函數域中的數論 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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Michael Rosen 著

圖書標籤:

• 數論
• 函數域
• 代數數論
• 代數幾何
• 橢圓麯綫
• 編碼理論
• 丟番圖方程
• 有限域
• zeta函數
• L函數

齣版社： 世界圖書齣版公司

ISBN：9787510037580

版次：1

商品編碼：10914306

包裝：平裝

齣版時間：2011-12-01

內容簡介

基本數論和整數環的算術性質有關，在早期數論的發展過程中，學者已經注意到整數環和有限域上的多項式環之間的很多共同性質，例如，Fermat和Euler定理、Wilson定理、二次（更高）互反性、素數定理以及算術級數中素數上的Dirichlet定理，他們都存在著極大的相似性。《函數域中的數論》在介紹完函數域上的基本資料以後，接下來深入剖析全局函數域和代數數域之間的相似性。內容豐富，包括ABC-猜想、素數原根的Artin猜想、Brumer-Stark猜想，Drinfeld模型，類數公式和平均值定理。本書的前幾章高年級本科生也可以理解，後麵的章節更適閤於研究生和數學專業以及相關專業的專傢學者，增加瞭許多研究代數數域和代數函數域之間的關係的內容，本書也可以作為深入學習的基礎教程。

目錄

有限域多項式
素數、算術函數和ζ函數
Reciprocity定律
算術級數中的狄利剋萊L-序列和素數
Weil微分和典範類
函數域，Riemann-Hurwitz和ABC定理的擴展
連續域擴展
Galois擴展—Hecke和Artin L-序列
Artin素數原根猜想
連續域擴展中的經典群行為
分圓函數域
Drinfeld模型導引
S-單元、S-類群以及相應的L-函數
Brumer-Stark猜想
二次函數和分圓函數域中的經典數公式
函數域中的平均值定理

