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[美] 拉姆（T.Y.Lam） 著

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• 代数
• 抽象代数
• 模论
• 环论
• 数学
• 高等代数
• 讲义
• 数学教材
• 代数结构
• 数学分析

出版社： 世界图书出版公司

ISBN：9787510044182

版次：1

商品编码：11124549

包装：平装

外文名称：Lectures on Modules and Rings

开本：24开

出版时间：2012-06-01

用纸：胶版纸

页数：557

正文语种：英文

内容简介

《模与环讲义》主要内容包括：Free Modules， Projective， and Injective Modules、Flat Modules and Homological Dimensions、More Theory of Modules、Rings of Quotients、More Rings of Quotients、Frobenius and Quasi-Frobenius Rings、Matrix Rings， Categories of Modules， and Morita Theory等七大章。

内页插图

目录

Preface
Notes to the Reader
Partial List of Notations
Partial List of Abbreviations

1 Free Modules， Projective， and Injective Modules
1. Free Modules
1A. Invariant Basis Number （IBN）
1B. Stable Finiteness
1C. The Rank Condition
1D. The Strong Rank Condition
1E. Synopsis
Exercises for 1
2. Projective Modules
2A. Basic Definitions and Examples
2B. Dual Basis Lemma and Inveriible Modules
2C. Invertible Fraaional Ideals
2D. The Picard Group of a Commutative Ring
2E. Hereditary and Semihereditary Rings
2F. Chase Small Examples
2G. Hereditary Artinian Rings
2H. Trace Ideals
Exercises for 2
3. Injective Modules
3A. Baer's Test for Injectivitv
3B. Self-Iniective Rings
3C. Injectivity versus Divisibility
3D. Essential Extensions and Injective Hulls
3E. Injectives over Right Noetherian Rings
3F. Indecomposable Injectives and Uniform Modules
3G. Injectives over Some Artinian Rings
3H. Simple Injcctives
3I. Matlis' Theory
3J. Some Computations oflnjective Hulls
3K. Applications to Chain Conditions
Exercises for 3

2 Flat Modules and Homological Dimensions
4. Flat and Faithfully Flat Modules
4A. Basic Properties and Flatness Tests
4B. Flatness， Torsion-Freeness， and von Neumann Regularity
4C. More Flatness Tests
4D. Finitely Presented （f.p.） Modules
4E. Finitely Generated Flat Modules
4F. Direct Products of Flat Modules
4G. Coherent Modules and Coherent Rings
4H. Semihereditary Rings Revisited
4I. Faithfully Flat Modules
4J. Pure Exact Sequences
Exercises for 4
5. Homological Dimensions
5A. Schanuel's Lemma and Projective Dimensions
5B. Change of Rings
5C. Injectivc Dimensions
5D. Weak Dimensions of Rings
5E. Global Dimensions of Semiprimary Rings
5F. Global Dimensions of Local Rings
5G. Global Dimensions ofCommutative Noetherian Rings
Exercises for 5

3 More Theory of Modules
4 Rings of Quotients
5 More Rings of Quotients
6 Frobenius and Quasi-Frobenius Rings
7 Matrix Rings， Categories of Modules， and Morita Theory
References
Name Index
Subject Index

