微分方程：一種建模方法 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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☆☆☆☆☆

[美] 考特尼·布朗（Courtney Brown） 著，李蘭 譯

圖書標籤:

• 微分方程
• 數學建模
• 常微分方程
• 偏微分方程
• 數值解
• 應用數學
• 工程數學
• 科學計算
• 數學分析
• 高等數學

齣版社： 格緻齣版社

ISBN：9787543221963

版次：1

商品編碼：11140912

包裝：平裝

叢書名： 格緻方法·定量研究係列

開本：32開

齣版時間：2012-12-01

用紙：膠版紙

頁數：151

正文語種：中文

內容簡介

　　《微分方程：一種建模方法》是格緻方法·定量研究方法叢書之一種。《微分方程：一種建模方法》通過把時間作為連續變量而非離散變量，集中討論利用數值方法解決微分方程組，介紹瞭求解一階微分方程的分離變量法以及存在兩個不同實根的二階綫性微分方程的求解，以便拓展讀者數學方麵的知識。作者不僅為數學和統計學拓展瞭一個主題，而且嚮社會學傢提齣瞭新的挑戰，建議社會學傢能走齣以變量為取嚮的思維定勢，更多地從過程的角度來思考問題。

目錄

序
第1章 動態模型與社會變遷
第1節 微分方程在社會科學中應用的理論依據
第2節 一個實例
第3節 微分方程在自然科學和物理學中的應用
第4節 確定性微分方程和概率性微分方程的比較
第5節 什麼是微分方程?
第6節 本書的內容

第2章 一階微分方程
第1節 綫性一階微分方程組的分析解
第2節 分離變量法求解一階微分方程
第3節 社會學實例
第4節 求解微分方程的數值方法
第5節 本章小結

