样条函数与逼近论 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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冯玉瑜，曾芳玲，邓建松 著

图书标签:

• 样条函数
• 逼近论
• 数值分析
• 数学
• 科学计算
• 函数逼近
• 数值方法
• 高等数学
• 工程数学
• 计算数学

出版社： 中国科学技术大学出版社

ISBN：9787312032837

版次：1

商品编码：11333978

包装：平装

开本：16开

出版时间：2013-08-01

用纸：胶版纸

页数：461

字数：516000

正文语种：中文

内容简介

　　《样条函数与逼近论》共18章，分为3部分．第l部分为前7章，系统地介绍了单变量函数逼近论的基本内容，即赋范线性空间中逼近的一般理论，包括一致逼近、最佳逼近的定量理论、最小平方逼近、有理逼近等重要内容．第8章到第13章为第2部分，主要讲述了单变量样条函数的基本理论，包括多项式样条的基本空间、8样条及其性质、样条函数的计算、对偶基和样条的零点、样条的插值与逼近等重要内容．最后一部分共5章，主要介绍了多元多项式插值以及贯穿剖分上、规则剖分下的二元样条函数的基本性质及其应用．
　　《样条函数与逼近论》可作为计算数学和应用数学专业的高年级本科生和研究生教材，亦可作为相关专业的师生及科技人员、工程技术人员的参考书．

目录

总序
前言
第1部分 单变量函数逼近论
第1章 赋范线性空间中的逼近问题引论
1.1 逼近问题的提出
1.2 最佳逼近元的存在唯一性
1.2.1 存在性
1.2.2 凸集
1.2.3 唯一性
1.2.4 匀凸空间
1.3 表征定理与对偶关系
1.4 距离投影算子
第2章 一致逼近
2.1 Weierstrass―Stone定理
2.2 正线性算子理论
2.3 广义多项式的一致逼近
2.3.1 最佳逼近的表征定理
2.3.2 Haar空间
2.3.3 最佳逼近的交错定理
2.3.4 唯一性问题
2.3.5 最佳逼近函数的计算
第3章 线性插
3.1 线性插值问题
3.1.1 问题的提出
3.1.2 线性投影的计算
3.2 线性插值的误差
3.2.1 Lebesgue不等式
3.2.2 极小线性投影
3.2.3 线性投影算子的范数
3.2.4 多项式插值节点的最优选择
3.3 从C到R的极小投影
3.4 从via，bl到‰的线性投影算子的下界
3.5 线性投影算子的收敛性质
第4章 多项式的性质和平滑模
4.1 多项式的性质
4.1.1 Bernstein不等式
4.1.2 Markov不等式
4.2 连续模
4.3 平滑模
第5章 最佳逼近的定量理论
5.1 周期函数类卜最佳逼近的正逆定理
5.1.1 Jackson型定理
5.1.2 Bernstein逆定理
5.2 代数多项式的逼近阶
5.2.1 Jackson定理
5.2.2 Nikolsky―Timan定理
5.3 代数多项式的点态逆定理
第6章 最小平方逼近
6.1 最佳逼近
6.2 正交函数系
6.3 正交多项式的性质

