高等代数：全程学习指导与习题精解（北大第四版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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毛磊，寇冰煜，滕兴虎 著

图书标签:

• 高等代数
• 北大第四版
• 数学教材
• 大学教材
• 线性代数
• 抽象代数
• 学习指导
• 习题解答
• 考研数学
• 数学辅导

出版社： 东南大学出版社

ISBN：9787564151867

版次：1

商品编码：11566951

包装：平装

开本：32开

出版时间：2014-10-01

用纸：胶版纸

页数：505

正文语种：中文

内容简介

　　《高等代数：全程学习指导与习题精解（北大第四版）》由以下几部分组成：
　　1.基本要求、重点与难点：列出相应各章的基本要求、重点、难点内容，以帮助读者总体把握本章内容。
　　2.主要概念与公式：列出各章的基本概念、定理与公式，突出必须掌握和理解的核心内容。
　　3.典型例题分析：精选历年各院校研究生入学考试试题中具有代表性的试题进行了详细的解答，这些例题涉及内容广、题型多、技巧性强，可以使广大同学举一反三、触类旁通，开拓解题思路，更好地掌握高等代数的基本内容和解题方法。
　　4.课后习题全解：教材中课后习题数量大、层次多，许多基础性问题从多个角度帮助理解基本概念和基本理论，锤炼读者基本的解题方法，许多层次较高的问题有助于广大读者进一步的提高和应用，不少问题具有独特的解题思路和方法。针对以上两点，我们对教材课后全部习题给出了详细的解答，出于高等代数解题方法千变万化，大多数习题我们只给出了一种参考解答，其他方法留给读者自己去思考。

