POD-同调代数方法(第二版) (德)盖尔范德(Gelfand S.I.) 科学出版社 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[德] 盖尔范德（Gelfand S.I.） 著

图书标签:

• 同调代数
• 代数拓扑
• 表示论
• Gelfand
• 数学
• 科学出版社
• 第二版
• POD
• 抽象代数
• 代数几何

店铺： 北尚图书专营店

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030234810

商品编码：25895392018

包装：精装

出版时间：2009-01-01

基本信息

书名:POD-同调代数方法(第二版)

定价：168.00元

售价：100.8元,便宜67.2元,折扣60

作者:(德)盖尔范德(Gelfand S.I.)

出版社：科学出版社

出版日期：2009-01-01

ISBN：9787030234810

字数：

页码：

版次：1

装帧：精装

开本：16开

商品重量：0.740kg

编辑推荐

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内容提要

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Homological algebra first arose as a language for describing topological prospects of geometrical objects. As with every successful language it quickly expanded its coverage and semantics， and its contemporary applications are many and diverse. This moderapproach to homological algebra， by two leading writers ithe field， is based othe systematic use of the language and ideas of derived categories and derived functors. Relations with standard cohomology theory (sheaf cohomology， spectral sequences， etc.) are described. Imost cases plete proofs are given. Basic concepts and results of homotopical algebra are also presented. The book addresses people who want to leara moderapproach to homological algebra and to use it itheir work. For the second editiothe authors have made numerous corrections.

目录

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Ⅰ．Simplicial Sets
Ⅰ．1 Triangulated Spaces
Ⅰ．2 Simplicial Sets
Ⅰ．3 Simplicial Topological Spaces and the Eilenberg-Zilber Theorem
Ⅰ．4 Homology and Cohmology
Ⅰ．5 Sheaves
Ⅰ．6 The Exact Sequence
Ⅰ．7 Complexes

Ⅱ．MaiNotions of the Category Theory
Ⅱ．1 The Language of Categories and Functors
Ⅱ．2 Categories and Structures， Equivalence of Categories
Ⅱ．3 Structures and Categories．Representable Functors
Ⅱ．4 Category Approach to the Constructioof Geometrical Objects
Ⅱ．5 Additive and AbeliaCategories
Ⅱ．6 Functors iAbeliaCategories

Ⅲ．Derived Categories and Derived Functors
Ⅲ．1 Complexes as Generalized Objects
Ⅲ．2 Derived Categories and Localization
Ⅲ．3 Triangles as Generalized Exact Triples
Ⅲ．4 Derived Category as the Localizatioof Homotopic Category
Ⅲ．5 The Structure of the Derived Category
Ⅲ．6 Derived Functors
Ⅲ．7 Derived Functor of the Composition．Spectral Sequence
Ⅲ．8 Sheaf Cohomology

Ⅳ．Triangulated Categories
Ⅳ．1 Triangulated Categories
Ⅳ．2 Derived Categories Are Triangulated
Ⅳ．3 AExample： The Triangulated Category of A-Modules
Ⅳ．4 Cores

Ⅴ．Introductioto Homotopic Algebra
Ⅴ．1 Closed Model Categories
Ⅴ．2 Homotopic Characterizatioof Weak Equivalences．
Ⅴ．3 DG-Algebras as a Closed Model Category
Ⅴ．4 Minimal Algebras
Ⅴ．5 Equivalence of Homotopy Categories