第2部分 单变量样条函数
第3部分 多变量插值与样条函数

前言/序言

样条函数与逼近论 1. 引言 在现代科学与工程的诸多领域，从计算机图形学、数据插值，到信号处理、数值分析，再到机器学习与人工智能，我们常常面临这样一个核心问题：如何用一组简单、易于理解且计算高效的函数来近似或表示一个复杂、未知或离散的数据集？“逼近论”正是研究这一问题的理论基石，而“样条函数”则是实现这一逼近目标的最为强大和灵活的工具之一。 本书《样条函数与逼近论》旨在深入探讨样条函数作为一种特殊的函数构造方法，以及它们在解决各种逼近问题中所展现出的卓越性能。我们将从数学的严谨视角出发，逐步揭示样条函数的构造原理、性质及其在不同场景下的应用。本书不仅关注理论的深度，也力求展现样条函数在实际问题中的强大生命力。 2. 逼近论的核心问题与发展简史 逼近论是数学中的一个重要分支，其核心思想是用“好”的函数逼近“坏”的函数，或者用简单的函数逼近复杂的函数。这里的“好”与“坏”可以从多个维度理解： 复杂度： 我们倾向于用多项式、三角函数等简单函数来逼近那些形式复杂、难以直接处理的函数。 可计算性： 许多实际问题中的函数并非解析可得，而是通过测量或数值计算得到的离散数据点，这时就需要用能够通过有限计算得到结果的函数来拟合。 信息压缩与表示： 在数据存储和传输中，我们希望用尽可能少的信息来准确地表示原始数据，逼近技术提供了有效的手段。 数值稳定性与效率： 在数值计算中，逼近函数的设计往往与算法的稳定性和计算效率密切相关。 逼近论的发展可以追溯到欧拉、傅立叶等数学家的工作。傅立叶级数用三角多项式逼近周期函数，为信号分析奠定了基础。而多项式逼近，如泰勒展开和切比雪夫逼近，则在微积分和数值分析中扮演着重要角色。 在20世纪中叶，随着计算机技术的飞速发展，对更灵活、更局部化的函数逼近方法的需求日益增长。传统的全局逼近方法（如多项式插值）在处理大量数据时容易出现“龙格现象”，即在数据点之外的区域出现剧烈的振荡。这就催生了对局部逼近方法的探索，而样条函数正是这一探索的杰出成果。 3. 样条函数的概念与起源 样条（Spline）一词最初来源于造船和航空工程中用于绘制平滑曲线的“样条尺”。这种由柔性材料制成的尺子，在被固定在一些关键点后，会自然地弯曲成一条平滑的曲线。这种物理直观的构造方式，启发了数学家们设计一种由分段多项式组成的函数，并在连接点处满足一定的平滑性条件。 样条函数的核心思想是将整个定义域分割成若干个小区间，在每个区间上使用一个低次多项式来近似目标函数。而最关键之处在于，这些分段多项式在相邻区间的连接点（称为节点）上，需要保证一定的连续性和光滑性。例如，最简单的样条函数是分段线性函数，它只要求在节点上连续；而更常用的三次样条函数，则要求在节点上至少连续到二阶导数，从而保证了整体曲线的平滑度。 与全局多项式逼近相比，样条函数具有以下显著优势： 局部性： 改变一个节点的函数值或导数值，只会影响到它附近的小段曲线，而不会像全局多项式那样影响整个曲线。这使得样条函数在数据更新和局部修正时非常高效。 低阶多项式的组合： 即使是高阶的光滑性要求，通常也只需要使用低次多项式（如三次多项式）组合而成，这大大降低了计算的复杂度，避免了高次多项式可能带来的数值不稳定问题。 灵活性： 通过调整节点的位置和样条函数的阶数，可以非常灵活地拟合各种形状的数据。 4. 样条函数的构造方法与基本性质 本书将详细介绍各种样条函数的构造方法，并深入分析它们的数学性质。 4.1. 插值样条 最基本的一类样条函数是插值样条，其目标是在给定的数据点上精确通过。 分段线性插值： 最简单的插值样条，在每两个相邻数据点之间用一条直线连接。它只保证函数值在节点上的连续性。 分段二次插值： 在每个区间上使用二次多项式，并要求在节点上连续，有时还要求一阶导数连续。 分段三次插值： 这是最常用的一类插值样条。在每个区间上使用三次多项式，并要求在节点上连续、一阶导数连续、二阶导数连续。这通常需要更多的边界条件来唯一确定。本书将详细介绍如何通过设置边界条件（如自然三次样条、固定端点三次样条等）来构造三次插值样条，并证明其存在性和唯一性。 4.2. B样条（B-Splines） B样条是样条函数构造中一个里程碑式的进展。它们是一类具有局部支撑性的基函数，任何样条函数都可以表示为B样条基函数的线性组合。 B样条基函数的定义： 我们将介绍B样条基函数的递归定义，以及它们关于节点序列的性质，如局部支撑性、非负性、单位性等。 