华中理工 数值分析(第5版)(李庆扬) 王能超 易大义 清华大学出版社 数值分析第五版教材 插值与逼 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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• 第五版

店铺： 翠林祥顺图书专营店

出版社： 清华大学出版社

ISBN：9787302185659

商品编码：30263078820

丛书名： 数值分析(第5版)(李庆扬)

开本：16开

出版时间：2010-05-01

 

 

普通高等教育十一五规划教材

  数值分析第5版

 

数值分析（第5版）

作    者：李庆扬 等编

出 版 社：清华大学出版社

出版时间：2008-12-1

ＩＳＢＮ：9787302185659

版 次：5

页 数：326

字 数：460000

印刷时间：2014-4-1

开 本：16开

纸 张：胶版纸

印 次：11

包 装：平装

定价：39.00元

本书是为理工科大学各专业普遍开设的“数值分析”课程编写的教材。其内容包括插值与逼近，数值微分与数值积分，非线性方程与线性方程组的数值解法，矩阵的特征值与特征向量计算，常微分方程数值解法。每章附有习题并在书末给出了部分答案，每章还附有复习与思考题和计算实习题。全书阐述严谨，脉络分明，深入浅出，便于教学。

本书也可作为理工科大学各专业研究生学位课程的教材，并可供从事科学计算的科技工作者参考。

 第1章 数值分析与科学计算引论  1.1 数值分析的对象、作用与特点    1.1.1 数学科学与数值分析    1.1.2 计算数学与科学计算    1.1.3 计算方法与

 

