華中理工 數值分析(第5版)(李慶揚) 王能超 易大義 清華大學齣版社 數值分析第五版教材 插值與逼 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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店鋪： 翠林祥順圖書專營店

齣版社： 清華大學齣版社

ISBN：9787302185659

商品編碼：30263078820

叢書名： 數值分析(第5版)(李慶揚)

開本：16開

齣版時間：2010-05-01

 

 

普通高等教育十一五規劃教材

  數值分析第5版

 

數值分析（第5版）

作    者：李慶揚 等編

齣 版 社：清華大學齣版社

齣版時間：2008-12-1

ＩＳＢＮ：9787302185659

版 次：5

頁 數：326

字 數：460000

印刷時間：2014-4-1

開 本：16開

紙 張：膠版紙

印 次：11

包 裝：平裝

定價：39.00元

本書是為理工科大學各專業普遍開設的“數值分析”課程編寫的教材。其內容包括插值與逼近，數值微分與數值積分，非綫性方程與綫性方程組的數值解法，矩陣的特徵值與特徵嚮量計算，常微分方程數值解法。每章附有習題並在書末給齣瞭部分答案，每章還附有復習與思考題和計算實習題。全書闡述嚴謹，脈絡分明，深入淺齣，便於教學。

本書也可作為理工科大學各專業研究生學位課程的教材，並可供從事科學計算的科技工作者參考。

 第1章 數值分析與科學計算引論  1.1 數值分析的對象、作用與特點    1.1.1 數學科學與數值分析    1.1.2 計算數學與科學計算    1.1.3 計算方法與

 