B样条的性质： 重点分析B样条的几何特征，如它们在控制点作用下的形状特征，以及如何通过改变控制点来控制样条曲线的形状。 B样条与插值样条的关系： 探讨B样条如何用于构造插值样条，以及它们在表达能力上的优势。 4.3. NURBS（Non-Uniform Rational B-Splines） NURBS是B样条的推广，它们是当前计算机图形学和CAD领域中事实上的标准。NURBS引入了有理函数，这使得它们不仅可以表示曲线和曲面，还可以精确表示圆锥曲线（如圆、椭圆、抛物线、双曲线）等。 NURBS的定义： 介绍NURBS的数学形式，包括控制点、节点序列以及权重。 NURBS的优势： 分析NURBS能够表示更多几何形状的能力，以及它们在曲线和曲面设计中的广泛应用。 4.4. 样条函数的性质分析 本书还将深入探讨样条函数的若干重要数学性质： 收敛性： 对于一个给定的连续函数，当节点趋于密集时，插值样条是否会收敛到原函数？我们将分析不同阶数样条的收敛速度。 最佳逼近性质： 在所有满足一定条件的函数空间中，样条函数在逼近过程中能达到怎样的最优性？我们将介绍最佳逼近的概念，以及样条函数在这方面的优势。 平滑性与连续性： 样条函数在节点处的连续性和光滑性是其核心优势，我们将严格证明这些性质，并探讨它们对曲线视觉效果和数值计算精度的影响。 5. 样条函数在逼近论中的应用 样条函数强大的表达能力和高效的计算特性，使其在逼近论的各个分支中都有着广泛而深入的应用。 5.1. 数据插值与拟合 当面临一组离散的数据点时，样条插值是构建平滑连续曲线最常用且最有效的技术之一。 函数插值： 在给定的数据点上精确构建样条函数，以近似未知函数。 数据拟合： 当数据带有噪声时，可以使用最小二乘意义下的样条拟合，以获得比插值更鲁棒的曲线。 计算机辅助设计（CAD）与计算机图形学（CG）： 样条函数，尤其是NURBS，是设计自由曲线和曲面的基本工具，用于工业设计、动画制作、游戏开发等领域。 5.2. 数值分析 样条函数在数值积分、微分方程求解等方面也发挥着重要作用。 数值积分： 使用样条函数来近似被积函数，然后通过对样条函数进行积分来计算定积分的值。 常微分方程（ODE）的数值解： 基于样条函数的数值方法，可以构建高精度、高稳定性的ODE求解器。 偏微分方程（PDE）的数值解： 有限元方法（FEM）是求解PDE的重要数值方法，而样条函数作为有限元方法中的形函数，能够提供高度灵活和精确的解。 5.3. 信号处理与图像处理 在信号与图像领域，样条函数被用于信号的重构、压缩以及滤波。 信号重构： 从采样后的离散信号重构出连续的信号。 图像压缩： 利用样条函数的紧支撑性，可以实现高效的图像压缩。 图像插值与重采样： 在图像缩放、旋转等操作中，样条插值能够获得比双线性或双三次插值更平滑、更自然的视觉效果。 5.4. 机器学习与数据科学 近年来，样条函数在机器学习领域也展现出新的生命力。 核函数： 某些类型的样条函数可以被设计成核函数，用于支持向量机（SVM）等模型。 光滑性约束： 在一些回归模型中，样条函数可以作为正则项，强制模型的输出具有一定的光滑性。 可解释性模型： 样条模型通常比复杂的深度学习模型更容易解释，便于理解数据中的潜在关系。 6. 本书的组织结构与学习方法 本书的组织结构旨在引导读者循序渐进地掌握样条函数与逼近论的核心知识。 第一部分： 聚焦于逼近论的基本概念和传统方法，包括多项式逼近、傅立叶级数等，为理解样条函数的必要性打下基础。 第二部分： 详细介绍各种类型的样条函数，从基础的分段多项式样条到先进的B样条和NURBS。我们将深入探讨它们的构造原理、数学性质以及相互之间的联系。 第三部分： 集中展示样条函数在各种实际问题中的应用，通过具体的算例和讨论，加深读者对理论知识的理解，并激发解决实际问题的灵感。 本书的学习建议是，在掌握基础概念后，积极动手进行计算和编程实践。通过实现一些简单的样条函数插值算法，观察不同参数对样条曲线形状的影响，将有助于加深对理论的理解。同时，鼓励读者阅读相关领域的文献，了解样条函数在最新研究中的进展。 7. 结语 《样条函数与逼近论》旨在为读者提供一个全面、深入且实用的学习平台。我们相信，通过对样条函数及其在逼近论中应用的深入探索，读者将能够更好地理解和解决科学与工程领域中的一系列挑战，并为进一步的理论研究和实践应用打下坚实的基础。样条函数作为连接离散数据与连续模型的重要桥梁，其在当今信息爆炸时代的重要性将愈发凸显。

