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《这才是数学》
★真正研究数学教育的沥血之作。斯坦福大学数学教授，潜心钻研数学教育模式，走访英美多所中学，追踪几千名学生的数学学习情况，深度挖掘数学教学的有效方法。
★深刻剖析传统数学教育模式的弊端。传统的教学模式扼杀了孩子的学习兴趣，将数学变成只需要记忆而不需要理解的学科。再加上毫无意义的测评体系，数学终将变成高高挂起的理论模型，与现实严重脱节。
★澄清关于数学的错误观念。多年以来，人们对数学有着错误的认知，如"数学就是一堆定理""女孩子不擅长学数学"等等。作者对这些错误观念进行澄清，以免使原本极有数学天赋的人与数学擦肩而过。
★探讨数学更佳的教与学方式。作者花费上千个小时，通过旁听课程、走访、问卷调查等多种形式，来研究更好的提高学生数学能力的关键因素，探讨老师、学生、家长如何相互配合，让学生真正爱上数学。
《这才是数学》（教师篇）
斯坦福大学教授、伦敦国王学院研究员乔·博勒新作！
作者潜心研究教学方式，跟踪了成千上万中小学生的数学学习情况，深度挖掘数学教学的有效方法。
澄清了多年来人们对数学的错误认知，如"数学就是一堆定理""女孩子不擅长学数学"等。让更多的人学习数学，爱上数学。
本书内容翔实，易于理解。解释了大脑是如何处理数学学习的；提供了丰富的教学活动来代替死记硬背的学习；告诉我们如何设计开放性数学题、怎样为学生分组、怎样让学生爱上数学……
书中附有相应的插图，让人读起来感到更加亲切、有趣，同时帮助大家理解书中提到的数学题。
内容简介
《这才是数学》
你喜欢数学吗？
据统计，40%以上的人不喜欢数学，甚至对数学怀有深深的厌恶和恐惧。这种情感来源于传统的数学教学模式，即老师站在黑板前讲解数学定理及方法，学生则在下面将老师的板书抄下来，再做大量的习题来巩固。这种教学模式往往形成学生只要记住相关知识就能将其彻底掌握的假象，却掩盖了他们数学能力低下的事实。
如果学生能够以一种不同的方式去学习数学，那么他们将来很可能在数学领域取得成功。为了改变学生对数学的负面印象，不再把数学看成一堆稀奇古怪的图形，乔·博勒教授对几千名美国和英国的中学生进行了为期数年的纵向调研，重点分析学生如何开展数学学习，以便找出高效的教学方法。
这本书的写作目的，就是为数学老师们提供数学教育的新方法、新思路，以帮助孩子们更好地掌握知识并快乐成长。同时也为家长们提供一些数学基础知识，以便他们间接地帮助提升课堂教学质量。
希望这本书能够使被数学"伤害过"的学生重新点燃兴趣；鼓舞热爱数学的人继续努力；为从事数学教育的人指明前进方向。
《这才是数学》（教师篇）
很多人认为，数学是一种天赋，只有聪明的孩子才能学好数学。通过本书，大家将知道，所有孩子都有学好数学并享受数学的能力。
如何才能让所有孩子都乐于学习数学？这就是本书的主要内容。
在这本书中，作者和教师与家长们分享的观念包括：
如何将数学问题可视化？
数学知识之间是如何联系在一起的？
怎样设计开放性的数学题？
为什么家庭作业不能提高学生的成绩？
在课堂上，怎样为学生进行分组？
怎样为学生建立课堂规范？
让学生知道自己应该学什么的9种策略？
为什么诊断性评价能让学生爱上数学课？
怎样评分才能给学生传递成长式的思维信息？
……
这本书是关于如何通过教师和家长两方面的教育，培养学生形成以成长和创新为核心观念的数学式思维模式。作者将她多年的研究成果和智慧传授给各位教师，书中的内容一定会在数学学习方面对所有人产生帮助。
作者简介
