2018奥林匹克数学中的几何问题奥赛经典专题研究系列 高中数学奥林匹克教程辅导书高中数学竞 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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沈文选张垚冷岗松 编

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店铺： 新知图书专营店

出版社： 湖南师范大学出版社

ISBN：9787564819958

商品编码：26208715502

丛书名： 奥林匹克数学中的几何问题

开本：16开

出版时间：2015-01-01

数学思维的殿堂：一部聚焦于数论与组合的奥赛进阶指南 图书名称：《数论与组合的奥秘：面向顶尖数学竞赛的深度解析与解题策略》 内容提要： 本书是一部专门为有志于在高中阶段冲击更高层次数学奥林匹克竞赛（如 IMO、区域性乃至国家级选拔赛）的学生和指导教师量身打造的进阶级辅导专著。它摒弃了对基础代数和初等几何的常规叙述，而是将全部篇幅集中于两个在现代数学竞赛中占据核心地位且难度极高的分支领域：解析数论的初等方法与高级组合结构与计数原理。本书旨在通过严谨的理论构建、精选的经典难题剖析以及独到的解题思路引导，帮助读者实现从“会解题”到“精通解题”的质的飞跃。 --- 第一部分：解析数论的初等锋芒 (Elementary Aspects of Analytic Number Theory) 本部分不涉及高等微积分中的连续性与极限的严格分析，而是专注于利用初等工具（如整除性、模运算、算术函数性质、狄利克雷级数的基础概念等）来解决涉及整数性质的复杂问题。 第一章：算术函数与结构分解 1.1 经典算术函数的深入研究： 深入探讨欧拉$phi$函数、除数函数$ au(n)$和$sigma(n)$的性质，着重分析其积性、完全积性，并推导其在特定模意义下的周期性。 1.2 狄利克雷卷积与莫比乌斯反演的精妙应用： 不仅教授莫比乌斯反演公式本身，更侧重于其在反向证明和构造性计数中的应用实例。探讨狄利克雷乘法表的构造及其在求和估计中的潜力。 1.3 线性筛法与更高效的函数计算： 讲解如何利用线性筛法在$O(N)$时间内预处理大量数论函数的值，以及如何结合容斥原理设计更优化的筛法来计算特定形式的函数值之和（如 $sum_{i=1}^N mu(i)$ 的初步估计）。 第二章：同余理论的深化与应用 2.1 原根、指标与二次剩余： 系统介绍二次互反律（高斯引理的形式介绍，重点应用而非严格证明），以及欧拉判别法在判断一个数是否为模$p$的二次剩余中的关键作用。讲解原根的存在性判别条件及其在密码学基础（如离散对数问题雏形）中的潜在联系。 2.2 中国剩余定理的高级变体： 探讨超越标准形式的同余方程组，例如模数不互质的情况，以及如何利用迭代代入法或构造函数来求解多重、嵌套的同余系统。 2.3 丢番图方程的有限性分析： 聚焦于 Pell 方程 $x^2 - Dy^2 = 1$ 的基本解的求解策略（基于连分数展开法的基本思想介绍），以及齐次与非齐次线性丢番图方程的通解构造。 第三章：初等数论中的不等式与估计 3.1 狄利克雷平均值： 介绍算术函数平均值（如平均阶）的概念，通过分块求和法（Dirichlet Hyperbola Method 的初等版本）对 $sum_{n=1}^N au(n)$ 进行更精确的阶估计，探讨误差项的分析。 3.2 分布与密度： 初步介绍素数定理的“初等证明”的思想框架（如切比雪夫的上界和下界估计），并分析 $pi(x)$ 的初步估计公式及其在概率论背景下的意义。 3.3 模运算下的极值问题： 涉及利用鸽巢原理和抽屉原理解决与同余类相关的极值问题，例如在特定集合中寻找特定模的倍数或非倍数的存在性。 --- 第二部分：高级组合结构与计数原理 (Advanced Combinatorial Structures and Counting Principles) 本部分专注于组合数学中更抽象、更具结构性的主题，强调模型构建、图论工具的运用以及生成函数的强大表达能力。 第四章：生成函数的威力 4.1 普通生成函数 (OGF) 的深度应用： 熟练运用生成函数解决复杂的递推关系（特别是高阶或变系数的线性递推），以及处理带有限制条件的组合计数问题（如卡特兰数、斯特林数的推广形式）。 4.2 指数型生成函数 (EGF) 与排列组合： 深入讲解 EGF 在处理带标签对象（标记问题）中的不可替代性，如环状排列、带有特定结构（如特定元素相邻）的排列计数。 4.3 模块化生成函数： 探讨利用生成函数处理“不能重复选择”或“选择次数有限”的问题，并引入生成函数在周期性问题中的应用，如周期性序列的构造。 第五章：图论在竞赛中的建模与应用 5.1 基本图论概念的深化： 重点讲解连通性、欧拉路径/回路、哈密顿路径的判定（欧拉-庞加莱定理的深入应用）。 5.2 树的计数与性质： 详细介绍 Cayley 公式（生成树定理）及其推广形式（如矩阵树定理的入门思想），并结合 Prufer 序列探讨带标签树的结构。 5.3 染色的艺术与应用： 介绍图的染色问题（如边染色、点染色），并结合平面图的四色定理思想（仅限于基本性质和应用，不涉及复杂证明），解决涉及区域划分或资源分配的优化问题。 第六章：高级计数原理与构造性证明 6.1 容斥原理的复杂迭代： 讲解容斥原理在处理“至少有 $k$ 个性质成立”或“恰好有 $k$ 个性质成立”等复杂情况下的系统化应用，以及如何通过构造合适的集合族来简化计算。 6.2 构造性证明与反证法在组合中的结合： 针对“证明存在性”的题目，提供构建具体实例的技巧。同时，讲解如何通过假设一个结构不存在，进而导出矛盾的严谨思路。 6.3 极值原理与局部最优解： 聚焦于最小/最大元素法（Extremal Principle），训练读者识别问题中的“最”字，并从局部最优推导出全局性质。分析拉姆齐理论的初级应用，如 Ramsey(3,3)=6 的直观理解与应用。 --- 本书特色： 本书的每一章节都配备了大量由历年国际及国内顶尖奥赛中筛选出的“A级难题”，这些题目不仅考察知识点，更侧重于思维的灵活性和知识的融会贯通。每道例题都提供至少两种解题思路的对比分析，详细阐述了从发现问题、构建模型到最终求解的完整思维链条，旨在培养读者面对未知数学问题时，敢于尝试、善于转化的顶级解题能力。本书是奥赛选手向更高目标迈进的必备阶梯。

