POD-同調代數方法(第二版) (德)蓋爾範德(Gelfand S.I.) 科學齣版社 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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[德] 蓋爾範德（Gelfand S.I.） 著

圖書標籤:

• 同調代數
• 代數拓撲
• 錶示論
• Gelfand
• 數學
• 科學齣版社
• 第二版
• POD
• 抽象代數
• 代數幾何

店鋪： 北尚圖書專營店

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030234810

商品編碼：25895392018

包裝：精裝

齣版時間：2009-01-01

基本信息

書名:POD-同調代數方法(第二版)

定價：168.00元

售價：100.8元,便宜67.2元,摺扣60

作者:(德)蓋爾範德(Gelfand S.I.)

齣版社：科學齣版社

齣版日期：2009-01-01

ISBN：9787030234810

字數：

頁碼：

版次：1

裝幀：精裝

開本：16開

商品重量：0.740kg

編輯推薦

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內容提要

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Homological algebra first arose as a language for describing topological prospects of geometrical objects. As with every successful language it quickly expanded its coverage and semantics， and its contemporary applications are many and diverse. This moderapproach to homological algebra， by two leading writers ithe field， is based othe systematic use of the language and ideas of derived categories and derived functors. Relations with standard cohomology theory (sheaf cohomology， spectral sequences， etc.) are described. Imost cases plete proofs are given. Basic concepts and results of homotopical algebra are also presented. The book addresses people who want to leara moderapproach to homological algebra and to use it itheir work. For the second editiothe authors have made numerous corrections.

目錄

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Ⅰ．Simplicial Sets
Ⅰ．1 Triangulated Spaces
Ⅰ．2 Simplicial Sets
Ⅰ．3 Simplicial Topological Spaces and the Eilenberg-Zilber Theorem
Ⅰ．4 Homology and Cohmology
Ⅰ．5 Sheaves
Ⅰ．6 The Exact Sequence
Ⅰ．7 Complexes

Ⅱ．MaiNotions of the Category Theory
Ⅱ．1 The Language of Categories and Functors
Ⅱ．2 Categories and Structures， Equivalence of Categories
Ⅱ．3 Structures and Categories．Representable Functors
Ⅱ．4 Category Approach to the Constructioof Geometrical Objects
Ⅱ．5 Additive and AbeliaCategories
Ⅱ．6 Functors iAbeliaCategories

Ⅲ．Derived Categories and Derived Functors
Ⅲ．1 Complexes as Generalized Objects
Ⅲ．2 Derived Categories and Localization
Ⅲ．3 Triangles as Generalized Exact Triples
Ⅲ．4 Derived Category as the Localizatioof Homotopic Category
Ⅲ．5 The Structure of the Derived Category
Ⅲ．6 Derived Functors
Ⅲ．7 Derived Functor of the Composition．Spectral Sequence
Ⅲ．8 Sheaf Cohomology

Ⅳ．Triangulated Categories
Ⅳ．1 Triangulated Categories
Ⅳ．2 Derived Categories Are Triangulated
Ⅳ．3 AExample： The Triangulated Category of A-Modules
Ⅳ．4 Cores

Ⅴ．Introductioto Homotopic Algebra
Ⅴ．1 Closed Model Categories
Ⅴ．2 Homotopic Characterizatioof Weak Equivalences．
Ⅴ．3 DG-Algebras as a Closed Model Category
Ⅴ．4 Minimal Algebras
Ⅴ．5 Equivalence of Homotopy Categories

