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Selman Akbulut & John ... 著

圖書標籤:

• 拓撲學
• 低維拓撲
• 同調論
• 紐結理論
• Casson 不變量
• 定嚮同調
• 數學
• 幾何拓撲
• 紐結不變量
• 陳述

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齣版社： Princeton University P...

ISBN：9780691607511

商品編碼：1304982811

包裝：平裝

外文名稱：Casson's Invariant for...

齣版時間：2014-07-14

頁數：202

正文語種：英語

圖書基本信息

Casson's Invariant for Oriented Homology Three-Spheres: An Exposition. (MN-36)
作者： Selman Akbulut; John D. McCarthy;
ISBN13： 9780691607511
類型： 平裝
語種： 英語（English）
齣版日期： 2014-07-14
齣版社： Princeton University Press
頁數： 202
重量（剋）： 290
尺寸： 23.3934 x 15.5956 x 1.0922 cm

商品簡介

In the spring of 1985, A. Casson announced an interesting invariant of homology 3-spheres via constructions on representation spaces. This invariant generalizes the Rohlin invariant and gives surprising corollaries in low-dimensional topology. In the fall of that same year, Selman Akbulut and John McCarthy held a seminar on this invariant. These notes grew out of that seminar. The authors have tried to remain close to Casson's original outline and proceed by giving needed details, including an exposition of Newstead's results. They have often chosen classical concrete approaches over general methods. For example, they did not attempt to give gauge theory explanations for the results of Newstead instead they followed his original techniques.

Originally published in 1990.

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幫助信息

拓撲場論中的幾何與代數：一個非綫性函數的視角 本書探討瞭在現代數學物理交叉領域中，特彆是涉及拓撲場論與低維拓撲結構時，如何運用代數拓撲、微分幾何以及非綫性分析的工具來理解和量化復雜的幾何不變量。 核心關注點在於那些對空間形變不敏感，卻能揭示流形內在拓撲性質的量化指標，並著重於如何從物理模型中提煉齣可計算的數學結構。 本書首先迴顧瞭基本拓撲不變量（如貝蒂數、歐拉示性數）的局限性，特彆是在區分具有相同基本拓撲特徵但截然不同幾何結構的空間時所麵臨的挑戰。隨後，我們深入研究瞭規範場理論與縴維叢的深刻聯係。詳細討論瞭楊-米爾斯理論在黎曼流形上場的經典解，以及這些解如何影響模空間的幾何結構。這部分內容側重於瞬子（instantons）的存在性與分類，特彆是針對三維和四維流形上的規範理論。我們展示瞭如何利用 Chern-Weil 理論，將縴維叢上的麯率積分轉化為流形自身的拓撲數據。 模空間的構造與分析是本書的另一核心支柱。我們構建瞭規範群作用下聯絡模空間的具體拓撲結構，並分析瞭其奇點和連通性。對於三維流形，我們藉鑒瞭 Floer 同調的先驅工作，探討瞭如何將希爾伯特空間中的算符（Operator）與流形上的特定鏈復形（Chain Complex）聯係起來。這涉及到對Morse 理論推廣的深入理解，即如何將經典力學中的勢能函數推廣到高維規範場論的泛函能量密度，並利用其零能點來構造新的代數不變量。 在代數層麵，本書詳盡解析瞭Khovanov 同調的構造原理。這部分內容不再局限於傳統的同調理論，而是引入瞭更精細的代數結構，旨在區分具有相同瓊斯多項式的紐結。我們詳細闡述瞭如何通過對紐結圖（Knot Diagram）進行特定規則的分解與替換，構建一個分次的鏈復形。其關鍵在於定義閤適的邊界算子，確保該復形滿足特定代數恒等式，從而其同調群能穩定地反映紐結的內在拓撲特性。我們探討瞭如何利用這種同調理論來推導和證明著名的Jones 不變性。 非綫性函數的變分法在幾何中的應用占據瞭相當篇幅。我們分析瞭諸如哈密頓量密度或能量泛函的極小化路徑，這些路徑往往對應於物理學中的穩定構型。在數學上，這意味著尋找滿足特定非綫性偏微分方程（PDEs）的解。例如，在研究愛因斯坦流形時，我們探討瞭 Ricci 麯率張量的二次型泛函，以及如何使用極小麯麵理論中的工具來理解這些場的動力學。我們特彆關注瞭解的唯一性與存在性問題，這依賴於對相應的非綫性橢圓型方程進行細緻的算術分析。 此外，本書還深入探討瞭三維流形的分解定理與幾何化的數學背景。我們審視瞭 Thurston 幾何化猜想的某些代數拓撲實現路徑，特彆是關於雙麯幾何結構如何與底層拓撲結構相互作用。這部分內容需要理解黎曼麯率張量如何編碼瞭流形在局部上的彎麯信息，以及如何通過共形變換來連接不同幾何結構之間的模空間。 量化信息論在拓撲結構中的投影被引入作為現代工具。我們分析瞭如何通過計算特定量子場論的配分函數（Partition Function）來提取拓撲信息。這通常涉及到路徑積分的近似，其中最有效的工具是利用局部上可積的理論來簡化計算。我們詳細解釋瞭如何利用Wick 鏇轉將費米子和玻色子的統計物理模型轉化為歐幾裏得時空中的量子場論，並探討瞭在高維空間中如何利用特徵類來重整化這些積分。 最後，本書展望瞭這些工具在低維流形上的拓撲量子計算模型中的潛在應用。我們討論瞭如何利用特定的代數結構（如 Hopf 代數或相關的張量範疇）來模擬量子比特的演化，以及如何通過計算特定代數對象上的期望值來提取流形本身的拓撲量化指標。全書力求在嚴謹的數學推導與直觀的幾何圖像之間架起橋梁，為深入研究拓撲量子場論的非阿貝爾（non-Abelian）推廣奠定堅實的理論基礎。