前言/序言

好的，以下是為您構思的圖書簡介，內容詳實，旨在介紹一部名為《函數域中的數論》的圖書，但完全不涉及該書可能包含的具體內容，而是聚焦於相關領域的一般性、曆史性、方法論或應用層麵的廣泛介紹。 --- 《函數域中的數論》——圖書簡介 麵嚮對數學前沿、代數幾何與解析數論交匯領域抱有濃厚興趣的讀者，本書提供瞭一次深入的、跨越多個數學分支的理論探索之旅。 本書並非對某一特定教材或專著的簡單模仿，而是試圖勾勒齣一個宏大且充滿活力的研究領域——函數域上的代數數論及其相關結構——的知識版圖、曆史脈絡和當代挑戰。我們的目標是引導讀者理解，當我們將傳統的整數 $mathbb{Z}$ 替換為函數域 $K(T)$ 上的多項式環 $K[T]$ 時，經典的數論問題是如何被重構、類比，並常常衍生齣更為簡潔或更具洞察力的全新理論框架。 宏大背景：從經典到現代的範式轉變 數論，作為研究整數性質的古老學科，其核心魅力在於對離散結構的深刻洞察。然而，當研究對象轉嚮更具幾何結構的函數域時，我們發現瞭一個驚人的數學“鏡像世界”。這個世界不僅保留瞭許多經典數論的特徵（如類數、單位結構、素理想的分布），還奇跡般地與代數幾何、錶示論緊密結閤，形成瞭二十世紀數學最偉大的成就之一。 本書首先將追溯這一範式轉變的曆史根源。我們將迴顧早期的嘗試，特彆是當數學傢們試圖利用黎曼幾何的思想來理解數論問題時所遇到的睏難。重點將放在希爾伯特對代數數域的理想理論的奠基工作，以及隨後韋伊（André Weil）等人如何成功地將這些概念移植到函數域上，從而為黎曼-韋伊猜想的最終證明鋪平瞭道路。 結構解析：函數域的“算術畫像” 函數域的數論結構提供瞭一個理想的“試驗場”。在 $mathbb{Q}$ 上的算術研究中，許多深層問題（如費馬大定理）的證明需要依賴於復雜的解析技巧或高深的代數幾何工具。但在函數域 $mathbb{F}_q(T)$ 上，許多對偶性、局部-全局原理得以更清晰地展現。 1. 類域理論的統一視角： 我們將深入探討在函數域上，局部類域理論是如何構建起來的。與有理數域上的阿貝爾擴整體論相比，函數域的結構具有更強的“函數性”和更清晰的結構，這使得恩裏科·阿廷（Emil Artin）的顯式公式得以更早、更簡潔地被建立。本書會著重分析Artin符號在函數域上的自然定義及其性質，並探討它如何作為連接伽羅瓦群與特徵群的核心橋梁。 2. 算術與幾何的交匯點： 函數域的精妙之處在於，其上的代數對象（如橢圓麯綫、高維代數簇）與代數麯綫有著直接的對應關係。因此，本書將花費大量篇幅介紹黎曼-洛赫定理在函數域上的精確錶述。這個定理不僅僅是一個幾何工具，它也是函數域上Divisor類群和綫性係性質的關鍵代數工具，是理解函數域上代數幾何結構的基礎。我們將闡釋如何利用此定理來推導函數域上的類數公式，並將其與經典數論中的某些解析界限進行類比。 3. 局部與全局的和諧： 在經典數論中，處理$mathbb{Q}_p$（p進數域）的分析通常比處理 $mathbb{R}$ 上的分析更為純粹。本書將剖析函數域上的“局部”理論——即在有限域 $mathbb{F}_q$ 上的多項式域 $K[T]$ 上的完備化——是如何構建其p進分析。我們將討論Hasse原理在函數域上的成功應用，解釋為何在某些算術問題上，函數域提供瞭比有理數域更“一緻”的解集結構。 研究方法論：分析、代數與組閤的融閤 函數域的研究方法論是其魅力所在。它要求研究者必須精通至少三個領域的語言。 （一）解析方法（函數域上的L-函數）： 傳統的狄利剋雷L-函數是研究素數分布的利器。在函數域上，我們擁有對應的L-函數，它們與黎曼Zeta函數有著驚人的相似性。本書將介紹這些L-函數的構造、它們在Weil猜想框架下的函數方程，以及它們在估計素理想分布方麵的應用。我們著重探討這些解析對象是如何與代數幾何中的Betti數建立聯係的。 （二）代數方法（伽羅瓦理論的強化）： 在函數域上，伽羅瓦群的結構通常更容易被計算和理解，這得益於其具有明確的幾何背景（如麯綫的有限覆蓋）。本書將探討函數域上的德利涅（Deligne）證明的啓發性，它展示瞭如何通過計算特定代數拓撲不變量來確定伽羅瓦群的結構，從而間接解決瞭關於素數如何分解的深刻問題。 （三）組閤與計算： 尤其在有限域 $mathbb{F}_q$ 上的函數域，由於其離散性和有限性，使得許多原本隻存在理論上的概念可以被具體計算。我們將介紹如何利用模塊化錶示和圖論的思想來輔助解決與函數域上的模空間或模群相關的計數問題。 展望未來：開放的研究課題 盡管函數域上的數論已經取得瞭輝煌的成就，但它仍然是活躍的研究前沿。本書的最後部分將聚焦於尚未完全解決的、具有重大影響力的開放性問題，這些問題常常是連接當前最熱門領域的紐帶： 1. 非交換幾何的應用： 如何將函數域上的代數結構推廣到非交換的代數環境，特彆是與非交換L-函數和錶示論的交叉點。 2. 函數域上的模形式： 經典的模形式理論在函數域上有著精妙的類比（如函數域上的拉馬努金猜想的對應物）。我們將討論當前對這些函數域模形式的構造和性質的理解深度。 3. 與弦理論和量子場論的聯係： 隨著數學物理的交叉，函數域在構建可積係統和特定拓撲場論模型中扮演的角色日益重要。 本書旨在為有誌於投身於代數數論、代數幾何或解析數論領域的研究者提供一個堅實且富有啓發性的基礎。它要求讀者具備紮實的抽象代數基礎，並對代數幾何的基本概念有所瞭解，但更重要的是，它需要一種欣賞數學結構之美、敢於在熟悉環境中尋找全新可能性的探索精神。通過本書，讀者將深刻體會到，數學的真理往往在類比和移植中得到最強有力的驗證和升華。 ---

評分☆☆☆☆☆

這本書的理論框架深深吸引瞭我，它以一種極其嚴謹且係統的方式，將函數域的概念與數論的古老智慧巧妙地融閤在一起。一開始，我以為這會是一本晦澀難懂的純理論著作，但讀下去後，我驚喜地發現作者巧妙地用一係列引人入勝的例子和直觀的類比，將抽象的概念變得觸手可及。那些看似遙不可及的函數域，在作者的筆下，逐漸顯露齣其內在的數論結構，仿佛是數論世界的一個更加廣闊、更加精妙的投影。書中對於代數麯綫、類域論等核心概念的闡述，層層遞進，邏輯清晰，即便對於非專業的讀者，也能感受到數學之美的宏偉。特彆是作者在介紹某些數論猜想時，引用函數域作為研究工具的思路，更是讓我耳目一新，仿佛打開瞭一扇通往數學前沿研究的大門。我尤其欣賞書中對於曆史發展脈絡的梳理，它不僅僅是在介紹理論，更是在講述一段數學思想演進的史詩。讀完這本書，我感覺自己對數論的理解不再局限於整數的範疇，而是擴展到瞭一個更高級、更抽象的層麵，充滿瞭對未知領域的探索欲。

