流形上的层（英文版） [Sheaves on Manifolds] pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[日] 柏原正树（Masaki Kashiwara），Pierre Schapira 著

图书标签:

• Sheaves
• Manifolds
• Differential Geometry
• Topology
• Algebraic Geometry
• Mathematics
• Pure Mathematics
• Advanced Mathematics
• Complex Manifolds
• Cohomology

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787510070303

版次：1

商品编码：11419299

包装：平装

外文名称：Sheaves on Manifolds

开本：24开

出版时间：2014-03-01

用纸：胶版纸

页数：512

正文语种：英文

内容简介

　　层论是代数拓扑、代数几何和偏微分方程的交叉形成得一个很现代，很活跃的领域。《流形上的层（英文版）》从层论的基础讲起，强调微局部观点。包括了许多有趣的观点，写作风格清晰明了，将数学的这个全新，庞大的分支展现给读者。

内页插图

目录

Introduction
A Short History: Les Debuts De La Theorie des Faheeaux By Christian Houzel
1. Homologieal Algebra
Summary
1.1. Categories and Functors
1.2. Abelian Categories
1.3. Categories of Complexes
1.4. Mapping Cones
1.5. Triangulated Categories
1.6. Localization of Categories
1.7. Derived Categories
1.8. Derived Functors
1.9. Double Complexes
1.10. Bifunctors
1.11. Ind-Objects And Pro-Objects
1.12. The Mittag-Leffler Condition
Exercises To Chapter I
Notes

Ⅱ.Sheaves
Summary
2.1. Presheaves
2.2. Sheaves
2.3. Operations on Sheaves
2.4. Injective, Flabby and Flat Sheaves
2.5. Sheaves on Locally Compact Spaces
2.6. Cohomology of Sheaves
2.7. Some Vanishing Theorems
2.8. Cohomology of Coverings
2.9. Examples of Sheaves on Real and Complex Manifolds
……
Ⅲ. poincare. verdier duality and fourier-sato transformation
Ⅳ. specialization and microlocalization
Ⅴ. micro-support of sheaves
Ⅵ. micro-support and microlocalization
Ⅶ. contact transformations and pure sheaves
Ⅷ. constructible sheaves
Ⅸ. characteristic cycles
Ⅹ. perverse sheaves
Ⅺ. applications to θ-modules and d-modules

