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Selman Akbulut & John ... 著

图书标签:

• 拓扑学
• 低维拓扑
• 同调论
• 纽结理论
• Casson 不变量
• 定向同调
• 数学
• 几何拓扑
• 纽结不变量
• 陈述

店铺： 澜瑞外文Lanree图书专营店

出版社： Princeton University P...

ISBN：9780691607511

商品编码：1304982811

包装：平装

外文名称：Casson's Invariant for...

出版时间：2014-07-14

页数：202

正文语种：英语

图书基本信息

Casson's Invariant for Oriented Homology Three-Spheres: An Exposition. (MN-36)
作者： Selman Akbulut; John D. McCarthy;
ISBN13： 9780691607511
类型： 平装
语种： 英语（English）
出版日期： 2014-07-14
出版社： Princeton University Press
页数： 202
重量（克）： 290
尺寸： 23.3934 x 15.5956 x 1.0922 cm

商品简介

In the spring of 1985, A. Casson announced an interesting invariant of homology 3-spheres via constructions on representation spaces. This invariant generalizes the Rohlin invariant and gives surprising corollaries in low-dimensional topology. In the fall of that same year, Selman Akbulut and John McCarthy held a seminar on this invariant. These notes grew out of that seminar. The authors have tried to remain close to Casson's original outline and proceed by giving needed details, including an exposition of Newstead's results. They have often chosen classical concrete approaches over general methods. For example, they did not attempt to give gauge theory explanations for the results of Newstead instead they followed his original techniques.

Originally published in 1990.

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帮助信息

拓扑场论中的几何与代数：一个非线性函数的视角 本书探讨了在现代数学物理交叉领域中，特别是涉及拓扑场论与低维拓扑结构时，如何运用代数拓扑、微分几何以及非线性分析的工具来理解和量化复杂的几何不变量。 核心关注点在于那些对空间形变不敏感，却能揭示流形内在拓扑性质的量化指标，并着重于如何从物理模型中提炼出可计算的数学结构。 本书首先回顾了基本拓扑不变量（如贝蒂数、欧拉示性数）的局限性，特别是在区分具有相同基本拓扑特征但截然不同几何结构的空间时所面临的挑战。随后，我们深入研究了规范场理论与纤维丛的深刻联系。详细讨论了杨-米尔斯理论在黎曼流形上场的经典解，以及这些解如何影响模空间的几何结构。这部分内容侧重于瞬子（instantons）的存在性与分类，特别是针对三维和四维流形上的规范理论。我们展示了如何利用 Chern-Weil 理论，将纤维丛上的曲率积分转化为流形自身的拓扑数据。 模空间的构造与分析是本书的另一核心支柱。我们构建了规范群作用下联络模空间的具体拓扑结构，并分析了其奇点和连通性。对于三维流形，我们借鉴了 Floer 同调的先驱工作，探讨了如何将希尔伯特空间中的算符（Operator）与流形上的特定链复形（Chain Complex）联系起来。这涉及到对Morse 理论推广的深入理解，即如何将经典力学中的势能函数推广到高维规范场论的泛函能量密度，并利用其零能点来构造新的代数不变量。 在代数层面，本书详尽解析了Khovanov 同调的构造原理。这部分内容不再局限于传统的同调理论，而是引入了更精细的代数结构，旨在区分具有相同琼斯多项式的纽结。我们详细阐述了如何通过对纽结图（Knot Diagram）进行特定规则的分解与替换，构建一个分次的链复形。其关键在于定义合适的边界算子，确保该复形满足特定代数恒等式，从而其同调群能稳定地反映纽结的内在拓扑特性。我们探讨了如何利用这种同调理论来推导和证明著名的Jones 不变性。 非线性函数的变分法在几何中的应用占据了相当篇幅。我们分析了诸如哈密顿量密度或能量泛函的极小化路径，这些路径往往对应于物理学中的稳定构型。在数学上，这意味着寻找满足特定非线性偏微分方程（PDEs）的解。例如，在研究爱因斯坦流形时，我们探讨了 Ricci 曲率张量的二次型泛函，以及如何使用极小曲面理论中的工具来理解这些场的动力学。我们特别关注了解的唯一性与存在性问题，这依赖于对相应的非线性椭圆型方程进行细致的算术分析。 此外，本书还深入探讨了三维流形的分解定理与几何化的数学背景。我们审视了 Thurston 几何化猜想的某些代数拓扑实现路径，特别是关于双曲几何结构如何与底层拓扑结构相互作用。这部分内容需要理解黎曼曲率张量如何编码了流形在局部上的弯曲信息，以及如何通过共形变换来连接不同几何结构之间的模空间。 量化信息论在拓扑结构中的投影被引入作为现代工具。我们分析了如何通过计算特定量子场论的配分函数（Partition Function）来提取拓扑信息。这通常涉及到路径积分的近似，其中最有效的工具是利用局部上可积的理论来简化计算。我们详细解释了如何利用Wick 旋转将费米子和玻色子的统计物理模型转化为欧几里得时空中的量子场论，并探讨了在高维空间中如何利用特征类来重整化这些积分。 最后，本书展望了这些工具在低维流形上的拓扑量子计算模型中的潜在应用。我们讨论了如何利用特定的代数结构（如 Hopf 代数或相关的张量范畴）来模拟量子比特的演化，以及如何通过计算特定代数对象上的期望值来提取流形本身的拓扑量化指标。全书力求在严谨的数学推导与直观的几何图像之间架起桥梁，为深入研究拓扑量子场论的非阿贝尔（non-Abelian）推广奠定坚实的理论基础。