目录

第一章 多项式
基本要求、重点与难点
主要概念与公式
典型例题分析
课后习题全解

第二章 行列式
基本要求、重点与难点
主要概念与公式
典型例题分析
课后习题全解

第三章 线性方程组
基本要求、重点与难点
主要概念与公式
典型例题分析
课后习题全解

第四章 矩阵
基本要求、重点与难点
主要概念与公式
典型例题分析
课后习题全解

第五章 二次型
基本要求、重点与难点
主要概念与公式
典型例题分析
课后习题全解

第六章 线性空间
基本要求、重点与难点
主要概念与公式
典型例题分析
课后习题全解

第七章 线性变换
基本要求、重点与难点
主要概念与公式
典型例题分析
课后习题全解

第八章 矩阵
基本要求、重点与难点
主要概念与公式
典型例题分析
课后习题全解

第九章 欧几里得空间
基本要求、重点与难点
主要概念与公式
典型例题分析
课后习题全解

第十章 双线性函数与辛空间
基本要求、重点与难点
主要概念与公式
典型例题分析
课后习题全解
总习题
总习题全解

前言/序言

深入解析《线性代数：理论、应用与方法》 面向对象： 本书旨在为高等院校数学、物理、工程技术、计算机科学及经济管理等相关专业的本科生及研究生提供一套全面、深入且实用的线性代数学习资源。特别适合希望系统掌握线性代数基础理论、提升抽象思维能力、并渴望了解其在实际问题中应用的读者。 --- 第一部分：基础理论的夯实与深化 第一章 向量空间与线性变换的结构 本章从向量空间的基本定义出发，详细阐述了子空间、线性相关性、基与维数的概念。我们不满足于对定义和定理的简单罗列，而是通过大量的几何直观和算例，帮助读者建立起对抽象向量空间的感性认识。重点讨论了子空间之间的运算（和、交），以及直和的判定条件。 随后，章节深入到线性变换（或称线性映射）的性质。我们详尽剖析了核（Kernel）与像（Image）的概念，证明了秩-零度定理（Rank-Nullity Theorem）的普适性，并展示了如何通过矩阵表示来研究线性变换的代数特性。本章的难点在于理解抽象空间中的结构保持映射，我们通过对比有限维与无限维空间中线性变换的侧重点，为后续的特征值理论做铺垫。 第二章 矩阵的分解与运算的本质 矩阵作为线性变换的实现工具，在本章中被赋予了更深层次的理解。我们不仅复习了矩阵的乘法、转置和逆，更聚焦于矩阵的等价性、相似性与合同性。 初等行变换与矩阵的秩： 本章详述了初等行变换如何保持行空间和列空间的关系，并以此为基础，构建了计算矩阵秩的稳健方法。我们探讨了秩的几何意义及其在方程组解的存在性与解的结构确定中的核心作用。 矩阵的行列式： 行列式的定义及其性质（莱布尼茨公式、代数余子式展开）被细致推导。着重分析了行列式的几何意义——体积的伸缩因子，并证明了 $det(AB) = det(A)det(B)$。行列式的计算技巧，如利用初等变换化为上（下）三角矩阵，在本章中有大量的实例演示。 第三章 线性方程组的理论解法 本章是线性代数理论与工程实践结合最紧密的部分。我们遵循“理论先行，算法为辅”的原则。 首先，基于向量空间的基和线性无关性的概念，我们给出了线性方程组 $Ax=b$ 有解的充要条件（即 $b$ 属于列空间的充要条件）。随后，详细介绍了高斯-约旦消元法，并严格证明了该算法的正确性和终止性。我们区分了齐次方程组与非齐次方程组的解的结构：齐次解空间（零空间）与特解。本章特别强调了数值稳定性的初步概念，并对病态矩阵对求解精度可能造成的影响进行了定性讨论。 --- 第二部分：结构分析与特征值的深入探索 第四章 对角化、特征值与特征向量 特征值问题是理解线性动力学系统、稳定性分析和降维技术的基础。本章从代数角度定义了特征值和特征向量，并推导了它们满足的特征方程。 对角化理论： 我们详细讨论了矩阵可对角化的充要条件——特征子空间维数之和等于矩阵的阶数。对于非对角化的情况，本章引入了若尔当标准型（Jordan Canonical Form, JCF） 的概念。JCF的构造过程是本章的难点与重点，我们通过系统地构造广义特征向量链，详细展示了如何将任意方阵转化为最简的“准对角”形式，这对于研究线性微分方程的解的稳定性至关重要。 矩阵函数与谱理论基础： 基于对角化，我们引申出矩阵指数、矩阵对数等函数的定义，并初步探讨了谱理论（Spectral Theory）的雏形，为后续学习泛函分析打下基础。 第五章 内积空间与正交性 本章将线性代数从纯粹的“域”上的代数结构扩展到具有度量和角度概念的空间，即内积空间。 度量结构： 详述了内积的定义、范数、长度和角度的确定。