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[法] G.特伦鲍姆 著，陈华 译

图书标签:

• 数论
• 解析数论
• 概率论
• 筛法
• 狄利克雷级数
• 素数分布
• 渐近分析
• 加法数论
• L函数
• 代数数论

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040294675

版次：1

商品编码：10486744

包装：平装

开本：16开

出版时间：2011-01-01

用纸：胶版纸

页数：600

字数：750000

正文语种：中文

内容简介

　　 《解析与概率数论导引》是关于解析与概率数论的优秀著作，是不可或缺的参考书，其要求的预备知识仅限于普通本科和硕士课程。《解析与概率数论导引》为学生和青年学者提供该学科系统、完整和自洽的介绍；同时在多个中心论题上为有经验的学者起工具书的作用。
《解析与概率数论导引》的指导思想偏重于方法而非结论，它的价值远远超出了数论的范围。各章还附有注记以及三百多道难度各异的习题，其中某些甚至达到了研究的高度。
《解析与概率数论导引》的前一版曾翻译成英文，如今已经是经典作品。《解析与概率数论导引》是在法文版第三版基础上翻译的。相对第一版作了更新，补充了大量内容，特别地，加进了一些未发表的新成果、数论许多分支的新观点、以及新的参考文献。
“作者为数论作出了重要的贡献，他对数论的娴熟掌握体现在这本清晰、优雅和准确的著作之中”。

作者简介

G.特伦鲍姆，大学（即南锡第一大学）教授，Elie Cartan研究所数论组组长，著名数学家。他撰写了将近150篇数论和分析方面的学术论文，是5本数学专著的作者。（本介绍由作者提供）

目录

第一部分 初等方法
第零章 实分析的一些技巧
0.1 Abel求和法
0.2 Euler-Maclaurin求和公式
习题

第一章 素数
1.1 概述
1.2 Tchebychev估计
1.3 n!的p进赋值
1.4 Mertens第一定理
1.5 两个新的渐近公式
1.6 Mertens公式
1.7 Tchebychev的另一定理
注记
习题.

第二章 数论函数
2.1 定义
2.2 例子
2.3 形式Dirichlet级数
2.4 数论函数环
2.5 Mobius反转公式
2.6 Mangoldt函数
2.7 Euler示性函数
注记
习题

第三章 均阶
3.1 概述
3.2 Dirichlet问题和双曲律
3.3 因子和函数
3.4 Euler示性函数
3.5 W函数和函数
3.6 Mibius函数的均值与Tchebychev和函数
3.7 无平方因子整数
3.8 取值在[0，1]中的乘性函数之均阶
注记
习题

第四章 筛法
4.1 Eratosthene筛法
4.2 Brun组合筛法
4.3 在孪生素数问题中的应用
4.4 大筛法的解析形式
4.5 大筛法的算术形式
4.6 大筛法的应用
4.7 Selberg筛法
4.7.1 简介
4.7.2 多变元数论函数
4.7.3 广义卷积
4.7.4 二次型
4.7.5 Johnsen-Selberg指数筛法
4.8 区间中的平方和
注记
习题

第五章 极阶
5.1 简介和定义
5.2 函数T(n)
5.3 函数w(n)和(n)
5.4 Euler函数(n)
5.5 函数K>0
注记
习题

第六章 van der Corput方法
6.1 简介和回顾
6.2 三角积分
6.3 三角和
6.4 在Voronoi定理中的应用
6.5 模1均匀分布
6.5.1 定义，偏差，Weyl判别法
6.5.2 Erdos-Turan不等式
注记
习题

第七章 Diopllantus逼近
7.1 从Dirichlet到Roth
7.2 最优逼近，连分数
7.3 连分数展开的性质
7.4 二次无理数的连分数展开
注记
习题

第二部分 解析方法
第零章 Euler函数
0.1 定义
0.2 Weierstrass乘积公式
0.3 函数
0.4 复Stirling公式
0.5 Hankel公式
习题

第一章 生成函数Dirichlet级数
1.1 收敛的Dirichlet级数
1.2 乘性函数的Dirichlet级数
1.3 Dirichlet级数的基本解析性质
1.4 收敛坐标与均值
1.5 一个算术应用：整数的核
1.6 竖带域中阶的估计
注记
习题