评分☆☆☆☆☆

（第二段） 这本书的出现，简直就像是为我量身定做的。我是一名工业设计师，日常工作中经常需要处理复杂的自由曲面造型，从汽车的车身线条到家居产品的流畅外形，这些都需要精确且美观的数学描述。传统的CAD软件虽然强大，但其底层数学原理有时对我来说是黑箱操作。而《样条函数与逼近论》这个名字，让我看到了希望。我希望这本书能从最基础的样条概念讲起，比如什么是样条曲线，它的基本构成要素是什么。我特别好奇分段多项式插值是如何演变成更强大的样条函数的，以及其中涉及到的约束条件，例如连续性（C0, C1, C2）和光滑性在造型设计中的重要性。我希望书中能详细介绍各种主流的样条类型，它们的数学定义、性质以及各自的适用范围。例如，三次样条的构造过程，以及它在数据插值中的普适性。再者，我希望它能深入到曲线和曲面的表示方法，如何用一组控制点来定义一条复杂的曲线，以及如何通过调整这些控制点来灵活地修改曲面形态，这对于我的设计迭代至关重要。我也期待书中能有关于样条函数在曲面建模中的应用实例，比如如何构建扫描曲面、放样曲面等，这些都是我工作中经常遇到的挑战。这本书，我期望它不仅是一本理论教材，更是一本实用的设计指南，能帮助我将抽象的数学概念转化为具体的设计实践。

评分☆☆☆☆☆

（第七段） 作为一名对计算科学和算法设计充满热情的研究者，我一直在寻找能够优雅地处理连续数据和曲线的数学框架。《样条函数与逼近论》这个书名，立刻吸引了我的注意。我希望这本书能深入探讨样条函数的核心数学原理，从其基本定义到更复杂的变体，例如B样条、NURBS等。我期待书中能够提供严谨的数学推导，解释样条基函数的性质，以及如何通过组合这些基函数来构建具有特定连续性和光滑性的样条曲线和曲面。书中关于“逼近论”的章节，我希望它能深入到各种逼近理论的比较和应用。我想要了解，样条逼近相比于传统的傅里叶级数或多项式逼近，在计算效率、局部控制性和对函数奇异性的处理方面有何优势。我还在设想，书中是否会讨论误差分析，例如如何估计样条逼近的误差界限，以及如何通过优化节点分布或增加样条次数来达到更精确的逼近效果。我希望这本书能为我提供扎实的理论基础，使我能够自信地在算法设计和性能分析中使用样条函数。

评分☆☆☆☆☆

（第三段） 我一直对数值分析的精妙之处深感着迷，尤其是在函数逼近这一分支。当我们面对一个无法用解析表达式精确表示的函数时，如何用一系列我们熟悉的、易于计算的函数来“接近”它，这是一个充满智慧的挑战。《样条函数与逼近论》这个书名，正是我一直在寻找的宝藏。我希望能在这本书中找到关于各种逼近方法的系统性阐述，而不仅仅是简单列举。我期待它能深入剖析多项式逼近、三角函数逼近（如傅里叶级数）以及样条逼近的数学原理，比较它们的优缺点，例如收敛速度、逼近精度、计算复杂度等方面。特别是样条逼近，我希望书中能详细介绍如何通过选择合适的样条基函数和节点分布，来实现对复杂函数的最佳逼近。书中对于“逼近论”的探讨，我期待它能涵盖诸如最佳逼近（例如切比雪夫逼近）、最小二乘逼近等概念，并解释这些概念在实际应用中的意义。我还在设想，书中是否会讨论误差界限的分析，以及如何通过增加样条的次数或节点数量来提高逼近的精度。我希望这本书能够提供严谨的数学推导，同时又不失清晰易懂的讲解，让我能够真正理解逼近的本质，并能在未来的研究或实践中灵活运用这些理论。