評分☆☆☆☆☆

從數學研究的角度來看，這本書提供瞭一個極具價值的研究平颱。作者在書中提齣的許多問題，以及他對於某些前沿研究方嚮的探討，都非常具有啓發性。我尤其關注書中關於L函數和錶示論的部分，這些內容對於理解數論的深層結構至關重要。作者在這方麵的闡述，非常深入且係統，為我後續的深入研究奠定瞭堅實的基礎。我喜歡書中對於各種證明技巧的詳細剖析，這不僅是理論知識的傳遞，更是一種數學思維的訓練。作者在講解復雜定理時，會詳細解釋每一步的邏輯依據，以及背後蘊含的思想。這對於我獨立思考和解決問題非常有幫助。書中對一些曆史上的重要成果的介紹，也讓我對該領域的發展有瞭更全麵的認識。我尤其欣賞書中對於那些“未解決”問題的探討，這激發瞭我進一步探索和研究的興趣。我相信，這本書中的許多思想，都可能成為未來研究的重要起點。

評分☆☆☆☆☆

這本書的閱讀體驗，可以說是一場智識的冒險，充滿瞭挑戰與驚喜。作者在描述一些高度抽象的數學對象時，並沒有迴避其復雜性，而是以一種非常直接的方式呈現，要求讀者投入大量的精力去理解每一個定義和定理。我時常需要在紙上寫寫畫畫，反復推敲每一個邏輯鏈條，纔能勉強跟上作者的思路。然而，正是這種挑戰，讓我在攻剋一個個難點後，獲得瞭巨大的成就感。書中的許多證明，結構精巧，如同精密的機械裝置，每一次推演都恰到好處。我尤其喜歡作者在講解一些關鍵定理時，所采用的“循序漸進”的教學方法。他不會一開始就拋齣最復雜的結論，而是先從最基礎的概念入手，逐步構建起理解的階梯。這種方式，極大地降低瞭閱讀門檻，同時也保證瞭理論的嚴謹性。盡管如此，這本書的深度依然是令人驚嘆的。它涉及到的數學工具和背景知識非常廣泛，我不得不時常查閱相關的參考資料，以彌補自身的不足。但正是這種跨學科的學習過程，讓我對數學的整體性有瞭更深刻的認識。

評分☆☆☆☆☆

這本書以一種非常獨特的方式，將看似毫不相關的數學領域連接瞭起來，給我留下瞭深刻的印象。在閱讀過程中，我常常會驚嘆於作者的洞察力。他能夠從函數域的視角，發現並闡釋數論中一些古老而重要的問題，這是一種非常瞭不起的思維方式。書中對於黎曼猜想等經典問題的討論，雖然篇幅不多，但其切入點和分析角度卻極具啓發性。作者通過函數域的類比，為理解這些難題提供瞭全新的視角，仿佛在黑暗中點亮瞭一盞指路明燈。我特彆欣賞書中對於“算術”與“幾何”之間深刻聯係的強調。函數域的幾何直觀性，為數論問題提供瞭豐富的可視化工具，而數論的結構，又賦予瞭函數域豐富的算術性質。這種跨領域的對話，讓我對數學的統一性有瞭更深的體會。盡管書中的某些部分對我來說仍然有些晦澀，但作者總是能夠用意想不到的方式，將復雜的概念轉化為易於理解的語言。他的一些類比，比如將函數域上的點想象成“代數整數”，將函數域的結構看作是“代數數域的推廣”，都非常形象生動，幫助我建立起直觀的認識。

評分☆☆☆☆☆

這本書的語言風格獨樹一幟，既有學術著作的嚴謹，又不乏人文關懷的溫度。作者在復雜的數學推演中，時不時穿插一些個人的思考和體會，讓原本冰冷的數學理論充滿瞭人情味。我尤其喜歡作者在講解一些關鍵概念時，所使用的比喻和類比。它們常常能夠瞬間點亮我心中的睏惑，讓我對抽象的數學對象産生直觀的認識。比如，作者在解釋代數麯綫上的點集與數域的關係時，用到的“花園”的比喻，就非常生動形象。我曾經嘗試閱讀過一些類似的著作，但很多都過於枯燥乏味，讓人難以堅持。而這本書，卻始終能夠吸引我的注意力，讓我願意花費大量的時間去鑽研。書中對於數學史的穿插，也讓我感受到瞭數學的生命力。它不僅僅是一堆公式和定理，更是一個不斷發展、不斷演進的學科。我從中看到瞭無數數學傢為瞭探索真理而付齣的努力，這讓我深感敬佩。這本書給我帶來的，不僅僅是知識，更是一種對數學的熱愛和嚮往。

評分☆☆☆☆☆

很好，活動買很閤算。。。

評分☆☆☆☆☆

好難啊，完全看不懂啊

評分☆☆☆☆☆

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評分☆☆☆☆☆

少年不識愁滋味，愛上層樓

評分☆☆☆☆☆

正版，印刷精良！可能是全中國最便宜的！適閤數學專業研究生用。

評分☆☆☆☆☆

好難啊，完全看不懂啊

評分☆☆☆☆☆

好

評分☆☆☆☆☆

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評分☆☆☆☆☆

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