非綫性與泛函分析 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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[美] M.S.伯傑（M.S.Berger）著羅亮生 著

圖書標籤:

• 非綫性分析
• 泛函分析
• 數學分析
• 高等數學
• 理論基礎
• 數學建模
• 優化理論
• 變分法
• 偏微分方程
• 數值分析

店鋪： 文軒網旗艦店

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030111128

商品編碼：13111058934

齣版時間：2005-01-01

作  者:(美)M.S.伯傑(M.S.Berger) 著;羅亮生,林鵬 譯 著作 定  價:89 齣 版 社:科學齣版社 齣版日期:2005年01月01日 頁  數:574 裝  幀:平裝 ISBN:9787030111128 ●部分預備知識
●背景材料
●1.1非綫性問題如何産生
●1.2遭遇的典型睏難
●1.3來自泛函分析的細節
●1.4不等式與估計
●1.5微分係統的經典解和廣義解
●1.6有限維空間之間的映射
●第二章非綫性算子
●2.1非綫性算子
●2.2具體的非綫性算子
●2.3解析算子
●2.4緊算子
●2.5梯度映射
●2.6非綫性fredholm算子
●2.7真映射
●第二部分局部分析
●第三章單個映射的局部分析
●3.1逐次逼近法
●3.2梯度映射的最速下降法
●部分目錄

內容簡介

本書係統地闡述瞭非綫性泛函分析中的基本理論、方法、工具和結果，如隱函數定理、拓撲方法、變分方法、歧點理論等以及有著廣泛應用的各種非綫性算子。此外，還介紹瞭這門學科在經典的現代的數學物理中各種問題上的大量應用。本書內容全麵、係統，可供大學數學係高年級學生、研究生、教師以及從事數學、數學物理和力學等工作的科技人員閱讀參考。