第3章 一階微分方程組
第1節 獵食模型
第2節 相位圖
第3節 嚮量場域和方嚮場域圖
第4節 均衡區和流程圖
第5節 本章小結

第4章 一階係統的經典社會科學實例
第1節 理查森軍備競賽模型
第2節 蘭徹斯特戰鬥模型
第3節 拉波波特生産交易模型
第4節 本章小結

第5章 二階非自治微分方程轉化成一階微分方程係統
第1節 二階和更高階微分方程
第2節 非自治微分方程
第3節 本章小結

第6章 綫性微分方程係統的穩定性分析
第1節 一個係統中的穩定性如何突變的一個例子
第2節 標量法
第3節 矩陣法
第4節 均衡類彆
第5節 小結

第7章 非綫性微分方程係統的穩定性分析
第1節 雅可比矩陣
第2節 本章小結

第8章 研究前沿
附錄
參考文獻
譯名對照錶

前言/序言

書籍簡介： 《數學模型的建構與應用》 本書旨在為讀者提供一個全麵而深入的視角，審視數學模型如何從現實世界的復雜現象中孕育而齣，並最終服務於理解、預測和解決實際問題的強大工具。它不局限於某一個特定的數學分支，而是強調模型思維的核心原則——如何將抽象的數學語言轉化為對自然、工程、社會乃至經濟等廣泛領域現象的洞察。 第一部分：模型構建的基石——從現象到概念 本部分將帶領讀者踏上模型構建的啓濛之旅。我們將從最直觀的現實世界現象齣發，引導讀者學會觀察、提煉關鍵特徵，並將其轉化為數學上可描述的概念。 現象的觀察與抽象： 我們將從日常生活中常見的現象入手，例如物體的自由落體、人口的增長、疾病的傳播、經濟的波動等。通過細緻的觀察，我們將引導讀者識彆齣驅動這些現象的核心要素和相互關係。這不僅僅是“看到”，更是“理解”——理解現象背後的驅動力、製約因素以及可能存在的規律。例如，觀察蘋果落地，我們識彆齣“重力”這一關鍵概念；觀察細菌繁殖，我們關注“生長率”和“環境容量”。 數學語言的初探： 在識彆齣關鍵概念後，我們將探討如何使用數學語言來錶達它們。這不意味著要直接套用復雜的公式，而是從最基本的數學概念入手，如變量、常量、函數、比例關係等。我們將通過簡單的例子，展示如何用數學語言來刻畫觀察到的現象。例如，將“距離與時間的關係”用函數 $d(t)$ 錶示；將“人口數量的變化”與“時間”建立聯係。 假設的形成與簡化： 現實世界往往是極其復雜的，直接將其完全納入模型是不切實際的。因此，模型構建的關鍵一步在於做齣閤理的假設，從而對現實世界進行必要的簡化。我們將探討不同層次的假設，以及它們對模型精度的影響。我們會強調，一個好的模型並非追求完美復現現實，而是在保持足夠準確性的前提下，提供清晰、可分析的框架。例如，在建模自由落體時，我們可以首先忽略空氣阻力，隻考慮重力的影響，以得到一個理想化的模型；待模型建立後再考慮引入更復雜的因素。 選擇閤適的數學工具： 不同的現象和問題需要不同的數學工具來描述。本部分將初步介紹一些基礎的數學概念和工具，並說明它們在模型構建中的作用。這可能包括： 代數模型： 用方程、不等式來描述靜態的、變量之間的代數關係。例如，用代數方程錶示供需平衡。 幾何模型： 利用幾何形狀和空間關係來描述物體的形態、位置和運動。例如，用二維或三維幾何模型錶示建築結構。 微積分基礎： 引入變化率的概念，為描述動態過程打下基礎。例如，描述速度是位移隨時間的變化率。 統計與概率初步： 認識到現實世界中的不確定性，並瞭解如何用概率分布來描述隨機現象。例如，用概率模型描述某種商品的銷售量。 第二部分：模型的構建與分析——從概念到數學結構 在掌握瞭基本的模型構建原則後，本部分將深入探討如何將抽象的概念轉化為具體的數學模型，並對其進行深入的分析。 數學模型的形式化： 這一階段，我們將學習如何將第一部分提煉齣的概念和假設，嚴謹地轉化為數學錶達式。這可能涉及： 方程組： 描述多個變量之間相互關聯的係統。例如，生態係統中的捕食者與被捕食者數量動態變化可以用耦閤的微分方程組來描述。 函數與映射： 刻畫輸入與輸齣之間的對應關係。例如，用生産函數描述投入與産齣之間的關係。 不等式： 描述變量的約束條件或範圍。例如，資源限製可以用不等式來錶示。 邏輯關係： 在一些非數值模型中，用邏輯語句來描述規則和條件。例如，在專傢係統中用邏輯規則錶示知識。 模型的分類與特性： 我們將介紹不同類型的數學模型，並分析它們的特性： 確定性模型 vs. 隨機性模型： 瞭解模型輸齣是否完全由輸入決定，還是包含隨機成分。 靜態模型 vs. 動態模型： 區分描述瞬時狀態的模型和描述隨時間演變的模型的區彆。 離散模型 vs. 連續模型： 探討變量是否取連續值，或者隻能取離散值的模型。 綫性模型 vs. 非綫性模型： 分析模型中變量之間關係是否為綫性，以及非綫性模型帶來的復雜性。 模型的求解與仿真： 建立瞭數學模型之後，如何從中提取信息至關重要。本部分將介紹多種求解和分析模型的方法： 解析解法： 對於一些結構相對簡單的模型，我們可以通過代數運算或微積分方法直接求得解析解，從而精確地瞭解模型變量的演變。 數值解法： 對於大多數復雜的模型，解析解難以獲得，我們將介紹各種數值計算技術，如迭代法、差分法等，通過計算機模擬來逼近模型的解。 仿真技術： 強調通過模擬實驗來觀察模型在不同參數或初始條件下的行為，從而揭示模型的動態特性和潛在規律。 模型的驗證與校準： 建立的模型是否能夠真實地反映現實世界？本部分將重點討論模型的驗證和校準過程。 與實際數據的對比： 如何收集和處理實際數據，並將其與模型的預測結果進行比較。 誤差分析： 評估模型預測誤差的來源和大小，並理解其對模型可靠性的影響。 模型參數的優化： 通過調整模型參數，使其預測結果與實際觀測數據盡可能吻閤。 模型的局限性識彆： 坦誠模型的適用範圍和潛在的失效場景，避免過度信任模型的預測能力。 第三部分：模型的應用與發展——從數學結構到現實價值 本部分將展示數學模型在各個領域的實際應用，並探討模型的進一步發展和挑戰。 跨學科的應用案例： 物理與工程： 如結構強度分析、流體力學模擬、電路設計中的動態分析等。 生物學與醫學： 如流行病傳播模型、藥物動力學模型、基因調控網絡分析等。 經濟學與金融學： 如供需均衡模型、金融市場風險評估、宏觀經濟預測等。 社會科學： 如人口遷移模型、城市發展模型、信息傳播模型等。 環境保護： 如汙染擴散模型、氣候變化模型、資源管理模型等。 我們將通過具體的案例，展示數學模型如何幫助科學傢、工程師和決策者理解復雜係統，預測未來趨勢，並指導實際操作。 模型的優化與改進： 隨著對現象理解的深入和新數據的齣現，模型需要不斷地被優化和改進。我們將探討如何通過以下方式提升模型性能： 引入更復雜的數學工具： 如隨機過程、偏微分方程、圖論、優化理論等，以捕捉更精細的現象。 集成學習與混閤模型： 結閤不同模型的優點，構建更強大的混閤模型。 數據驅動的建模： 利用大數據和機器學習技術，從數據中自動學習模型結構和參數。 模型的局限性與倫理考量： 任何模型都存在其局限性，理解這些局限性並負責任地使用模型至關重要。 模型偏差的風險： 瞭解模型可能存在的係統性偏差，並避免其對決策産生誤導。 預測的不確定性： 認識到所有模型預測都帶有不確定性，並學會量化和傳達這種不確定性。 模型濫用的可能性： 警惕模型被用於不正當的目的，並思考相關的倫理問題。 麵嚮未來的模型： 展望數學模型在人工智能、復雜係統科學、交叉學科研究等前沿領域的應用前景，以及模型構建方法本身的演進方嚮。 本書特色： 強調直觀理解： 避免枯燥的數學推導，注重從現實現象齣發，引導讀者建立模型思維。 循序漸進的教學方法： 從基礎概念入手，逐步深入，適閤不同數學背景的讀者。 豐富的案例研究： 涵蓋廣泛的應用領域，幫助讀者理解模型在實踐中的價值。 注重模型構建的完整流程： 從現象觀察、假設形成，到模型建立、分析、驗證和應用，提供一個完整的建模框架。 培養批判性思維： 鼓勵讀者對模型進行質疑和評估，理解模型的局限性，並負責任地使用模型。 《數學模型的建構與應用》將是一本啓發思想、塑造能力的重要讀物，無論您是希望深入理解科學研究的本質，還是希望將數學工具應用於解決實際問題，本書都將是您不可或缺的夥伴。它將教會您如何將紛繁復雜的世界，轉化為清晰可辨的數學語言，並從中發掘齣深刻的洞察和創新的解決方案。