乔·博勒（Jo Boaler），斯坦福大学数学教育专业教授，www.youcubed.org创始人。曾任英国苏塞克斯大学居里夫人学院数学教育学专业教授，伦敦国王学院研究员。她常年担任美国和英国大型刊物及电视频道特约撰稿人，其中包括《华尔街日报》和《时代周刊》（伦敦版）。其研究成果被广泛刊载于各国学术期刊、报纸。她曾因在"数学教育领域的卓越贡献"而受邀赴美国白宫发表演讲，并应邀担任国际经合组织国际孩子评估项目顾问。
内页插图
目录
《这才是数学》
01 引言 数学教育改革迫在眉睫
什么是数学？
为什么我们都离不开数学？
人们之所以不喜欢数学，很大程度上是由于课堂教学对于数学本来面目的歪曲。
02 数学课堂教学的问题
新旧教学模式之争
那些强行将数学条件融入现实生活背景的数学题在短时间来看可能是个小问题，但是长此以往将对学生的数学学习兴趣产生毁灭性影响。
03 美好的愿景
提高课堂教学的方法
学生们需要积极地参与到数学课程教学当中，他们需要去掌握与数学有关的诸多技巧，比如方法 实际应用、阐述与表明自己观点。
04 征服"数学考试"这头怪兽
能够激励数学学习的新模式
当用考试分数而不是以数学学习能力来评判学生时，一方面不能提供客观可靠的评价信息，另一方面也有可能 严重伤害到学学生的信心。学生的信心。
05 把教育驶入"慢行道"
美国分层式教学为何效率如此低下
数学课上除了可以建立或摧毁学生的自信心外，还会在很大程度上引导学生如何正确评价他人。
06 作为糖与香料的代价
女性为何与数学渐行渐远
为何女性群体对于知识深入学习需求如此强烈这一问题，并没有我们应该如何为她们提供一个合适的教育环境来得重要。
07 数学应该怎样学
关键策略与辅助教学方法
高水平的学生真正去刻意记住的知识也许不多，但是他们却以一种独有的方式在学习，而且他们在面对数字运算时能够灵活地运用思维去拆分与组合数字。
08 给孩子最好的数学启蒙
兴趣活动和教育建议
家长培养孩子对数学学习感兴趣最好的方式，就是提供一种数学熏陶的环境，最好是和孩子一起去探寻数学中的各式概念和思想。
09 让孩子爱上数学
开启学校数学教育的新模式
鉴于美国孩子的数学教育现状，家长要做的就是和老师一起合作，而不是站在他们的对立面。
卷尾语
致谢
注释
附录 书中数学问题的解答
《这才是数学》（教师篇）
引言// 01
序言// 05
第一章大脑与数学学习// 001
第二章不经历风雨，怎么见彩虹？// 015
第三章数学之美// 031
第四章玩转数字--开创数学式思维// 047
第五章这才是有价值的数学题// 083
第六章人人都应享有平等的数学权利// 137
第七章从分层教育到分组教育// 165
第八章成长式思维的评价机制// 211
第九章为成长式思维而教授数学// 255
精彩书摘
《这才是数学》
“什么是数学？”在我开展诸多有关教育的调查研究中，我每次都会询问那些接受过传统教育的学生这个问题。他们的回答多半是：“数字运算”或是“一堆定理”。而当我把这个问题抛给数学家时，他们多半会回答：数学是一种“研究方法”或者一套“思想体系”。学生们在谈到其他学科时，比如英语课和科技课，他们所理解的学科核心内容与常年从事该领域研究的专业人士所持观点基本一致。那么为何学生与数学家对数学这门学科的认知反差如此之大呢？学生们又是如何形成了如此偏离于数学学科本质的认知呢？
著名的哲学家和数学家Reuben Hersh曾写过一本名为《数学是什么，真的是这样吗？》的著作。在这本书中他探寻了数学的真正核心，并得到了一个重要观点：人们之所以不喜欢数学，很大程度上是由于课堂教学对于数学本来面目的歪曲。数百万美国人在学校学习数学时使用的都是极其缺乏学科内涵的数学教材，这使得人们在课堂对于数学的认识，与生活及工作中所接触的数学大相径庭，与数学家们所追求的数学比较的话更是相去甚远。
什么是数学，真的是这样吗？