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探索計算的奧秘：數值分析的廣闊天地 數值分析，作為連接數學理論與實際計算的橋梁，是一門至關重要的學科。它研究如何利用數學方法和計算機技術來近似求解那些解析方法難以處理或無法解決的問題。從工程設計到科學研究，從金融建模到數據挖掘，數值分析的身影無處不在。這門學科的核心在於“近似”，它教導我們如何在有限的計算資源下，以可接受的誤差獲得問題的有效解。 一、 數值分析的基石：誤差的理解與控製 在數值計算的世界裏，誤差是不可避免的。無論是模型的簡化、測量數據的離散化，還是計算過程本身的近似，都會引入誤差。數值分析的首要任務就是理解這些誤差的來源，並學會如何量化它們。 截斷誤差（Truncation Error）： 當我們用一個有限的過程（如泰勒級數展開的有限項）去逼近一個無限過程（如函數本身）時産生的誤差。例如，用多項式逼近復雜的函數，多項式項數越多，逼近越好，但有限項必然帶來截斷誤差。 捨入誤差（Round-off Error）： 計算機在進行浮點運算時，由於錶示精度的限製，會將精確的數值近似為機器可以錶示的數，從而引入的誤差。這種誤差在連續的運算中會纍積，對最終結果産生影響。 掌握誤差理論，是進行可靠數值計算的前提。數值分析的教材往往會詳細介紹各種誤差的類型、傳播規律以及誤差的界定方法。理解瞭誤差，我們纔能選擇閤適的算法，控製計算的精度，並對結果的可靠性做齣判斷。 二、 神奇的“連接者”：插值與逼近 在數據分析和函數逼近的場景中，我們常常麵臨這樣的問題：已知一係列離散的數據點，如何找到一個函數來描述這些數據點之間的關係？或者，如何用一個簡單的函數（如多項式）來近似一個復雜的函數？這時，插值與逼近就派上瞭用場。 插值（Interpolation）： 插值是指構造一個函數，使其精確地通過給定的若乾個數據點。最常見的是多項式插值，即找到一個多項式，使得它在給定的所有點上的值都與已知數據點的值完全一緻。 拉格朗日插值（Lagrange Interpolation）： 一種直接構造插值多項式的方法，通過綫性組閤基本多項式得到。 牛頓插值（Newton Interpolation）： 另一種構造插值多項式的方法，它采用差商的形式，能夠方便地進行逐次增項，易於添加新的數據點。 分段插值（Piecewise Interpolation）： 當數據點較多時，使用高次插值多項式可能導緻“龍格現象”（Runge's phenomenon），即在插值區間邊緣齣現劇烈的振蕩。分段插值，如分段綫性插值和樣條插值，則通過在相鄰數據點之間使用低次多項式來避免這一問題，從而獲得更平滑、更穩定的逼近。 樣條插值（Spline Interpolation）： 特彆是三次樣條插值（Cubic Spline Interpolation），是一種非常重要和常用的插值方法。它通過在相鄰區間使用三次多項式，並要求在節點處具有連續的一階和二階導數，從而得到光滑且低振蕩的插值麯綫，廣泛應用於計算機圖形學、工程設計等領域。 逼近（Approximation）： 逼近是指找到一個函數，使其在整體上（而不是在每個點上）盡可能地接近目標函數。與插值要求精確通過所有點不同，逼近允許存在誤差，但希望在某種意義下的“平均”誤差最小。 最小二乘逼近（Least Squares Approximation）： 這是最常用的逼近方法之一。它旨在找到一個函數，使得該函數與目標函數在給定區間上的差的平方的積分（或離散數據點的差的平方和）最小。這在數據擬閤、迴歸分析中扮演著核心角色。 最佳逼近（Best Approximation）： 根據不同的逼近範數（如L2範數、L∞範數），可以定義不同意義下的“最佳”逼近。例如，切比雪夫最佳逼近（Chebyshev Approximation）旨在使函數差的絕對值的最大值最小。 插值與逼近方法是數值分析中最基礎也最核心的部分之一，它們為我們處理和理解數據提供瞭強大的工具。 三、 動態世界的描繪：常微分方程的數值解法 許多自然科學和社會科學中的現象，其演變過程都可以用常微分方程（Ordinary Differential Equations, ODEs）來描述。例如，物理學中的運動定律、化學反應速率方程、生態係統中的種群動態等。然而，很多常微分方程並沒有解析解，或者解析解形式過於復雜，此時就需要藉助數值方法來求解。 歐拉方法（Euler's Method）： 最簡單的一類常微分方程數值解法。它基於“局部綫性逼近”的思想，將求解區間分成許多小段，在每段上用斜率不變的直綫來近似麯綫，從而一步一步嚮前推進。但歐拉方法精度較低，容易纍積誤差。 改進歐拉法（Improved Euler Method）/ 梯形法（Trapezoidal Method）： 在歐拉法的基礎上，通過對斜率進行某種平均或預測-校正的機製，提高瞭數值解的精度。 龍格-庫塔法（Runge-Kutta Methods, RK）： 這是目前最常用、最重要的一類常微分方程數值解法。它通過在每一步計算多個中間點的斜率，然後進行加權平均，來更精確地逼近真實解的斜率變化。經典的四階龍格-庫塔法（RK4）因其良好的精度和穩定性而廣泛應用。 多步法（Multistep Methods）： 與單步法（如歐拉法、龍格-庫塔法）不同，多步法在計算當前步的解時，會利用之前若乾步已經計算齣的值。例如，亞當斯-巴斯福特法（Adams-Bashforth）和亞當斯-姆爾頓法（Adams-Moulton）是常見的多步法。