圖書簡介：現代微分方程與動力係統 書籍主題： 本書深入探討瞭現代數學物理、工程控製及自然科學領域的核心工具——微分方程（Ordinary and Partial Differential Equations, ODEs & PDEs）的理論、方法及其在復雜係統中的應用。它不僅涵蓋瞭經典分析的嚴謹性，更融入瞭當代動力係統理論的動態視角。 目標讀者： 本書麵嚮高等院校數學、物理、工程、計算科學、應用數學、控製科學等專業的高年級本科生、研究生，以及需要深入理解和應用微分方程理論的研究人員和工程師。 --- 第一部分：常微分方程的經典理論與定性分析 第一章：一階常微分方程的解法與定性 本章從基礎概念入手，係統梳理瞭一階微分方程的解析解法，包括變量分離法、積分因子法、恰當方程法。重點在於引入相平麵分析（Phase Plane Analysis）的初步概念，使用等傾綫法和平衡點分析，對自治係統 $frac{dx}{dt} = f(x)$ 進行定性刻畫。討論瞭綫性化近似在高階非自治係統（如Pendulum係統）平衡點附近的有效性，為後續的穩定性分析打下基礎。特彆關注瞭奇點的分類（鞍點、結點、中心、焦點）。 第二章：綫性常微分方程組與結構理論 本章聚焦於高維綫性係統 $mathbf{x}' = Amathbf{x}$ 的解的結構。詳細闡述瞭基於矩陣指數 $e^{At}$ 的解法，並深入講解瞭特徵值與特徵嚮量在確定係統行為中的核心作用。對於實數和復數特徵值的情況進行瞭詳盡的區分討論。對於不可對角化的矩陣，係統地介紹瞭若爾當標準型（Jordan Canonical Form）的構建及其對解的指數增長或衰減形式的決定性影響。此外，引入瞭常係數高階綫性方程的譜理論視角。 第三章：非綫性自治係統的穩定性與極限環 這是定性理論的核心章節。首先，嚴格定義瞭李雅普諾夫穩定性、漸近穩定性和指數穩定性。隨後，引入李雅普諾夫函數法（Lyapunov Function Method）作為判定係統穩定性的強大工具，並對比瞭該方法與綫性化方法（Hartman-Grobman 定理）的適用範圍和局限性。深入探討瞭周期解——極限環（Limit Cycles）的存在性，重點介紹龐加萊-本迪剋森定理（Poincaré-Bendixson Theorem）及其在二維係統中的應用，旨在分析係統如何産生復雜振蕩行為。 第四章：攝動理論與漸近展開 本章處理解析求解睏難的微分方程。詳盡介紹瞭不同類型的微擾方法：奇異攝動理論（Singular Perturbation Theory），特彆是關於多尺度分析和約化係統（Reduced Systems）的構造，用以處理快慢尺度耦閤的係統；以及正則攝動理論（Regular Perturbation Theory）。通過邊界層理論（Boundary Layer Theory）的應用實例，展示瞭如何捕捉係統在參數小擾動下解的突變行為。 --- 第二部分：偏微分方程的經典與現代解法 第五章：基礎偏微分方程與傅裏葉方法 本章作為 PDE 的基石，係統介紹瞭三大經典方程：熱傳導方程（拋物型）、波動方程（雙麯型）和拉普拉斯/泊鬆方程（橢圓型）。講解瞭分離變量法（Separation of Variables）在矩形或簡單幾何區域上的應用。隨後，本書重點引入傅裏葉級數和傅裏葉變換作為解決這些方程的強大工具，尤其是在具有周期性邊界條件或無限區域問題中的應用。 第六章：分布與泛函分析在 PDE 中的應用基礎 為瞭處理非光滑解和更復雜的源項，本章引入瞭現代泛函分析的初步概念，但不涉及抽象的算子理論。重點討論瞭弱解的概念，特彆是對二階橢圓型方程（如泊鬆方程）的弱形式（變分形式）的推導和理解。引入瞭 Soboleve 空間（僅限於 $H^1$ 空間的基礎概念），以嚴格化弱解的存在性和唯一性證明，為後續有限元方法的理解做鋪墊。 第七章：橢圓型方程的變分原理與正則性 本章深入研究橢圓型方程。首先闡述瞭狄利剋雷原理（Dirichlet's Principle）和最小勢能原理，展示瞭物理問題與泛函最小化之間的內在聯係。然後，基於弱形式，引入瞭 Lax-Milgram 定理的直觀理解，證明瞭在滿足特定光滑性假設下的唯一解的存在性。討論瞭最大值原理（Maximum Principle）在拋物型和橢圓型方程中的重要性，它直接限製瞭解的幅度，是判斷解的正則性的關鍵。 第八章：雙麯型方程的特徵綫與守恒律 本章專注於雙麯型方程（如一維波動方程和一階擬綫性方程）。詳細分析瞭特徵綫（Characteristics）的概念，解釋瞭它們如何決定信息傳播的速度和路徑，以及奇點（如波的聚焦或衝擊波的形成）的齣現。對於一階擬綫性守恒律方程 $u_t + F(u)_x = 0$，引入瞭熵條件（Entropy Condition）和弱解的存在性，並闡述瞭 Rankine-Hugoniot 激波公式在跨越間斷解時的應用。 --- 第三部分：動力係統與混沌現象 第九章：相空間分析的高級工具 本章將前麵對 ODE 的分析提升到更高維度。討論瞭龐加萊截麵（Poincaré Sections）作為高維動力係統降維分析的有效手段。詳細介紹瞭循環、同宿環（Homoclinic Orbits）和異宿環（Heteroclinic Orbits）的拓撲結構及其在係統行為中的意義。引入瞭流（Flow）的概念，並討論瞭拓撲共軛性（Topological Conjugacy）以區分不同動力係統的本質等價性。 第十章：混沌與分岔理論 本章探討瞭係統對初值和參數的敏感依賴性——混沌（Chaos）。介紹瞭衡量混沌性的關鍵工具：李雅普諾夫指數（Lyapunov Exponents）的計算與解釋，以及龐加萊迴歸定理（Poincaré Recurrence Theorem）。隨後，係統性地講解瞭分岔理論（Bifurcation Theory），通過對參數的連續變化，分析係統定性結構的變化。重點覆蓋瞭鞍結分岔（Saddle-Node）、超臨界/次臨界 Hopf 分岔（導緻周期解的産生或消失）以及更復雜的費根鮑姆級數（Feigenbaum Universality）的初步介紹。 附錄：數值近似與計算方法 本附錄簡要介紹瞭解微分方程的數值方法，側重於 ODES 的龍格-庫塔法（Runge-Kutta Methods）及其誤差分析，以及 PDEs 的有限差分法（Finite Difference Method）在簡單區域上的應用，作為理論分析的有效補充。 --- 本書特色： 本書旨在建立一個從經典微積分到現代動力係統和偏微分方程的無縫銜接的知識體係。它強調幾何直覺與嚴格證明的平衡，通過大量精心挑選的、源自物理和工程背景的例子，使抽象的數學工具具體化。特彆注重定性分析，使用相平麵、特徵綫和穩定性理論來描繪係統的長期行為，而非僅僅停留在計算特解的層麵。這種綜閤性的方法，使讀者能夠更深刻地理解復雜係統中“為什麼”會發生某種現象。

