光滑流形导论（第2版） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

[美] John M.Lee（J.M.李） 著

图书标签:

• 微分几何
• 流形
• 拓扑
• 数学
• 高等教育
• 光滑流形
• 几何学
• 数学分析
• 代数拓扑
• 微分流形

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787510098833

版次：2

商品编码：11927214

包装：平装

开本：16开

出版时间：2016-05-01

用纸：胶版纸

内容简介

　　该书是一本关于光滑流形理论的导论性研究生教材，旨在让学生们熟悉掌握将流形用在数学和科研工作中需要的工具，比如光滑结构、切向量和余向量、向量丛、陷入和嵌入的子流形、张量、微分形式、de Rham上同调、向量场、流量、叶状结构、李导数、李群、李代数等。充分利用现代数学提供的强大的工具的同时，书中采用尽可能具体的研究方法, 选取了各种图像，并对用几何思维考虑抽象概念进行了直观的讨论。

作者简介

　　John M. Lee（J.M.李,美国），是国际知名学者，在数学界享有盛誉。本书凝聚了作者多年科研和教学成果，适用于科研工作者、高校教师和研究生。

前言/序言

跨越经典与现代的数学前沿：一部关于拓扑学与几何学的深度探索 本书旨在为读者构建一座坚实的桥梁，连接纯粹的拓扑学概念与具体的微分几何结构。它摒弃了传统教材中往往将这两大领域割裂的叙述方式，取而代之的是一种有机、互文的视角。全书的叙事核心围绕着空间的“平滑性”这一核心命题展开，探讨如何用代数和分析的工具来精确地描述和量化这种平滑性，并追溯其在更宏大数学图景中的意义。 全书的架构分为四大板块，循序渐进地引导读者深入到现代几何学的腹地。 第一部分：拓扑基础的重构与几何化（Foundations Reimagined） 本部分着重于对点集拓扑进行一次具有几何直觉的梳理。我们不再将拓扑空间仅仅视为集合上的一组“开集”，而是将其视为对“邻近性”和“连续形变”的抽象。 关键议题的深度剖析： 1. 连续性与形变的不变性： 详细论述了连续函数如何保持拓扑结构的内在属性。着重介绍了同胚（Homeomorphism）的概念，将其置于“可拉伸而不撕裂”的直观理解之下，并引入了同伦（Homotopy）作为衡量两个连续映射之间差异的更精细工具。我们通过大量的例子，如咖啡杯与甜甜圈的拓扑等价性，来具体阐释这些抽象概念的几何内涵。 2. 紧致性与完备性的几何意义： 紧致性被解读为“有限的可覆盖性”，它在几何分析中起到了类似边界控制的作用。完备性则关乎序列的收敛性，这为后续引入分析工具（如极限和积分）奠定了必要的基础。此处特别探讨了波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理在 $mathbb{R}^n$ 上的几何意义。 3. 连通性的分层分析： 除了基础的路径连通性，本书详细探讨了基本群（Fundamental Group）。基本群被视为描述空间中“洞”的代数不变量。通过计算圆周 $S^1$ 和二维球面 $S^2$ 的基本群，读者可以直观地体会到代数工具如何精确地捕捉拓扑空间的内在拓扑结构。 第二部分：向量丛与纤维化的结构（The Language of Fields） 当空间具备了局部“线性”的结构时，研究的焦点便从整体拓扑转移到了局部结构的堆叠。本部分是连接拓扑与分析的关键枢纽。 核心概念的构建： 1. 