多步法通常具有更高的計算效率，但初始值的計算需要藉助單步法。 求解常微分方程的數值方法，使我們能夠模擬和預測係統的動態行為，在科學研究和工程應用中具有不可替代的作用。 四、 空間探索的利器：數值積分與微分 在物理學、工程學等領域，我們經常需要計算麯綫下的麵積（定積分）或者已知函數值的變化率（微分）。當這些函數形式復雜、難以解析求解，或者我們隻有離散的測量數據時，數值積分與微分就顯得尤為重要。 數值積分（Numerical Integration）： 也稱為求積（Quadrature），是指用有限項的計算來近似計算定積分的值。 梯形公式（Trapezoidal Rule）： 將積分區間分成若乾小段，每段用梯形麵積來近似。 辛普森公式（Simpson's Rule）： 用拋物綫（二次多項式）來近似積分區間內的函數，精度比梯形公式更高。 高斯求積（Gaussian Quadrature）： 一種更高級的數值積分方法，它通過巧妙地選擇積分節點和權重，能夠在更少的節點下達到更高的精度。 數值微分（Numerical Differentiation）： 利用函數在幾個點上的值來近似計算函數在某一點的導數。 嚮前差分（Forward Difference）： 利用點 $(x, f(x))$ 和 $(x+h, f(x+h))$ 來近似 $f'(x)$。 嚮後差分（Backward Difference）： 利用點 $(x-h, f(x-h))$ 和 $(x, f(x))$ 來近似 $f'(x)$。 中心差分（Central Difference）： 利用點 $(x-h, f(x-h))$ 和 $(x+h, f(x+h))$ 來近似 $f'(x)$。中心差分通常比嚮前差分和嚮後差分具有更高的精度。 數值積分和微分是處理連續變化量的重要工具，它們使我們能夠從有限的數據或離散的函數值中提取有用的信息。 五、 求解復雜方程組的鑰匙：綫性方程組的數值解法 在許多科學和工程問題中，最終都可以歸結為求解大型綫性方程組。例如，有限元分析、電路分析、圖像處理等。直接用解析方法求解大型綫性方程組往往非常耗時且容易齣錯，因此數值方法是必需的。 直接法（Direct Methods）： 這些方法理論上可以在有限步內得到精確解（忽略捨入誤差）。 高斯消元法（Gaussian Elimination）： 通過一係列行變換將增廣矩陣化為行階梯形或行簡化階梯形，然後迴代求解。 LU分解（LU Decomposition）： 將係數矩陣A分解為下三角矩陣L和上三角矩陣U的乘積，即將求解 $Ax=b$ 轉化為求解 $Ly=b$ 和 $Ux=y$，降低瞭求解復雜度，特彆適閤求解多個右端項的方程組。 Cholesky分解（Cholesky Decomposition）： 適用於對稱正定矩陣，將A分解為 $LL^T$，進一步提高計算效率。 迭代法（Iterative Methods）： 這些方法從一個初始猜測解開始，通過一係列迭代運算不斷逼近真實解。對於大型稀疏綫性方程組，迭代法通常比直接法更有效。 雅可比迭代法（Jacobi Iteration）： 核心思想是將係數矩陣A的對角綫元素移到方程的另一側，通過迭代更新解嚮量。 高斯-賽德爾迭代法（Gauss-Seidel Iteration）： 改進瞭雅可比迭代法，在計算當前迭代步中的某個分量時，會立即使用該迭代步中已經計算齣的新值，從而加速收斂。 逐次超鬆弛迭代法（Successive Over-Relaxation, SOR）： 在高斯-賽德爾迭代法的基礎上引入一個鬆弛因子，通過調整鬆弛因子來進一步加速收斂。 綫性方程組的數值解法是解決實際工程問題的基石，為處理大規模計算提供瞭有效的途徑。 六、 優化與搜索的藝術：非綫性方程的求解與最優化方法 許多實際問題不僅僅是綫性的，它們可能涉及到非綫性方程的求解或尋找函數的最小值/最大值（最優化問題）。 非綫性方程組的求解： 二分法（Bisection Method）： 簡單穩健，適用於單變量方程，通過不斷壓縮包含根的區間來逼近根。 牛頓法（Newton's Method）： 具有二次收斂速度，是求解非綫性方程最常用的方法之一。它利用函數在某點的切綫來逼近根，但需要計算函數的導數，且對初始值敏感。 割綫法（Secant Method）： 類似於牛頓法，但使用割綫（連接兩點的直綫）代替切綫，無需計算導數，但收斂速度略低於牛頓法。 最優化方法： 梯度下降法（Gradient Descent）： 最基本的最優化算法之一，沿著函數梯度下降的方嚮尋找最小值。 牛頓法（應用於最優化）： 在最優化問題中，牛頓法通過利用海森矩陣（Hessian matrix）的信息來尋找極值點。 共軛梯度法（Conjugate Gradient Method）： 適用於大規模二次型函數優化，收斂速度較快。 擬牛頓法（Quasi-Newton Methods）： 如DFP算法、BFGS算法，它們試圖用迭代計算得到的矩陣來近似海森矩陣的逆，以避免直接計算海森矩陣。 這些方法為我們解決復雜決策問題、尋找最優參數、進行模型擬閤提供瞭強大的數學支持。 結語 數值分析是一門博大精深的學科，其核心思想在於“化繁為簡，近似求解”。上述內容僅僅是數值分析領域中一些最基礎和最重要分支的簡要介紹。從插值逼近到微分方程求解，從綫性代數到最優化理論，每一個分支都蘊含著豐富的理論和精巧的算法。掌握數值分析，不僅能夠讓我們更深入地理解數學的魅力，更重要的是，它為我們提供瞭解決現實世界中各種復雜問題的強大武器，是現代科學技術發展不可或缺的驅動力。

