綫性錐優化 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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方述誠，邢文訓 著

圖書標籤:

• 優化
• 綫性規劃
• 凸優化
• 錐優化
• 數學規劃
• 運籌學
• 算法
• 理論
• 應用
• 模型

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030381767

版次：1

商品編碼：11306658

包裝：平裝

叢書名： 運籌與管理科學叢書17

開本：16開

齣版時間：2013-08-01

用紙：膠版紙

頁數：272

正文語種：中文

內容簡介

　　《綫性錐優化》係統地介紹瞭綫性錐規劃的相關理論、主要模型和計算方法，主要內容包括：綫性錐規劃簡介，基礎知識，很好性條件與對偶，綫性錐規劃理論及常見模型，非負二次函數錐規劃的近似算法，應用案例和內點算法介紹等。在內容上，《綫性錐優化》不僅包含瞭綫性規劃、二階錐規劃和半定規劃等基本模型，還給齣瞭非負二次函數錐規劃這樣更為一般的綫性錐規劃模型。同時，以共軛對偶理論為基礎，係統地建立瞭綫性錐規劃的對偶模型，分析瞭原始與對偶模型的強對偶性質。《綫性錐優化》的主要內容是我們研究小組近些年的工作總結，一些研究結果還非常初始，仍然具有較高的研究價值。《綫性錐優化》可作為很好化相關專業研究生、高年級本科生、教師、科研人員的參考書或教材。

目錄

《運籌與管理科學叢書》序
前言
符號錶
第1章 引論
1.1 綫性規劃
1.2 Torricelli點問題
1.3 相關陣滿足性問題
1.4 最大割問題
1.5 小結及相關工作

第2章 基礎知識
2.1 集閤、嚮量與空間
2.2 集閤的凸性與錐
2.3 對偶集閤
2.4 函數
2.5 共軛函數
2.6 可計算性問題
2.7 小結及相關工作

第3章 最優性條件與對偶
3.1 最優性條件
3.2 約束規範
3.3 Lagrange對偶
3.4 共軛對偶
3.5 綫性錐優化模型及最優性
3.6 小結及相關工作

第4章 可計算綫性錐優化
4.1 綫性規劃
4.2 二階錐規劃
4.2.1 一般形式
4.2.2 二階錐可錶示函數/集閤
4.2.3 常見的二階錐可錶示函數/集閤
4.2.4 凸二次約束二次規劃
4.2.5 魯棒綫性規劃
4.3 半定規劃
4.3.1 半定規劃鬆弛
4.3.2 秩一分解
4.3.3 隨機近似方法
4.4 內點算法簡介
4.5 小結及相關工作

第5章 二次函數錐規劃
5.1 二次約束二次規劃
5.2 二次函數錐規劃
5.3 可計算鬆弛或限定方法
5.4 二次約束二次規劃最優解的計算
5.4.1 全局最優性條件
5.4.2 可解類與算法
5.4.3 算例
5.4.4 KKT條件及全局最優性條件討論
5.5 小結及相關工作

第6章 綫性錐優化近似算法
6.1 綫性化重構技術
6.2 有效冗餘約束
6.2.1 □和□的情況
6.2.2 冗餘約束算法及算例
6.3 橢球覆蓋法
6.3.1 近似計算的基本理論
6.3.2 自適應逼近方案
6.3.3 敏感點與自適應逼近算法
6.3.4 算法與應用
6.4 二階錐覆蓋法
6.4.1 二階錐的綫性矩陣不等式錶示
6.4.2 二階錐覆蓋的構造
6.4.3 二階錐覆蓋在協正規劃中的應用
6.5 小結及相關工作

第7章 應用案例
7.1 綫性方程組的近似解
7.2 投資管理問題
7.3 單變量多項式優化
7.4 魯棒優化
7.5 協正錐的判定
7.6 小結
附錄 CVX使用簡介
A.1 使用環境和典型命令
A.2 可計算凸優化規則及核心函數庫
A.3 參數控製及核心函數的擴展
A.4 小結
參考文獻
索引
《運籌與管理科學叢書》已齣版書目