评分☆☆☆☆☆

说实话，拿到这本书的时候，我其实是带着一丝怀疑的，市面上的奥赛资料多如牛毛，真正能让人眼前一亮的凤毛麟角。但当我翻到关于数论与组合的交叉部分时，我的看法彻底改观了。它没有回避那些最棘手的容斥原理应用，反而用一种近乎讲故事的方式，将复杂的计数过程层层剥开，仿佛有位经验丰富的大师在你耳边细细讲解每一步逻辑推导的精妙之处。特别是它对“鸽巢原理”在不同维度问题上的灵活变体进行了归纳总结，这比我之前看过的任何一本教材都要系统和深入。我感觉作者一定是倾注了大量心血，不仅仅是收集了历年的真题，更重要的是提炼出了隐藏在那些表面形式各异的题目背后的底层数学思想。这种由表及里的梳理，极大地提升了我看待问题的深度和广度，不再满足于套用模板，而是开始尝试构建自己的解题框架。这种能力的提升，对我来说比单纯记住几个结论要宝贵得多。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计简直太吸引人了，那种深沉的蓝色调配上简洁有力的几何图形，一下子就让人感觉到了专业和严谨。我记得我当时是在书店的奥赛专区一眼就相中的，那种“非同一般”的气质是其他辅导书比不上的。拿到手里沉甸甸的，厚度也相当可观，翻开目录，那密密麻麻的知识点划分和例题索引，简直就是一本武功秘籍。我个人对解析几何的部分尤其期待，因为在那之前，总觉得立体几何的某些技巧难以捉摸，希望这本书能提供一种全新的、更直观的理解视角，不仅仅是公式的堆砌，而是那种深入骨髓的几何直觉的培养。我已经迫不及待想知道，它究竟是如何系统地梳理那些被公认为“鬼题”的难题的，特别是那些需要巧妙构造辅助线的经典战例，希望能从中找到破解迷局的钥匙。这本书的排版也很舒服，字体大小适中，留白恰到好处，即便是长时间研读，眼睛也不会感到太疲惫，这对于我们这种需要高强度学习的备赛者来说，简直是福音。