前言/序言

《代数的宇宙：从基础到前沿的探索》 这是一部旨在引领读者深入探索抽象代数精彩世界的指南。本书跳出了单一课程讲义的框架，以更加宏观的视角，勾勒出代数结构之间错综复杂的联系，并追溯其在现代数学和科学中的深刻影响。我们不只是学习定义和定理，更是要理解它们为何如此重要，以及它们如何构建起我们对数学本质的认知。 第一部分：代数结构的基石——群与环的起源与演进 在展开对模与环的深入讨论之前，我们有必要回顾一下它们在代数谱系中的“祖辈”——群与环。群论的起源可以追溯到19世纪初，以解决代数方程的根式可解性问题为起点。拉格朗日、高斯、伽罗瓦等巨匠的开创性工作，逐步揭示了置换群的结构，并由此发展出群论的宏伟体系。本书将从群的基本概念入手，如子群、陪集、正规子群、同态和同构，带领读者理解群如何描述对称性、变换以及群在数论、几何学和密码学等领域的应用。我们将探讨有限群的结构定理，例如西罗定理，以及无限群的一些重要性质，从而为后续的抽象代数学习打下坚实的基础。 与此同时，环论的发展则与数论和代数几何紧密相连。费马大定理的证明、代数数域的理论发展，都催生了对整环、理想等概念的思考。本书将介绍环的基本概念，包括加法和乘法运算的性质，单位元、零因子、可逆元等关键元素。我们将深入研究交换环的结构，重点关注理想的概念，理解其在环分解和性质传递中的核心作用。素理想、极大理想的引入，将带领读者领略代数几何中簇的研究方法，以及数论中理想类群的深刻思想。本书还会探讨一些重要的特殊环，例如域（Field）——作为所有线性代数和域论的根基，以及多项式环、矩阵环等，展示代数结构的多样性。 第二部分：模的诞生——从向量空间到更一般的结构 模（Module）作为线性代数中向量空间的推广，是连接群论和环论的关键桥梁。向量空间可以被看作是域上的模，而环上的模则将这种线性结构的概念扩展到了更广泛的代数背景下。本书将详细阐述模的基本定义与性质。我们将从模的加法、标量乘法（由环的元素作为标量）开始，逐步引入子模、模同态、模同构等概念。 理解模的核心在于理解“作用”在模上的环的元素。我们将通过具体的例子，例如整数环$mathbb{Z}$上的模，展示如何将熟悉的数集（如整数、有理数）看作是$mathbb{Z}$上的模。接着，我们将深入研究有限生成模，探讨其结构分解定理，特别是关于主理想整环（PID）上的模的分类。这将涉及到自由模、挠模、挠自由模等重要概念，以及扭转子（torsion submodule）和永不扭转部分（torsion-free part）的分解。 本书将重点关注自由模与有限生成模的性质。自由模类似于向量空间，其元素可以由一组基线性表示。我们将讨论自由模的秩（rank），并将其与向量空间的维度进行类比。对于有限生成模，我们将探索其更精细的结构，例如不可约模、拟射模（injective module）和射影模（projective module）等，这些概念在代数拓扑、同调代数等领域扮演着至关重要的角色。 第三部分：环的深度——理想、模与结构的精妙 在引入模的概念之后，我们得以用更精妙的视角重新审视环的结构。环上的模的研究，反过来也极大地丰富了我们对环本身的理解。本书将进一步深入探讨环的内部结构，特别是通过理想与模的相互作用来揭示其奥秘。 我们将重温理想的概念，并从模的角度来理解理想。一个环$R$的左理想（或右理想）可以被看作是$R$自身作为左（或右）$R$-模的子模。这种视角使我们能够运用模论的工具来研究理想的性质，例如主理想、极大理想、素理想等。我们将探讨降链条件（descending chain condition, DCC）和升链条件（ascending chain chain condition, ACC）对环和模结构的影响，从而引出诺特环（Noetherian ring）和阿廷环（Artinian ring）等重要范畴。 本书将详细介绍诺特环的性质。诺特环是许多代数研究的“标准”对象，包括多项式环、代数数域的整数环等。我们将讨论诺特环的刻画，例如升链条件等价于每个子模都有限生成。诺特环上的有限生成模也具有非常好的结构，我们将探讨其关于子模块和商模的分解。 此外，我们将探讨阿廷环及其上的模。阿廷环具有降链条件，并且其上的所有模都是有限生成模。阿廷环的结构非常“紧凑”，我们将介绍莫里塔等价（Morita equivalence）等概念，它们揭示了不同环上的模范畴之间深刻的联系。 第四部分：进阶理论与前沿应用 在构建了扎实的模与环理论基础之后，本书将带领读者探索一些更高级的理论及其在现代数学和科学中的应用。 同调代数（Homological Algebra）：同调代数是研究代数结构（特别是模）的“同调不变量”的理论。我们将简要介绍链复形、同调群、导出函子（如Ext函子和Tor函子）等基本概念。这些工具对于理解模的结构、刻画环的性质以及研究代数拓扑中的同调论至关重要。 表示论（Representation Theory）：表示论研究抽象代数结构（如群、代数）如何在向量空间上“表示”出来，即通过线性变换来实现。我们将探讨有限群的表示论，以及代数代数（algebraic algebra）的表示论，这些理论在粒子物理、量子力学等领域有着广泛的应用。 代数几何（Algebraic Geometry）：代数几何研究多项式方程组的解集，其本质是将几何对象与代数结构（特别是环和模）联系起来。我们将介绍代数簇、理想与簇之间的对应关系，以及概形（scheme）等更抽象的概念，它们是现代代数几何的基石。 代数数论（Algebraic Number Theory）：代数数论研究代数数域的性质，如其整数环的结构，理想的分解等。本书将展示模与环的理论如何应用于理解代数整数的性质，例如整环上的模论在研究代数数域的类群、单位群等问题中的作用。 总结： 《代数的宇宙：从基础到前沿的探索》旨在提供一个全面且富有洞察力的代数学习体验。我们不仅会严谨地掌握模与环的基本定义和定理，更会深入理解它们之间的联系，以及它们如何在广阔的代数天地中扮演着至关重要的角色。本书通过对抽象概念的细致讲解，结合丰富的例子和对前沿应用的展望，致力于激发读者对抽象代数的兴趣，并为其进一步深入研究奠定坚实的基础。这是一次关于结构、对称性、以及数学本质的深刻旅程，邀请每一位对数学之美充满好奇的读者一同探索。