向量丛的定义与构造： 向量丛被定义为“在拓扑空间中的每一点上附加了一个向量空间”，形成一个“纤维空间”。本书的特色在于，从直积、投影和局部平凡化的构造过程入手，清晰展示了非平凡向量丛（如莫比乌斯带，以及更普遍的张量积的构造）的生成机制。 2. 截面与向量场： 向量丛上的截面被直接解释为“向量场”——即在空间每一点赋予一个方向或速度的物理或几何对象。我们详细分析了光滑截面的性质，并引入了分类空间的概念，预示了K理论的出现。 3. 关键的拓扑不变量： 本部分深入讨论了陈类（Chern Classes）。陈类被精确地构建为描述向量丛“弯曲程度”的拓扑不变量。通过与欧拉示性数的联系，读者将看到如何从一个二维（或更高维）流形上的向量场，推导出与其拓扑性质紧密相关的整数不变量。 第三部分：微分结构的引入与张量分析（The Realm of Calculus on Manifolds） 本部分是实现“光滑”这一要求的核心。我们将分析的工具（导数、积分）推广到曲面和更高维的空间上，这需要精确地定义流形（Manifold）。 从局部到整体的过渡： 1. 流形的严格定义与坐标卡： 流形被定义为局部看起来像欧几里得空间的拓扑空间，关键在于光滑的坐标变换（Diffeomorphism）。本书花费大量篇幅，细致讲解了开集、图集（Atlas）和转移函数的性质，强调了在局部使用微积分的合法性。 2. 张量场的代数与分析： 协变向量（1-形式）、反变向量（切向量）以及更一般的张量场，被系统地引入。张量被视为一种多重线性函数，用于衡量空间在不同方向上的“形变”或“梯度”。我们引入了指标约定（Index Notation），但这仅作为计算工具，核心仍是张量作为自然对象（即在坐标变换下具有特定行为的函数）的几何本质。 3. 微分形式与德拉姆上同调： 本部分的高潮在于微分形式（Differential Forms）的引入。微分 $k$-形式被定义为光滑的反对称 $k$ 阶协变张量。我们构造了外导数 $d$，并证明了其满足 $d^2=0$ 的基本代数性质。这直接导出了德拉姆上同调群 $H^k_{dR}(M)$ 的构造，该群衡量了“闭形式”对“恰当形式”的“缺口”。 第四部分：积分、度量与几何的联系（Integration, Curvature, and Geometry） 最后一部分将分析工具（积分）和度量结构（距离与角度）集成到流形上，从而揭示几何的深层结构。 几何洞察的实现： 1. 流形上的积分： 在光滑流形上定义积分需要定向性。我们利用微分形式的体积形式（最高阶微分形式）来定义斯托克斯定理（Stokes’ Theorem）的推广形式。这个统一的定理，将微积分基本定理、格林公式和高斯散度定理等经典结果整合于一个简洁的框架下，展现了数学的普适性。 2. 黎曼度量与曲率： 为了谈论“距离”和“弯曲”，引入了黎曼度量——一个光滑的正定对称（0,2）张量。度量的存在使得我们能够定义切向量的长度和夹角。基于度量，我们导出了列维-奇维塔联络（Levi-Civita Connection），该联络确保了“平行移动”的良定性。最终，我们定义了黎曼曲率张量，它量化了空间中“平行移动一条向量一周后，该向量偏离初始方向的程度”，这是纯粹的几何对象。 3. 联络与主纤维丛的初步展望： 最后，本书简要地将视野扩展到主丛和更一般的联络概念。这为读者理解规范场论和现代微分几何的更深层结构提供了必要的概念铺垫，指明了进一步研究的方向。 全书的叙事风格力求严谨而不失启发性，大量的例题和思考题旨在强化读者的直觉，并鼓励他们将代数工具应用于具体的几何问题之中。它不是简单地介绍概念，而是构建一套完整的、从基础拓扑到曲率几何的思维体系。

