现代数学基础丛书：Littlewood-Paley理论及其在流体动力学方程中的应用 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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苗长兴，吴家宏，章志飞 著

图书标签:

• 数学
• 调和分析
• Littlewood-Paley理论
• 流体动力学
• 偏微分方程
• 函数空间
• Fourier分析
• 泛函分析
• 非线性分析
• 常微分方程

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030334121

版次：1

商品编码：12114960

包装：平装

丛书名： 现代数学基础丛书142

开本：16开

出版时间：2012-03-01

用纸：胶版纸

页数：450

字数：567000

正文语种：中文

内容简介

　　《现代数学基础丛书：Littlewood-Paley理论及其在流体动力学方程中的应用》内容涉及Littlewood-Paley理论及其在流体动力学方程中的应用两大部分。其一包含了频率空间的局部化、Besov空间的Littlewood-Paley刻画、Bony的仿积分解及仿线性化技术、新型的Bemstein不等式等，其二在Littlewood-Paley理论的框架下，建立输运扩散方程解的时空正则性估计、频谱层次的正则性估计及零阶Besov空间的log-型估计，给出了既包含对流，也包含扩散现象的流体动力学问题的统一处理方法，在这个新的框架下，重点讨论了不可压的Euler方程与Navier-Stol（es方程、Boussinesq方程、临界Quasi-Geostrophic方程及可压的Navier-Stokes方程等。
　　《现代数学基础丛书：Littlewood-Paley理论及其在流体动力学方程中的应用》的特点是将现代调和分析理论，诸如：频率空间的分析、Fourier局部化技术、Bony的仿积分解及仿线性化技术等和传统的连续模方法、DeGiorgi-Nash-Moser迭代技术相结合，充分利用与开发流体动力学方程内在的几何与代数结构、正交结构、消失条件来研究相应的非线性相互作用，达到在自然临界空间研究流体动力学方程的目的，《现代数学基础丛书：Littlewood-Paley理论及其在流体动力学方程中的应用》可供理工科大学数学系、应用数学系的高年级本科生、研究生、教师以及相关的科学工作者阅读参考。