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探索计算的奥秘：数值分析的广阔天地 数值分析，作为连接数学理论与实际计算的桥梁，是一门至关重要的学科。它研究如何利用数学方法和计算机技术来近似求解那些解析方法难以处理或无法解决的问题。从工程设计到科学研究，从金融建模到数据挖掘，数值分析的身影无处不在。这门学科的核心在于“近似”，它教导我们如何在有限的计算资源下，以可接受的误差获得问题的有效解。 一、 数值分析的基石：误差的理解与控制 在数值计算的世界里，误差是不可避免的。无论是模型的简化、测量数据的离散化，还是计算过程本身的近似，都会引入误差。数值分析的首要任务就是理解这些误差的来源，并学会如何量化它们。 截断误差（Truncation Error）： 当我们用一个有限的过程（如泰勒级数展开的有限项）去逼近一个无限过程（如函数本身）时产生的误差。例如，用多项式逼近复杂的函数，多项式项数越多，逼近越好，但有限项必然带来截断误差。 舍入误差（Round-off Error）： 计算机在进行浮点运算时，由于表示精度的限制，会将精确的数值近似为机器可以表示的数，从而引入的误差。这种误差在连续的运算中会累积，对最终结果产生影响。 掌握误差理论，是进行可靠数值计算的前提。数值分析的教材往往会详细介绍各种误差的类型、传播规律以及误差的界定方法。理解了误差，我们才能选择合适的算法，控制计算的精度，并对结果的可靠性做出判断。 二、 神奇的“连接者”：插值与逼近 在数据分析和函数逼近的场景中，我们常常面临这样的问题：已知一系列离散的数据点，如何找到一个函数来描述这些数据点之间的关系？或者，如何用一个简单的函数（如多项式）来近似一个复杂的函数？这时，插值与逼近就派上了用场。 插值（Interpolation）： 插值是指构造一个函数，使其精确地通过给定的若干个数据点。最常见的是多项式插值，即找到一个多项式，使得它在给定的所有点上的值都与已知数据点的值完全一致。 拉格朗日插值（Lagrange Interpolation）： 一种直接构造插值多项式的方法，通过线性组合基本多项式得到。 牛顿插值（Newton Interpolation）： 另一种构造插值多项式的方法，它采用差商的形式，能够方便地进行逐次增项，易于添加新的数据点。 分段插值（Piecewise Interpolation）： 当数据点较多时，使用高次插值多项式可能导致“龙格现象”（Runge's phenomenon），即在插值区间边缘出现剧烈的振荡。分段插值，如分段线性插值和样条插值，则通过在相邻数据点之间使用低次多项式来避免这一问题，从而获得更平滑、更稳定的逼近。 样条插值（Spline Interpolation）： 特别是三次样条插值（Cubic Spline Interpolation），是一种非常重要和常用的插值方法。它通过在相邻区间使用三次多项式，并要求在节点处具有连续的一阶和二阶导数，从而得到光滑且低振荡的插值曲线，广泛应用于计算机图形学、工程设计等领域。 逼近（Approximation）： 逼近是指找到一个函数，使其在整体上（而不是在每个点上）尽可能地接近目标函数。与插值要求精确通过所有点不同，逼近允许存在误差，但希望在某种意义下的“平均”误差最小。 最小二乘逼近（Least Squares Approximation）： 这是最常用的逼近方法之一。它旨在找到一个函数，使得该函数与目标函数在给定区间上的差的平方的积分（或离散数据点的差的平方和）最小。这在数据拟合、回归分析中扮演着核心角色。 最佳逼近（Best Approximation）： 根据不同的逼近范数（如L2范数、L∞范数），可以定义不同意义下的“最佳”逼近。例如，切比雪夫最佳逼近（Chebyshev Approximation）旨在使函数差的绝对值的最大值最小。 插值与逼近方法是数值分析中最基础也最核心的部分之一，它们为我们处理和理解数据提供了强大的工具。 三、 动态世界的描绘：常微分方程的数值解法 许多自然科学和社会科学中的现象，其演变过程都可以用常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）来描述。例如，物理学中的运动定律、化学反应速率方程、生态系统中的种群动态等。然而，很多常微分方程并没有解析解，或者解析解形式过于复杂，此时就需要借助数值方法来求解。 欧拉方法（Euler's Method）： 最简单的一类常微分方程数值解法。它基于“局部线性逼近”的思想，将求解区间分成许多小段，在每段上用斜率不变的直线来近似曲线，从而一步一步向前推进。但欧拉方法精度较低，容易累积误差。 改进欧拉法（Improved Euler Method）/ 梯形法（Trapezoidal Method）： 在欧拉法的基础上，通过对斜率进行某种平均或预测-校正的机制，提高了数值解的精度。 龙格-库塔法（Runge-Kutta Methods, RK）： 这是目前最常用、最重要的一类常微分方程数值解法。它通过在每一步计算多个中间点的斜率，然后进行加权平均，来更精确地逼近真实解的斜率变化。经典的四阶龙格-库塔法（RK4）因其良好的精度和稳定性而广泛应用。 多步法（Multistep Methods）： 与单步法（如欧拉法、龙格-库塔法）不同，多步法在计算当前步的解时，会利用之前若干步已经计算出的值。例如，亚当斯-巴斯福特法（Adams-Bashforth）和亚当斯-姆尔顿法（Adams-Moulton）是常见的多步法。