References
Index

作者介绍

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文摘

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序言

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好的，这是一份关于一本名为《POD-同调代数方法（第二版）》的图书的详细简介，内容将聚焦于同调代数这一数学分支的广阔领域、发展历程、核心概念以及其在现代数学中的重要应用，但不会涉及您提到的具体书籍内容本身。 --- 《同调代数方法：理论、应用与现代前沿》 导言：数学语言的深化与抽象革命 同调代数是二十世纪中叶兴起的一支强大的数学理论，它源于代数拓扑学的实际需求，但迅速发展成为一个独立且影响深远的领域。它提供了一种系统性的、依赖于“链复形”和“函子”的语言，用于研究代数结构（如群、环、模）和几何对象（如拓扑空间）的“洞”或“非零维度的信息”。如果说传统的线性代数关注结构如何是什么（例如，向量空间的维数），那么同调代数则关注结构如何不是什么，或者说，它们与某些基本结构之间存在的“不精确性”或“偏差”。 本书旨在全面、深入地探讨同调代数的理论基础、关键技术及其在多个数学分支中的广泛应用。我们力求构建一个清晰的逻辑框架，帮助读者从基础的链复形概念出发，逐步掌握同调与上同调的精髓，并最终领略其在代数几何、表示论、代数K理论等前沿领域的威力。 第一部分：基础的奠基——链复形与同调群的构建 同调代数的全部结构都建立在一个核心概念之上：链复形（Chain Complex）。一个链复形是一系列对象的序列，这些对象（称为链群）通过一系列称为边界映射（Boundary Maps）的态射连接起来，这些映射满足一个关键的恒等式：复合映射为零（即 $partial circ partial = 0$）。这保证了边界的边界总是一个“空洞”。 在这一部分，我们将详细阐述链复形的构造，包括自由链复形、投射链复形和内射链复形的构造原理。随后，我们将引入同调群（Homology Groups）的概念。给定一个链复形 $C_$，其 $n$ 阶同调群 $H_n(C_)$ 定义为 $n$ 阶循环群（Cycles）模去 $n$ 阶边界群（Boundaries）。这是我们衡量“不精确性”的第一个量化工具。 紧接着，我们将介绍上同调群（Cohomology Groups），它们在概念上与同调群对偶，但通过对偶操作（如 $ ext{Hom}$ 函子）从协链复形中导出。在代数拓扑中，上同调群通常比同调群拥有更丰富的结构，例如，它们装备了上积（Cup Product）结构，使得它们可以进行代数乘法运算。 第二部分：函子、精确序列与稳定结构 同调代数的强大之处在于其“函子性”。我们探讨左正合函子（Left Exact Functors）和右正合函子（Right Exact Functors）。由于自然界中许多重要的结构保留操作（如张量积 $-otimes_R -$ 和 $ ext{Hom}_R(-, M)$）并不总是保持这种精确性，我们就需要引入“修正”工具。 本部分的核心是内射函子（Injective Functors）和投射函子（Projective Functors）的概念。对于一个右正合函子 $F$，我们利用投射分解来定义其右正导函子（Right Derived Functors），记作 $R^i F$。最著名的例子包括 $ ext{Tor}$ 函子（由张量积导出）和 $ ext{Ext}$ 函子（由 $ ext{Hom}$ 导出）。我们将深入研究 $ ext{Tor}$ 函子在描述张量积的“扭曲”程度中的作用，以及 $ ext{Ext}$ 函子在描述模的扩张（即短精确序列的分类）中的核心地位。 此外，我们将详细分析长正合序列（Long Exact Sequences）的构造。著名的五引理（The Five Lemma）是证明许多代数结构保持同构的基石。通过特定的结构（如蛇形引理），我们可以将一个局部的精确性信息传递到全局的同调群中，形成一条无穷长的精确序列，这是进行计算和证明的关键技术。 第三部分：深化理论——谱序列与函数代数 当链复形的结构变得过于复杂，无法直接通过短正合序列来处理时，谱序列（Spectral Sequences）成为我们终极的计算工具。谱序列可以看作是“渐近收敛”到我们感兴趣的同调群的工具。它提供了一个多阶段的过滤和微分过程。 我们将重点介绍两种最常见的谱序列： 1. 收缩谱序列（Grothendieck Spectral Sequence）：它处理由复合函子产生的同调或上同调信息，尤其是在层上同调（Sheaf Cohomology）中扮演关键角色。 2. 双复形谱序列（Double Complex Spectral Sequence）：它处理具有双重结构的链复形，允许我们通过不同的“方向”计算同调，并最终收敛到双重同调群。 这一部分的难点在于理解收敛的概念以及如何从谱序列的 $E_r$ 项中提取最终结果 $E_infty$ 项，并利用微分信息重建信息。 第四部分：同调代数在现代数学中的核心应用 同调代数早已超越了其在代数拓扑中的起源，成为现代数学的“通用语言”之一。 1. 代数几何与层上同调（Sheaf Cohomology）：在代数几何中，我们不再直接处理拓扑空间，而是研究代数簇上的结构层。层上同调 $H^i(X, mathcal{F})$ 衡量了在空间 $X$ 上定义一个截面（如函数）的局部到全局的“可粘贴性”问题。它是定义贝蒂数、研究范畴的构造性工具。 2. 表示论（Representation Theory）：对于有限群或李代数的表示理论，$ ext{Ext}$ 函子被用来分类不可分解模之间的“扩张”，即它们如何通过短正合序列连接起来。$ ext{Tor}$ 函子则与特定类型模的张量积性质相关联。 3. 代数K理论（Algebraic K-Theory）：K理论，特别是基K群 $K_0$ 和 $K_1$，是研究环中矩阵代数结构的工具。同调代数方法，特别是利用高阶K函子 $K_n$ 的谱序列（如高地尔-贝林谱序列），是连接代数K理论与更传统的同调理论的关键桥梁。 4. 交换代数中的应用：在交换环和模的理论中，同调工具被用来研究正则局部环的性质、深度（Depth）和维数理论，特别是通过相交理论（Intersection Theory）来描述代数对象的几何重数。 结论：理论的深度与计算的广度 掌握同调代数，意味着掌握了用代数语言精确描述结构“缺陷”的能力。它提供了一套强大而统一的框架，使研究者能够从不同的视角（拓扑、几何、代数）对复杂结构进行系统分析。本书的结构设计旨在引导读者不仅理解这些工具如何工作，更重要的是理解它们为何在如此广泛的数学领域中被视为不可或缺的基石。通过对函子、分解、谱序列的深入探讨，读者将具备在代数前沿领域中独立构建和应用同调方法的坚实基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书的“第二版”标识尤其引人注目，它暗示着作者对时代发展脉络的跟进和自我修正。在拓扑和代数领域，术语和主流观点会随着时间推移而小幅演变，一个负责任的第二版必须反映这些变化，使其理论框架保持在当代研究的前沿。我猜想，相比第一版，第二版在处理Sheaf（层）同调时可能会更加现代化，也许会引入更多关于导出范畴的预备知识，或者在某些基础性的构造上采用了更现代的术语，比如采用Derived Functors的更统一的记号。对于那些已经接触过一些基础同调概念的读者来说，他们最期待的，往往是关于“谱序列”的论述能否更加通俗易懂，因为谱序列是同调代数中最强大但也最容易让人迷失的工具之一。如果Gelfand能提供一个清晰的“地图”来导航这些复杂的计算，那么这本书的实用价值将得到几何级的提升，成为不可替代的案头工具书。