内页插图

目录

前言/序言

　　Littlewood-Paley理论最重要的作用之一就是频率空间的局部化。众所周知，Fourier变换将物理空间中的微分运算转化成频率空间中的代数运算，Littlewood-Paley分解将缓增分布形式地写成在频率空间意义下几乎正交的光滑函数的和，从而实现在不同频段上求导与微分运算的代数化。Littlewood-Paley理论在偏微分方程研究中的辉煌成就当属Bony的仿积分解理论，它是Bony在研究双曲型方程解的奇性传播时引入的，经过Meyer等数学家发展后广泛地应用到偏微分方程的研究。随着其他重要的分析工具，诸如：振荡积分理论、Fourier限制性估计与Strichartz估计、Profiles分解与集中紧原理等方法的发展与使用，进一步突显了Littlewood-Paley理论的框架性、普适性、灵活性等特征，从而使这一理论逐步成为研究非线性发展方程的基本工具。
　　本书的主旨就是Littlewood-Paley理论及其在各种流体动力学方程中的应用。Littlewood-Paley理论的基本思想就是频率空间分析与局部化理论，其优势包括几个主要方面：其一是微分算子或一般的Fourier乘子算子作用到Fourier变换具有环形支集（或球形支集）的分布上等价数乘运算（或被数乘估计控制）。其二是将函数或缓增分布分解成一系列在频率空间上几乎正交的光滑函数的和式，展示了内在的几何与代数结构，以便给出非线性相互作用的精确分析。特别地，Bony的仿积分解与仿线性化技术为非线性估计提供了强有力的武器。其三是Littlewood-Paley理论不仅给出了一般可微函数空间（研究偏微分方程的载体）的完美刻画，同时也提供了研究偏微分方程的基本工具。已有的关于输运方程与扩散方程的研究框架基本上处于相互独立的状况，因此，它们各自的经典研究方式并不适用于对方。许多物理模型特别是流体动力学问题中均涉及对流和扩散两种现象，发展一种同时适应对流和扩散两种现象的研究框架是很有意义的。它丰富了输运扩散方程的研究，给出了一个统一的框架与研究方法。与此同时，Fourier局部化方法不仅适用于不可压模型，也可以应用到可压的流体动力学问题。
　　第1章从频率空间上的局部化出发，通过经典Bernstein不等式与频率空间上的单位分解定理，给出齐次与非齐次型的Littlewood-Paley分解理论，在Littlewood-Paley理论的框架下，讨论Besov空间理论，特别是Besov空间的各种不同刻画之间的等价关系等，作为Littlewood-Paley理论的重要组成部分，着重介绍Bony的仿积分解及仿线性化技术。作为应用，着重讨论了新型的Bernstein不等式，它是建立分数阶耗散算子在局部化空间（如：Besov空间、分数阶Sobolev空间等）正性估计的基础，在研究分数阶发展型方程中起着重要的作用。
　　第2章主要通过Fourier局部化方法建立输运扩散方程的解在Besov空间框架下的一致性估计。需要指出的是，输运项中的向量场可以不满足不可压条件，因此它不仅适合于不可压的流体动力学方程，同时可以应用到可压的流体动力学问题。鉴于Besov空间、Triebel-Lizorkin空间的局部化特征，我们讨论了各种形式的局部化估计与交换子估计，另一方面，充分利用输运扩散方程的Lagrange形式，将对流项的估计转化为平坦空间中的Laplace算子与非平坦空间中的Laplace算子所派生的交换子估计，因此可以通过二次微局部化的过程来处理含交换子型扰动项的热传导方程。
　　第3章首先在Besov空间的框架下，给出d维空间不可压Euler方程的Cauchy问题的局部适定性与Blow-up准则。作为Beale-Kato-Majda准则特例，就直接推出二维不可压Euler方程Cauchy问题光滑解的整体适定性，其次，通过建立Vishik的“衰减型正交性”及log-型估计，证明二维不可压Euler方程的Cauchy问题在临界空间中的整体适定性。3.3节详细讨论具有轴对称无旋的三维不可压Euler方程，利用其特殊的几何结构、涡度场不同分解的“衰减正交性”等证明了具有轴对称无旋的三维不可压Euler方程的Cauchy问题在临界与次临界空间中的整体适定性。最后，还详细研究二维不可压Navier-Stokes方程在Besov空间Bp1中的无黏性极限问题，其中p≥2的情形源于Hmidi-Keraani〔HK3〕，p〈2的情形是本书中首次给出。
　　第4章集中讨论具部分黏性的二维Boussinesq方程的Cauchy问题的整体适定性。4.1节主要基于用能量估计与log-型不等式，建立具部分黏性的二维Boussinesq方程的Cauchy问题光滑解的整体适定性。4.2节利用Fourier局部化方法及相应的输运扩散方程在Besov型空间中的正则性估计、频谱层次上的正则性估计等，在临界空间中建立具部分黏性的二维Boussinesq方程的Cauchy问题的整体适定性。4.3节利用Boussinesq方程组自身的耦合结构与对称化的理念，在适当的条件下，证明了具有轴对称初值的三维Boussinesq方程的Cauchy问题的整体适定性。
　　第5章着力于临界Quasi-Geostrophic方程。5.1节给出了在临界空间的局部适定性与Blow-up机制，同时还介绍了这一方程的研究历史。5.2节主要介绍Kiselev-Nazarov-Volberg的连续模方法，它主要基于如下重要观察：奇异积分算子虽然不能保持连续模，但它对连续模的破坏也不大。5.3节主要讨论Caffarelli-Vasseur方法，这是一个普适性的方法，基本思想是采用调和扩张及DeGiorgi-Nash-Moser迭代技术建立Leray-Hopf弱解的正则性。
　　第6章主要介绍作者采用Littlewood-Paley理论研究可压缩Navier-Stokes方程的一个结果，这是一个新的尝试。首先给出了一个线性化的双曲抛物耦合系统的基本解，通过Fourier局部化方法，分析此系统在不同的频率空间中表现的不同效应，从而引入了适合高低频演化的Hybrid-Besov空间这一新的框架。为了克服高频时对流项作为扰动项带来的关于密度的导数损失，引入了频谱层次上的Lagrange坐标，从而得到了具有高振荡初值（即某种意义上的大初值）的整体适定性。
　　最后，在附录中给出了经典的不可压Navier-Stokes方程的研究进展，以方便读者参考使用。内容涉及Leray-Hopf弱解、光滑解的局部适定性、Kato的双模方法、时空正则性与单模方法、Lp-方法及无条件唯一性等，主要取材于文献〔Chem3〕，〔Cal〕，〔Lem1〕及〔MiZ〕。
　　本书的初稿始于在北京大学国际数学中心、香港中文大学数学研究所、北京应用物理与计算数学研究所等讲座与课程的讲稿，后经认真修改、增删而成，在本书形成过程中，得到了田刚院士、辛周平教授的大力支持，作者深表感谢，本书的部分内容与张恭庆院士、洪家兴院士、陆善镇教授进行了交流，得到了鼓励与支持，在此表示由衷的感谢。作者感谢周毓麟院士、郭柏灵院士等长期的指导与帮助，以及对本书提出的许许多多的建设性意见。
　　最后，作者还要感谢年轻同事与学生：陈琼蕾副研究员、徐桂香副研究员、原保全教授、苑佳博士、吴刚博士、张军勇博士及博士生薛留堂、郑孝信、程星、郑继强、夏素霞、张谦、徐夫义、杨建伟、王大卫、路静等，他们为本书的校对做了许多有益的工作。
　　本书得到国家科学技术学术著作出版基金、国家杰出青年基金、国家自然科学基金、北京应用物理与计算数学研究所“学习、创造、提高”活动的资助。