前言/序言

《黎曼几何基础》 作者： [在此处插入作者姓名] 出版社： [在此处插入出版社名称] 出版年份： [在此处插入出版年份] --- 卷首语 数学的殿堂巍峨而深邃，其中几何学无疑是支撑其壮丽景观的基石之一。自古希腊对欧几里得平面几何的系统构建以来，人类对空间、形状和测量的理解经历了数次翻天覆地的变革。然而，直到十九世纪黎曼（Bernhard Riemann）提出其革命性的几何思想，我们才真正开始探究那些不再受限于平坦的、弯曲的空间。 《黎曼几何基础》旨在为读者构建一座坚实的桥梁，连接经典的微分几何概念与现代黎曼几何的深刻洞察。本书并非一本面面俱到的百科全书，而是一次精心策划的探索旅程，专注于那些奠定黎曼几何理论框架的核心概念和工具。我们力求以清晰、严谨且富有几何直觉的方式，引导读者穿梭于切空间、联络、曲率的迷宫，最终领略这些概念在描述物理世界和纯粹数学结构中的强大力量。 本书的编写遵循循序渐进的原则，从对可微流形概念的严格回顾开始，逐步引入测度结构、度量张量，直至发展出黎曼曲率张量。我们深知，理解黎曼几何需要对拓扑学和线性代数有扎实的背景，因此，我们确保对关键工具的引入既是必要的，也是充分的。 --- 第一部分：流形与张量分析的重温与深化 本部分是全书的基石，旨在为后续复杂的几何构造打下牢固的数学基础。我们将超越教科书中对可微流形概念的初次介绍，着重于那些在黎曼几何中至关重要的分析工具。 第一章：可微流形与坐标无关性 我们从光滑流形 $M$ 的定义出发，强调图册（atlas）、坐标系（charts）以及过渡函数（transition maps）的必要性。重点在于理解局部坐标描述如何转化为坐标无关的几何对象。 1.1 向量场与切空间： 详细阐述向量场作为微分算子（或在某点上的切向量的线性组合）的两种等价视角。对任意点 $p in M$，切空间 $T_p M$ 被定义为线性空间，它是所有通过 $p$ 的曲线的切向量的集合，并以 $mathbb{R}^k$ 上的导数概念为参照进行严格定义。 1.2 张量场： 深入探讨张量场的本质。从张量作为多重线性映射的定义出发，我们区分了协变张量（下指标）和反变张量（上指标）。张量代数的操作，如张量积和缩并，将在本章得到详尽的介绍，强调它们在改变坐标系时应保持不变的特性。 1.3 微分形式与外导数： 引入微分 $k$-形式 $Omega^k(M)$，它们是 $T^_p M$ 上的对称（或反对称）多重线性泛函。重点分析楔积（wedge product） $wedge$ 的反对称性及其与张量积的关系。外导数 $d$ 的定义及其核心性质——$d^2=0$——将作为后续积分和拓扑联系的枢纽。 第二章：光滑函数与积分的分析基础 本章关注于在流形上进行分析运算所需的工具。 2.1 嵌入与浸没： 介绍沉浸（Immersion）和内嵌（Embedding）的严格定义，特别是斯托克斯定理（Stokes' Theorem）在流形上的推广形式，它将微分形式的积分与边界上的积分联系起来： $$ int_M domega = int_{partial M} omega $$ 我们还将探讨流形在欧几里得空间中实现的拓扑约束。 2.2 光滑函数的构造： 介绍光滑截断函数（mollifiers）和单位分解（partition of unity）的构造性证明。这些工具对于局部定义全局对象（如黎曼度量）至关重要。 --- 第二部分：黎曼度量与测地线几何 第二部分是本书的核心，引入了度量结构，将拓扑空间提升到具有可度量性质的黎曼流形。 第三章：黎曼流形与度量张量 本章的目标是将“距离”的概念赋予流形。 3.1 黎曼度量 $g$： 黎曼度量被定义为流形上每一点切空间上的一个正定对称二次型，即一个 $(0, 2)$ 协变张量场 $g = {g_{ij}}$. 我们明确了 $g$ 在局部坐标系下的分量 $g_{ij}$。 3.2 上指标张量与度量张量的逆： 定义 $g^{ij}$ 作为 $g_{ij}$ 的逆矩阵，从而得到 $(2, 0)$ 反变张量 $g^{ij}$。这允许我们在切空间和余切空间之间进行“升降指标”的操作。 3.3 长度、角度与体积： 利用度量张量，定义切向量 $mathbf{v}$ 的长度（范数） $||mathbf{v}||^2 = g(mathbf{v}, mathbf{v})$，以及两个向量之间的夹角。引入体积元 $mathrm{dvol}$，其密度由度量张量行列式的平方根决定。 3.4 拉回（Pullback）与度量： 讨论光滑映射 $f: N o M$ 如何将 $M$ 上的黎曼度量“拉回”到 $N$ 上，形成 $f^g$，这是后续比较几何结构的基础。 第四章：联络、平行移动与测地线 在黎曼流形上，我们需要一个机制来比较不同点的切向量，这就是联络（Connection）的概念。 4.1 仿射联络的引入： 仿射联络 $ abla$ 提供了微分运算的推广，允许我们计算协变导数 $ abla_X Y$。重点分析无挠性（Torsion-free）的条件，即 $ abla_X Y - abla_Y X = [X, Y]$。 4.2 黎曼联络（Levi-Civita 联络）： 黎曼几何的核心在于黎曼联络，它是满足两个关键条件的唯一联络： a) 无挠性： $ abla$ 是对称的。 b) 度量兼容性（Metric Compatibility）： $ abla g = 0$，意味着沿任何向量方向的平行移动会保持度量张量不变。 4.3 测地线方程： 基于黎曼联络，我们定义测地线（Geodesics）为“没有加速度”的曲线。对于参数曲线 $gamma(t)$，其测地线方程表现为： $$ frac{d^2 x^k}{d t^2} + Gamma^k_{ij} frac{d x^i}{d t} frac{d x^j}{d t} = 0 $$ 其中 $Gamma^k_{ij}$ 是克里斯托费尔符号（Christoffel Symbols），它们完全由黎曼度量 $g_{ij}$ 的一阶偏导数决定。 4.4 测地线的变分性质： 探讨测地线如何成为两点之间“最短路径”（在小范围内），这通过作用量泛函的变分原理得到严格描述。 --- 第三部分：曲率的几何表达 本部分深入探讨流形弯曲的程度，曲率是黎曼几何中最深刻的特征之一。 第五章：曲率的定义与计算 5.1 曲率的必要性： 解释为什么在弯曲空间中，平行移动一个向量绕闭合回路一周后，向量的方向会发生变化。 5.2 黎曼曲率张量 $R$： 黎曼曲率张量是衡量联络非交换性的四阶张量，它定义为： $$ R(X, Y) Z = abla_X abla_Y Z - abla_Y abla_X Z - abla_{[X, Y]} Z $$ 我们将推导出其在局部坐标系下的分量 $R^i_{jkl}$，该分量完全由度量张量 $g_{ij}$ 的二阶偏导数决定。 5.3 曲率的代数性质： 分析黎曼曲率张量满足的四个关键代数恒等式，特别是第一布安基恒等式（First Bianchi Identity），这些恒等式是几何结构自洽性的体现。 5.4 截面曲率（Sectional Curvature）： 引入截面曲率 $K(Pi)$，它是在流形上任意一个二维平面 $Pi$ 上的纯量，是衡量该平面内测地线汇聚或发散程度的局部不变量。 第六章：曲率的积分不变量 本章将曲率张量与拓扑学联系起来，展示曲率如何“编码”流形的全局结构。 6.1 里奇张量（Ricci Tensor）： 里奇张量 $Ric$ 是黎曼曲率张量的缩并： $R_{jk} = R^i_{jik}$。它是一个 $(0, 2)$ 张量，揭示了流形在特定方向上的平均曲率。 6.2 标量曲率（Scalar Curvature）： 标量曲率 $S$ 是里奇张量的缩并： $S = g^{jk} R_{jk}$。它是一个全局函数，代表了流形在每一点上的平均弯曲度。 6.3 高斯-邦内特定理（Gauss-Bonnet Theorem）： 对于二维流形（曲面），本定理展示了其拓扑性质（如欧拉示性数 $chi$）与截面曲率的积分之间的惊人联系： $$ int_M K , mathrm{dvol} = 2pi chi(M) $$ 本书将此定理作为连接微分几何和拓扑学的典范范例，并简要讨论了其在高维流形上的推广（如陈-莱姆杰理论的先驱思想）。 --- 结语 《黎曼几何基础》致力于提供一个坚实且可操作的框架，使读者能够独立地运用黎曼几何的工具来解决问题。本书的结构设计确保了从最基本的局部结构到最深刻的全局不变量的平滑过渡。完成本书的学习后，读者将对弯曲空间中的长度、角度、最短路径和曲率有深刻的理解，并为进一步深入研究广义相对论、规范场论或现代拓扑学打下不可动摇的基础。

