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店铺： 新知图书专营店

出版社： 湖南师范大学出版社

ISBN：9787564819941

商品编码：26208687079

丛书名： 奥林匹克数学中的真题分析

《深入探索：现代高等代数核心概念与应用》 本书旨在为数学专业本科生及对现代高等代数有深入学习需求的读者提供一份详尽、严谨且富有洞察力的教程。全书聚焦于高等代数的核心理论框架，从基础的群论、环论、域论出发，逐步深入到更抽象和前沿的结构，并强调这些理论在现代数学分支中的实际应用。 第一部分：群论的基石与拓展 第一章，我们从群的基本定义和性质入手，系统梳理了子群、陪集、正规子群与商群的概念。重点剖析了同态与同构定理，特别是第一、第二、第三同构定理，它们是理解群结构相似性的关键工具。我们通过大量实例，如对称群 $S_n$、二面体群 $D_n$ 和模运算群，帮助读者建立直观认识。 第二章致力于探索有限群的结构。中心化的概念被详细阐述，包括中心 $Z(G)$ 和换位子群 $[G, G]$。西洛夫定理（Sylow Theorems）作为有限群结构理论的里程碑，将进行详尽的证明和应用，包括如何利用西洛夫 $p$-子群来判定群的可解性（Solvability）。 第三章开始拓宽视野，介绍群作用（Group Actions）。我们深入探讨了轨道（Orbits）和稳定子（Stabilizers），以及由此导出的群作用的分类和应用，如使用群作用证明组合学中的计数定理（例如Burnside's Lemma）。此外，我们还引入了置换群的进一步分析，包括循环分解和奇偶性。 第四章，我们转向更一般的代数结构，如自由群（Free Groups）及其生成元和关系，为后续学习更高维度的代数对象打下基础。 第二部分：环与域的结构理论 第五章引入环（Rings）的概念，作为具有两个运算的代数结构。我们区分了交换环与非交换环，并详细讨论了理想（Ideals）、商环（Quotient Rings）和环同态。同态定理在环上的对应关系被清晰地构建。 第六章聚焦于特殊类型的环，特别是整环（Integral Domains）和主理想整环（Principal Ideal Domains, PID）。我们详细分析了欧几里得整环（Euclidean Domains）的性质，并通过构造函数域上的多项式环实例，展示了 PID 在唯一分解（Unique Factorization）中的重要性。 第七章，多项式环的理论得到全面展开。我们不仅讨论了域上的多项式环，还涉及了更一般的环上的多项式结构。关键内容包括多项式的求根、多项式的模运算以及如何利用抽象代数工具处理多项式的因式分解问题。 第八章，域（Fields）的理论是代数扩张的基础。我们从有理数域 $mathbb{Q}$ 和实数域 $mathbb{R}$ 出发，系统研究了域的扩张（Field Extensions），包括代数扩张与超越扩张。伽罗瓦群（Galois Group）的概念首次被引入，作为连接域扩张和群论的桥梁，揭示了多项式方程可解性的深层原因。 第三部分：伽罗瓦理论与代数几何的初步接触 第九章是全书的理论高峰之一：伽罗瓦理论。我们定义了伽罗瓦扩张（Galois Extensions），并精确阐述了伽罗瓦对应定理（Fundamental Theorem of Galois Theory）。该定理将域扩张链与伽罗瓦群的子群链建立起一一对应的关系。通过这一工具，我们给出了五次及以上代数方程不可解的严格证明，这是对古典数学难题的现代解答。 第十章，我们扩展了域扩张的研究范围，深入探讨了有限域（Finite Fields）。我们证明了有限域的存在性和唯一性（在同构意义下），并详细分析了它们在编码理论和密码学中的基础应用。特别是，我们构建了 GF($p^n$) 的结构，并探讨了其自同构群。 第十一章，本书将触及更抽象的代数结构，为深入学习代数几何做准备。我们介绍了模（Modules）的概念，将其视为向量空间在一般环上的推广。这部分内容将展示如何使用模的理论来统一处理群、环、向量空间等概念的内在联系。 第十二章，我们将探讨布尔代数（Boolean Algebras）在逻辑和集合论中的地位，以及它们作为特定环结构（如狄拉克代数）的特殊案例。这部分旨在展示抽象代数如何渗透到离散数学和理论计算机科学的领域。 附录：代数结构的应用速览 附录部分将提供一些选修的、与实际应用紧密相关的专题： A. 线性代数与群论的交汇： 介绍表示论（Representation Theory）的入门，探讨群作用如何在线性代数空间中实现，包括许尔定理（Schur's Lemma）的初步介绍。 B. 代数在数论中的投影： 简要概述代数数论（Algebraic Number Theory）的基本思想，例如在 $mathbb{Z}[i]$ 或其他代数整数环中的唯一分解问题。 本书的特点在于其严谨的逻辑推导、丰富的例证分析以及对理论内在联系的强调。每一章节都包含大量的习题，旨在巩固概念并培养学生独立解决问题的能力。通过系统学习，读者将能够熟练运用现代高等代数工具，为进一步研究代数几何、拓扑学、表示论或理论物理打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计很有冲击力，那种深蓝的底色配上金色的字体，透着一股严肃和专业的味道，一看就知道不是那种泛泛而谈的辅导材料。我最初翻阅它的时候，是被它对基础知识的梳理深度所吸引的。它并没有简单地罗列公式和定理，而是深入探讨了这些数学思想的起源和演变，特别是对于一些经典的数学模型，比如圆锥曲线的几何性质和数论中的模运算，作者似乎花费了大量笔墨去剖析其内在的逻辑关联。阅读这些章节时，我感觉自己像是在跟随一位经验丰富的老教练在进行一次“地基加固”工程，每一步都走得异常扎实。尤其是在解析那些看似毫无头绪的组合数学问题时，书中提供的“映射转换法”和“对称构造法”的处理思路，极大地拓宽了我对问题本质的理解。它要求读者不能仅仅满足于得出正确答案，更重要的是要理解“为什么”这个答案是正确的，以及在面对一个全新的、更复杂的题目时，如何将这些深层次的思维工具迁移过去。这种对数学思维的雕琢，远超出了普通应试参考书的范畴，更像是一部为有志于攀登数学高峰的学子准备的“武功秘籍”。