《现代数学基础丛书：Littlewood-Paley理论及其在流体动力学方程中的应用》 --- 图书简介 本书聚焦于数学分析、偏微分方程与理论物理的交叉前沿领域，旨在系统、深入地探讨Littlewood-Paley理论的精髓及其在流体动力学方程求解与分析中的核心应用。本书不仅为专业研究人员提供前沿视角，也为高年级本科生及研究生构建坚实的理论基础与实践工具。 本书的结构设计兼顾理论的严谨性与应用的直观性。全书分为三个主要部分：基础理论的重建、Littlewood-Paley理论的深度剖析，以及在流体动力学中的具体应用与前沿拓展。 第一部分：数学分析与偏微分方程基础的再构建 在深入Littlewood-Paley理论之前，本书首先为读者奠定必要的分析学基础，确保读者能够理解后续理论的深刻性。 傅里叶分析与测度论回顾： 本部分涵盖了经典的傅里叶变换、傅里叶级数理论，并适当地引入了抽象测度论（Lebesgue积分）的框架，特别是函数空间 $L^p$ 理论的必要部分。重点在于理解变换如何从空间域映射到频率域，以及这种映射如何揭示函数的平滑性与振荡特性。 经典偏微分方程（PDEs）背景： 我们回顾了三大类经典PDE的初边值问题，包括椭圆型（如拉普拉斯方程）、抛物线型（如热传导方程）和双曲型（如波动方程）。着重分析了这些方程解的适定性（存在性、唯一性、连续依赖性）的传统方法，如能量法、最大值原理和经典的傅里叶/拉普拉斯变换解法。这种回顾为后续引入Littlewood-Paley分解的优越性提供了对比基础。 Sobolev空间与弱解： 为了处理流体力学中常见的非光滑解（如激波或湍流的内禀结构），本书详细阐述了Sobolev空间的概念，包括嵌入定理、紧性结果和弱导数的定义。这为在抽象函数空间中讨论解的性质和利用频域工具铺平了道路。 第二部分：Littlewood-Paley理论的构建与分析工具 本部分是全书的核心，全面阐述了Littlewood-Paley分解的构造、性质及其在函数空间分类中的关键作用。 Littlewood-Paley分解的起源与构造： 本书从经典的Littlewood-Paley不等式（关于和的三角不等式）出发，系统地介绍了如何将一个函数 $f$ 分解为一系列具有特定频率支持的“尺度块”（dyadic blocks）。详细讨论了平移算子（Paraproducts）的构造，这是分解理论中处理乘法和非线性项的关键技术。我们关注如何利用这些块来估计函数的积分性质。 频域局部化与函数空间刻画： Littlewood-Paley理论最强大的威力在于其提供了刻画各种函数空间的新方法。本书深入探讨了如何利用频率块来定义和刻画： 1. Besov 空间 ($B_{p,q}^s$)： 重点分析 $q=1$ 和 $q=infty$ 的情况，以及Besov空间如何精确地量化函数在特定尺度上的“粗糙度”或平滑性。 2. Triebel-Lizorkin 空间 ($F_{p,q}^s$)： 相比于Besov空间，Triebel-Lizorkin空间在 $p<1$ 时提供了更精细的分析工具，特别是在处理非线性方程的解时，其对积分的适应性尤为重要。 本书将详述这些空间间的相互包含关系，以及它们在椭圆算子正则性理论中的地位。 关键不等式与应用： 详细推导并应用了关键的Littlewood-Paley型不等式，如Calderón-Zygmund算子与乘子定理。这些工具是后续分析高维和非线性问题的数学“瑞士军刀”。 第三部分：在流体动力学方程中的前沿应用 本部分将理论分析工具无缝地嫁接到实际的物理模型中，重点关注粘性流体和不可压缩流体的数学挑战。 Navier-Stokes 方程的正则性问题： 本书将Navier-Stokes (NS) 方程作为主要案例，探讨Littlewood-Paley理论如何帮助分析其解的全局存在性与光滑性。 1. 高频分析与能量估计： 利用频率块分解，分析湍流或高雷诺数（High Reynolds Number）情况下，NS方程中对流项 $mathbf{u} cdot abla mathbf{u}$ 的乘积估计。传统方法在处理 $mathbf{u} cdot abla mathbf{u}$ 时，常因$ abla (mathbf{u} cdot abla mathbf{u})$的非线性结构而失效。Littlewood-Paley理论通过Paraproduct构造，将非线性项分解为低频与高频的相互作用（Paracontrolled Calculus的前身思想），从而实现对高频部分的精确控制。 2. 局部正则性理论： 探讨如何利用Besov或Triebel-Lizorkin空间的框架，证明在特定平滑度假设下，解的局部光滑性。 Euler方程的奇性形成问题： 对于无粘性的Euler方程，研究其解可能在有限时间内形成奇性的现象（如尖点或卷曲）。本书利用Littlewood-Paley分解，分析了这些奇性与解在特定频率分量上的能量汇聚之间的关系。这有助于理解激波和涡量传播的机制。 其他相关方程的应用： 简要介绍理论在其他重要流体模型中的渗透，例如： 非线性对流-扩散方程： 如对数对数型（log-log type）的平滑效应分析。 带表面张力的自由边界问题： 分析界面运动中的高频不稳定性。 总结与展望： 本书的结论部分将总结Littlewood-Paley理论在处理非线性PDE中“小尺度波动”与“大尺度平均行为”相互作用方面的不可替代性，并展望其与现代“参数化控制微积分”（Paracontrolled Calculus）等新兴理论的联系，为读者指明未来的研究方向。 --- 目标读者： 偏微分方程研究人员、数学物理学家、计算流体力学（CFD）理论工作者、以及具备扎实的实分析和泛函分析基础的研究生。