数学可以定义为“描述人类活动、刻画社会现象、解释现实世界并勾勒出未来发展趋势的一种量化方法”，是我们人类文明重要的一部分。在著名作家Dan Brown的畅销小说《达·芬奇密码》中，作者谈到了关于“黄金分割率”方面的知识，这一比率通常用希腊字母φ表示。“黄金分割”最早记录于公元前6世纪，1202年又因为数学家斐波那契的传播而闻名于世。关于“黄金分割”，斐波那契曾提及一道有趣的数学题，具体是这样的：
某人把1对兔子放置在四周都有围栏的区域中养殖。假设每对兔子在出生的两个月后就能繁殖出另外1对兔子，且1对兔子每个月只能生出1对兔子来，那么按照这种规律，在1年之内总共可以繁殖多少对兔子？
将每个月计算得出的结果依顺序排列，就得到了我们所熟知的斐波那契数列：
1，1，2，3，5，8，13，21，34……
随着数列的逐级递推，我们会发现数列的第n+1项与第n项的比值（n=1，2……）与1.618这一数值越来越接近，而这一数值恰好等于“黄金分割率”。
最让我们感到惊讶的是，这一比值广泛存在于自然界的万物生长规律之中：比如鲜花的种子以其特定的螺旋方式排列，生长比值接近1.618。贝壳、松果还有凤梨等植物外壳纹路的排列方式也具有类似的特征。
下面以图片来举例来说明：如果你仔细观察图片中的雏菊，就会发现雏菊的种子以花盘中央为圆心呈螺旋状排列，只是不过每一层种子排列的旋转方向或左或右。
如果你仔细沿着图中雏菊种子的排列轨迹描绘出曲线，你就会发现靠近花盘圆心的里层可以画出21条逆时针旋转的曲线，而远离圆心的外层可以画出34条顺时针旋转的曲线。这些数字恰好是斐波那契数列中的某一项。
更为有趣的是，通过测量人体的某些身体结构也可以发现类似的“黄金分割率”。比如：人类身高与肚脐至地面距离的比值；肩膀到指尖距离与手肘到指尖距离的比值等。因为满足“黄金分割率”的图形或物体可以让眼睛感到舒适，因此这一比例普遍存在于许多艺术作品和建筑物中，甚至联合国的大楼、雅典的帕特农神殿、埃及的金字塔都应用到了类似的比例特征。
应该说那些有机会去见识数学“本来面目”的孩子是非常幸运的，因为这有助于他们的未来发展。负责《纽约时报》科学版面记者的MargaretWertheim回忆起自己童年时曾有幸跟着一位来自澳大利亚的老师在课堂上学习数学，她认为正是这位老师的数学课转变了自己的世界观：
我在10岁那年经历了一次可以称之为“非常奇妙”的数学体验。记得那堂数学课我们主要学习圆形，作为优秀的数学教师，Marshall先生带领我们自主地去探索隐藏在这个简单图形中的奥秘：无理数π（亦称超越数）。对于年幼无知的我来说，那时的感觉就好像得到了神的指引之后，在浩瀚无边的宇宙中发现了一处宝藏一样兴奋。无论在何时何地，每当我看到圆形图案时，内心都会不自觉地联想到π这个神秘的数字。它几乎存在于世间万物当中：在太阳、月亮、地球中；在蘑菇、向日葵、橙子、珍珠中；在车轮、表盘、瓦罐、电话拨号盘中……以上所有这些客观事物都可以经由π联系到一起，显然π作为一种共同属性是超越这些客观事物的存在。我对此感到无比震撼，仿佛得到了指引，使我透过眼前的景象瞥见了神奇数学王国的真面目。也就是从那个时候起，我便下定决心开始去寻找隐藏在身边的数学奥秘。
在经历过美国的数学课堂教育后，有多少学生能够像Wertheim那样来刻画属于自己心中的数学呢？为什么学生们并没有像Wertheim那样，被数学的奇妙所震撼并陶醉于其中，怀着一颗求索之心去寻找数学与现实世界的关联呢？这恰恰是因为他们被课堂上所建立起的数学假象误导了，因而没能亲身体验真正的数学到底是个什么样子。出版过多部数学专著的数学家Keith Devlin指出，数学家其实并不精于计算，事实上他们的工作重心并不在于此。数学家会把数学作为一种“研究客观世界的一种方法”。
《这才是数学》（教师篇）
大脑与数学学习
