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[奥] 维特根斯坦 著，韩林合 译

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• 数学
• 基础
• 研究
• 高等数学
• 数学分析
• 拓扑学
• 代数学
• 数论
• 实分析
• 复分析
• 抽象代数

出版社： 商务印书馆

ISBN：9787100094764

版次：1

商品编码：11284855

品牌：商务印书馆（The Commercial Press）

包装：平装

开本：32开

出版时间：2013-07-01

用纸：胶版纸

页数：368

正文语种：中文

内容简介

　　《数学基础研究》是后期维特根斯坦有关数学哲学的研究结晶。其主要内容是根据其后期新的哲学理解对当时流行的数学基础研究中的形式主义思潮、逻辑主义思潮、直觉主义思潮进行分析和批评。本书译者是北京大学哲学系教授、著名的维特根斯坦专家韩林合先生。《数学基础研究》是译者参考维特根斯坦的手稿，重新编辑而成，并以译者的多年的研究为基础做出大量的注释。

内页插图

目录

第一部分
第二部分
第三部分

《几何的诗篇：从欧几里得到非欧几何的探索》 这是一部关于几何学思想史与发展脉络的深度剖析，旨在带领读者穿越时空，亲历人类对空间、形状和结构的理解从直观走向抽象，再到超越直观的壮丽旅程。本书并非一本枯燥的定理证明集，而是一次充满发现的智力探险，着重于概念的演进、思想的碰撞以及那些引领几何学变革的伟大头脑。 第一章：度量与和谐——古希腊几何的辉煌 本书开篇，我们将回到数学的摇篮——古希腊。在这里，几何学不仅仅是关于测量和计算的工具，更是体现宇宙秩序和完美和谐的语言。我们将深入探讨欧几里得《几何原本》的伟大成就，分析其公理化体系如何为西方数学奠定了严谨的基石。这不仅仅是关于定理的记忆，更是理解一种推理模式的形成：从基本假设出发，通过逻辑的链条，推导出无穷的真理。我们会仔细审视“点”、“线”、“面”等基本概念的定义，以及“平行公理”这一看似简单却蕴含了深远影响的公设。书中将穿插介绍毕达哥拉斯学派对数与形的神秘联系的探索，阿基米德在几何学上的杰出贡献，以及它们如何为理解自然世界提供了强大的数学框架。我们将探寻古希腊人如何通过几何图形来理解宇宙的结构，例如原子论者关于最小不可分割的点的思考，以及如何通过“穷竭法”来计算复杂图形的面积和体积，展现出他们非凡的几何直觉和严谨的逻辑。 第二章：从平面到立体——文艺复兴与解析几何的曙光 时间步入文艺复兴时期，欧洲的学术思想开始复苏，几何学的研究也随之进入新的阶段。本章将聚焦于笛卡尔和费马等先驱者如何将代数的力量注入几何的殿堂，催生了革命性的解析几何。我们将详细阐述“坐标系”这一划时代的工具，它如何将抽象的几何图形转化为代数方程，从而使得研究几何对象的性质变得更加便捷和普适。本书将通过具体的例子，如直线方程、圆的方程，来展示代数与几何如何巧妙地融合，揭示其强大的统一性。我们将分析这种新方法的出现如何打破了传统几何的局限，使得研究高维空间和复杂曲线成为可能。同时，我们也会回顾这一时期其他重要的几何学发展，例如透视法的兴起如何影响了艺术家对空间的描绘，以及对多面体和凸体的早期研究。我们将探讨解析几何的出现如何改变了科学研究的面貌，为物理学、天文学等领域的发展提供了不可或缺的数学语言。 第三章：超越直观的界限——非欧几何的诞生与哲学冲击 本书最激动人心的篇章之一，将带领读者进入非欧几何的奇妙世界。这里，我们将质疑并最终超越欧几里得平行公理的绝对权威。