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好的，这是一些以读者口吻撰写的，针对一本假设的、不提及“现代数学基础丛书：Littlewood-Paley理论及其在流体动力学方程中的应用”的图书的评价，风格和内容各异，且篇幅符合要求： 这部新出版的关于经典文学鉴赏的著作，着实令人耳目一新。作者显然对维多利亚时代的小说有着深厚的感情和独到的见解。书中对于狄更斯笔下社会阶层固化现象的剖析，不仅仅停留在表面的情节叙述，而是深入挖掘了字里行间隐含的经济结构和道德困境。特别是对乔治·艾略特作品中女性自我意识觉醒的分析，其细腻程度简直令人叹为观止。我特别欣赏作者在比较不同时期作家创作手法的章节中，所展现出的那种游刃有余的跨学科视野，他巧妙地将当时的哲学思潮与文学表达方式联系起来，使得那些看似陈旧的文本焕发出新的生命力。唯一的遗憾是，在探讨文学对当时政治运动的微弱影响时，论证略显单薄，仿佛是为了凑足篇幅而硬加上去的一块拼图，但瑕不掩瑜，对于任何希望深入理解十九世纪英国文学脉络的读者来说，这都是一本值得反复咀嚼的佳作，其对文本细微之处的捕捉能力，远非一般导读类书籍可比。

