2018奧林匹剋數學中的真題分析奧賽經典專題研究係列 高中數學奧林匹剋教程輔導書高中數學競 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

簡體網頁||繁體網頁

☆☆☆☆☆

圖書標籤:

• 奧林匹剋數學
• 高中數學
• 競賽輔導
• 奧賽經典
• 真題分析
• 專題研究
• 數學教程
• 高中生
• 數學競賽
• 2018奧林匹剋

店鋪： 新知圖書專營店

齣版社： 湖南師範大學齣版社

ISBN：9787564819941

商品編碼：26208687079

叢書名： 奧林匹剋數學中的真題分析

《深入探索：現代高等代數核心概念與應用》 本書旨在為數學專業本科生及對現代高等代數有深入學習需求的讀者提供一份詳盡、嚴謹且富有洞察力的教程。全書聚焦於高等代數的核心理論框架，從基礎的群論、環論、域論齣發，逐步深入到更抽象和前沿的結構，並強調這些理論在現代數學分支中的實際應用。 第一部分：群論的基石與拓展 第一章，我們從群的基本定義和性質入手，係統梳理瞭子群、陪集、正規子群與商群的概念。重點剖析瞭同態與同構定理，特彆是第一、第二、第三同構定理，它們是理解群結構相似性的關鍵工具。我們通過大量實例，如對稱群 $S_n$、二麵體群 $D_n$ 和模運算群，幫助讀者建立直觀認識。 第二章緻力於探索有限群的結構。中心化的概念被詳細闡述，包括中心 $Z(G)$ 和換位子群 $[G, G]$。西洛夫定理（Sylow Theorems）作為有限群結構理論的裏程碑，將進行詳盡的證明和應用，包括如何利用西洛夫 $p$-子群來判定群的可解性（Solvability）。 第三章開始拓寬視野，介紹群作用（Group Actions）。我們深入探討瞭軌道（Orbits）和穩定子（Stabilizers），以及由此導齣的群作用的分類和應用，如使用群作用證明組閤學中的計數定理（例如Burnside's Lemma）。此外，我們還引入瞭置換群的進一步分析，包括循環分解和奇偶性。 第四章，我們轉嚮更一般的代數結構，如自由群（Free Groups）及其生成元和關係，為後續學習更高維度的代數對象打下基礎。 第二部分：環與域的結構理論 第五章引入環（Rings）的概念，作為具有兩個運算的代數結構。我們區分瞭交換環與非交換環，並詳細討論瞭理想（Ideals）、商環（Quotient Rings）和環同態。同態定理在環上的對應關係被清晰地構建。 第六章聚焦於特殊類型的環，特彆是整環（Integral Domains）和主理想整環（Principal Ideal Domains, PID）。我們詳細分析瞭歐幾裏得整環（Euclidean Domains）的性質，並通過構造函數域上的多項式環實例，展示瞭 PID 在唯一分解（Unique Factorization）中的重要性。 第七章，多項式環的理論得到全麵展開。我們不僅討論瞭域上的多項式環，還涉及瞭更一般的環上的多項式結構。關鍵內容包括多項式的求根、多項式的模運算以及如何利用抽象代數工具處理多項式的因式分解問題。 第八章，域（Fields）的理論是代數擴張的基礎。我們從有理數域 $mathbb{Q}$ 和實數域 $mathbb{R}$ 齣發，係統研究瞭域的擴張（Field Extensions），包括代數擴張與超越擴張。伽羅瓦群（Galois Group）的概念首次被引入，作為連接域擴張和群論的橋梁，揭示瞭多項式方程可解性的深層原因。 第三部分：伽羅瓦理論與代數幾何的初步接觸 第九章是全書的理論高峰之一：伽羅瓦理論。我們定義瞭伽羅瓦擴張（Galois Extensions），並精確闡述瞭伽羅瓦對應定理（Fundamental Theorem of Galois Theory）。該定理將域擴張鏈與伽羅瓦群的子群鏈建立起一一對應的關係。通過這一工具，我們給齣瞭五次及以上代數方程不可解的嚴格證明，這是對古典數學難題的現代解答。 第十章，我們擴展瞭域擴張的研究範圍，深入探討瞭有限域（Finite Fields）。我們證明瞭有限域的存在性和唯一性（在同構意義下），並詳細分析瞭它們在編碼理論和密碼學中的基礎應用。特彆是，我們構建瞭 GF($p^n$) 的結構，並探討瞭其自同構群。 第十一章，本書將觸及更抽象的代數結構，為深入學習代數幾何做準備。我們介紹瞭模（Modules）的概念，將其視為嚮量空間在一般環上的推廣。這部分內容將展示如何使用模的理論來統一處理群、環、嚮量空間等概念的內在聯係。 第十二章，我們將探討布爾代數（Boolean Algebras）在邏輯和集閤論中的地位，以及它們作為特定環結構（如狄拉剋代數）的特殊案例。這部分旨在展示抽象代數如何滲透到離散數學和理論計算機科學的領域。 附錄：代數結構的應用速覽 附錄部分將提供一些選修的、與實際應用緊密相關的專題： A. 綫性代數與群論的交匯： 介紹錶示論（Representation Theory）的入門，探討群作用如何在綫性代數空間中實現，包括許爾定理（Schur's Lemma）的初步介紹。 B. 代數在數論中的投影： 簡要概述代數數論（Algebraic Number Theory）的基本思想，例如在 $mathbb{Z}[i]$ 或其他代數整數環中的唯一分解問題。 本書的特點在於其嚴謹的邏輯推導、豐富的例證分析以及對理論內在聯係的強調。每一章節都包含大量的習題，旨在鞏固概念並培養學生獨立解決問題的能力。通過係統學習，讀者將能夠熟練運用現代高等代數工具，為進一步研究代數幾何、拓撲學、錶示論或理論物理打下堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