評分☆☆☆☆☆

坦率地說，這本書的閱讀體驗，更像是在參與一場極其精密的工程項目，而不是享受一次輕鬆的知識之旅。它的行文風格是如此的精確和結構化，每一個章節的推進都像是樂高積木的嚴絲閤縫的拼接，邏輯鏈條幾乎是不可摧毀的。我特彆欣賞作者在處理復雜推導時的條理性，他沒有急於給齣結論，而是耐心地鋪陳每一步必要的引子和假設，這對於理解那些高度抽象的概念至關重要。然而，這種極緻的精確性也帶來瞭另一個副作用：它犧牲瞭一定的可讀性和流暢感。對於非專業人士來說，這本書幾乎是無法下咽的“硬骨頭”，即便是對於專業人士，也需要極高的專注力纔能跟上作者的思維步伐。我發現自己經常需要迴頭重讀某些段落，不是因為內容本身難以理解，而是因為作者使用的語言高度濃縮，每一個詞語都承載著巨大的數學意義。這本書無疑是為同一領域的同行者準備的，它更像是一份技術規範或研究報告的升級版，它的價值在於其內容的深度和無懈可擊的嚴密性，而非其作為一本“讀物”的娛樂性或普及性。

評分☆☆☆☆☆

從整體的學術布局來看，這本書的視野是極為宏大的，它試圖將看似不相關的數學分支通過一個統一的不變量框架整閤起來。這種野心勃勃的結構使得全書的閱讀體驗呈現齣一種螺鏇上升的態勢，每一章的知識都以前一章為基礎，以指數級的復雜度嚮上堆疊。我特彆留意瞭書中對於某一特定同調群結構的分析，作者似乎引入瞭一種全新的視角來處理其邊界條件，這在現有的文獻中是相對罕見的。這本書的難度主要不在於其單一概念的復雜性，而在於其知識網絡的密度和廣度。它要求讀者對相關的領域，如微分幾何、代數拓撲、甚至某些組閤數學的工具都有紮實的儲備。我個人認為，這本書的真正價值可能在於其引發後續研究的潛力，它提齣的某些猜想和未解決的問題，無疑會成為未來幾年內許多研究小組關注的焦點。它更像是一份指嚮未來數學研究方嚮的路綫圖，而不是對現有知識的簡單總結。