本章将详细介绍巴拉伊、罗巴切夫斯基和黎曼等数学家如何在十九世纪独立地发展出与欧氏几何截然不同的几何体系。我们将深入解析“双曲几何”和“椭圆几何”的核心思想，理解在这些新的几何框架下，平行线的行为是如何发生的根本性改变。本书将通过生动的图示和形象的比喻，来帮助读者理解这些反直观但却逻辑自洽的几何空间。我们将探讨非欧几何的诞生对哲学、物理学产生的深远影响，特别是爱因斯坦的广义相对论如何巧妙地运用黎曼几何来描述引力场，揭示了我们对宇宙本质的理解发生了颠覆性的变革。我们将反思，为什么一个我们习以为常的公理，一旦被动摇，就会打开一个全新的数学宇宙。 第四章：空间的无限延伸——拓扑学与微分几何的现代视角 随着对空间理解的不断深入，几何学的疆域进一步拓展。本章将介绍现代几何学两大重要分支：拓扑学和微分几何。我们将首先聚焦于拓扑学，它关注的是图形在连续变形（如拉伸、压缩，但不撕裂或粘合）下的不变性质。我们将通过著名的“柯尼斯堡七桥问题”和“莫比乌斯带”等经典例子，来揭示拓扑学研究的独特性质——“形变”的魔力。本书将阐释拓扑学如何帮助我们理解连续性、连通性等更本质的空间结构，其在各个科学领域，从理论物理到计算机科学，都有着广泛的应用。接着，我们将转向微分几何，它利用微积分的强大工具来研究光滑曲面和曲线的局部性质。我们将探讨曲率、测地线等概念，理解如何通过微分的方法来精确地描述和分析复杂形状的几何特性。本书将展示微分几何如何成为研究流形、纤维丛等高级数学对象的基础，并为现代物理学的许多前沿领域（如弦理论）提供了数学语言。 第五章：几何学的语言——抽象代数与几何的交融 几何学与代数之间的联系是其发展过程中一条重要的主线。本书的这一章将深入探讨抽象代数在现代几何学中的应用。我们将介绍群论、环论、域论等概念，并展示它们如何被用来理解几何对象的对称性、变换群以及代数簇等。本书将通过例如射影几何中关于不变式的研究，或者代数几何中对多项式方程所定义的几何对象（簇）的研究，来展现抽象代数如何为几何学提供了强大的工具和全新的视角。我们将看到，如何将几何问题转化为代数问题，或者反之，如何利用代数的结构来理解几何的性质。这一章旨在揭示，现代数学的强大之处在于不同分支之间的相互渗透和融合，而几何学正是这种融合的受益者和推动者。 第六章：视觉与直觉的边界——几何学在科学与艺术中的回响 几何学的影响远不止于数学本身。本章将探讨几何学的思想如何渗透到科学的各个领域，以及在艺术创作中扮演的角色。我们将回顾物理学中，从牛顿力学中的时空几何，到爱因斯坦的相对论，再到量子场论中的微分几何和李群的应用，几何学始终是描述自然规律的不可或缺的语言。本书还将探讨，几何学的原理如何影响建筑设计、城市规划，以及计算机图形学的发展。在艺术领域，我们将看到从古埃及的金字塔，到文艺复兴时期的透视绘画，再到现代抽象艺术，几何的秩序、比例和空间感如何成为艺术家们灵感的源泉。本书将通过具体的案例，展示几何学如何塑造了我们对世界的感知，并激发我们的想象力。 结论：未完待续的探索 在本书的结尾，我们将总结几何学发展的历史脉络，并展望其未来的发展方向。几何学并非一个已经完成的学科，而是充满活力的、不断演进的领域。从高维空间的探索，到量子几何的研究，再到几何学在人工智能、数据科学等新兴领域的应用，都预示着几何学将继续在人类的知识体系中扮演至关重要的角色。本书旨在激发读者对几何学的兴趣，培养其严谨的数学思维，并理解几何学作为一种思考和理解世界的方式，其永恒的魅力与价值。 这部作品，力求以清晰的逻辑、丰富的史实、生动的语言，为广大读者呈现一部关于几何学思想的波澜壮阔的史诗。它将引导您去思考，去发现，去感受，那隐藏在数字与图形背后的，关于空间、结构与和谐的深刻奥秘。