评分☆☆☆☆☆

对于任何研究代数结构本质的学者而言，一本名为“方法”的教材，其价值往往超越了单纯的知识罗列，它关乎的是一种看待问题的“范式”。这部由Gelfand领衔的《同调代数方法（第二版）》，我揣测其最大的魅力在于它所蕴含的深刻洞察力。同调代数往往是初学者感觉最抽象的领域之一，因为其对象——链复形、链群、函子——都带有浓厚的“虚构性”。然而，正是这种虚构性，赋予了它跨越不同数学分支的魔力。我希望看到的是，作者如何巧妙地引入和贯穿主要的构造性思想，比如内射分解和射影分解如何自然地引出右正和左正导函子。如果第二版能够更清晰地阐述这些“分解”背后的几何直觉，那么它就不仅仅是一本参考书，更是一本能够激发创新思维的“心法秘籍”。尤其是在涉及到函子性质的证明时，那些看似繁琐的对角论证，我期待看到大师如何用最简洁、最优雅的方式将其驯服，让读者真正体会到代数美学的力量。

评分☆☆☆☆☆

从读者的角度来看，一本优秀的数学书的“手感”非常重要，而一本权威的第二版，意味着它已经经过了时间的考验和同行的审视。如果这本书主要聚焦于基础的同调代数，那么它必然会花费大量的篇幅来建立清晰的语言体系，避免在术语上产生歧义。我设想它会非常扎实地从阿贝尔群和模开始，逐步引入三角范畴的概念，为后续的更高级理论——比如局部上同调或导出代数几何——打下不可动摇的基础。考虑到Gelfand的背景，我强烈预感此书在处理与代数几何或表示论紧密相关的部分时，会有一些非同寻常的、更具几何洞察力的切入点。例如，如何用同调语言来重新解释张量积的性质，或者如何巧妙地利用函子性质来证明一些看似与同调无关的定理。对于渴望从“会算”到“真懂”跨越的读者来说，这本书的价值就在于其提供的深层连接，而非仅仅是公式的堆砌。

评分☆☆☆☆☆

这本《POD-同调代数方法（第二版）》的作者阵容着实令人敬佩，Gelfand S.I.这个名字本身就是数学领域一块响亮的招牌，让人不禁联想到那些深邃而优雅的理论构建。虽然我手头并没有这本书的实体或电子版，但光是冲着这个标题和作者的背景，我就能想象它在同调代数领域的重要性。同调代数，这门理论工具的集大成者，在代数几何、拓扑学乃至数学物理中都扮演着至关重要的角色，它提供了一种强大的框架来“测量”空间的“洞”和代数结构的复杂性。我猜想，第二版在继承第一版精华的基础上，必然会根据近年来该领域的发展做出重要的补充和完善。也许它会更深入地探讨导出范畴的构造，或者在某些经典主题上给出更简洁、更现代的阐述。对于一个渴望在代数世界里深耕的读者来说，拥有这样一本由大师亲自操刀的著作，无疑是为自己的知识体系打下坚实的几何与代数交叉点的基础。我期待看到它在细节处理上的精确性，以及对复杂概念的清晰度，毕竟Gelfand的著作往往以其严谨和深刻而闻名。

评分☆☆☆☆☆

阅读一本厚重的数学专著，常常是一种既痛苦又愉悦的煎熬，而《POD-同调代数方法（第二版）》听起来就属于这种能让人心生敬畏的经典之作。我设想这本书的排版和论证逻辑一定是非常考究的，毕竟是科学出版社出版的俄国数学家的著作，这种“硬核”的风格往往意味着对读者基础知识要求较高，但一旦攻克，收获的将是思维方式的彻底重塑。同调理论的精髓在于其普适性和强大的“翻译”能力，它能将拓扑的直观概念转化为纯粹的代数运算。我猜测第二版可能会在某些应用案例上有所更新，也许会更紧密地联系到现代的模理论或表示论中的最新进展。对于那些在研究生阶段努力爬坡的年轻人来说，这本书可能不是一本轻松的入门读物，但它绝对是一座灯塔，指引着如何从基础公理出发，一步步构建起宏伟的同调大厦。我非常好奇它在处理诸如谱序列（Spectral Sequences）这类复杂工具时，是否采用了Gelfand独有的、令人豁然开朗的视角来简化那些初看令人望而生畏的计算。