重点关注欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 和复向量空间 $mathbb{C}^n$ 上的标准内积。 正交基与投影： 格拉姆-施密特（Gram-Schmidt）正交化过程被详细分解，并严格证明了其有效性。我们利用正交投影定理，解决了在子空间中寻找“最近点”的问题，这在最小二乘法（Least Squares）中有着直接应用。 正交矩阵与酉矩阵： 对正交矩阵（保持长度和角度的变换）的性质进行了深入分析，它们是旋转、反射等刚体运动的数学模型。 第六章 对称矩阵与二次型 这是连接几何和代数的关键章节。 谱定理（Spectral Theorem）： 对于实对称矩阵，我们证明了其特征值必为实数，且存在一组正交特征向量作为基。谱定理的证明不仅强化了正交性的应用，也揭示了对称矩阵在几何上的特殊地位。 二次型与主轴定理： 二次型 $f(mathbf{x}) = mathbf{x}^T A mathbf{x}$ 被引入，其矩阵 $A$ 总是可以被假定为对称的。主轴定理表明，通过一个正交变换，可以将二次型化为最简形式，即所有交叉项消失，只剩下平方项。我们通过分析这些化简后的系数（即特征值），对二次型的正定性、半正定性进行了分类，这直接对应于多元函数极值、二次曲面的分类等几何问题。 --- 第三部分：应用导向与进阶主题 第七章 矩阵分解与数值稳定性 本章聚焦于工程和计算科学中实际应用的矩阵分解技术，这些分解方法在数值计算中至关重要。 LU分解： 详细讲解了如何通过初等矩阵将矩阵分解为下三角矩阵 $L$ 和上三角矩阵 $U$，这是高效求解大规模线性方程组的关键技术。本节讨论了 $LUP$ 分解在处理行交换时的必要性。 QR分解： 利用正交投影和格拉姆-施密特过程，我们推导了矩阵 $A=QR$ 的分解，其中 $Q$ 是正交矩阵，$R$ 是上三角矩阵。QR分解因其出色的数值稳定性，被广泛应用于最小二乘问题的求解以及QR算法中。 奇异值分解（Singular Value Decomposition, SVD）： SVD被誉为矩阵分解的“终极形式”。我们证明了任意 $m imes n$ 矩阵 $A$ 都可以分解为 $A = U Sigma V^T$，其中 $U$ 和 $V$ 是正交矩阵，$Sigma$ 是包含奇异值的对角矩阵。SVD在数据压缩（如图像处理）、主成分分析（PCA）和伪逆（Pseudo-inverse）的计算中展现了无可替代的威力。 第八章 广义逆与最小二乘问题 本章专门解决“无解”或“解不唯一”的系统。 最小二乘解： 在内积空间中，我们证明了最小二乘解 $hat{x}$ 是指误差向量 $b - Ahat{x}$ 与列空间正交的向量。我们利用正规方程组 $A^T A hat{x} = A^T b$ 的求解来获得最小二乘解，并进一步展示了SVD在求解最小范数最小二乘解中的优越性。 摩尔-彭若斯（Moore-Penrose）伪逆： 伪逆是矩阵逆概念在任意矩阵上的推广。我们通过分析SVD构造了伪逆矩阵 $A^+$，并验证了其四条定义性质，展示了它如何作为求解广义线性系统的工具。 第九章 线性代数在现代科学中的应用综述（选读） 本章提供了一系列高阶应用的简要概述，激发读者的进一步研究兴趣： 迭代法基础： 简要介绍了雅可比（Jacobi）和高斯-赛德尔（Gauss-Seidel）迭代法在求解大型稀疏线性系统中的原理和收敛性分析的初步概念。 图论与矩阵： 介绍邻接矩阵、拉普拉斯矩阵及其在网络分析和图的连通性判断中的应用。 信息论与编码： 线性代数在有限域上的运算如何构建出信息编码（如循环码）的理论基础。 --- 本书特色与教学理念 1. 理论的严谨性与计算的有效性并重： 本书力求在证明的完整性与计算方法的易操作性之间找到最佳平衡点。所有核心定理均提供清晰的逻辑推导，同时配备了大量细致的数值算例，确保读者能够将抽象概念转化为可执行的步骤。 2. 几何直观的贯穿： 从向量空间的基到矩阵的变换，再到二次型的曲面，本书始终强调几何解释。通过二维和三维的直观模型，辅助理解高维空间中的操作。 3. 强调结构而非孤立知识点： 本书将线性代数视为一个整体结构，例如，通过特征值理论统一了对角化、相似变换和二次型的分析；通过内积空间统一了投影、正交性和最小二乘。 4. 习题体系的层次化： 书中包含数百道习题，难度梯度清晰，从基础概念的检验（Type A），到复杂定理的综合应用（Type B），再到需要独立思考和创新结合的开放性问题（Type C），以全面考察学习效果。 通过学习本书，读者不仅将掌握一套强大的代数工具，更将培养出进行严格的逻辑推理和清晰的抽象建模的能力，这是未来所有科学与工程研究的基石。