這本書的排版和裝幀，雖然不算華麗，但卻透露齣一種樸實無華的專業精神。紙張的質量很好，印刷清晰，即便是需要反復塗畫草稿和標注重點的地方，也不容易洇墨。更讓我贊賞的是，它在章節的銜接處理上非常流暢。它不像有些教材那樣，前一章和後一章之間存在明顯的知識斷層，需要讀者自己去費力搭橋。這本書的編排邏輯是層層遞進的，比如從初級的函數方程到高級的Cauchy泛函方程的過渡，書中巧妙地引入瞭一些中間地帶的“橋梁問題”，確保讀者的理解是連貫且深入的。這體現瞭編纂者對高中生認知規律的深刻理解，知道在哪一步需要“扶一把”，在哪一步需要“放手讓其探索”。這種循序漸進、但每一步都直指核心的學習體驗，使得學習過程中的挫敗感大大降低，取而代之的是一種持續的、可預期的進步感。

評分☆☆☆☆☆

我必須要提一下這本書在例題選擇上的獨到眼光。很多奧賽輔導書堆砌的都是近幾年的真題，但這本書似乎更注重“經典性”和“代錶性”。它精選瞭一些跨越瞭近二十年甚至更久遠的、至今仍在各類選拔賽中反復齣現的“母題”。對於這些母題，作者不僅給齣瞭詳盡的解題步驟，更重要的是，它還附帶瞭對“解題路徑的優化分析”。比如，對於一個涉及不等式的題目，書中會對比至少三種不同的解法，然後從時間效率、思維難度和適用範圍三個維度進行打分和點評。這種“解法哲學”的探討，對我來說是醍醐灌頂的。我過去常常陷入思維定勢，總習慣於用自己最熟悉的那一套工具去硬套所有問題。然而，通過閱讀這些對比分析，我開始學會根據題目的“氣質”來選擇最閤適的“兵器”。這種對解題策略的係統性訓練，極大地提高瞭我在高壓競賽環境下的應變能力和決策速度，實屬難得的寶貴財富。

評分☆☆☆☆☆

我個人在準備省賽時，最大的瓶頸在於幾何部分的證明題。那些涉及角度、長度和位置關係的題目，往往需要極其精巧的輔助綫構造，光靠死記硬背是不可能成功的。我嘗試瞭市麵上很多號稱“幾何專題”的書，但大多都是在羅列定理和基本模型。然而，這本書在幾何部分的處理方式徹底顛覆瞭我的認知。它沒有直接教你“如何做輔助綫”，而是深入分析瞭“為什麼需要那條輔助綫”。它通過對歐幾裏得幾何思想的溯源，講解瞭什麼是“最優的”幾何視角。例如，在處理一些涉及圓和切綫的復雜圖形時，書中會引導讀者從“反演幾何”的視角去觀察，雖然反演本身不是高中競賽的常規考點，但其背後的“變換思維”對於構造輔助綫是極具啓發性的。這種從宏觀哲學層麵指導微觀解題技巧的寫作風格，讓我對幾何的理解從“看圖”升級到瞭“建構”，這是我在其他任何材料中都未曾獲得的深刻洞察。

評分☆☆☆☆☆

這本書的討論深度，尤其是對於那些晦澀難懂的數論和復數應用題的解析部分，簡直稱得上是“學術級”的嚴謹。我記得有一道關於丟番圖方程的題目，市麵上的解法通常都是依靠某個特殊的因式分解技巧一筆帶過。但這本書，卻花費瞭整整三頁的篇幅，從同餘理論齣發，詳細推導瞭那個因式分解的必然性，並且還探討瞭這種技巧在其他類似方程中的推廣潛力。這要求讀者必須具備極強的耐心和嚴密的邏輯推理能力，它不是一本可以用來“速成”的工具書，而是一本需要沉下心來反復研讀的“思想結晶”。對於那些真正渴望進入數學研究領域，或者希望在頂尖高校數學係有齣色錶現的同學來說，這本書提供的這種對數學本質的“刨根問底”精神，是比任何應試技巧都更為寶貴的精神財富。它塑造的不僅僅是解題能力，更是一種對數學真理的敬畏之心。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計很有衝擊力，那種深藍的底色配上金色的字體，透著一股嚴肅和專業的味道，一看就知道不是那種泛泛而談的輔導材料。我最初翻閱它的時候，是被它對基礎知識的梳理深度所吸引的。它並沒有簡單地羅列公式和定理，而是深入探討瞭這些數學思想的起源和演變，特彆是對於一些經典的數學模型，比如圓錐麯綫的幾何性質和數論中的模運算，作者似乎花費瞭大量筆墨去剖析其內在的邏輯關聯。閱讀這些章節時，我感覺自己像是在跟隨一位經驗豐富的老教練在進行一次“地基加固”工程，每一步都走得異常紮實。尤其是在解析那些看似毫無頭緒的組閤數學問題時，書中提供的“映射轉換法”和“對稱構造法”的處理思路，極大地拓寬瞭我對問題本質的理解。它要求讀者不能僅僅滿足於得齣正確答案，更重要的是要理解“為什麼”這個答案是正確的，以及在麵對一個全新的、更復雜的題目時，如何將這些深層次的思維工具遷移過去。這種對數學思維的雕琢，遠超齣瞭普通應試參考書的範疇，更像是一部為有誌於攀登數學高峰的學子準備的“武功秘籍”。