关于伦敦黑色出租车（Black Cab）司机大脑的研究改变了科学家们对能力与学习的认识。伦敦市有几个出租车公司，但伦敦出租车行业的老大是"黑色出租车（Black Taxi）"，也被称为"Black Cab"。（如图1.2）
虽然我在伦敦乘坐黑色出租车多次，却一直没有发现这些黑色出租车司机的惊人本领。后来我才知道，要想成为黑色出租车司机，需要学习2~4年的时间。要熟记以查令十字街为中心的、半径为25英里范围内的25，000条大街和20，000个地标性建筑。因为伦敦不是按照网格结构规划建设的，成千上万的街道错综复杂地交织在一起，所以熟悉伦敦的路况要比熟悉美国大多数城市的路况困难得多（如图1.3）。
黑色出租车司机在学习的最后要参加一个被优雅地命名为"The Knowledge" 的测试。如果你乘坐黑色出租车时和司机聊"The Knowledge"，他们一般都会非常开心地给你讲他们在学习期间的事情，以及考试有多么困难等。这个名为"The Knowledge"的测试据说是世界上要求最苛刻的测试之一，每个学员一般要经历12次考试才能通过。
在本世纪初，科学家们决定对黑色出租车司机的大脑进行研究，他们想看看在经过多年的复杂空间思维训练后大脑发生的变化，但这些科学家没有想到研究结果竟如此激动人心：他们发现，在黑色出租车司机学习的后期，他们大脑中的海马体出现了显著地生长[2]。海马体是大脑中专门用来记忆和使用空间信息的部分。（如图1.4）
敦公交车司机的海马体生长情况做了对比。公交车司机在上岗前只需要记住几条固定的行车路线，而且研究显示他们学习后的海马体生长并不显著[3]。这个事实验证了科学家们的研究成果：黑色出租车司机的海马体显著长大的原因是，他们学习所得到的训练异常复杂。在后续的研究中，科学家发现，黑色出租车司机退休以后，他们的海马体又缩小了[4]。
有价值的数学题
所有教师都知道，高质量的数学题是非常好的教学资源。使用高质量的数学题不但可以调动更多学生学习数学的积极性，提高他们对数学的兴趣，还可以培养学生的数学式思维，为他们提供深入思考的机会。在这一章，我们将探究数学活动（包括数学教学活动）的真谛，并且思考如何设计出符合数学活动真谛的数学题。
塞巴斯蒂安仍然继续问我问题。当他问到我什么问题是一道好的数学题时，我对所有会议室里的人说，我是否可以问他们所有人一道数学题。他们都表示同意，然后我便开始了一个小型的"number talks"。我让他们心算18×5，如果他们计算完毕就把大拇指竖起来让我看到。当看到所有大拇指都竖起来时，我便开始了一个计算方法分享会。当时，他们想出了至少6 种计算方法，我把其中的6种计算方法通过图形画在了会议室的手写板上（如图5.1）。
然后我们开始讨论方法的相似与不同之处。当我把计算方法在手写板上画出来时，他们都瞪大了眼睛。有些人甚至兴奋地从椅子上跳了起来。有些人说他们从来都没有想过，一个抽象的数字计算问题居然可以用这么多方式去诠释。还有些人说，数字计算居然可以用图形表示出来，而且还把数学表现地如此清晰。
几天后，我到达了伦敦。当我打开邮箱时，我发现我收到了Udacity公司的一名年轻且有创意的课程设计师安迪（Andy）的邮件。安迪已经制作了一个关于如何计算18×5的小视频，而且他把上街采访收集计算方法的过程也放在了视频里。Udacity 公司课程小组的成员对18×5的计算方法问题感到很兴奋，他们想立刻把这个视频发布出来，而且他们还想制作18×5计算方法的T恤衫，然后发给每一位在Udacity工作的人。