評分☆☆☆☆☆

我剛開始接觸這本大部頭時，對它那種幾乎將所有高等數學分支的精髓都融入微分方程學習體係的做法感到有些不知所措。它似乎認為讀者已經具備瞭紮實的復變函數、泛函分析乃至測度論的基礎知識，從而在講解過程中常常齣現“顯而易見地”跳躍。這種處理方式的好處是，它將微分方程放在瞭一個極其廣闊的數學背景下進行考察，展示瞭其作為連接不同數學領域的橋梁作用。例如，在處理邊界值問題時，它引入瞭諸如格林函數等高級工具，這些工具的引入並非生硬的堆砌，而是與其要解決的問題有著深刻的內在聯係。不過，這種“高屋建瓴”的敘述風格，對於那些期待從最基礎的物理直觀或工程實例齣發的讀者來說，體驗可能會比較痛苦。它更像是為已經“畢業”的數學係學生準備的進階讀物，旨在深化理解，而非普及入門知識。書中的圖示相對較少，主要依賴文字和符號來構建思維圖像，這對於習慣瞭視覺輔助學習的現代讀者來說，可能需要更多的專注力來保持跟進。

評分☆☆☆☆☆

這本書最顯著的特點或許在於其對偏微分方程理論深度的挖掘，特彆是對於橢圓型、拋物型和雙麯型方程的分類及其對應的能量方法和最大值原理的論述，達到瞭極高的水準。它不僅僅停留在求解的層麵，更深入探討瞭這些方程的物理意義在數學形式上的體現。例如，對熱傳導方程的解的正則性分析，書中給齣的論證過程非常優雅且具有啓發性。然而，這種深度也帶來瞭另一個問題——對現代計算方法和復雜係統的覆蓋不足。在信息爆炸的今天，許多前沿的科學計算問題都依賴於高度優化的數值算法，這本書對這些算法的提及和探討相對薄弱，使得它在麵嚮工程應用的前沿研究領域，顯得有些“不閤時宜”。它更像是一部經典之作，旨在傳承和鞏固基礎理論的深刻理解，而非引領讀者探索當前最熱門、最需要快速上手工具的交叉領域。

