中 著

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店铺： 北京爱读者图书专营店

出版社： 湖北科学技术出版社

ISBN：9787535272058

商品编码：29729066757

包装：平装

出版时间：2016-01-01

基本信息

书名：不用极限的微积分

定价：28.00元

作者：张景中

出版社：湖北科学技术出版社

出版日期：2016-01-01

ISBN：9787535272058

字数：

页码：

版次：1

装帧：平装

开本：16开

商品重量：0.4kg

编辑推荐

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内容提要

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不用极限或无穷小而把微积分说清楚，曾是大师们的古老梦想。这里从一个平凡思路出发实现了前辈巨人的愿望。高中生就能看懂。

目录

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作者介绍

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张景中，中国科学院院士，从事几何算法和定理机器证明等领域研究。成果获国家发明二等奖，中国科学院自然科学一等奖，国家自然科学二等奖。

文摘

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序言

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好的，这是为您撰写的一份图书简介，主题是关于一本不含“不用极限的微积分”内容的图书。 --- 超越极限的数学之旅：现代分析与直觉几何 内容简介 《超越极限的数学之旅：现代分析与直觉几何》 并非传统意义上的微积分教科书，它避开了对“极限”这一核心概念的严格形式化处理，转而探索一种更为直观、几何化且更贴近物理直觉的数学分析框架。本书旨在为那些对微积分的传统定义感到困惑或希望从全新角度理解变化率与累积效应的读者提供一条全新的学习路径。 本书聚焦于建立一个坚实的基础，该基础建立在无穷小量（Infinitesimals） 和 非标准分析（Nonstandard Analysis） 的直觉之上，但叙述上力求简洁、易懂，避免陷入复杂的逻辑证明细节。我们的核心思想是：数学工具应当是为理解世界服务的，而非成为理解世界的障碍。 第一部分：直觉构建与无穷小量的复兴 开篇章节将引领读者回到微积分的“前极限时代”，探索牛顿和莱布尼茨时代对“无穷小”的直觉理解。我们不是简单地重述历史，而是通过现代的视角重新审视这些概念。 导数的几何意义：切线的直观构建 我们通过“切点附近的无限接近”来定义斜率，这里的“无限接近”被视为一个可操作的量，而非一个过程的终点。通过对曲线局部放大，观察其趋于直线化的特性，读者可以直观地把握导数的本质。我们引入了“瞬时变化率”的概念，并将其与无穷小量的比值联系起来，展示如何不依赖于 $epsilon-delta$ 语言来处理斜率的计算。 积分的物理意义：无穷细小的累积 积分被阐释为对一个物理量（如速度、密度）在极短时间或极小空间上的“片段”进行求和。我们利用黎曼和的概念，但将求和的步长（$Delta x$）直接视为一个非零的、可以忽略不计的“无穷小量” $dx$。这使得定积分的表达更加清晰：它是无限多个 $f(x)dx$ 的“总和”，而不是极限。 基础代数与无穷小量的运算规则 本书将详细介绍在处理无穷小量时的基本代数规则。例如，一个无穷小量乘以任何有限数仍然是无穷小量；两个无穷小量的和或积是更高阶的无穷小量。这些规则为后续的微积分运算奠定了实用性的基础。 第二部分：函数、连续性与微分方程的直观解法 在建立了无穷小量的代数框架后，我们将深入探讨分析学的核心主题，完全以新的视角进行审视。 连续性的新定义 我们摒弃了传统的“$epsilon-delta$ 定义”，转而采用基于无穷小量的直观定义：如果 $x$ 与 $x_0$ 之间的差异是无穷小的，那么 $f(x)$ 与 $f(x_0)$ 之间的差异也必须是无穷小的。这个定义在几何上更易于理解——函数在局部是“不跳跃”的。 高阶导数与泰勒展开的几何解释 高阶导数被解释为衡量函数在某点附近“弯曲程度”的工具。我们展示了如何利用无穷小量的微积分来构造一个完美的局部线性近似（一阶导数）和一个完美的局部抛物线近似（二阶导数），而无需复杂的极限过程。泰勒级数被视为一个“无限精细的局部匹配”过程。 微分方程的直观解法：平衡与反馈 对于常微分方程，本书侧重于其物理背景。我们使用无穷小时间间隔 $dt$ 来描述系统状态的变化。例如，对于简单的增长或衰减模型，变化 $frac{dy}{dt}$ 被视为一个可以精确计算的量，而不是一个过程的速率。读者将学习如何通过“平衡分析”和“局部近似”来推导出精确解，极大地降低了对方程求解的恐惧感。 第三部分：多变量分析的直觉延伸 本部分将分析学的工具推广到更高维度，重点关注空间结构和物理场的描述。 偏导数的“单向变化率” 偏导数被直观地定义为：当我们只沿一个坐标轴方向移动一个无穷小量 $dx$ 或 $dy$ 时，函数值发生的无穷小变化量。这避免了在多变量函数中引入“方向余弦”的复杂性，使偏导数的计算变得如同单变量情况一样直接。 多重积分与面积/体积的“铺砌” 重积分不再被视为一个收敛的极限过程，而是对区域进行“无穷细小的砖块”的精确累加。我们在理解体积极限时，可以直接将体积元素 $dV$ 视为一个边长为 $dx, dy, dz$ 的无穷小立方体的体积，并将其累加起来。这种方法极大地增强了多重积分的几何直觉。 梯度与向量场的直观导航 梯度被解释为指向函数值增加最快方向的“方向指示器”。我们通过考察一个无穷小位移 $dr$ 引起函数 $f$ 的无穷小变化 $df = abla f cdot dr$ 来定义梯度，这完全建立在点积的物理意义之上，自然而然地导出了梯度场的性质。 本书的特色与价值： 本书为那些在传统微积分的逻辑刚性下感到受挫的学习者提供了一剂良方。我们强调的是“为什么它能工作”，而非“在严格的逻辑下它必须如何定义”。通过聚焦于无穷小量的直观代数操作，读者能够更快速、更深入地掌握微积分的计算技巧及其背后的物理和几何含义，为后续学习更高级的微分几何、拓扑学或理论物理学打下坚实且直觉化的基础。它是一本旨在激活数学思维、重拾对变化之美的好奇心的读物。 适合读者： 对传统微积分（$epsilon-delta$ 语言）感到困难的工科、理科新生；希望通过更直观方式理解数学分析的自学者；以及对非标准分析理论感兴趣，但寻求入门级直觉引导的读者。