评分☆☆☆☆☆

我是一个偏向于“理论先行”的学习者，对于那些上来就丢一堆例题，不做深入原理探讨的书籍，我通常敬而远之。这本书最打动我的地方，在于它对基础公理和定理的追溯。它在介绍一个复杂的几何定理时，往往会先回溯到欧几里得几何的哪一条基本假设，再通过一系列严谨的逻辑步骤推导出来，这种“溯源”式的讲解，极大地满足了我对知识体系完整性的渴求。它不是简单地告诉你“怎么做”，而是让你明白“为什么必须这么做”。例如，在处理向量与坐标系转换的章节，它清晰地论证了为什么在特定的三维空间问题中，使用四元数而非传统的欧拉角会更加简洁高效，这种高屋建瓴的视角，让我对高等数学与奥赛几何的衔接点有了更清晰的认识。这种扎实的理论基础，让我在面对那些看似无从下手的新颖题目时，不再慌乱，因为我知道，无论变化如何，它们终究脱离不了那些最基本的数学定律。

评分☆☆☆☆☆

这本书的后半部分，主要集中在历年国际奥赛（IMO）的精选真题解析上，这部分内容简直是神来之笔。与其他资料不同，它提供的不是“标准答案”的机械展示，而是提供了至少三种不同思路的解法，并且对每种解法进行了详细的优劣分析。有一种解法被标记为“最优构造法”，阅读过程简直是一种艺术享受，它展示了人类思维在极限挑战下所能达到的创造力和优雅性。我记得有一道关于圆锥曲线的题目，第一种解法用了繁复的代数运算，第二种用了仿射变换的几何技巧，而第三种，仅仅用了几笔简单的平行线和相似三角形，就洞穿了问题的本质。作者在解析中强调了“选择正确工具的重要性”，这对我个人的解题习惯产生了深远的影响。我开始有意识地在解题前花更多时间去构思，去寻找那个最“美”的切入点，而不是急于动笔计算，这无疑是迈向更高水平的标志。

评分☆☆☆☆☆

对于那些已经有一定奥赛基础，但希望冲刺省级或国家级集训的同学来说，这本书的价值是无可替代的。它非常“硬核”，几乎没有面向初学者的“入门”章节，直接就切入了竞赛的核心难度。我尤其欣赏它对于“反例与构造”这一主题的论述。在证明一个结论的普适性时，作者不仅给出了证明，还特意设计了一系列“陷阱”——那些看似符合直觉，实则谬误的特例，并详细解释了为什么这些特例会失效。这种“防患于未然”的教学方式，极大地提高了我对数学结论的审慎态度。它教会我的不仅仅是解题技巧，更是一种严谨的、怀疑一切的科学精神。读完这本书，我感觉自己不仅仅是在准备一场考试，更像是在参与一场与历史上那些最伟大数学家们思想的对话，那种精神上的洗礼，是任何速成班都无法给予的。