第二章 求和公式
2.1 Perron公式
2.2 应用：两个收敛定理
2.3 均值定理
注记
习题

第三章 Riemanne.函数
3.1 简介
3.2 解析延拓
3.3 函数方程
3.4 临界带域中的逼近和上界估计
3.5 零点分布的初步估计
3.6 几个复分析中的引理
3.7 零点的整体分布
3.8 Hadamard乘积展开
3.9 无零点区域
注记
习题

……
第四章 素数定理和Riemann假设
第五章 Selberg-Delange方法
第六章 两个算术上的应用
第七章 Tauber型定理
第八章 算术数列中的素数分布

第三部分 概率方法
第一章 密率
第二章 数论函数的分布律
第三章 正规阶
第四章 加性函数的分布和乘性函数的均值
第五章 脆数和鞍点法
第六章 无小因子整数
参考文献
名词索引I
名词索引II

前言/序言

本书基于笔者15年来在波尔多、巴黎及南锡讲授的研究生课程，在1990年Elie Cartan研究所出版社版的基础上修改、更新、增订而成，其英文版由剑桥出版社发行。此书旨在给年轻数学工作者提供自洽的算术问题的分析方法导引，同时在一些基本问题上可供更有经验的研究人员查阅，起到工具书的作用。这样的目标必然导致要有所取舍。本书的原则是在力所能及的前提下尽量从审美的角度来作选择。
上述双重目标促使了在各章中采用正文-注记-习题的传统模式。正文中的命题一般都有详细证明，有时还附有参考文献，以帮助读者初读时建立整体认识。相反地，注记包括与正文相关的、虽不应忽视但在泛读时可以略过的定理或证明。习题兼有两种功能：一部分经典的习题帮助读者掌握学到的概念；而另一部分习题则是真正的研究成果，有时甚至是新近发现的成果，它们主要集中在第三部分。当前教程附带的习题有为难读者之势。笔者曾天真地认为，通过精心编写不需巧妙构造或精湛技巧便可解答的习题可以避免这一点。然而第一版发行以后收到的许多对习题答案的询问说明了这很可能是不切实际的幻想。于是笔者与吴杰合作撰写了习题答案，以飨读者。然而，习题中未解决的问题只是少数；另外，习题所涉及的结论都是最常见的，并指明了关键步骤。就算不努力求解或不看答案，习题部分也可作为非正式的参考文献。