評分☆☆☆☆☆

我目前還停留在數值積分的部分，但這本書帶給我的驚喜已經太多瞭。首先，它的語言風格非常接地氣，不像有些教材那樣冷冰冰的，讀起來有一種和老師對話的感覺。作者在講解新概念時，總會先給齣直觀的解釋，再輔以嚴謹的數學推導，這種“由淺入深”的處理方式，讓我這個數學基礎不算特彆紮實的讀者也能跟得上。比如在講梯形公式和辛普森公式時，作者畫瞭很多生動的圖示，幫助我理解這些公式是如何近似麯綫下麵積的，這比單純的公式記憶要有效得多。而且，書中還提供瞭一些“思考題”，雖然我還未能全部解答，但這些問題確實能引導我主動去思考，去探索更深層次的原理。我特彆喜歡的是，書中不僅介紹瞭這些經典方法，還簡單提及瞭它們各自的優缺點以及適用範圍，這讓我能對不同方法有一個更全麵的認識，知道在什麼情況下應該選擇哪種方法。雖然我還沒有摸到插值與逼近的門檻，但我相信，以這本書一貫的高水準，後麵的內容也一定會同樣精彩，讓我對數值分析的理解更上一層樓。

評分☆☆☆☆☆

我這本《華中理工數值分析（第5版）》買迴來有一段時間瞭，雖然我還隻是零星地翻閱過前麵關於方程求根和綫性方程組求解的部分，但每一次翻看，都讓我對數值分析這門學科有瞭新的認識。這本書的優點在於其內容的組織結構非常閤理，從最基礎的概念入手，逐步深入，每個章節之間的銜接也非常自然。我尤其喜歡作者在講解算法時，會詳細剖析算法的每一步，並且給齣相應的圖示和僞代碼，這對於我這樣需要動手實踐的學生來說，簡直是福音。書中還融入瞭不少曆史背景和發展脈絡的介紹，這讓我在學習技術的同時，也能瞭解到這門學科是如何一步步發展到今天的，增加瞭學習的趣味性。我還沒有機會去研究插值與逼近的章節，但從前幾章的質量來看，我對其後麵的內容充滿期待。這本書的語言風格也很不錯，既有學術的嚴謹，又不失通俗易懂，讓我在閱讀過程中感到輕鬆愉快，而不是壓力重重。

評分☆☆☆☆☆

這本《華中理工數值分析（第5版）》我真是愛不釋手！雖然我還沒有機會深入鑽研到插值與逼近的章節，但光是前幾部分的講解，就足以讓我對數值分析這門學科颳目相看。書的編排非常清晰，從最基礎的概念講起，循序漸進，一點點地引導讀者進入數值計算的世界。特彆是那些經典的算法，比如高斯消元法，作者的講解邏輯嚴謹，代碼示例也非常實用，我嘗試著在電腦上復現瞭一下，運行結果和書上描述的一緻，這讓我非常有成就感。而且，書中不僅僅是枯燥的理論堆砌，還穿插瞭不少實際應用案例，讓我能更直觀地理解數學模型是如何解決現實問題的，比如在工程領域中的一些典型應用，這些都極大地激發瞭我學習的興趣。我特彆喜歡的是書中對誤差的分析，講得非常透徹，讓我明白在數值計算中，誤差是不可避免的，關鍵在於如何控製和減小誤差，這對我理解數值方法的可靠性非常有幫助。整體來說，這本書給我一種“大道至簡”的感覺，把復雜的數學原理用清晰易懂的方式呈現齣來，即使是初學者也能從中受益匪淺。

評分☆☆☆☆☆

老實說，我纔剛剛開始接觸這本書的數值微分部分，但就目前的閱讀體驗而言，我必須說，這絕對是我讀過的最良心的數值分析教材之一。作者在處理每個知識點的時候，都非常細緻，一點都不含糊。比如在講解差分格式的時候，不僅給齣瞭公式，還詳細解釋瞭它背後的原理，以及為什麼會産生不同的誤差來源。讓我印象深刻的是，書中給齣瞭很多小例子，用來驗證這些公式的有效性，並且在代碼實現上，也給齣瞭非常清晰的指導，雖然我還沒親自去運行，但光是看代碼就能理解其邏輯。我特彆欣賞的是，書中在講解過程中，並沒有迴避數學的嚴謹性，但又不會讓讀者感到過於晦澀難懂。作者總能找到一個平衡點，既保證瞭理論的準確性，又兼顧瞭可讀性。盡管我對於插值與逼近等更深入的內容還一無所知，但僅憑前幾章的紮實內容，我就覺得這本書的價值遠遠超齣瞭它的價格。它讓我對數值分析這門學科不再感到畏懼，反而充滿瞭探索的欲望。

評分☆☆☆☆☆

這本書的版次是第五版，我目前還在啃著關於矩陣特徵值和特徵嚮量的章節，但它給我留下的印象已經足夠深刻。它的內容安排非常得當，從最基礎的概念入手，例如，當引入矩陣範數時，不僅僅給齣瞭定義，還對其性質進行瞭詳細的說明，並且提供瞭幾個簡單易懂的例子。作者在解釋算法時，也特彆注重分析算法的收斂性以及計算復雜度，這對於理解算法的優劣至關重要。我非常欣賞書中給齣的那些“例題”，它們往往都是一些經典問題，通過對這些例題的深入解析，我能夠更清晰地理解抽象的理論是如何應用於實際問題的。雖然插值與逼近的內容我還沒來得及觸及，但我相信，憑藉作者嚴謹的治學態度和豐富的教學經驗，這部分內容也一定會被講解得淋灕盡緻。這本書的優點在於，它既有理論深度，又不乏實踐指導，讓我在學習過程中能夠理論與實踐相結閤，從而更好地掌握數值分析的知識。