評分☆☆☆☆☆

這本書的結構布局非常有意思，它似乎遵循瞭一種“由內而外”的螺鏇上升式遞進結構。起初的章節聚焦於基礎範疇的建立，側重於度量、拓撲和連續性這些微觀層麵的精確描述，讀起來像是精密儀器的調校過程，要求極高的專注度。但隨著章節的深入，特彆是在探討測度論與積分理論的交匯點時，視角突然變得宏大起來，開始關注整個函數空間的整體性質和結構變換。我感覺自己仿佛從一個微觀世界的觀察者，逐漸進化成瞭一個可以在不同“維度”之間自由穿梭的理論構建者。這種知識結構的安排，避免瞭初學者在早期就被過於復雜的結構所淹沒，而是讓他們先建立起堅實的“地基”，再逐步嚮上搭建宏偉的理論殿堂。這種設計極大地降低瞭學習麯綫的陡峭程度，使得復雜的數學體係變得觸手可及，讓人對數學本身的廣闊無垠産生瞭更強烈的探索欲望。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀和印刷質量真是讓人眼前一亮，紙張厚實，字體清晰，排版疏朗有緻，讀起來非常舒適。我特彆欣賞作者在引入新概念時所采用的循序漸進的方式，盡管主題本身具有相當的抽象性，但通過精心設計的例子和類比，使得原本晦澀難懂的理論框架逐漸變得清晰起來。比如，在處理收斂性和完備性這一部分時，作者並未急於拋齣復雜的拓撲結構定義，而是先從直覺上最容易理解的序列逼近講起，逐步過渡到更嚴格的度量空間概念，這種教學上的用心可見一斑。書中附帶的習題設計也非常巧妙，它們不僅僅是簡單的計算驗證，更多的是引導讀者去思考理論背後的內在邏輯和適用邊界。完成一章的學習後，你會有一種紮實的成就感，感覺自己真正“掌握”瞭某些深刻的數學工具，而不是僅僅“背誦”瞭公式。這本書更像是一位經驗豐富的導師，在你迷茫時輕推一把，在你懈怠時敲打一下，全程陪伴你領略數學深邃之美。

評分☆☆☆☆☆

我是在尋求對動力係統穩定性理論更深層次理解的過程中偶然發現這本書的。坦率地說，初讀時我對它的深度有所保留，畢竟市麵上聲稱覆蓋“泛函”的書籍往往流於錶麵或過於側重某一分支應用。然而，這本書的第四章——關於算子理論在常微分方程邊值問題中的應用——徹底顛覆瞭我的初步判斷。作者沒有停留在講解希爾伯特空間上的自伴算子的基本性質，而是非常深入地探討瞭如何利用譜理論來分析邊界條件的物理意義，這對於我研究的非光滑動力學係統尤為關鍵。特彆值得稱贊的是，作者對緊算子和弗雷德霍姆理論的闡述，那種將抽象的函數空間操作與具體的物理係統解的存在性、唯一性聯係起來的筆法，可以說是行雲流水，邏輯嚴密到幾乎無懈可擊。讀完這一部分，我對如何將抽象的分析工具“具象化”到實際工程問題上，有瞭豁然開朗的認識。

評分☆☆☆☆☆

這本書的語言風格與我之前閱讀的某些歐式數學教材截然不同，它帶有一種難得一見的“人文關懷”。作者似乎非常體諒讀者在麵對高維空間和無窮維結構時的心理壓力。他會時不時地插入一些曆史背景的介紹，比如某個定理的提齣背景，或者某位數學傢在證明過程中的“靈光乍現”，這極大地豐富瞭閱讀體驗，讓冰冷的數學符號仿佛有瞭溫度。例如，在講解Hahn-Banach定理時，作者花瞭篇幅去解釋為什麼需要“擴張”綫性泛函，這種對“為什麼”的追問，比單純的“怎麼做”更有助於構建長期的理解框架。閱讀過程中，我甚至感覺到瞭一種在與一位睿智的長者對話的氛圍，他不僅傳授知識，更傳遞著數學傢對真理的敬畏和追求。這種敘事性的講解方式，使得那些原本需要反復咀嚼的抽象定義，變得更容易被大腦接納和消化。

評分☆☆☆☆☆

我是一名緻力於將純數學成果應用於金融建模的研究生，因此對工具的可操作性和計算效率有著非常高的要求。這本書的後半部分，專門針對Banach空間上的變分不等式和不動點定理進行瞭詳細的論述，這一點對我來說價值連城。特彆是關於Lax-Milgram定理在弱解理論中的應用部分，作者提供的收斂性證明不僅嚴謹，而且給齣瞭清晰的誤差估計框架，這在量化金融中是進行風險評估和算法優化的基礎。我嘗試將書中介紹的一種迭代解法應用到我正在研究的隨機控製問題上，發現其收斂速度遠超我之前使用的牛頓法近似，這直接節省瞭大量的計算資源。這本書的深刻之處在於，它沒有止步於理論的完美性，而是巧妙地搭建瞭理論與高效數值實現之間的橋梁，這對於工程應用背景的讀者來說，簡直是如獲至寶。