在接下来的几个月里，我又先后同卢克·巴尔特莱（Luc Barthelet）与Wolfram Alpha 公司的总监见面。Wolfram Alpha是世界上最重要的数学公司之一。卢克在我2015年出版的书中发现了18×5的不同计算方法，他对这道题特别感兴趣，以至于遇到一个人就要问他18×5如何计算。为什么那些高级的数学应用者，还有小孩子们都对解决一个看起来稀松平常的数学题18×5这么感兴趣呢？我认为原因就是人们在解决这道题的过程中看到了数学的创新性和一个数学概念的多面性。事实上，我所见过的大部分人，即使是一些应用数学能力很强的人，都没有想到数字居然可以如此开放灵活，一道计算题居然可以用那么多方法解决。在数学活动中，如果将这种认识与可视化结合在一起，那么数学的魅力和对人的吸引力将会更大。
前言/序言
很多人认为，天生不具备数学能力的孩子学不好数学，不具备合适的知识背景、学习数学太晚的孩子也无法学好数学，那么能在数学上获得成功的孩子就只剩下那些所谓的"聪明"孩子了，所以很多学生数学考试不及格或者讨厌数学似乎也就成了理所当然的事。很多老师在安慰学生时也总是说："不是每个人都是学数学的料儿，所以不用为数学学不好而感到困惑。"在持有这种观点的老师的误导下，很多孩子在真正开始学习数学之前就早早地放弃了数学。怪不得很多的学生都用"我天生不是学数学的料儿"来为自己没有学好数学开脱。
对于"只有少数人才是学数学的料儿"这个观点，老师、家长以及学生都是从哪里听来的呢？一项新的研究发现，这种观点在数学领域可谓根深蒂固。研究人员对美国大学不同学科的学者进行了调查。调查结果显示，在四个学科，包括科学（science）、技术（technology）、工程（engineering）和数学（math），取首字母，简称"主干"（STEM）学科，数学领域的学者最为强调与生俱来的能力。其他研究人员也发现，很多数学老师在开始授课前就告诉学生，他们中有些人具有学习数学的天赋，有些人则没有。有一位大学数学老师，开学第一堂课就对某个学生说："这个对你太难了，你没有学习数学的天分。"这样的观念一代一代传下来，有些学生就开始害怕学习数学，甚至在数学学习上遇到一点儿困难便认为自己不擅长数学。
通过本书，大家将知道，所有学生（几乎所有的学生）都具备学好数学并享受数学学习的能力。那我们如何才能让所有的学生都乐于学习数学？如何才能让教师和学生认识到数学能力是可以培养的？数学教师应如何教授数学才能让以上结论变为现实？这就是本书的主要内容。
在本书中，乔·博勒（Jo Boaler）将她多年的研究成果和智慧传授给各位教师，告诉他们如何呈现数学内容、如何系统安排数学题、如何引导学生，以及如何给予学生反馈以帮助他们形成并保持"成长式思维模式"。博勒是目前最卓越的教育家之一，她不仅洞悉教书的奥秘，而且还善于将这种奥秘传授给他人。成千上万的老师都向她取经学习。下面是这些老师的话：
"在我整个学习生涯中……我总觉得自己是一个很笨的人，而且没有学习数学的能力……当我最终知道我也可以学习数学时，我的心中犹如一块大石头终于落地了，而且我还可以告诉我的学生，他们也有能力学好数学。"
"你引导我去思考数学核心基础课的变革，还让我思考如何帮助学生培养对数学的热爱与兴趣。"
"我正在寻找一种可以转变学生学习数学态度（从厌恶到喜欢）的方法……"
想象一下，你的学生欢快地沉浸在某道数学题中，他们渴望能在班级中讨论自己的错误，他们自豪地说："我拥有学习数学的能力！"事实上，这样美好的情景正在世界各地的数学课堂上发生，如果你愿意接受本书中提供的建议，你也会在你的课堂上看到这美好的一幕。
卡罗尔·德维克（Carol Dweck）
用户评价
我必须承认，以前我看过不少声称能“学好数学”的书籍，它们大多以夸张的承诺开头，却在几页之后就陷入了千篇一律的公式堆砌。《这才是你想要的数学书》在这方面做出了根本性的转变。它真正做到了“去数学化”，将焦点放在了数学背后的逻辑和世界观的构建上。比如，书中对“抽象化”过程的描述，让我明白了为什么数学家需要创造出数字和符号系统，这不仅仅是为了简化计算，更是为了捕捉和描述现实世界中那些本质的、不变的关系。这种对“为什么存在”的深入挖掘，远远超越了普通的科普读物。整本书读下来，我的收获不仅仅是学会了几个新的知识点，而是对世界运行的底层规则有了一种更加清晰、更具穿透力的理解，让我看待日常决策时，也多了一份基于理性分析的沉稳。