多步法通常具有更高的计算效率，但初始值的计算需要借助单步法。 求解常微分方程的数值方法，使我们能够模拟和预测系统的动态行为，在科学研究和工程应用中具有不可替代的作用。 四、 空间探索的利器：数值积分与微分 在物理学、工程学等领域，我们经常需要计算曲线下的面积（定积分）或者已知函数值的变化率（微分）。当这些函数形式复杂、难以解析求解，或者我们只有离散的测量数据时，数值积分与微分就显得尤为重要。 数值积分（Numerical Integration）： 也称为求积（Quadrature），是指用有限项的计算来近似计算定积分的值。 梯形公式（Trapezoidal Rule）： 将积分区间分成若干小段，每段用梯形面积来近似。 辛普森公式（Simpson's Rule）： 用抛物线（二次多项式）来近似积分区间内的函数，精度比梯形公式更高。 高斯求积（Gaussian Quadrature）： 一种更高级的数值积分方法，它通过巧妙地选择积分节点和权重，能够在更少的节点下达到更高的精度。 数值微分（Numerical Differentiation）： 利用函数在几个点上的值来近似计算函数在某一点的导数。 向前差分（Forward Difference）： 利用点 $(x, f(x))$ 和 $(x+h, f(x+h))$ 来近似 $f'(x)$。 向后差分（Backward Difference）： 利用点 $(x-h, f(x-h))$ 和 $(x, f(x))$ 来近似 $f'(x)$。 中心差分（Central Difference）： 利用点 $(x-h, f(x-h))$ 和 $(x+h, f(x+h))$ 来近似 $f'(x)$。中心差分通常比向前差分和向后差分具有更高的精度。 数值积分和微分是处理连续变化量的重要工具，它们使我们能够从有限的数据或离散的函数值中提取有用的信息。 五、 求解复杂方程组的钥匙：线性方程组的数值解法 在许多科学和工程问题中，最终都可以归结为求解大型线性方程组。例如，有限元分析、电路分析、图像处理等。直接用解析方法求解大型线性方程组往往非常耗时且容易出错，因此数值方法是必需的。 直接法（Direct Methods）： 这些方法理论上可以在有限步内得到精确解（忽略舍入误差）。 高斯消元法（Gaussian Elimination）： 通过一系列行变换将增广矩阵化为行阶梯形或行简化阶梯形，然后回代求解。 LU分解（LU Decomposition）： 将系数矩阵A分解为下三角矩阵L和上三角矩阵U的乘积，即将求解 $Ax=b$ 转化为求解 $Ly=b$ 和 $Ux=y$，降低了求解复杂度，特别适合求解多个右端项的方程组。 Cholesky分解（Cholesky Decomposition）： 适用于对称正定矩阵，将A分解为 $LL^T$，进一步提高计算效率。 迭代法（Iterative Methods）： 这些方法从一个初始猜测解开始，通过一系列迭代运算不断逼近真实解。对于大型稀疏线性方程组，迭代法通常比直接法更有效。 雅可比迭代法（Jacobi Iteration）： 核心思想是将系数矩阵A的对角线元素移到方程的另一侧，通过迭代更新解向量。 高斯-赛德尔迭代法（Gauss-Seidel Iteration）： 改进了雅可比迭代法，在计算当前迭代步中的某个分量时，会立即使用该迭代步中已经计算出的新值，从而加速收敛。 逐次超松弛迭代法（Successive Over-Relaxation, SOR）： 在高斯-赛德尔迭代法的基础上引入一个松弛因子，通过调整松弛因子来进一步加速收敛。 线性方程组的数值解法是解决实际工程问题的基石，为处理大规模计算提供了有效的途径。 六、 优化与搜索的艺术：非线性方程的求解与最优化方法 许多实际问题不仅仅是线性的，它们可能涉及到非线性方程的求解或寻找函数的最小值/最大值（最优化问题）。 非线性方程组的求解： 二分法（Bisection Method）： 简单稳健，适用于单变量方程，通过不断压缩包含根的区间来逼近根。 牛顿法（Newton's Method）： 具有二次收敛速度，是求解非线性方程最常用的方法之一。它利用函数在某点的切线来逼近根，但需要计算函数的导数，且对初始值敏感。 割线法（Secant Method）： 类似于牛顿法，但使用割线（连接两点的直线）代替切线，无需计算导数，但收敛速度略低于牛顿法。 最优化方法： 梯度下降法（Gradient Descent）： 最基本的最优化算法之一，沿着函数梯度下降的方向寻找最小值。 牛顿法（应用于最优化）： 在最优化问题中，牛顿法通过利用海森矩阵（Hessian matrix）的信息来寻找极值点。 共轭梯度法（Conjugate Gradient Method）： 适用于大规模二次型函数优化，收敛速度较快。 拟牛顿法（Quasi-Newton Methods）： 如DFP算法、BFGS算法，它们试图用迭代计算得到的矩阵来近似海森矩阵的逆，以避免直接计算海森矩阵。 这些方法为我们解决复杂决策问题、寻找最优参数、进行模型拟合提供了强大的数学支持。 结语 数值分析是一门博大精深的学科，其核心思想在于“化繁为简，近似求解”。上述内容仅仅是数值分析领域中一些最基础和最重要分支的简要介绍。从插值逼近到微分方程求解，从线性代数到最优化理论，每一个分支都蕴含着丰富的理论和精巧的算法。掌握数值分析，不仅能够让我们更深入地理解数学的魅力，更重要的是，它为我们提供了解决现实世界中各种复杂问题的强大武器，是现代科学技术发展不可或缺的驱动力。