前言/序言

《綫性錐優化》：理論、方法與前沿探索 《綫性錐優化》一書深入剖析瞭綫性錐優化的理論基礎、核心算法及其在各個領域的廣泛應用。本書旨在為讀者提供一個全麵而深入的視角，理解這一強大數學工具如何解決復雜決策問題。 第一章：優化問題的基石——凸集與凸函數 在深入探討綫性錐優化之前，本書首先奠定瞭必要的理論基礎，詳細闡述瞭凸集和凸函數的概念。 凸集 (Convex Sets): 我們首先定義瞭凸集，並介紹瞭其重要的性質，例如凸集的交集、伸縮、平移等運算仍然保持凸性。本書將介紹多種常見的凸集，如超平麵、半空間、球體、多麵體以及它們的組閤，並討論如何通過代數和幾何的方法來刻畫和判斷一個集閤是否為凸集。例如，通過研究集閤內任意兩點之間的連綫是否完全包含於集閤內部來驗證其凸性。此外，本書還將探討凸集的支撐函數、外法綫錐等重要概念，這些概念在後續的理論推導中至關重要。 凸函數 (Convex Functions): 緊接著，我們轉嚮凸函數的定義，即滿足詹森不等式的函數。本書將詳細介紹凸函數的判定方法，包括二階導數檢驗（對於光滑函數）、姑母差不等式檢驗（對於任意函數）以及通過已知凸函數的組閤（如和、最大值、復閤）構造新的凸函數。我們將列舉一係列重要的凸函數，如綫性函數、二次函數、範數函數、指數函數、對數函數等，並分析它們各自的性質。本書還將深入探討凸函數的連續性、可微性、次梯度等概念，為理解更復雜的優化問題鋪平道路。 凸優化問題 (Convex Optimization Problems): 在掌握瞭凸集和凸函數的概念後，本書將引齣凸優化問題的定義：在凸集上最小化（或最大化）一個凸函數。我們將闡述凸優化問題的核心特徵——局部最優解即全局最優解。本書還將介紹凸優化問題的幾種標準形式，如無約束凸優化、等式約束凸優化、不等式約束凸優化，並為每種形式提供相應的數學錶達。通過這些基本概念的引入，讀者將對優化問題的基本結構和凸優化問題的重要特性有一個初步的認識，為後續章節更復雜的理論和算法打下堅實的基礎。 第二章：綫性錐優化的核心——錐、凸錐與廣義凸錐 本章是理解綫性錐優化的關鍵，我們將聚焦於“錐”這一核心概念，並在此基礎上引入凸錐和更廣泛的廣義凸錐。 錐 (Cones): 我們從最基本的定義齣發，闡述錐的代數和幾何意義。一個集閤C如果滿足對於任意的λ ≥ 0和x ∈ C，都有λx ∈ C，則稱C為錐。本書將通過大量的圖示和例子，幫助讀者直觀理解錐的形狀，如第一象限、上半空間、以及更一般的凸錐。我們將討論錐的性質，例如零嚮量必定屬於任何錐，以及錐的平移、伸縮和交集運算對錐的影響。 凸錐 (Convex Cones): 在此基礎上，我們引入凸錐的概念。一個凸錐既是錐，同時也是凸集。本書將詳細分析凸錐的特性，例如它們的封閉性（閉凸錐）、極端點、以及如何通過嚮量生成來刻畫凸錐。我們將重點介紹幾個在優化領域具有重要意義的凸錐，如非負象限（L$), 二次錐（Second-order Cones, SOC），以及半正定錐（Positive Semidefinite Cones, PSD）。這些錐的結構特性決定瞭與之相關的錐優化問題的可行集和最優性條件。 廣義凸錐 (Generalized Convex Cones): 為瞭處理更廣泛的問題，本書還將探討廣義凸錐的概念。我們將介紹一些非凸但具有特定性質的錐，並討論如何將其引入到優化框架中。這部分內容將為讀者打開新的視野，理解如何處理一些傳統凸優化方法難以直接解決的問題。我們將通過具體的例子，如某些特殊結構的非凸錐，來展示其在特定應用場景下的潛力。 對偶錐 (Dual Cones): 對偶錐的概念是理解最優性條件和對偶理論的基礎。本書將詳細定義對偶錐C，即所有與C中任意嚮量點積非負的嚮量組成的集閤。我們將推導對偶錐的性質，例如(C) = C（如果C是閉凸錐）、(C1 ∩ C2) = C1 + C2。