评分☆☆☆☆☆

我一直对数学中那种“简洁而强大”的美学感到着迷，而“光滑流形”这个词汇就完美地体现了这一点。我希望这本书能够引领我进入一个由“光滑”的几何对象构建的宇宙，在那里，任何一个点都可以被看作是处在“正常”的欧几里得空间中的一部分，但这些部分又以一种优雅的方式连接在一起，形成了一个整体。我希望作者能够让我感受到数学家们如何通过抽象和构造，来捕捉和描述这些具有无限细节和美感的空间。我期待书中能够包含一些历史发展的脉络，让我了解光滑流形理论是如何一步步发展起来的，以及它解决了哪些经典数学问题。我特别好奇关于“分类”和“性质”的章节，我想知道数学家们是如何对如此多样的流形进行分类，以及它们有哪些共同的、令人惊叹的性质。我希望这本书能够激发我对数学理论的求知欲，并让我看到，数学不仅仅是冰冷的符号，更是对宇宙本质的一种深刻理解。

评分☆☆☆☆☆

这本书的名字我已经在好几本数学专著的参考文献里看到过，这让我觉得它一定是一本在这个领域具有重要地位的著作。我是一名研究生，正在进行与几何分析相关的课题研究，而光滑流形是这个领域必不可少的基础。我希望这本书能够为我提供严谨的定义和清晰的证明，帮助我理解那些关于黎曼流形、联络、曲率等核心概念。我尤其期待书中能够有详细的例子，能够展示如何具体地构建和分析一些常见的流形，比如球面、环面等等。我希望作者能够提供一些关于流形上微分算子和泛函的讨论，因为这与我的研究方向息息相关。我已经做好了迎接挑战的准备，知道光滑流形理论的抽象性和严谨性，但我相信这本书能够成为我攻克难关的有力助手。我希望它能够帮助我建立起对光滑流形理论的深刻理解，从而能够更自信地进行我的学术研究。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计我一眼就喜欢上了，那种简洁而优雅的风格，让我对内容充满了期待。拿到手后，纸张的质感也相当不错，翻阅起来很舒服，没有廉价感。我一直对数学中的抽象概念很感兴趣，而“光滑流形”这个名字本身就带有一种神秘而迷人的吸引力，仿佛预示着一场关于空间和结构的奇妙探索。我希望这本书能够以一种清晰易懂的方式，引领我进入这个迷人的数学领域，让我能够理解那些复杂而优美的几何概念。我特别期待作者能够用生动的语言和贴切的比喻来解释那些抽象的定义和定理，而不是枯燥乏味的符号堆砌。作为一名初学者，我深知自己在这方面的知识储备还很有限，所以，我希望这本书能够为我打下坚实的基础，让我能够逐步深入，领略光滑流形理论的精髓。我甚至已经想象到了，在未来的某个时刻，我能够用这本书里学到的知识去理解一些更高级的数学理论，甚至去探索一些前沿的物理学问题。总而言之，这本书不仅仅是一本学习资料，更像是一扇通往新世界的大门，充满了未知的惊喜和无尽的可能。

评分☆☆☆☆☆

我是在一次学术会议上偶然听到有人推荐这本书的，虽然当时我并没有完全听懂他们讨论的内容，但“光滑流形”这个词在我脑海里留下了深刻的印象。我对几何学一直有着浓厚的兴趣，尤其喜欢那些能够描绘出复杂而美妙的形状的理论。我希望这本书能够帮助我理解，那些看似扁平的二维表面，是如何在更高维度上延展出令人惊叹的复杂结构的。我希望作者能够以一种直观的方式，展示流形的空间特性，例如它的局部欧氏性，以及它是如何克服奇异点的影响，从而在全局上保持一种“光滑”的性质。我特别关注那些关于嵌入和浸入的章节，因为我一直对如何将抽象的空间模型映射到具体的几何对象感到好奇。这本书的出版日期让我有些犹豫，毕竟数学领域发展迅速，但我相信经典著作的魅力在于其 foundational nature，它所阐述的基本原理应该是经久不衰的。我希望这本书能够提供一些关于流形应用的例子，即使只是简要的提及，也能激发我对它在物理学、拓扑学等领域应用的进一步思考。

评分☆☆☆☆☆

当我看到这本书时，我脑海中浮现的画面是那些在曲面上跳舞的粒子，它们沿着“光滑”的路径运动，不受任何不连续的阻碍。这种“光滑”的直觉，正是我希望在这本书中得到数学上的严谨阐释。我并非数学专业出身，但我对物理学的某些领域，特别是理论物理，有着浓厚的兴趣。我听说光滑流形在广义相对论、规范场论等领域有着极其重要的应用。因此，我希望这本书能够用一种相对易懂的方式，为我介绍光滑流形的几何意义，并简要地提及它在这些物理理论中的作用。我希望作者能够用一些类比和直观的解释，来帮助我理解那些抽象的数学工具，例如切空间、张量场等等。我明白这可能是一本对非专业读者来说具有一定挑战性的书，但我愿意投入时间和精力去学习，因为我坚信，理解光滑流形将有助于我更深入地理解物理世界的奥秘。

评分☆☆☆☆☆

很好的书啊，就是略贵，不过毕竟英文书。

评分☆☆☆☆☆

相当好。

评分☆☆☆☆☆

书可以，速度也很快。包装的也可以，没有损坏。

评分☆☆☆☆☆

活动价买的，还不错，618给力

评分☆☆☆☆☆

很好的书，很好看，下次还来买

评分☆☆☆☆☆

书好厚，是正版，快递不错 ，英文的

评分☆☆☆☆☆

很不错的一本书，讲的很直观。这是第二版，最近才出。不过价格有点高，活动买的

评分☆☆☆☆☆

书好厚，是正版，快递不错 ，英文的

评分☆☆☆☆☆

专业书籍，内容挺不错的