評分☆☆☆☆☆

這本理論導嚮的教材，在數學推導的嚴謹性上著實下瞭大功夫，對於那些熱衷於探究方程背後深層數學結構的讀者來說，無疑是一份寶貴的財富。它沒有過多地糾纏於應用場景的錶皮，而是將筆墨集中在瞭如何係統地構建、分析和求解各類微分方程的數學框架上。無論是常微分方程的解的存在性與唯一性證明，還是偏微分方程基本解族的構造過程，書中的闡述都非常詳盡且邏輯鏈條清晰。我特彆欣賞作者在引入新概念時所采用的循序漸進的策略，它使得即便是初次接觸高等微分方程理論的讀者，也能逐步適應這種高強度的抽象思維訓練。然而，這種深度也帶來瞭相應的閱讀門檻，對於希望快速掌握解決實際問題工具箱的工程師或應用科學傢而言，可能需要付齣更多時間來消化其中大量的純數學論證。全書的習題設計也偏嚮於理論驗證，要求讀者不僅要會解題，更要能證明解的性質，這無疑是對讀者數學功底的一次全麵檢驗。它更像是一本嚴謹的數學哲學著作，而非一本操作手冊，適閤在圖書館裏，泡上一杯咖啡，慢慢品味其數學之美。

評分☆☆☆☆☆

這本書的語言風格極為精煉，幾乎沒有多餘的修飾詞匯，每一個句子都承載著密集的數學信息量。閱讀起來，感覺就像是在啃一塊密度極高的固體，需要仔細咀嚼纔能吸收其營養。作者似乎非常推崇簡潔的美學，這使得全書的篇幅得以控製在一個閤理的範圍內，避免瞭不必要的冗餘。然而，這種極緻的精煉有時會導緻對初學者的“不友好”。在某些關鍵定理的闡述後，作者很少提供詳細的“為什麼會是這樣”的直覺解釋，而是直接轉嚮下一個邏輯步驟。這迫使讀者必須經常停下來，迴顧之前章節的內容，甚至需要參考其他教材來彌補概念背景知識的缺失。對於那些習慣瞭帶有大量背景鋪墊和例證性講解的教材的讀者來說，這本書的閱讀體驗更像是一場智力上的高強度拉力賽。它要求你帶著問題去閱讀，而不是被動地接受答案。

評分☆☆☆☆☆

坦率地說，我發現這本書在結構安排上體現齣一種非常“老派”的學術風格。它的組織邏輯完全遵循瞭數學學科的經典劃分：從一階到高階ODE，再到基本的PDE，最後探討更專業的領域，如積分方程的聯係。這種結構雖然經典，但在現代跨學科應用領域顯得有些刻闆。例如，在介紹隨機微分方程或金融數學中的應用模型時，篇幅非常有限，或者需要讀者自行通過其建立的理論框架去推導適配。這本書的價值似乎更側重於建立一個無懈可擊的理論堡壘，而不是為讀者準備一套能應對復雜現實問題的“模塊化”工具箱。我期望能看到更多關於數值方法的詳細討論，或者至少是更明確地引導讀者到現代數值計算的文獻中去，但這本書似乎更傾嚮於解析解的理論完備性。對我個人而言，它提供瞭一個堅實的理論基石，但如果想立刻用它去解決一個最新的工程仿真問題，我可能還需要查閱大量的補充材料來銜接理論與實踐之間的鴻溝。

評分☆☆☆☆☆

第2H節

評分☆☆☆☆☆

序

評分☆☆☆☆☆

微分方程在自然科學和物理學中的應用

評分☆☆☆☆☆

第6章

評分☆☆☆☆☆

第2節

評分☆☆☆☆☆

第2節

評分☆☆☆☆☆

hK　　《微分方程p：一種建模方g法》是格緻方法·定量研究方法叢書之一M種。《微分方程：一種建模方j法》通過把時間作為連N續變量N而非離散變量，集中討論利用數值方法解決微分方程組，介紹瞭O求O解一階微分O方程的分離變量法以及存在兩個不同實根的二階綫性微分方程的求解，以便拓展讀者數學方麵的知識Q。作者不僅為數學和統計學拓展瞭一個主題，而且嚮社會學傢提齣瞭R新的S挑戰，建議社會學傢能走齣以變量為取嚮的思維定勢，更多地從過程的T角度來思考問題。

評分☆☆☆☆☆

第2節

評分☆☆☆☆☆

第1節