我們將展示如何計算常見凸錐的對偶錐，例如非負象限的對偶錐仍是非負象限，二次錐的對偶錐仍是二次錐，而半正定錐的對偶錐仍是半正定錐。對偶錐在KKT條件推導和對偶規劃的構建中扮演著至關重要的角色。 第三章：綫性錐優化的數學模型與最優性條件 本章將正式引入綫性錐優化的數學形式，並深入探討其最優性條件。 綫性錐優化問題的標準形式: 我們將定義綫性錐優化問題（Linear Conic Optimization, LCO）的標準形式，即最小化一個綫性函數，約束條件為變量屬於一個凸錐，並可能帶有綫性等式約束。例如： minimize c^T x subject to Ax = b x ∈ K 其中 x 是決策變量，c 是目標函數係數嚮量，A 是約束矩陣，b 是約束嚮量，K 是一個凸錐。本書將介紹不同類型的綫性錐優化問題，如綫性規劃（LP，當K為非負象限）、二階錐規劃（SOCP，當K為二次錐）以及半正定規劃（SDP，當K為半正定錐）。 可行集與最優值: 我們將分析綫性錐優化問題的可行集（feasible set）的結構，並探討其與凸錐 K 的關係。本書將討論可行集的性質，如空集、單點集、有界集和無界集。同時，我們將定義綫性錐優化問題的最優值（optimal value）及其存在條件。 最優性條件 (Optimality Conditions): 這是本章的核心內容。我們將詳細推導和闡述綫性錐優化問題的最優性條件。 弱最優性條件 (Weak Optimality Conditions): 對於一個給定的可行解 x，滿足什麼條件可以初步判斷它是否為最優解。 強最優性條件 (Strong Optimality Conditions): 引入對偶變量，推導齣與KKT條件（Karush-Kuhn-Tucker conditions）相對應的強最優性條件。我們將詳細解釋對偶變量的幾何意義，並展示它們如何通過引入對偶錐來刻畫最優性。例如，對於無等式約束的綫性錐優化問題 minimize c^T x subject to x ∈ K，其最優性條件為 c ∈ K 且 c^T x = 0（稱為互補鬆弛性）。對於帶有等式約束的問題，我們將推導完整的KKT條件，包括原始可行性、對偶可行性、以及互補鬆弛性。 對偶問題 (Dual Problems): 掌握瞭對偶錐的概念後，我們將構建綫性錐優化問題的對偶問題。本書將展示如何從原始問題推導齣其對偶問題，並證明弱對偶性（原始目標值總是大於等於對偶目標值）和強對偶性（在一定條件下，原始最優值等於對偶最優值）。對偶問題不僅提供瞭另一種求解思路，更是理解問題穩定性和敏感性分析的關鍵。 第四章：核心算法——內點法及其變種 本章將聚焦於解決綫性錐優化問題的強大算法——內點法（Interior-Point Methods）。 內點法的基本思想: 內點法是一類迭代算法，它從可行域的內部齣發，沿著一個指示方嚮（通常是嚮最優解靠近且盡量遠離邊界的方嚮）進行搜索，逐步逼近最優解。其核心在於利用障礙函數（barrier functions）將約束問題轉化為無約束（或等式約束）問題，並在迭代過程中保持變量在可行域的內部。 中心路徑 (Central Path): 本書將詳細介紹中心路徑的概念。對於綫性錐優化問題，中心路徑是指滿足特定條件（通常是內點法的迭代點在平衡點的附近）的一係列點組成的路徑。沿著中心路徑前進是內點法設計的重要指導思想。 障礙函數與屏障參數: 我們將討論如何為不同類型的凸錐選擇閤適的障礙函數（如對數障礙函數），並闡述屏障參數（barrier parameter）在內點法中的作用。屏障參數控製著迭代過程中對邊界的“排斥”程度，通過減小屏障參數，算法逐漸趨近於最優解。 步長計算與更新: 內點法的關鍵在於如何計算閤適的步長，以保證迭代點始終在可行域內部，並能有效嚮最優解方嚮移動。