评分说实话，我最初买这套书时，其实对“教师篇”并没有抱太高期望，以为那部分内容会是针对教育专业人士的，对我这个普通读者来说可能过于专业化了。但事实证明我的判断失误了。这部分内容简直是为所有渴望提高自己认知深度的人量身定做的。它将一些高级的数学概念，比如微积分的基本思想，用一种非常直观、非技术性的语言进行了拆解。它没有用复杂的极限定义去吓唬人，而是通过描述“变化率”如何影响事物发展轨迹，来展现其在物理世界中的宏伟作用。这种“从宏观到微观”的叙事结构，使得那些原本遥不可及的高等数学概念，瞬间变得触手可及。更让我惊喜的是，它对数学史的穿插介绍，展现了人类智慧是如何一步步攻克这些难题的，这使得阅读过程充满了探索的乐趣和对先贤的敬畏，让学习过程不再是单向的灌输，而是一场跨越时空的对话。
评分这本书的排版和装帧设计，虽然不算是市面上最豪华的，但绝对是最“用心”的。随处可见的插图和图示，都不是那种简单填充空白的装饰品，而是作为解释核心概念的关键辅助工具。很多时候，一个精心绘制的图表，胜过长篇大论的文字描述。我尤其喜欢作者在每章末尾设置的“思考题”，这些问题往往不直接考察计算能力，而是引导读者去质疑和重新审视前面学到的知识点。这些问题往往需要跳出书本的限制，结合自身经验去构思答案，极大地激发了我的主动探索欲。这种互动式的学习体验，让我感觉自己不是被动接受知识，而是主动参与到构建知识体系的过程中。对于长期习惯了标准教科书模式的读者来说，这种学习上的“松绑”和鼓励独立思考的设计，无疑是一股清流，让人爱不释手。
评分我花了相当长的时间寻找一本能真正理解“数学思维”的书，而不是仅仅罗列解题步骤的工具书。这套书（特别是其中的“教师篇”）在这方面做得极为出色。它没有停留在我过去学习中那种“记住公式，代入数字”的机械化操作上。相反，它深入探讨了数学家是如何思考问题的，比如他们如何定义问题、如何构建模型，以及在面对看似无解的难题时，如何通过变换视角来找到突破口。书中对逻辑推理过程的剖析非常透彻，它不仅仅告诉我“怎么做”，更重要的是解释了“为什么这样做是合理的”。这种深层次的理解，对于提升解决问题的底层能力至关重要。我特别欣赏作者在引入复杂概念时所用的类比和比喻，它们就像一把把精巧的钥匙，瞬间打开了我思维中那些封闭的角落。读完后，我感觉自己对很多事情的看法都有了更清晰的逻辑框架，这已经超出了单纯的数学范畴，而更像是一种全方位的心智训练。
评分这本书的封面设计色彩明亮，非常吸引眼球，一看就知道是想走亲民路线的。我本来对数学抱着一种“能避则避”的态度，总觉得那些公式和定理离我的日常生活太远了。然而，当我翻开第一页，那种感觉立刻就变了。作者的叙述方式非常像一个经验丰富的老朋友在跟你聊天，而不是一个高高在上的教授在讲课。他没有直接抛出那些让人望而生畏的数学定义，而是从一些非常生活化的场景入手，比如商场里的打折计算，或者如何更有效地规划旅行路线。这种“润物细无声”的导入方式，让我感觉数学不再是冰冷的符号，而是一种解决实际问题的工具。特别是书中对概率论的讲解，用掷骰子和抽奖的例子，清晰地展示了随机性背后的规律，让我这个“数学绝缘体”都忍不住想多看几页。这种将枯燥知识点融入生活场景的叙事策略，是这本书最成功的地方之一，它真正做到了让“看不懂”的人也能感受到数学的美妙和实用性。
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