评分☆☆☆☆☆

我是一位资深的数学爱好者，涉猎过不少微积分的教材，从经典的理论巨著到各种辅助读物。坦白说，当看到《不用极限的微积分》这个名字时，我曾有过一丝疑虑，认为这或许是一本为了噱头而牺牲严谨性的书籍。然而，事实证明我的担忧是多余的，甚至是错误的。这本书的独特之处在于它巧妙地绕过了传统微积分教学中常常让学生望而生畏的“极限”概念，转而采用了一种更侧重于“变化”和“累积”的视角来构建整个理论体系。这种方法并非是“偷工减料”，而是将微积分的精髓——描述变化率和计算累积量——通过更易于理解的几何和代数工具来展现。作者在处理微分时，没有陷入繁琐的极限定义，而是通过“平均变化率”在极小区间上的表现来自然地引入导数的概念，这种方式极大地降低了理解门槛。而在积分方面，他则巧妙地将“分割-求和-逼近”的过程，转化为对“无限小部分”的“累积”思路，这种逻辑上的转变，让我豁然开朗。这本书在理论上的深度和严谨性并未打折扣，反而是通过更清晰的逻辑路径，让我得以窥见微积分更为本质的结构。它就像一把钥匙，为我打开了一扇新的窗户，让我看到了微积分在解决实际问题时所展现出的强大力量，而不再被那些抽象的定义所束缚。

评分☆☆☆☆☆

作为一个业余的编程爱好者，我一直对那些能够驱动复杂算法的数学原理充满好奇。《不用极限的微积分》这本书，以一种意想不到的方式，满足了我的求知欲。我之前尝试过学习一些微积分的教程，但常常被那些复杂的数学符号和抽象的定义所淹没，感觉离实际应用越来越远。然而，《不用极限的微积分》却用一种极其贴近现实的方式，将微积分的精髓展现在我面前。作者在讲解导数时，并没有一开始就用数学符号堆砌，而是通过一个“测量精度”的问题，让我理解了“无限小”是如何在实际计算中被巧妙处理的。这种思维方式，与编程中处理精度问题有着异曲同工之妙。而对于积分，他则将“累积”的概念与“数值积分”的过程联系起来，让我看到了微积分在模拟和计算领域的强大应用。书中那些生动形象的比喻，比如“把一个光滑的曲线切成无数段小线段来估算长度”，让我仿佛看到了代码是如何一步步逼近真实结果的。这本书不仅仅是一本数学书，更像是一本揭示“变化背后规律”的指南，让我能从更宏观的角度去理解那些驱动复杂系统运行的数学原理。