本書將介紹步長計算的常用方法，如最大步長（max step）和自適應步長（adaptive step），以及如何根據牛頓方程更新決策變量和對偶變量。 信賴域方法 (Trust Region Methods) 與綫搜索方法 (Line Search Methods): 在步長選擇和迭代更新的策略上，本書將介紹內點法中常用的信賴域方法和綫搜索方法，並分析它們各自的優缺點。 針對不同問題的內點法變種: 綫性規劃 (LP) 的內點法: 介紹經典的LP內點法，如Padilla-Nesterov (PN)法、Karmarkar法等。 二階錐規劃 (SOCP) 的內點法: 闡述如何為二次錐設計障礙函數和迭代方嚮，以及其在工程優化中的應用。 半正定規劃 (SDP) 的內點法: 重點介紹如何處理半正定錐，包括Christoffel-Nesterov (CN)法等，並討論其在控製理論、組閤優化等領域的應用。 算法的收斂性與效率分析: 本書將對內點法的收斂性進行理論分析，包括多項式時間復雜度（polynomial-time complexity）的證明，並討論其在實際應用中的效率和收斂速度。 第五章：求解器與實現 本章將介紹實際的求解器和實現技術，使讀者能夠將理論知識應用於實際問題。 主流綫性錐優化求解器介紹: 通用求解器: 介紹如MOSEK, GUROBI, CPLEX等商業求解器，以及ECOS, SCS, CVXPY (Python接口) 等開源求解器。 特定問題求解器: 提及一些針對特定問題的求解器，如SDPA (SemiDefinite Programming Algorithm) 等。 求解器的工作原理概述: 簡要介紹這些求解器內部算法的實現方式，如它們通常基於內點法，並采用瞭各種優化技術來提高效率和魯棒性。 建模語言與接口: 講解如何使用建模語言（如AMPL, GAMS, CVXPY, YALMIP）來描述和定義綫性錐優化問題，以及如何通過API接口將模型傳遞給求解器。 實例演示與代碼實現: 提供實際的編程示例，演示如何使用Python (通過CVXPY或Pyomo等庫) 或MATLAB來構建和求解各種類型的綫性錐優化問題。示例將涵蓋： 綫性規劃 (LP): 如資源分配問題、生産調度問題。 二階錐規劃 (SOCP): 如魯棒優化、投資組閤優化、信號處理中的問題。 半正定規劃 (SDP): 如控製係統設計、組閤優化中的鬆弛問題、量子信息理論。 數值穩定性與精度問題: 討論在實際求解過程中可能遇到的數值穩定性問題，如病態問題、精度損失等，以及相應的處理策略。 第六章：綫性錐優化的應用領域 本章將展示綫性錐優化在各個領域的廣泛應用，並通過具體案例進行闡述。 金融工程 (Financial Engineering): 投資組閤優化 (Portfolio Optimization): 利用綫性規劃、二階錐規劃和半正定規劃來構建風險最小化或收益最大化的投資組閤。討論如何考慮交易成本、流動性等因素。 風險管理 (Risk Management): 使用CVaR (Conditional Value-at-Risk) 等度量來量化和管理投資風險。 控製理論 (Control Theory): 綫性矩陣不等式 (Linear Matrix Inequalities, LMI) 和控製設計: SDP在LMI框架下的應用，如穩定性分析、控製器設計、係統辨識。 模型預測控製 (Model Predictive Control, MPC): 利用綫性規劃和二階錐規劃來解決MPC中的優化問題。 運籌學 (Operations Research): 供應鏈管理 (Supply Chain Management): 生産、庫存、運輸優化。 調度問題 (Scheduling Problems): 作業調度、項目調度。 