评分☆☆☆☆☆

翻开《流形上的层》，一股扑面而来的学术气息让我有些敬畏，但更多的是好奇。我并非科班出身，但对数学，尤其是几何与拓扑领域有着浓厚的兴趣。这本书的标题本身就激发了我极大的探索欲。“流形”这个词，总是让我联想到那些精美而复杂的几何形态，而“层”则似乎是一种更抽象、更普遍的数学结构。我迫不及待地想知道，作者是如何将这两种概念巧妙地结合起来，构建出如此宏大的理论框架。从目录上看，书中涉及的数学工具似乎相当深奥，但我相信，作者定然会以一种循序渐进、引导性的方式来呈现这些内容。我尤其期待书中关于层在解决几何问题上的应用，比如如何用层同调来研究流形的各种不变量，或者如何利用它们来理解函数空间的结构。这本书对我来说，不仅仅是一本技术性的参考书，更像是一次精神上的冒险，一次对数学边界的探索。我希望通过阅读它，能够获得一种全新的视角，去审视那些看似寻常却又蕴含无限奥秘的数学世界。

评分☆☆☆☆☆

拿到《流形上的层》这本书，我的第一感觉就是它的重量——不仅仅是物理上的，更是它所承载的数学分量的重量。我一直认为，要真正理解一个复杂的数学对象，除了对其进行直观的几何描述，还需要一套抽象而精妙的代数工具来对其进行刻画和分析。流形，作为现代几何学中最核心的概念之一，本身就具有丰富的内涵，而“层”则似乎提供了一种更加精细化的视角来审视这些流形。我希望通过阅读这本书，能够深入理解层理论是如何被构建起来的，以及它在流形上的应用是如何工作的。我期待书中能够清晰地阐述诸如“截面”、“粘合”、“同调”等概念，并展示它们是如何协同作用，从而揭示流形的深刻性质。虽然我知道这会是一段充满挑战的阅读旅程，但我相信，最终我将能够从中获得一种对数学本体的更深刻理解，以及一套全新的解决问题的思路。