评分☆☆☆☆☆

作为一名高中老师，我一直在寻找一本能够真正帮助我的学生克服对微积分的恐惧的教材。《不用极限的微积分》无疑给了我这个机会。我的学生们通常在学习极限时会遇到巨大的困难，他们不理解为什么需要“趋近”，也不理解“任意小的正数”意味着什么。这本书就像及时雨，它用一种非常接地气的方式，将微积分的核心思想——变化率和累积效应——通过几何图形和简单的代数运算来解释。我特别喜欢书中关于“斜率”的讲解，它不是简单地给出一个公式，而是通过一个动态的图形，展示了在一个无限小的区间内，曲线的“瞬时斜率”是如何被“逼近”出来的。这种可视化处理，让抽象的概念变得触手可及。同样，在积分部分，作者也巧妙地将“面积”的概念与“累积”联系起来，避免了学生对黎曼和的机械记忆。这本书的语言风格也非常平易近人，没有那些冷冰冰的专业术语，取而代之的是清晰的解释和富有启发性的例子。我看到我的学生们在阅读这本书时，脸上露出了久违的笑容，他们不再是死记硬背公式，而是开始真正理解微积分在解决实际问题中的应用，比如计算曲线下的面积，或者分析函数的变化趋势。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是我迄今为止遇到的最棒的微积分入门读物！我一直对数学，尤其是微积分，心怀敬畏，觉得它充满了各种神秘的符号和令人费解的概念。市面上大多数教材要么过于理论化，要么过于简化，总让我觉得抓不住核心。但《不用极限的微积分》完全颠覆了我的认知。作者用一种极其直观、几乎可以说是“讲故事”的方式，一步步引导我理解微积分的本质。我记得在讲导数时，他没有一开始就抛出 epsilon-delta 语言，而是从一个非常生活化的例子——比如汽车的速度变化——入手，让我能立刻感受到导数在现实中的意义。那种“啊，原来是这样！”的感觉，贯穿了阅读的始终。书中的插图也功不可没，它们不是简单的示意图，而是真正帮助我构建空间想象和理解抽象概念的桥梁。我尤其喜欢作者对于“无穷小”的解释，它不再是那个让我头疼的“趋近但永远达不到”的模糊概念，而是以一种更具操作性的方式被呈现出来，让我在做积分运算时，不再感到心虚。虽然名字里强调“不用极限”，但它恰恰让我对极限有了更深刻的理解，因为作者通过其他方式，让我体会到了极限所要解决的问题和它的核心思想。这本书让我重拾了对数学的信心，也让我看到了学习微积分的另一种可能，一种更轻松、更富有洞察力的方式。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，数学学习的最高境界是理解其内在逻辑和应用价值。《不用极限的微积分》这本书，可以说是我在这条道路上遇到的一个惊喜。它并没有回避微积分的“难点”，而是选择了一条“捷径”——一种更具启发性、更贴近直觉的路径。作者对于“变化”和“累积”这两个核心概念的处理，让我看到了微积分的灵魂。在讲解导数时，他没有执着于“极限”的严格定义，而是通过“切线”与“割线”的细微差别，以及“瞬时变化率”的几何意义，巧妙地构建了微分的逻辑。我记得书中有一个关于“影子长度变化”的例子，非常生动地展示了导数是如何描述事物随时间的变化速度的。而对于积分，作者则通过“面积分割”与“累积求和”的自然过渡，让我理解了积分不仅仅是求面积，更是对连续变化过程的“量化”。这本书最大的价值在于，它让我摆脱了对“极限”概念的心理阴影，让我能够更专注于理解微积分的“是什么”和“为什么”，而不是被形式化的定义所困扰。它为我提供了一个全新的视角，让我能够更深入地领略微积分的优雅和强大。