References
Index

作者介紹

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文摘

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序言

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好的，這是一份關於一本名為《POD-同調代數方法（第二版）》的圖書的詳細簡介，內容將聚焦於同調代數這一數學分支的廣闊領域、發展曆程、核心概念以及其在現代數學中的重要應用，但不會涉及您提到的具體書籍內容本身。 --- 《同調代數方法：理論、應用與現代前沿》 導言：數學語言的深化與抽象革命 同調代數是二十世紀中葉興起的一支強大的數學理論，它源於代數拓撲學的實際需求，但迅速發展成為一個獨立且影響深遠的領域。它提供瞭一種係統性的、依賴於“鏈復形”和“函子”的語言，用於研究代數結構（如群、環、模）和幾何對象（如拓撲空間）的“洞”或“非零維度的信息”。如果說傳統的綫性代數關注結構如何是什麼（例如，嚮量空間的維數），那麼同調代數則關注結構如何不是什麼，或者說，它們與某些基本結構之間存在的“不精確性”或“偏差”。 本書旨在全麵、深入地探討同調代數的理論基礎、關鍵技術及其在多個數學分支中的廣泛應用。我們力求構建一個清晰的邏輯框架，幫助讀者從基礎的鏈復形概念齣發，逐步掌握同調與上同調的精髓，並最終領略其在代數幾何、錶示論、代數K理論等前沿領域的威力。 第一部分：基礎的奠基——鏈復形與同調群的構建 同調代數的全部結構都建立在一個核心概念之上：鏈復形（Chain Complex）。一個鏈復形是一係列對象的序列，這些對象（稱為鏈群）通過一係列稱為邊界映射（Boundary Maps）的態射連接起來，這些映射滿足一個關鍵的恒等式：復閤映射為零（即 $partial circ partial = 0$）。這保證瞭邊界的邊界總是一個“空洞”。 在這一部分，我們將詳細闡述鏈復形的構造，包括自由鏈復形、投射鏈復形和內射鏈復形的構造原理。隨後，我們將引入同調群（Homology Groups）的概念。給定一個鏈復形 $C_$，其 $n$ 階同調群 $H_n(C_)$ 定義為 $n$ 階循環群（Cycles）模去 $n$ 階邊界群（Boundaries）。這是我們衡量“不精確性”的第一個量化工具。 緊接著，我們將介紹上同調群（Cohomology Groups），它們在概念上與同調群對偶，但通過對偶操作（如 $ ext{Hom}$ 函子）從協鏈復形中導齣。在代數拓撲中，上同調群通常比同調群擁有更豐富的結構，例如，它們裝備瞭上積（Cup Product）結構，使得它們可以進行代數乘法運算。 第二部分：函子、精確序列與穩定結構 同調代數的強大之處在於其“函子性”。我們探討左正閤函子（Left Exact Functors）和右正閤函子（Right Exact Functors）。由於自然界中許多重要的結構保留操作（如張量積 $-otimes_R -$ 和 $ ext{Hom}_R(-, M)$）並不總是保持這種精確性，我們就需要引入“修正”工具。 本部分的核心是內射函子（Injective Functors）和投射函子（Projective Functors）的概念。對於一個右正閤函子 $F$，我們利用投射分解來定義其右正導函子（Right Derived Functors），記作 $R^i F$。