评分☆☆☆☆☆

我对这本书的期待，更多地来自于它“全程学习指导”这四个字。在学习高等代数这样一门逻辑性极强的学科时，很多时候我们需要的不仅仅是知识点的罗列，更需要一种循序渐进的引导，帮助我们理解概念的产生背景，洞察其内在的深刻含义。我相信这本书的指导部分，会从宏观和微观两个层面，为我们勾勒出学习的路径。宏观上，它可能会为我们梳理整体的知识框架，让我们对高等代数有一个全局的认识；微观上，它又会针对每一个抽象的概念，给出深入浅出的解释，甚至可能会引入一些历史背景或者直观的例子，来帮助我们建立起对这些概念的感知。另外，“习题精解”的部分，我希望它能覆盖不同难度和类型的题目，并且在解析中体现出严谨的数学逻辑，而不是简单的计算过程。我期待它能教会我如何分析问题，如何选择合适的工具，如何进行规范的推导，最终形成一套自己有效的解题方法。

评分☆☆☆☆☆

作为一名正在为考研奋斗的学生，高等代数是必不可少的一门硬骨头。之前也尝试过一些参考书，但总觉得不够“对味”。这本《高等代数：全程学习指导与习题精解》（北大第四版）我觊觎已久，听说它是由北大名师编写，质量肯定有保证。我尤其看重的是“全程学习指导”的环节，它能否帮助我梳理出学习的重点和难点，并且提供一些高效的学习方法？高等代数的知识点非常多，而且相互关联，如果不能建立起一个完整的知识体系，很容易顾此失彼。我希望这本书能够提供一个清晰的知识框架，让我能够系统地掌握每个章节的内容，并且知道它们之间是如何联系起来的。同时，作为一本“精解”，我更期待它在解析习题时，不仅仅给出答案，更能解释清楚解题的思路和技巧，帮助我举一反三，触类旁通。毕竟，考研数学考察的不仅仅是知识的记忆，更是能力的运用。

评分☆☆☆☆☆

接触高等代数以来，最大的感受就是它所构建的那个抽象的数学世界，虽然精妙绝伦，但初学者常常会感到望而却步。这本书的出现，似乎正是为了弥合这一鸿沟。《高等代数：全程学习指导与习题精解》（北大第四版）的“学习指导”部分，我推测会是对教材内容的一种“再加工”，它不会简单地重复教材的表述，而是会用更贴近学生理解的方式，去阐释那些晦涩难懂的概念。比如，它可能会解释向量空间为何如此重要，线性变换的几何意义又是什么，这些概念在数学发展史上的地位如何等等。而“习题精解”，我期望它能成为我攻克难题的利器。我希望它在解析题目时，能够详细地剖析题意，识别出题目的关键信息，然后有条不紊地将相关理论知识与题目联系起来。它应该能够指出我可能出现的思维误区，并且提供一些解决问题的“秘诀”或者“技巧”。总而言之，我希望这本书能成为我学习高等代数过程中，一位既能指点迷津，又能循循善诱的良师益友。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本书，首先被它厚实的体量所震撼，厚厚一本，封面设计简洁大气，但又透露出一股沉甸甸的学术气息。翻开第一页，一股淡淡的油墨香扑鼻而来，这种感觉是电子书永远无法替代的。我之前也涉猎过一些高等代数相关的资料，但总觉得碎片化，缺乏系统性。这本《全程学习指导与习题精解》的出现，仿佛为我点亮了一盏明灯。从目录的编排来看，就觉得非常用心，每一章的知识点都梳理得井井有条，并且有清晰的学习脉络。特别是“全程学习指导”这部分，我非常期待它能提供不同于传统教材的视角，比如它会怎么强调某个概念的重要性，或者在某个难点上给出什么独到的理解方法。毕竟，高等代数这门学科，概念抽象，逻辑严谨，光靠死记硬背是远远不够的，真正理解其内在的逻辑和思想才是关键。我特别关注它对于一些经典定理的证明思路讲解，是否能帮助我建立起更深刻的认识，而不是仅仅停留在公式的推导上。

评分☆☆☆☆☆

说实话，学习高等代数对我来说一直是个不小的挑战。很多抽象的概念，像向量空间、线性变换、特征值等等，初次接触时都感觉云里雾里。这本《全程学习指导与习题精解》（北大第四版）的出版，简直是我等“小白”的福音。我最看重的是它“习题精解”的部分，因为我总是在做题时卡壳，明明理解了概念，但一遇到题目就不知道如何下手，或者思路跑偏。这本书的详细解析，我相信能给我提供一个清晰的解题思路，让我明白每一步的逻辑依据，以及如何从题目条件出发，联系所学知识，最终找到正确的答案。不仅仅是答案本身，更重要的是它如何一步步地引导我思考，培养我的解题能力。有时候，一道题的解析比几十道题的练习更能启发我的思维。我希望能通过这本书，不仅掌握高等代数的知识点，更能学会如何灵活运用这些知识去解决实际问题，提升自己的数学素养。

评分☆☆☆☆☆

快递哥还是挺不错的额，书也没问题

评分☆☆☆☆☆

快递哥还是挺不错的额，书也没问题

评分☆☆☆☆☆

很好，不错，快递也很给力。

评分☆☆☆☆☆

不错哦

评分☆☆☆☆☆

速度慢哭了，貌似高代挺缺货的

评分☆☆☆☆☆

质量不错！适合初学，复习使用！

评分☆☆☆☆☆

高等代数：全程学习指导与习题精解（北大第四版）》由以下几部分组成：

评分☆☆☆☆☆

书是旧的。刚送来就是折的，还特脏。

评分☆☆☆☆☆

不错，满意