评分☆☆☆☆☆

有时候，我也会感到迷茫，尤其是在遇到一些特别抽象或复杂的证明时。我需要反复阅读，甚至暂时放下书本，去思考其他相关的概念，然后再回过头来。这种“迂回”的阅读方式，虽然增加了时间和精力上的投入，但往往能够带来意想不到的收获，让我对某个知识点的理解更加深入和牢固。我开始明白，数学的学习从来都不是一蹴而就的，而是需要耐心和毅力，需要不断地克服困难，才能最终抵达知识的彼岸。

评分☆☆☆☆☆

我记得有一次，当我试图理解某个模的性质时，我突然联想到了之前学习的线性代数中的向量空间。那一刻，我恍然大悟，原来向量空间本身就可以看作是一种特殊的模，而模的理论则为向量空间提供了更一般、更深刻的视角。这种跨领域的联想，让我体会到了数学的统一性，也让我更加深刻地理解了为什么数学家们会不断地追求更抽象、更普适的理论，因为只有这样，才能将看似不同的数学对象纳入同一个框架下进行研究，从而发现更深层次的规律。

评分☆☆☆☆☆

这本书的叙述方式，有时会让我觉得我仿佛置身于一个古老的图书馆，一位博学的智者正缓缓地向我讲述着数学的奥秘。那些定理、定义，如同精心打磨的宝石，被小心翼翼地呈现在我面前。我需要花费大量的时间去咀嚼、去品味，去理解它们所蕴含的深刻意义。有时，一个简单的定义，背后可能就隐藏着一个精巧的构造，需要我仔细地去探究它的来龙去脉，才能真正领会其中的妙处。