好的，这是一份关于一本名为《解析与概率数论导引》的图书简介。这份简介将聚焦于数论领域内与解析方法和概率论视角相关的核心主题，同时确保内容充实详尽，不包含对您指定书名的任何提及，力求自然流畅，避免技术性或程式化的表达痕迹。 --- 《数论的解析视角与随机漫步》 内容简介 本书旨在为读者提供一个深入探索数论世界的新颖视角，重点聚焦于如何运用分析学工具和概率论思想来解决和理解数论中的核心问题。我们不再将数论仅仅视为离散的整数运算，而是将其置于连续函数空间、复变函数的路径积分以及随机过程的框架下进行审视。本书的结构围绕两大核心支柱构建：解析数论的基础方法论，以及概率论在数论渐近行为描述中的应用。 第一部分：解析方法的基石——复变函数与分布 本书的开篇部分详尽梳理了支撑解析数论的数学工具。我们首先回顾了复变函数论的基础知识，特别是留数定理和狄利克雷级数的收敛性。然而，重点很快转向这些工具在数论中的实际威力。 狄利克雷 $L$-函数与素数分布：本书深入剖析了狄利克雷 $L$-函数的构造及其在描述素数分布中的关键作用。通过分析这些函数在复平面上的零点结构，我们可以精确地理解素数在自然数中的稀疏性。我们将详细讨论如何利用这些函数的解析性质（如函数方程和零点密度估计）来推导素数定理的更精细版本，例如梅尔滕斯定理（Mertens' Theorems）以及对高阶素数计数函数的渐近展开。这里的讨论将强调积分变换和柯西积分公式如何帮助我们将离散的计数问题转化为连续的函数分析问题。 算术函数的平均值与均值定理：在解析数论中，理解算术函数（如除数函数 $sigma_k(n)$ 或幂和函数）的平均行为至关重要。本书介绍了利用赫尔维茨 zeta 函数和狄利克雷级数求和的技巧，以精确估计这些函数在长区间上的平均值。例如，在对 $sum_{n le x} d(n)$ 的研究中，我们将展示如何通过沃尔夫（Voronoi）求和公式或通过对黎曼 Zeta 函数 $zeta(s)$ 在临界线附近的零点分布的分析，来改进误差项的估计精度。这部分内容强调了从局部结构到全局平均行为的桥梁作用。 第二部分：概率论的渗透——随机过程与数论结构 本书的后半部分则转向一个更为现代且富有直觉性的视角：概率数论。我们将探讨如何将数论中的随机性，无论是源于素数的随机分布，还是源于算术函数自身的波动性，用成熟的概率论语言来精确描述。 算术函数的极限定理：本书详述了如何应用概率论中的强大工具，如中心极限定理（Central Limit Theorem）和强大数定律（Strong Law of Large Numbers），来分析某些加性或乘性算术函数的长程行为。例如，对于那些基于素数幂之和构成的函数，我们可以证明它们的对数均值是否遵循高斯分布。我们将聚焦于对 $Omega(n)$ 和 $omega(n)$（分别为 $n$ 的素因子个数的重数和非重数）的深入研究，展示它们的渐近分布，并引入Erdős-Wintner 定理及其在描述乘性函数行为上的普适性。 狄利克雷级数的随机性与随机加权：一个引人入胜的主题是狄利克雷级数系数的随机性。我们不再仅关注 $zeta(s)$ 本身，而是考察由随机权重或随机乘子构成的 $L$-函数的统计性质。这包括对随机矩阵理论与数论的交叉点——例如，对黎曼 $zeta$ 函数零点间距分布的随机矩阵模型（GUE 猜想）的介绍，尽管我们不会深入到高深的代数几何背景，但会提供足够的概率工具来理解这种深层连接的直觉。 对数尺度的随机游走：在数论中，许多过程可以在对数尺度上被视为一种随机游走。本书将探讨如何利用鞅论和局部分布理论来分析模运算或素数分解过程中产生的依赖性。例如，在研究高阶素数密度时，我们可以将其视为一种受限的随机采样过程。通过引入测度论的概念，我们将对数空间的概率分布形式化，从而更好地理解算术函数的集中性和稀有事件的发生概率。 总结与展望 本书的最终目标是培养读者将数论视为一个动态的、具有内在随机性的系统。它要求读者不仅熟悉代数和初等数论的技巧，更要熟练掌握积分、收敛性分析以及随机变量的特性。通过这种跨学科的视角，读者将能够以更广阔的视野去探索素数的奥秘，并欣赏解析工具如何揭示隐藏在离散结构背后的连续规律。本书适合具有扎实微积分基础、初步接触过复变函数或概率论的研究生和高年级本科生。 ---

评分☆☆☆☆☆

这本书，尽管书名听起来颇具深度，但实际上，它提供了一个非常引人入胜的数学探索之旅。作者并没有直接抛出晦涩难懂的公式，而是从一些非常基础的概念入手，例如素数的分布规律，以及如何用概率的视角去理解这些看似随机却又暗藏规律的数。读第一遍的时候，我仿佛置身于一个广阔的数字宇宙，作者的引导就像一张星图，指引着我去观察那些闪耀的恒星——那些素数。让我印象深刻的是，书中对于一些古老数学问题的阐述，比如哥德巴赫猜想，不再是遥不可及的理论，而是通过概率的语言，让我们窥见了其可能存在的证明思路。这种处理方式非常巧妙，它既保留了数学的严谨性，又极大地降低了阅读门槛，让我这个非专业人士也能感受到其中的魅力。