评分☆☆☆☆☆

如果用一句话来概括这本书的“感觉”，那我会说它充满了“无情的严谨性”。它不会给你任何喘息的机会，也不会用比喻或类比来减轻你的认知负担。作者的态度是：如果你想知道这个结论是如何得出的，那么请准备好面对完整的、未经简化的证明过程。我注意到，书中对许多细节的讨论，即使是那些在其他著作中通常会被略去不谈的“小步骤”，也在这里被详细论述。这既是优点也是缺点。优点在于，它几乎消除了读者在验证定理有效性时可能遇到的任何模糊地带；缺点在于，对于那些已经熟悉基础推导过程的读者来说，阅读部分内容会显得有些冗长和重复。我发现自己跳过了一些非常基础的代数操作复核，直接去追寻作者在构建更高级概念时的创新点。这本书更像是一部关于如何“构建”数学理论的教科书，而非仅仅是关于“使用”既有理论的指南，它要求读者不仅是知识的接受者，更是理论构建过程的参与者。

评分☆☆☆☆☆

坦率地说，这本书的阅读体验，更像是在参与一场极其精密的工程项目，而不是享受一次轻松的知识之旅。它的行文风格是如此的精确和结构化，每一个章节的推进都像是乐高积木的严丝合缝的拼接，逻辑链条几乎是不可摧毁的。我特别欣赏作者在处理复杂推导时的条理性，他没有急于给出结论，而是耐心地铺陈每一步必要的引子和假设，这对于理解那些高度抽象的概念至关重要。然而，这种极致的精确性也带来了另一个副作用：它牺牲了一定的可读性和流畅感。对于非专业人士来说，这本书几乎是无法下咽的“硬骨头”，即便是对于专业人士，也需要极高的专注力才能跟上作者的思维步伐。我发现自己经常需要回头重读某些段落，不是因为内容本身难以理解，而是因为作者使用的语言高度浓缩，每一个词语都承载着巨大的数学意义。这本书无疑是为同一领域的同行者准备的，它更像是一份技术规范或研究报告的升级版，它的价值在于其内容的深度和无懈可击的严密性，而非其作为一本“读物”的娱乐性或普及性。

评分☆☆☆☆☆

这本书给我留下的最深刻印象，是它在处理某些经典拓扑学或代数结构时所展现出的那种近乎偏执的细致入微。它似乎并不满足于仅仅重述已有的理论框架，而是试图从一个全新的、更底层的视角去重新审视和构建整个体系。书中某些章节对于基础公理的追溯和论证，其深度远远超出了我预期的范围，仿佛作者在试图将整个知识体系的根基刨开来重新审视。这种挖掘深度的做法，虽然使得全书的篇幅被极大地拉长，并且使得阅读曲线变得异常陡峭，但它也为那些希望真正理解这些数学工具“为什么是这样”的读者提供了极大的满足感。我尤其关注了其中关于某些不变量构造的章节，作者的处理方式非常优雅，避开了许多传统教材中较为笨拙的技巧，转而采用了一种更加内在、更具几何直觉的方法来构建。尽管这种直觉在纸面上依然被严密的代数语言所包裹，但对于有经验的读者来说，那种美感是能够捕捉到的，这才是真正顶尖数学著作的魅力所在。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计简洁得有些过分，黑底白字，标题赫然印在中央，仿佛是对内容深度的某种自信宣言。我翻开第一页，立刻被那种扑面而来的学术气息所笼罩。它不是那种试图用花哨的图表或引人入胜的故事来吸引读者的书，而更像是一份严谨的数学陈述，每一个符号的出现似乎都经过了深思熟虑，不容许丝毫的含糊。我花了好一番功夫才大致摸清了它的脉络，作者显然是某个领域的资深专家，对所探讨的概念有着极为精深且独特的见解。阅读过程中，我常常需要停下来，对照着手边的参考资料反复推敲那些晦涩的定义和定理的证明。那种感觉就像是攀登一座技术壁垒极高的山峰，每向上挪动一小步，都需要付出巨大的智力努力。对于初涉此领域的读者来说，这本书无疑是一道难以逾越的高墙，但对于那些已经掌握了基础知识，渴望深入探索前沿理论的学者而言，它或许正是他们苦苦寻觅的那把开启新视野的钥匙。书中对某些经典概念的重新阐释，尤其令人印象深刻，展现出一种超越常规的洞察力，让人不禁思考：原来我们过去习以为常的理解，竟有如此多可以被拓宽和深化的地方。

评分☆☆☆☆☆

从整体的学术布局来看，这本书的视野是极为宏大的，它试图将看似不相关的数学分支通过一个统一的不变量框架整合起来。这种野心勃勃的结构使得全书的阅读体验呈现出一种螺旋上升的态势，每一章的知识都以前一章为基础，以指数级的复杂度向上堆叠。我特别留意了书中对于某一特定同调群结构的分析，作者似乎引入了一种全新的视角来处理其边界条件，这在现有的文献中是相对罕见的。这本书的难度主要不在于其单一概念的复杂性，而在于其知识网络的密度和广度。它要求读者对相关的领域，如微分几何、代数拓扑、甚至某些组合数学的工具都有扎实的储备。我个人认为，这本书的真正价值可能在于其引发后续研究的潜力，它提出的某些猜想和未解决的问题，无疑会成为未来几年内许多研究小组关注的焦点。它更像是一份指向未来数学研究方向的路线图，而不是对现有知识的简单总结。