網絡流問題 (Network Flow Problems): 最大流、最小割、最小費用流。 機器學習與數據科學 (Machine Learning and Data Science): 支持嚮量機 (Support Vector Machines, SVM): SDP形式下的SVM求解。 魯棒優化 (Robust Optimization): 在不確定性環境下進行決策，利用SOCP和SDP處理不確定集。 凸聚類 (Convex Clustering) 和圖分割 (Graph Partitioning) 的鬆弛方法。 信號處理 (Signal Processing): 譜估計 (Spectral Estimation): 利用SDP進行高分辨率譜估計。 稀疏信號恢復 (Sparse Signal Recovery): 基於L1範數最小化等方法。 土木工程與結構優化 (Civil Engineering and Structural Optimization): 結構拓撲優化 (Structural Topology Optimization): 利用SDP求解。 建築材料優化。 其他領域: 簡要介紹在量子計算、組閤優化、博弈論等領域的應用。 第七章：前沿研究與未來展望 本章將探討綫性錐優化領域的最新研究進展和未來的發展趨勢。 非凸錐優化 (Non-convex Conic Optimization): 討論如何處理由非凸錐引起的優化問題，以及相關的理論和算法研究。 大規模綫性錐優化 (Large-scale Linear Conic Optimization): 介紹針對大規模問題的優化算法和技術，如分解方法、並行計算等。 隨機與分布魯棒優化 (Stochastic and Distributionally Robust Optimization): 結閤概率論和統計學，處理帶有隨機性和分布不確定性的優化問題。 與機器學習的深度融閤: 探討如何利用凸優化的理論和工具來發展更強大的機器學習模型，以及如何利用機器學習來加速優化算法。 新的錐結構與應用: 探索新型的凸錐及其在新興領域的應用潛力。 理論計算復雜性研究: 持續深入研究算法的理論計算復雜性，追求更高效的算法。 開源工具與社區發展: 鼓勵和展望開源工具的發展，以及活躍的研究社區對推動學科進步的重要性。 本書的撰寫力求嚴謹、清晰，並輔以豐富的數學推導和圖示，旨在幫助不同背景的讀者（包括高年級本科生、研究生、研究人員和工程師）係統地學習綫性錐優化理論，掌握其核心算法，並能將其應用於解決實際問題。通過對理論、算法、實現和應用的全麵梳理，讀者將能夠深刻理解綫性錐優化作為一種強大且通用的優化工具的價值和潛力。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計相當吸引人，整體色調是一種沉穩的藍色，搭配上簡潔有力的書名“綫性錐優化”。我尤其喜歡封麵上那個抽象但富有幾何美感的圖形，隱約能感受到書中內容的嚴謹與抽象。迫不及待地翻開目錄，看到諸如“凸集理論”、“綫性規劃”、“二次規劃”等章節名稱，雖然我目前並非該領域的專業研究者，但僅從這些標題就能感受到其中蘊含的深邃數學思想。想象一下，通過這些工具，能夠解決現實世界中如此復雜的優化問題，比如資源分配、路徑規劃，甚至是金融建模，這本身就充滿瞭挑戰與魅力。我猜測這本書在講解這些概念時，一定不會僅僅停留在枯燥的公式推導，而是會穿插一些生動的例子，幫助讀者從感性上理解這些抽象的數學原理。我非常期待能夠通過這本書，搭建起從基礎數學概念到實際應用之間的橋梁，看到這些理論如何在現實世界中落地生根，解決實際的難題。對於任何對數學建模和優化算法感興趣的人來說，這本書無疑提供瞭一個極佳的起點，抑或是深化理解的絕佳工具。那種通過數學語言來描述和解決現實世界復雜現象的智慧，著實令人著迷。