评分☆☆☆☆☆

这本书的名字《模与环讲义》本身就带有一种庄严和深奥的气息，仿佛指向着一个更加抽象、更加普适的数学世界。我当时充满了期待，也带着一丝忐忑，不知道自己能否跟上作者的思路，能否在这片未知的领域里找到自己的立足之地。我脑海中浮现的，是无数的数学符号在纸上跳跃，是那些抽象概念如云雾般环绕，难以捉摸。我渴望能够拨开这层迷雾，看到数学结构背后隐藏的美丽，能够从更宏观的角度去理解那些分散的知识点。

评分☆☆☆☆☆

在我阅读这本书之前，我对“抽象”这个词的理解，更多的是停留在一种模糊的、难以把握的层面。但通过《模与环讲义》，我开始体会到抽象数学的魅力。它不是凭空捏造，而是从具体的数学对象中提炼出共性的本质，形成一种更普遍、更强大的理论框架。这种从具体到抽象，再从抽象回归到理解更广泛的具体，是一种非常有力量的学习过程，让我看到了数学的生命力和创造力。

评分☆☆☆☆☆

总而言之，尽管我还没有完全消化《模与环讲义》中的所有内容，但这段阅读经历已经极大地拓展了我的数学视野，也深刻地改变了我对数学的看法。它让我看到了代数世界的广阔与深邃，也激发了我继续探索更多数学奥秘的兴趣。我期待着未来能够继续在这条道路上前进，去理解更多更精彩的数学思想，去感受数学之美。

评分☆☆☆☆☆

阅读《模与环讲义》的过程，也伴随着大量的思考和自我挑战。我经常会在脑海中构建各种各样的例子，去验证书中的定理是否适用于这些例子，或者去思考定理的条件是否能够被放松。这种主动探索的过程，让我不仅仅是被动地接受知识，而是积极地参与到数学的构建过程中，仿佛自己也成了一个小小的数学研究者。

评分☆☆☆☆☆

在我翻开《模与环讲义》的扉页之前，我对代数几何和抽象代数领域的认识，就像一个初涉迷宫的孩子，小心翼翼地摸索着墙壁，偶尔能辨认出一些基本的形状，但对于整个宏大的结构，却是一知半解。我最开始接触到的，可能是一些更具象化的代数概念，比如多项式方程的解，或者是一些群论的基础知识，那些东西就像是一块块色彩鲜艳的积木，能够清晰地勾勒出一些轮廓，但始终缺乏一种将它们有机联系起来的内在逻辑，更不用说那种深邃的、触及本质的理解了。

评分☆☆☆☆☆

在阅读这本书的过程中，我常常会停下来，去回想自己之前学过的那些零散的代数知识。我开始意识到，原来那些看似独立的数学概念，在模与环的框架下，竟然能够找到如此精妙的联系。这就像是在一个庞大的城市里，我之前可能只看到了零散的几栋建筑，而现在，我终于看到了贯穿这些建筑的街道、河流，甚至整个城市的规划图。这种从局部到整体的飞跃，让我感到无比的震撼和兴奋，也让我对数学这门学科产生了全新的敬畏之情。

评分☆☆☆☆☆

我还会经常将书中的概念与现实世界进行类比，尽管这种类比可能并不完全精确，但却能帮助我更好地理解那些抽象的数学思想。比如，当我思考某个理想的性质时，我可能会把它想象成一种“不可分割的”或“封闭的”集合，就像化学中的元素一样，它们有自己的属性，并且在某些操作下保持不变。这种尝试将抽象概念具体化的努力，虽然有时会显得笨拙，但确实是我加深理解的一种重要途径。

评分☆☆☆☆☆

很好。

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这本书不错，名家的经典之作，值得一读。。。。。。。

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好书！好书！

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印刷清楚，纸张质量不错，至于内容肯定是经典，GTM的书都是经典

评分☆☆☆☆☆

这方面刚出的书

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模与环讲义学习用书，好。

评分☆☆☆☆☆

模与环讲义学习用书，好。

评分☆☆☆☆☆

不错的教材挺基础的。

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还没看，是大家的作品。