评分☆☆☆☆☆

我个人在准备省赛时，最大的瓶颈在于几何部分的证明题。那些涉及角度、长度和位置关系的题目，往往需要极其精巧的辅助线构造，光靠死记硬背是不可能成功的。我尝试了市面上很多号称“几何专题”的书，但大多都是在罗列定理和基本模型。然而，这本书在几何部分的处理方式彻底颠覆了我的认知。它没有直接教你“如何做辅助线”，而是深入分析了“为什么需要那条辅助线”。它通过对欧几里得几何思想的溯源，讲解了什么是“最优的”几何视角。例如，在处理一些涉及圆和切线的复杂图形时，书中会引导读者从“反演几何”的视角去观察，虽然反演本身不是高中竞赛的常规考点，但其背后的“变换思维”对于构造辅助线是极具启发性的。这种从宏观哲学层面指导微观解题技巧的写作风格，让我对几何的理解从“看图”升级到了“建构”，这是我在其他任何材料中都未曾获得的深刻洞察。

评分☆☆☆☆☆

我必须要提一下这本书在例题选择上的独到眼光。很多奥赛辅导书堆砌的都是近几年的真题，但这本书似乎更注重“经典性”和“代表性”。它精选了一些跨越了近二十年甚至更久远的、至今仍在各类选拔赛中反复出现的“母题”。对于这些母题，作者不仅给出了详尽的解题步骤，更重要的是，它还附带了对“解题路径的优化分析”。比如，对于一个涉及不等式的题目，书中会对比至少三种不同的解法，然后从时间效率、思维难度和适用范围三个维度进行打分和点评。这种“解法哲学”的探讨，对我来说是醍醐灌顶的。我过去常常陷入思维定势，总习惯于用自己最熟悉的那一套工具去硬套所有问题。然而，通过阅读这些对比分析，我开始学会根据题目的“气质”来选择最合适的“兵器”。这种对解题策略的系统性训练，极大地提高了我在高压竞赛环境下的应变能力和决策速度，实属难得的宝贵财富。

评分☆☆☆☆☆

这本书的讨论深度，尤其是对于那些晦涩难懂的数论和复数应用题的解析部分，简直称得上是“学术级”的严谨。我记得有一道关于丢番图方程的题目，市面上的解法通常都是依靠某个特殊的因式分解技巧一笔带过。但这本书，却花费了整整三页的篇幅，从同余理论出发，详细推导了那个因式分解的必然性，并且还探讨了这种技巧在其他类似方程中的推广潜力。这要求读者必须具备极强的耐心和严密的逻辑推理能力，它不是一本可以用来“速成”的工具书，而是一本需要沉下心来反复研读的“思想结晶”。对于那些真正渴望进入数学研究领域，或者希望在顶尖高校数学系有出色表现的同学来说，这本书提供的这种对数学本质的“刨根问底”精神，是比任何应试技巧都更为宝贵的精神财富。它塑造的不仅仅是解题能力，更是一种对数学真理的敬畏之心。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和装帧，虽然不算华丽，但却透露出一种朴实无华的专业精神。纸张的质量很好，印刷清晰，即便是需要反复涂画草稿和标注重点的地方，也不容易洇墨。更让我赞赏的是，它在章节的衔接处理上非常流畅。它不像有些教材那样，前一章和后一章之间存在明显的知识断层，需要读者自己去费力搭桥。这本书的编排逻辑是层层递进的，比如从初级的函数方程到高级的Cauchy泛函方程的过渡，书中巧妙地引入了一些中间地带的“桥梁问题”，确保读者的理解是连贯且深入的。这体现了编纂者对高中生认知规律的深刻理解，知道在哪一步需要“扶一把”，在哪一步需要“放手让其探索”。这种循序渐进、但每一步都直指核心的学习体验，使得学习过程中的挫败感大大降低，取而代之的是一种持续的、可预期的进步感。