评分☆☆☆☆☆

（第九段） 作为一名人工智能和机器学习的研究者，我深知数据表示和特征提取是多么的关键。在处理连续型数据时，如何有效地捕捉其内在的规律和结构，一直是我关注的重点。《样条函数与逼近论》这个书名，立即引起了我的兴趣。我希望这本书能从样条函数的数学原理出发，解释它们如何在数据插值、平滑和降维等方面发挥作用。我期待书中能够详细介绍不同类型的样条，以及它们在处理高维数据时的适用性。我希望能够理解，为什么样条函数能够在捕捉数据的局部特征的同时，保持整体的平滑性。书中关于“逼近论”的章节，我希望它能与模型拟合和函数近似联系起来。我想要知道，如何利用样条逼近来构建复杂的机器学习模型，或者如何用样条函数来近似那些难以用简单模型表示的目标函数。我还在设想，书中是否会讨论样条函数在生成模型或强化学习中的应用，例如如何用样条来表示策略函数或价值函数。我希望这本书能为我提供一些新的视角，帮助我将样条函数和逼近论的理论更好地应用于人工智能领域的研究。

评分☆☆☆☆☆

（第十段） 我一直对数学在基础科学研究中的应用充满好奇，特别是那些能够描述自然现象本质的数学工具。《样条函数与逼近论》这个书名，让我联想到在统计学、计量经济学等领域中，如何对数据进行平滑处理、趋势分析以及模型的构建。我希望这本书能从最基础的样条概念出发，解释它们如何被用来捕捉数据中的平滑趋势，去除随机噪声。我期待书中能够详细介绍不同类型的样条函数，以及它们在时间序列分析中的应用。我希望能够理解，为什么分段多项式能够如此有效地描述那些具有复杂局部行为的数据。书中对于“逼近论”的探讨，我希望它能与统计模型的选择和拟合联系起来。我想要知道，如何利用样条逼近来构建灵活的回归模型，或者如何评估不同样条模型的拟合优度。我还在设想，书中是否会讨论样条函数在非参数统计中的应用，以及如何通过样条来近似概率密度函数。我希望这本书能用严谨的数学语言和清晰的统计学解释，让我领略到样条函数和逼近论在理解和分析复杂数据中的强大作用。

评分☆☆☆☆☆

（第五段） 我对几何建模的数学基础一直充满好奇，尤其是那些能够描述自由形状的数学工具。在我的学习和工作中，我接触过很多CAD/CAM软件，它们能够生成令人惊叹的复杂曲面，但我总想知道这些曲面背后的数学逻辑。《样条函数与逼近论》这个书名，正是我一直在寻找的答案。我希望这本书能从样条曲线的定义入手，解释它是如何通过一系列控制点来精确地定义一条平滑的曲线。我期待书中能够详细介绍不同类型的样条，例如B样条和NURBS（非均匀有理B样条），以及它们各自的数学特性和在几何建模中的优势。我希望能够理解，为什么NURBS能够表示更广泛的几何形状，包括圆锥曲线等。书中对于“逼近论”的阐述，我希望它能与曲面逼近联系起来。我想要知道，如何利用样条函数来逼近一个已有的、不规则的曲面，或者如何在一个点云数据上构建出光滑的样条曲面。我还在设想，书中是否会讨论曲面的插值和逼近的算法，以及如何评价逼近的质量。我希望这本书能提供清晰的数学公式和图示，让我能够直观地理解样条函数在几何建模中的强大能力，并能将这些知识应用到我的实际建模项目中。

评分☆☆☆☆☆

（第八段） 我一直对物理学中的建模和仿真非常感兴趣，尤其是在处理那些具有复杂边界和变形的物体时。《样条函数与逼近论》这个书名，让我联想到在有限元分析（FEA）和计算流体动力学（CFD）等领域中，网格的生成和形状的描述是多么重要。我希望这本书能从基础的样条概念讲起，解释如何用它们来构造和描述复杂的几何模型。我特别好奇，样条函数是如何被用来生成高质量的有限元网格，以及如何通过调整样条参数来优化网格的形状，以提高仿真计算的精度和效率。书中对于“逼近论”的探讨，我希望它能与数值方法的稳定性联系起来。我想要知道，如何利用样条逼近来近似求解偏微分方程，以及样条函数在数值积分和微分中的作用。我还在设想，书中是否会讨论如何处理动态模拟中的形状变化，例如用样条函数来描述物体在运动过程中的变形。我希望这本书能提供一些工程应用的案例，展示样条函数和逼近论在解决实际物理问题中的强大力量，从而为我的研究提供新的思路。