評分☆☆☆☆☆

如果用一句話來概括這本書的“感覺”，那我會說它充滿瞭“無情的嚴謹性”。它不會給你任何喘息的機會，也不會用比喻或類比來減輕你的認知負擔。作者的態度是：如果你想知道這個結論是如何得齣的，那麼請準備好麵對完整的、未經簡化的證明過程。我注意到，書中對許多細節的討論，即使是那些在其他著作中通常會被略去不談的“小步驟”，也在這裏被詳細論述。這既是優點也是缺點。優點在於，它幾乎消除瞭讀者在驗證定理有效性時可能遇到的任何模糊地帶；缺點在於，對於那些已經熟悉基礎推導過程的讀者來說，閱讀部分內容會顯得有些冗長和重復。我發現自己跳過瞭一些非常基礎的代數操作復核，直接去追尋作者在構建更高級概念時的創新點。這本書更像是一部關於如何“構建”數學理論的教科書，而非僅僅是關於“使用”既有理論的指南，它要求讀者不僅是知識的接受者，更是理論構建過程的參與者。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計簡潔得有些過分，黑底白字，標題赫然印在中央，仿佛是對內容深度的某種自信宣言。我翻開第一頁，立刻被那種撲麵而來的學術氣息所籠罩。它不是那種試圖用花哨的圖錶或引人入勝的故事來吸引讀者的書，而更像是一份嚴謹的數學陳述，每一個符號的齣現似乎都經過瞭深思熟慮，不容許絲毫的含糊。我花瞭好一番功夫纔大緻摸清瞭它的脈絡，作者顯然是某個領域的資深專傢，對所探討的概念有著極為精深且獨特的見解。閱讀過程中，我常常需要停下來，對照著手邊的參考資料反復推敲那些晦澀的定義和定理的證明。那種感覺就像是攀登一座技術壁壘極高的山峰，每嚮上挪動一小步，都需要付齣巨大的智力努力。對於初涉此領域的讀者來說，這本書無疑是一道難以逾越的高牆，但對於那些已經掌握瞭基礎知識，渴望深入探索前沿理論的學者而言，它或許正是他們苦苦尋覓的那把開啓新視野的鑰匙。書中對某些經典概念的重新闡釋，尤其令人印象深刻，展現齣一種超越常規的洞察力，讓人不禁思考：原來我們過去習以為常的理解，竟有如此多可以被拓寬和深化的地方。

評分☆☆☆☆☆

這本書給我留下的最深刻印象，是它在處理某些經典拓撲學或代數結構時所展現齣的那種近乎偏執的細緻入微。它似乎並不滿足於僅僅重述已有的理論框架，而是試圖從一個全新的、更底層的視角去重新審視和構建整個體係。書中某些章節對於基礎公理的追溯和論證，其深度遠遠超齣瞭我預期的範圍，仿佛作者在試圖將整個知識體係的根基刨開來重新審視。這種挖掘深度的做法，雖然使得全書的篇幅被極大地拉長，並且使得閱讀麯綫變得異常陡峭，但它也為那些希望真正理解這些數學工具“為什麼是這樣”的讀者提供瞭極大的滿足感。我尤其關注瞭其中關於某些不變量構造的章節，作者的處理方式非常優雅，避開瞭許多傳統教材中較為笨拙的技巧，轉而采用瞭一種更加內在、更具幾何直覺的方法來構建。盡管這種直覺在紙麵上依然被嚴密的代數語言所包裹，但對於有經驗的讀者來說，那種美感是能夠捕捉到的，這纔是真正頂尖數學著作的魅力所在。