最著名的例子包括 $ ext{Tor}$ 函子（由張量積導齣）和 $ ext{Ext}$ 函子（由 $ ext{Hom}$ 導齣）。我們將深入研究 $ ext{Tor}$ 函子在描述張量積的“扭麯”程度中的作用，以及 $ ext{Ext}$ 函子在描述模的擴張（即短精確序列的分類）中的核心地位。 此外，我們將詳細分析長正閤序列（Long Exact Sequences）的構造。著名的五引理（The Five Lemma）是證明許多代數結構保持同構的基石。通過特定的結構（如蛇形引理），我們可以將一個局部的精確性信息傳遞到全局的同調群中，形成一條無窮長的精確序列，這是進行計算和證明的關鍵技術。 第三部分：深化理論——譜序列與函數代數 當鏈復形的結構變得過於復雜，無法直接通過短正閤序列來處理時，譜序列（Spectral Sequences）成為我們終極的計算工具。譜序列可以看作是“漸近收斂”到我們感興趣的同調群的工具。它提供瞭一個多階段的過濾和微分過程。 我們將重點介紹兩種最常見的譜序列： 1. 收縮譜序列（Grothendieck Spectral Sequence）：它處理由復閤函子産生的同調或上同調信息，尤其是在層上同調（Sheaf Cohomology）中扮演關鍵角色。 2. 雙復形譜序列（Double Complex Spectral Sequence）：它處理具有雙重結構的鏈復形，允許我們通過不同的“方嚮”計算同調，並最終收斂到雙重同調群。 這一部分的難點在於理解收斂的概念以及如何從譜序列的 $E_r$ 項中提取最終結果 $E_infty$ 項，並利用微分信息重建信息。 第四部分：同調代數在現代數學中的核心應用 同調代數早已超越瞭其在代數拓撲中的起源，成為現代數學的“通用語言”之一。 1. 代數幾何與層上同調（Sheaf Cohomology）：在代數幾何中，我們不再直接處理拓撲空間，而是研究代數簇上的結構層。層上同調 $H^i(X, mathcal{F})$ 衡量瞭在空間 $X$ 上定義一個截麵（如函數）的局部到全局的“可粘貼性”問題。它是定義貝蒂數、研究範疇的構造性工具。 2. 錶示論（Representation Theory）：對於有限群或李代數的錶示理論，$ ext{Ext}$ 函子被用來分類不可分解模之間的“擴張”，即它們如何通過短正閤序列連接起來。$ ext{Tor}$ 函子則與特定類型模的張量積性質相關聯。 3. 代數K理論（Algebraic K-Theory）：K理論，特彆是基K群 $K_0$ 和 $K_1$，是研究環中矩陣代數結構的工具。同調代數方法，特彆是利用高階K函子 $K_n$ 的譜序列（如高地爾-貝林譜序列），是連接代數K理論與更傳統的同調理論的關鍵橋梁。 4. 交換代數中的應用：在交換環和模的理論中，同調工具被用來研究正則局部環的性質、深度（Depth）和維數理論，特彆是通過相交理論（Intersection Theory）來描述代數對象的幾何重數。 結論：理論的深度與計算的廣度 掌握同調代數，意味著掌握瞭用代數語言精確描述結構“缺陷”的能力。它提供瞭一套強大而統一的框架，使研究者能夠從不同的視角（拓撲、幾何、代數）對復雜結構進行係統分析。本書的結構設計旨在引導讀者不僅理解這些工具如何工作，更重要的是理解它們為何在如此廣泛的數學領域中被視為不可或缺的基石。通過對函子、分解、譜序列的深入探討，讀者將具備在代數前沿領域中獨立構建和應用同調方法的堅實基礎。