评分☆☆☆☆☆

（第一段） 我一直对数学中的“连续性”和“光滑性”有着近乎痴迷的探求，尤其是在处理现实世界中那些非线性、不规则的数据时。这本书的标题——《样条函数与逼近论》——立刻抓住了我的目光。我抱着极大的期望，希望能在这本书中找到一种优雅而强大的工具，来描述和近似那些肉眼可见却难以用简单公式捕捉的曲线和曲面。我想象着，通过样条函数，那些点状的、分散的观测值能够被巧妙地连接起来，形成一条平滑、连续且富有表现力的曲线，就像画家用画笔勾勒出事物的轮廓一样。而“逼近论”这个词，则进一步激发了我对如何用有限的、易于处理的函数去模拟无限的、复杂的函数的兴趣。我期待着书中能够深入探讨不同类型的样条函数，比如B样条、NURBS等，它们的数学构造原理，以及它们在数据插值、函数逼近、计算机图形学等领域的具体应用。更重要的是，我希望书中能够解释清楚，为什么样条函数在这些领域如此受欢迎，它们相比于传统的多项式逼近有哪些优势，例如在局部控制性、全局平滑性以及计算效率上的体现。我还在思考，书中是否会涉及样条函数的构建过程，例如如何选择节点、如何确定控制点，以及如何通过调整参数来改变曲线的形状。我设想，这本书会是我打开一扇理解和操纵复杂数据世界大门的钥匙，让我能够更深入地理解现实世界中各种现象的内在规律。

评分☆☆☆☆☆

（第四段） 作为一名在信号处理领域摸爬滚打多年的工程师，我深知信号的采样、重构以及滤波是多么的关键。很多时候，原始信号可能存在噪声，或者采样率不足，这时就需要强大的数学工具来“修复”和“还原”信号。《样条函数与逼近论》这个书名，立刻让我联想到在信号重构和插值中的应用。我希望书中能详细阐述样条函数如何被用于离散信号的点插值，特别是如何构造出连续且光滑的信号表示。我想知道，在信号处理中，哪种类型的样条函数（比如线性、三次样条）最为常用，它们分别有什么优势和局限性。我尤其感兴趣的是，如何利用样条函数来近似连续时间信号，以及如何通过样条插值来提高信号的采样率，或者在低采样率下恢复出高频成分。书中对于“逼近论”的探讨，我期待它能与信号的滤波和去噪联系起来。例如，如何使用某种逼近方法来平滑信号，去除高频噪声，或者如何设计一种逼近滤波器，使其在特定频段内具有良好的性能。我还在思考，书中是否会讨论傅里叶分析与样条逼近的结合，例如在频域中进行信号分析，然后用样条在时域中进行重构。我希望这本书能提供一些具体的信号处理算法，以及它们背后的数学原理，从而帮助我更好地理解和优化我的信号处理流程。

评分☆☆☆☆☆

（第六段） 我一直对数学在艺术和设计中的应用感到惊叹，特别是那些能够捕捉自然界流畅形态的数学工具。《样条函数与逼近论》这个书名，让我联想到很多艺术家和设计师用来创作的软件，它们背后一定隐藏着精妙的数学原理。我希望这本书能从最基础的样条概念开始，解释什么是样条曲线，它如何通过一组控制点来生成平滑且可控的曲线。我期待书中能够详细介绍不同类型的样条函数，比如B样条，以及它们在形状生成上的灵活性。我希望能够理解，为什么这些数学工具能够如此精准地描述那些看似随意的、但又充满韵律的线条。书中对于“逼近论”的探讨，我希望它能与图像处理和图形渲染联系起来。我想要知道，如何利用样条函数来对图像进行边缘检测和轮廓提取，或者如何用样条来生成逼真的纹理和图案。我还在设想，书中是否会讨论如何将三维模型中的曲线和曲面转化为样条表示，以便于在计算机图形学中进行高效的渲染。我希望这本书能用生动有趣的语言和丰富的实例，让我领略到数学之美在视觉艺术中的体现，并激发我将这些数学工具应用到自己的创作实践中。

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