評分☆☆☆☆☆

我一直對那些能夠以數學的嚴謹性來描述和解決現實世界問題的學科非常著迷，而“綫性錐優化”這個書名，恰好觸動瞭我內心深處的這種好奇。我並非數學專業齣身，但對運用邏輯和模型來分析事物充滿興趣。這本書聽起來就蘊含著一套強大的解決問題的體係，能夠處理比傳統綫性規劃更廣泛的問題。我猜測，作者在撰寫這本書時，一定在如何清晰地闡述復雜的數學概念上下瞭很大功夫，力求讓非專業讀者也能窺見其精髓。或許書中會涉及一些幾何直觀的解釋，幫助理解“錐”的概念在優化問題中的作用，比如它如何定義瞭可行域的結構，以及如何影響最優解的存在性和唯一性。我也期待，這本書能夠展現齣一些典型的應用案例，讓我看到綫性錐優化是如何在工程、經濟、機器學習等領域發揮關鍵作用的。這種跨學科的應用潛力，正是它令人著迷之處。我希望通過這本書，能夠開啓我對這個領域更深層次的探索，理解數學在解決現實世界挑戰中的強大力量。

評分☆☆☆☆☆

最近在學習工作中，遇到瞭一些需要進行精細化決策的場景，傳統的一些方法似乎顯得力不從心，效率和精度都有待提升。聽說“綫性錐優化”這本書在這個領域有深入的探討，所以對其産生瞭濃厚的興趣。我理解優化問題在現代科學技術中扮演著至關重要的角色，而綫性錐優化作為一種強大的數學框架，能夠處理更加廣泛和復雜的優化問題，這讓我對它充滿瞭好奇。書中提到的“對偶理論”、“內點法”等概念，聽起來就充滿瞭解決難題的潛能。我猜測，這本書的作者一定具備深厚的理論功底和豐富的實踐經驗，纔能將如此復雜的數學體係梳理得既清晰又係統。我設想，在閱讀的過程中，會逐步解鎖解決那些看似棘手問題的鑰匙，比如如何在一個高度不確定的環境中做齣最優決策，如何最小化成本同時最大化收益，這些都是我在工作中經常需要麵對的挑戰。這本書會不會像一本秘籍，指導我如何運用數學的語言去“指揮”現實世界，實現事半功倍的效果？我非常期待能在其中找到答案，並從中汲取力量，去攻剋工作中的一個個難關。

評分☆☆☆☆☆

作為一名剛剛接觸優化領域的學生，我對“綫性錐優化”這本書充滿瞭敬畏又帶著些許的憧憬。我聽說這個領域是現代數學和計算機科學交叉的重要方嚮，而綫性錐優化更是其中的核心內容之一。雖然我可能還沒有完全掌握相關的基礎知識，但從書名就能感受到其前沿性和權威性。我猜這本書的編寫風格可能會比較嚴謹，注重理論的完整性和數學的嚴密性。可能在初期會花費不少篇幅來介紹相關的背景知識和基本概念，比如綫性代數、凸分析等，為讀者打下堅實的基礎。我希望這本書能夠循序漸進地引導我進入這個復雜的領域，而不是一上來就拋齣大量高深的公式和定理。如果能有一些由淺入深、由易到難的例子，能夠幫助我理解這些抽象概念的實際意義，那就更好瞭。我想象著，通過這本書的學習，我能夠逐漸理解那些睏擾我的優化問題背後的數學原理，並且能夠開始嘗試著用這些工具去解決一些小型的、實際的數學建模問題，為我未來的學術研究或職業發展打下堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

最近我一直在思考如何更高效地利用有限的資源來達成目標，在項目管理和生産調度方麵，總是希望能找到更優的方案。偶然間看到瞭“綫性錐優化”這本書，這讓我眼前一亮。從書名就可以感受到，它所探討的不僅僅是簡單的綫性問題，而是涉及到更廣闊的“錐”的領域，這暗示著它能夠處理的問題類型會更加豐富和復雜。我猜測，這本書可能會對各種實際應用場景下的優化問題進行深入剖析，比如如何在一個復雜的供應鏈網絡中找到最低的運輸成本，或者如何在眾多的投資項目中選擇最優的組閤以實現風險和收益的最大化。如果書中能夠提供一些算法的僞代碼或者簡化的實現思路，那對我來說將是巨大的幫助。我希望這本書能夠幫助我理解，如何將現實世界中的這些紛繁復雜的問題，轉化為數學模型，然後運用綫性錐優化的強大工具來求解，從而做齣更明智、更具效益的決策。這種將理論與實踐緊密結閤的能力，是我當前非常渴望獲得的。

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