評分☆☆☆☆☆

從讀者的角度來看，一本優秀的數學書的“手感”非常重要，而一本權威的第二版，意味著它已經經過瞭時間的考驗和同行的審視。如果這本書主要聚焦於基礎的同調代數，那麼它必然會花費大量的篇幅來建立清晰的語言體係，避免在術語上産生歧義。我設想它會非常紮實地從阿貝爾群和模開始，逐步引入三角範疇的概念，為後續的更高級理論——比如局部上同調或導齣代數幾何——打下不可動搖的基礎。考慮到Gelfand的背景，我強烈預感此書在處理與代數幾何或錶示論緊密相關的部分時，會有一些非同尋常的、更具幾何洞察力的切入點。例如，如何用同調語言來重新解釋張量積的性質，或者如何巧妙地利用函子性質來證明一些看似與同調無關的定理。對於渴望從“會算”到“真懂”跨越的讀者來說，這本書的價值就在於其提供的深層連接，而非僅僅是公式的堆砌。

評分☆☆☆☆☆

閱讀一本厚重的數學專著，常常是一種既痛苦又愉悅的煎熬，而《POD-同調代數方法（第二版）》聽起來就屬於這種能讓人心生敬畏的經典之作。我設想這本書的排版和論證邏輯一定是非常考究的，畢竟是科學齣版社齣版的俄國數學傢的著作，這種“硬核”的風格往往意味著對讀者基礎知識要求較高，但一旦攻剋，收獲的將是思維方式的徹底重塑。同調理論的精髓在於其普適性和強大的“翻譯”能力，它能將拓撲的直觀概念轉化為純粹的代數運算。我猜測第二版可能會在某些應用案例上有所更新，也許會更緊密地聯係到現代的模理論或錶示論中的最新進展。對於那些在研究生階段努力爬坡的年輕人來說，這本書可能不是一本輕鬆的入門讀物，但它絕對是一座燈塔，指引著如何從基礎公理齣發，一步步構建起宏偉的同調大廈。我非常好奇它在處理諸如譜序列（Spectral Sequences）這類復雜工具時，是否采用瞭Gelfand獨有的、令人豁然開朗的視角來簡化那些初看令人望而生畏的計算。

評分☆☆☆☆☆

對於任何研究代數結構本質的學者而言，一本名為“方法”的教材，其價值往往超越瞭單純的知識羅列，它關乎的是一種看待問題的“範式”。這部由Gelfand領銜的《同調代數方法（第二版）》，我揣測其最大的魅力在於它所蘊含的深刻洞察力。同調代數往往是初學者感覺最抽象的領域之一，因為其對象——鏈復形、鏈群、函子——都帶有濃厚的“虛構性”。然而，正是這種虛構性，賦予瞭它跨越不同數學分支的魔力。我希望看到的是，作者如何巧妙地引入和貫穿主要的構造性思想，比如內射分解和射影分解如何自然地引齣右正和左正導函子。如果第二版能夠更清晰地闡述這些“分解”背後的幾何直覺，那麼它就不僅僅是一本參考書，更是一本能夠激發創新思維的“心法秘籍”。尤其是在涉及到函子性質的證明時，那些看似繁瑣的對角論證，我期待看到大師如何用最簡潔、最優雅的方式將其馴服，讓讀者真正體會到代數美學的力量。

評分☆☆☆☆☆

這本《POD-同調代數方法（第二版）》的作者陣容著實令人敬佩，Gelfand S.I.這個名字本身就是數學領域一塊響亮的招牌，讓人不禁聯想到那些深邃而優雅的理論構建。雖然我手頭並沒有這本書的實體或電子版，但光是衝著這個標題和作者的背景，我就能想象它在同調代數領域的重要性。同調代數，這門理論工具的集大成者，在代數幾何、拓撲學乃至數學物理中都扮演著至關重要的角色，它提供瞭一種強大的框架來“測量”空間的“洞”和代數結構的復雜性。我猜想，第二版在繼承第一版精華的基礎上，必然會根據近年來該領域的發展做齣重要的補充和完善。也許它會更深入地探討導齣範疇的構造，或者在某些經典主題上給齣更簡潔、更現代的闡述。對於一個渴望在代數世界裏深耕的讀者來說，擁有這樣一本由大師親自操刀的著作，無疑是為自己的知識體係打下堅實的幾何與代數交叉點的基礎。我期待看到它在細節處理上的精確性，以及對復雜概念的清晰度，畢竟Gelfand的著作往往以其嚴謹和深刻而聞名。

評分☆☆☆☆☆

這本書的“第二版”標識尤其引人注目，它暗示著作者對時代發展脈絡的跟進和自我修正。在拓撲和代數領域，術語和主流觀點會隨著時間推移而小幅演變，一個負責任的第二版必須反映這些變化，使其理論框架保持在當代研究的前沿。我猜想，相比第一版，第二版在處理Sheaf（層）同調時可能會更加現代化，也許會引入更多關於導齣範疇的預備知識，或者在某些基礎性的構造上采用瞭更現代的術語，比如采用Derived Functors的更統一的記號。對於那些已經接觸過一些基礎同調概念的讀者來說，他們最期待的，往往是關於“譜序列”的論述能否更加通俗易懂，因為譜序列是同調代數中最強大但也最容易讓人迷失的工具之一。如果Gelfand能提供一個清晰的“地圖”來導航這些復雜的計算，那麼這本書的實用價值將得到幾何級的提升，成為不可替代的案頭工具書。