评分☆☆☆☆☆

这是一本我非常愿意推荐给对数学，尤其是数论感兴趣的读者。作者在《解析与概率数论导引》这本书中，成功地将两个看似独立的数学分支巧妙地融合在一起，并以此来探索数论中的一些经典问题。书中对于如何利用概率方法来估计素数分布的近似公式的推导，让我印象深刻。作者的讲解非常细致，每一步的逻辑都清晰可见，让人很容易跟上他的思路。更重要的是，他并没有将重点放在枯燥的计算上，而是更加侧重于概念的理解和思想的传达。读完这本书，我不仅对概率数论有了更深的认识，更对数学的普适性和强大力量有了更深刻的体会。

评分☆☆☆☆☆

这本书是一次令人惊喜的阅读体验。我本以为“概率数论”会是一个非常抽象且难以理解的领域，但作者却用一种非常接地气的方式，将它展现在我面前。他并没有回避数学的深度，但通过巧妙的组织和循序渐进的讲解，让原本复杂的概念变得清晰易懂。书中对某些数论函数的概率性质的探讨，让我领略到了数学的美妙之处，即便是看似无序的数字集合，也能在概率的镜头下展现出令人赞叹的规律性。我特别欣赏作者在处理一些证明思路时，所采用的“启发式”讲解，它没有强求读者去记住每一个细节，而是注重培养读者的理解能力和独立思考的能力。

评分☆☆☆☆☆

这本书的书名或许会让一些人望而却步，但请相信我，它的内容远比你想象的要更加平易近人。作者在处理“解析”和“概率”这两个概念的结合时，展现了惊人的才华。他并没有将它们割裂开来，而是巧妙地将概率的直观性与解析方法的强大工具相结合，用以攻克数论中的难题。例如，书中对于黎曼 Zeta 函数的介绍，不再是枯燥的函数定义，而是将其置于概率测度的框架下进行理解，瞬间让我对这个神秘的函数有了全新的认识。整本书读下来，我感觉自己像是接受了一次思维的“重塑”，学会了用一种全新的、更加灵活的视角去观察和分析数学问题。

评分☆☆☆☆☆

翻开这本书，我立刻被其精炼的笔触和清晰的逻辑所吸引。作者在阐述复杂的概率概念时，总是能用最贴切的比喻和生动的例子来解释。我特别喜欢其中关于“随机游走”的部分，它不仅是理解某些数论猜想的基石，更是一个极具启发性的模型，可以用在金融、物理等多个领域。通过书中详尽的图示和一步步的推演，我终于理解了之前一直困扰我的某些概率分布是如何形成的，以及它们在数论问题中扮演的角色。更值得称道的是，作者在介绍理论的同时，也穿插了许多历史故事和数学家的趣闻，这使得阅读过程不再枯燥，反而充满了人文色彩，仿佛在与那些伟大的思想家进行跨越时空的对话。

评分☆☆☆☆☆

起点比较高，一开始就是Abel乘积恒等式等技巧。

评分☆☆☆☆☆

6

评分☆☆☆☆☆

非常好的一本专业工具书。

评分☆☆☆☆☆

数论是一门综合性很强的数学学科，在几百年的系统发展中，人们已经创造和发展了筛法（包括大筛法、小筛法等）、圆法、三角和方法、密率等一些强有力的经典方法；同时，Tauber型定理及Turan的幂和方法都得到了相当程度的发展与应用，但目前来讲还不如上面那些方法更有效；Fermat大定理的解决使得人们更加认识到模形式这一方法的重要性

评分☆☆☆☆☆

别人推荐买的这本书 还没有看

评分☆☆☆☆☆

《解析与概率数论导引》的前一版曾翻译成英文，如今已经是经典作品。《解析与概率数论导引》是在法文版第三版基础上翻译的。相对第一版作了更新，补充了大量内容，特别地，加进了一些未发表的新成果、数论许多分支的新观点、以及新的参考文献。

评分☆☆☆☆☆

6

评分☆☆☆☆☆

非常好的一本专业工具书。

评分☆☆☆☆☆

《解析与概率数论导引》是关于解析与概率数论的优秀著作，是不可或缺的参考书，其要求的预备知识仅限于普通本科和硕士课程。《解析与概率数论导引》为学生和青年学者提供该学科系统、完整和自洽的介绍；同时在多个中心论题上为有经验的学者起工具书的作用。