评分☆☆☆☆☆

我购买《流形上的层》是因为一次偶然的学术会议上的讨论。当时，几位顶尖的数学家在探讨某个前沿课题时，频繁地提及了“层”在解决某些棘手问题上的关键作用。这激起了我强烈的好奇心，于是我便将这本书列入了我的必读清单。我并非专门研究流形或层理论的学者，但作为一名对数学抱有广泛兴趣的研究者，我深知掌握这些基础而强大的理论工具对于拓展研究视野的重要性。我期待这本书能够帮助我理解层理论是如何构建的，以及它与流形这一几何对象的内在联系。我尤其感兴趣的是，层理论是否能够为我理解那些在微分几何、代数拓扑甚至广义相对论等领域中出现的复杂结构提供新的视角和方法。我预感这本书的阅读过程不会轻松，但我相信，它所带来的洞察力将是无价的。

评分☆☆☆☆☆

对于我这样一个在数学领域摸索多年的学生来说，《流形上的层》宛如一座知识的宝库，静待我去挖掘。我曾经在学习微分几何时，对流形的概念有过初步的接触，但总觉得缺少了某种能够“刻画”和“理解”流形局部性质的工具。而“层”这个概念，仿佛正是填补了这一空白。我了解到，层理论在代数几何、拓扑学等诸多领域都扮演着至关重要的角色，而将它应用于流形，无疑为我们理解这些光滑空间提供了更为强大的武器。我尤其对书中关于“层论”与“同调论”相结合的部分充满期待，这预示着我们将能够借助代数工具来研究几何对象的深刻性质。我相信，这本书的作者一定是一位在这方面有着深刻造诣的大家，他能够将如此抽象而复杂的理论，以一种清晰而有逻辑的方式呈现出来。即使我对书中部分内容还需要反复咀嚼，但我坚信，这本书将为我打开一扇通往更高级数学世界的大门，让我对数学的理解达到一个新的高度。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计就充满了哲学意味，那抽象的几何图形和深邃的蓝色调，仿佛在暗示着内容将是怎样一种遨游于数学宇宙的旅程。拿到《流形上的层》时，我感觉就像拿到了一把开启某个全新理解大门的钥匙。虽然我还没有真正深入到书中的每一个定理和证明，但光是目录的浏览，就足以让我感受到那种严谨而又充满创造力的学术氛围。那些诸如“概形”、“谱序列”、“同调论”之类的词汇，虽然对我而言 still somewhat daunting，但它们背后蕴含的深刻思想，以及作者是如何将它们与“流形”这个直观的几何对象联系起来，这本身就极具吸引力。我特别期待书中关于层理论在拓扑空间和微分流形上的具体应用，想象着如何用这些抽象的工具来描绘和理解那些光滑、弯曲的空间。我相信，这本书不仅会为我提供一套全新的数学语言，更会重塑我对几何学和拓扑学的理解方式。即使最终我只能理解其中的一部分，那也足以让我受益匪浅，开启对更广阔数学世界的探索。

评分☆☆☆☆☆

4 The Integrals of Lebesgue, Denjoy, Perron, and Henstock, Russell A. Gordon (1994, ISBN 978-0-8218-3805-1)

评分☆☆☆☆☆

从局部看,微分流形与欧氏空间中某个开集同胚,因此流形上的局部分析与欧氏空间开集上的经典分析相仿。这样，所谓流形上的分析主要是指大范围分析与整体分析。这时也会呈现出与欧氏空间开集上的分析相同的现象。例如关于流形上的分析 - jl-wu - 我的博客流形上的分析 - jl-wu - 我的博客映射的萨德定理和可微函数的惠特尼开拓定理，以及斯托克斯定理等，但更受到注意的是由流形的拓扑结构、微分结构、复结构等给分析带来的影响。

评分☆☆☆☆☆

2 Combinatorial Rigidity, Jack Graver, Brigitte Servatius, Herman Servatius (1993, ISBN 978-0-8218-3801-3)

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非常好非常好非常好非常好

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质量不错,内容棒棒大，

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本书的英文版是斯普林格2002年出版的，也是一本经典著作了。层论是当前很活跃的前沿领域，研究代数几何，代数拓扑相关。本书从层论的基础开始，自给自足，材料丰富。本书强调微局部观点

评分☆☆☆☆☆

非常不错

评分☆☆☆☆☆

从局部看,微分流形与欧氏空间中某个开集同胚,因此流形上的局部分析与欧氏空间开集上的经典分析相仿。这样，所谓流形上的分析主要是指大范围分析与整体分析。这时也会呈现出与欧氏空间开集上的分析相同的现象。例如关于流形上的分析 - jl-wu - 我的博客流形上的分析 - jl-wu - 我的博客映射的萨德定理和可微函数的惠特尼开拓定理，以及斯托克斯定理等，但更受到注意的是由流形的拓扑结构、微分结构、复结构等给分析带来的影响。