评分☆☆☆☆☆

我目前还停留在数值积分的部分，但这本书带给我的惊喜已经太多了。首先，它的语言风格非常接地气，不像有些教材那样冷冰冰的，读起来有一种和老师对话的感觉。作者在讲解新概念时，总会先给出直观的解释，再辅以严谨的数学推导，这种“由浅入深”的处理方式，让我这个数学基础不算特别扎实的读者也能跟得上。比如在讲梯形公式和辛普森公式时，作者画了很多生动的图示，帮助我理解这些公式是如何近似曲线下面积的，这比单纯的公式记忆要有效得多。而且，书中还提供了一些“思考题”，虽然我还未能全部解答，但这些问题确实能引导我主动去思考，去探索更深层次的原理。我特别喜欢的是，书中不仅介绍了这些经典方法，还简单提及了它们各自的优缺点以及适用范围，这让我能对不同方法有一个更全面的认识，知道在什么情况下应该选择哪种方法。虽然我还没有摸到插值与逼近的门槛，但我相信，以这本书一贯的高水准，后面的内容也一定会同样精彩，让我对数值分析的理解更上一层楼。

评分☆☆☆☆☆

这本《华中理工数值分析（第5版）》我真是爱不释手！虽然我还没有机会深入钻研到插值与逼近的章节，但光是前几部分的讲解，就足以让我对数值分析这门学科刮目相看。书的编排非常清晰，从最基础的概念讲起，循序渐进，一点点地引导读者进入数值计算的世界。特别是那些经典的算法，比如高斯消元法，作者的讲解逻辑严谨，代码示例也非常实用，我尝试着在电脑上复现了一下，运行结果和书上描述的一致，这让我非常有成就感。而且，书中不仅仅是枯燥的理论堆砌，还穿插了不少实际应用案例，让我能更直观地理解数学模型是如何解决现实问题的，比如在工程领域中的一些典型应用，这些都极大地激发了我学习的兴趣。我特别喜欢的是书中对误差的分析，讲得非常透彻，让我明白在数值计算中，误差是不可避免的，关键在于如何控制和减小误差，这对我理解数值方法的可靠性非常有帮助。整体来说，这本书给我一种“大道至简”的感觉，把复杂的数学原理用清晰易懂的方式呈现出来，即使是初学者也能从中受益匪浅。

评分☆☆☆☆☆

老实说，我才刚刚开始接触这本书的数值微分部分，但就目前的阅读体验而言，我必须说，这绝对是我读过的最良心的数值分析教材之一。作者在处理每个知识点的时候，都非常细致，一点都不含糊。比如在讲解差分格式的时候，不仅给出了公式，还详细解释了它背后的原理，以及为什么会产生不同的误差来源。让我印象深刻的是，书中给出了很多小例子，用来验证这些公式的有效性，并且在代码实现上，也给出了非常清晰的指导，虽然我还没亲自去运行，但光是看代码就能理解其逻辑。我特别欣赏的是，书中在讲解过程中，并没有回避数学的严谨性，但又不会让读者感到过于晦涩难懂。作者总能找到一个平衡点，既保证了理论的准确性，又兼顾了可读性。尽管我对于插值与逼近等更深入的内容还一无所知，但仅凭前几章的扎实内容，我就觉得这本书的价值远远超出了它的价格。它让我对数值分析这门学科不再感到畏惧，反而充满了探索的欲望。

评分☆☆☆☆☆

我这本《华中理工数值分析（第5版）》买回来有一段时间了，虽然我还只是零星地翻阅过前面关于方程求根和线性方程组求解的部分，但每一次翻看，都让我对数值分析这门学科有了新的认识。这本书的优点在于其内容的组织结构非常合理，从最基础的概念入手，逐步深入，每个章节之间的衔接也非常自然。我尤其喜欢作者在讲解算法时，会详细剖析算法的每一步，并且给出相应的图示和伪代码，这对于我这样需要动手实践的学生来说，简直是福音。书中还融入了不少历史背景和发展脉络的介绍，这让我在学习技术的同时，也能了解到这门学科是如何一步步发展到今天的，增加了学习的趣味性。我还没有机会去研究插值与逼近的章节，但从前几章的质量来看，我对其后面的内容充满期待。这本书的语言风格也很不错，既有学术的严谨，又不失通俗易懂，让我在阅读过程中感到轻松愉快，而不是压力重重。

评分☆☆☆☆☆

这本书的版次是第五版，我目前还在啃着关于矩阵特征值和特征向量的章节，但它给我留下的印象已经足够深刻。它的内容安排非常得当，从最基础的概念入手，例如，当引入矩阵范数时，不仅仅给出了定义，还对其性质进行了详细的说明，并且提供了几个简单易懂的例子。作者在解释算法时，也特别注重分析算法的收敛性以及计算复杂度，这对于理解算法的优劣至关重要。我非常欣赏书中给出的那些“例题”，它们往往都是一些经典问题，通过对这些例题的深入解析，我能够更清晰地理解抽象的理论是如何应用于实际问题的。虽然插值与逼近的内容我还没来得及触及，但我相信，凭借作者严谨的治学态度和丰富的教学经验，这部分内容也一定会被讲解得淋漓尽致。这本书的优点在于，它既有理论深度，又不乏实践指导，让我在学习过程中能够理论与实践相结合，从而更好地掌握数值分析的知识。