评分☆☆☆☆☆

我必须承认，在翻开这本关于十九世纪欧洲音乐史的专著之前，我对浪漫主义音乐后期的发展了解相当有限。这本书的独特之处在于，它完全避开了对那些耳熟能详的大师的重复歌颂，而是将聚光灯投向了那些被严重低估的作曲家，比如一些中欧地区和北欧国家的音乐家。作者通过详尽的乐谱分析和当时的社会文化背景考察，揭示了这些“二线”人物是如何在主流审美之外，发展出极其复杂且富有地方特色的音乐语言的。他对于和声结构演变的研究达到了令人发指的细致程度，即便是对音乐理论有一定了解的人，也会被其中发现的精妙之处所震撼。这本书的结构安排也极具巧思，从民间音乐的吸收如何影响了宏大叙事，到技术革新（如管弦乐器改进）如何反过来塑造了音乐的表达力，层次分明，逻辑严密。对于想要跳出“德奥中心论”的音乐爱好者来说，这是一本不可多得的开阔眼界的指南。

评分☆☆☆☆☆

我最近读完了一本关于空间探索技术演进的历史书籍，说实话，它的信息密度高得惊人，几乎可以当作一本小型百科全书来使用了。作者似乎将所有能找到的、与火箭推进技术、轨道力学突破相关的原始文献都搜集整理了一遍，然后用一种近乎编年史的方式娓娓道来。最精彩的部分在于对早期登月计划中那些“非主流”设计方案的详细描述，那些被历史尘埃掩埋的、极具创意的失败尝试，被作者用生动的笔触重新唤醒，让人不禁为那些先驱者的智慧和勇气而动容。虽然阅读过程需要极高的专注力，因为涉及大量的技术细节和专业术语，初次接触相关领域的读者可能会感到吃力，但如果你对航天史怀有近乎痴迷的热情，这本书绝对能满足你对“硬核”知识的渴求。它不是那种轻松的科普读物，而是一份厚重的、需要沉下心来研读的学术遗产，展示了人类工程学思维如何一步步战胜看似不可能的物理定律。

评分☆☆☆☆☆

关于微观经济学中博弈论应用的这本教材，老实说，它对我的冲击非常大。我原本以为这只是又一本充斥着纳什均衡和囚徒困境的教科书，但作者的切入点却完全不同。他将重心放在了信息不对称和信号传递模型上，并且非常大胆地引入了行为经济学的最新发现来修正传统的理性人假设。书中大量使用了金融市场的真实案例来驱动理论的构建，而不是像很多教材那样，先建立一个完美的理论模型再强行套用现实，这种“从实践中提炼理论”的叙事方式，让枯燥的数学推导变得鲜活起来。我个人认为，关于“声誉机制”在重复博弈中如何打破零和博弈僵局的章节，是全书的亮点，它不仅展示了数学建模的威力，更揭示了社会规范在经济决策中的隐性作用。虽然有些高级模型需要读者具备扎实的微积分基础，但作者在每章末尾设置的“概念延伸与批判性思考”环节，极大地降低了自学的难度，鼓励读者主动去质疑和拓展模型的边界。

评分☆☆☆☆☆

这是一本关于古希腊哲学中伦理学思想流变的手册，它的出版填补了一个长期存在的学术空白。作者摒弃了传统上按照流派简单划分的叙事模式，而是选择了一种基于核心概念的、螺旋式上升的探讨路径。例如，关于“美德”的定义，书中追溯了从苏格拉底的困惑到亚里士多德的集大成，再到斯多葛学派的坚忍，每一步的逻辑推演都清晰可见，让人完全理解了思想是如何在不同哲学家的辩论中被塑造和强化的。我尤其欣赏作者在处理柏拉图的“理念论”与现实世界道德实践之间的张力时所展现出的审慎态度，他没有简单地断言哪一方更优越，而是展示了这种内在冲突是如何驱动了整个伦理学体系的发展。全书的语言风格典雅而精准，尽管讨论的是抽象概念，却丝毫不觉枯燥，反而有一种抽丝剥茧般的阅读快感，让人感觉自己仿佛也在雅典的学园中与先哲们一同思辨。