评分☆☆☆☆☆

这本书的语言风格非常个人化，带有一种老派学者的沉稳与犀利，读起来让人感到一种强烈的信赖感。作者似乎总是在与读者进行一场心照不宣的对话，时不时穿插一些充满洞见的脚注或旁白，这些“题外话”往往比正文本身更引人深思。在某些需要进行哲学思辨的段落，作者毫不避讳地表达了自己的立场，这种鲜明的观点使得阅读体验充满了张力，让人忍不住要停下来，反复咀嚼其背后的深意。与那些追求绝对客观、面面俱到的教科书不同，这本书展现出一种主动引导读者思考“为什么是这样”而非仅仅“是什么”的治学态度。这种带着温度的表达，让我在面对那些尖锐的逻辑悖论时，不再感到孤军奋战，而是有了一个可靠的伙伴并肩作战。

评分☆☆☆☆☆

从技术层面上讲，这本书在符号运用和定义规范性上做到了极致的严谨。我是一名有一定背景的读者，在阅读过程中，几乎找不到任何可以指摘的逻辑跳跃点或模糊不清的表述。作者对细节的把控到了吹毛求疵的地步，这对于追求绝对精确性的读者来说，无疑是一种福音。更难得的是，这种极致的严谨并没有让阅读体验变得晦涩难懂。相反，正是这种无懈可击的结构，反而提供了最大的安全感，让读者敢于在复杂推导中放手一搏，因为你知道，作者已经为你铺好了每一块垫脚石。尤其是关于某种高级抽象代数结构的处理，其清晰度和完备性，是我在其他任何著作中都未曾见过的。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计简洁有力，深邃的蓝色背景仿佛将人带入一个充满未知与奥秘的数学宇宙。初翻阅时，我立刻被其中严谨的逻辑和清晰的论证所吸引。作者似乎有一种魔力，能将那些看似高不可攀的抽象概念，用一种近乎诗意的语言娓娓道来。那些复杂的定理和公式不再是冰冷的符号堆砌，而更像是精心编织的数学风景画。尤其是在探讨集合论的某些基础性问题时，作者的阐述角度非常独特，既保留了学术的深度，又极大地降低了读者的理解门槛。我感觉自己仿佛跟着一位经验丰富的向导，在数学的大厦中攀登，每一步都踏实而充满发现的喜悦。这种行文风格，让原本可能枯燥的理论学习过程，变成了一场智力上的探险。它不仅仅是知识的传递，更是一种思维方式的启迪，让人开始用一种全新的视角去审视日常的逻辑结构。

评分☆☆☆☆☆

这本书带给我的最大冲击，在于它对“数学本质”的探讨，远超出了纯粹的技术层面。它像是一面镜子，照出了现代数学构建过程中的一些基本假设和潜在的哲学困境。作者并非只是罗列定理，而是深入挖掘了这些概念是如何在人类认知的发展过程中被“发明”或“发现”的。阅读过程中，我多次停下来，反思我们习以为常的数学公理体系背后的合理性与局限性。这种宏大叙事和微观论证的完美结合，使得这本书不仅仅是一本工具书，更像是一部关于人类理性探索历程的史诗。它激发了我对数学作为一种语言、一种世界观的更深层次的敬畏与理解，让人感觉自己的思维维度被拓宽了一个全新的层次。

评分☆☆☆☆☆

这本书的内容组织结构堪称一绝，完全颠覆了我过去对这类专业书籍的刻板印象。它并非按照传统的章节顺序线性推进，而是采用了一种螺旋上升的叙事方式。初级概念的引入非常巧妙，往往以一个看似不相关的实际问题为引子，然后层层深入，最终导向核心的数学原理。这种“润物细无声”的教学法，极大地减轻了初学者的挫败感。我特别欣赏作者在处理不同数学分支交叉点时的处理手法，那种游刃有余的过渡，显示出作者深厚的跨学科功底。在某些需要大量图形辅助理解的部分，作者巧妙地运用了文字描述的张力来弥补视觉上的不足，这在纯文字载体中是极其难能可贵的成就。读完后，我感觉我的知识网络被极大地拓宽和加固了，不再是孤立的知识点，而是一个相互支撑的有机整体。

评分☆☆☆☆☆

现在我们进入了迷宫的第一部分——“1.世界是一切发生的事情”。这里迷宫的路还很清晰。我们先走过“1.1 世界是事实的总体，而不是事物的总体”，同时注意这条小路“1.12 因为事实的总体规定那发生的事情，也规定那所有未发生的事情。”然后走过“1.2 世界分解为诸事实”，这里也有小路“1.21 每项事情可以发生或者不发生，其余的一切则保持原样。”

评分☆☆☆☆☆

没有理由可以设想一个人会感觉到，比如，那个与他的表情同时发生的面部动作，或者某种情绪所特有的呼吸变化。即使在他把注意力指向他们时就会感觉到这种变化。（姿势）

评分☆☆☆☆☆

不知什么原因，书面很不整洁。

评分☆☆☆☆☆

不错，很经典，学习数学基础很有帮助

评分☆☆☆☆☆

那些在别人不问时我们明白，而当我们要对它作出说明时就不明白的东西，正是我们需要提醒自己注意的东西。（显然，这是由于某种原因我们很难提醒自己的东西）

评分☆☆☆☆☆

维特根斯坦受到叔本华、尼采以及几个世代之前日耳曼浪漫主义者的影响。理性试着要做却做不到的，就是研究自己；理性无法超过为自己设下的限制，如无法描述自身的限制 (“我并不身处于我的世界之中，我是我的世界的疆界”)。人们无法说明什么事物存在于理性的限制之外，即是无法说出“无法说出的事物”。处于科学研究限制之外的则是价值的问题，以及关于价值、上帝与宗教的问题。《逻辑哲学论》( Tractatus Logico-Philosophicus ) 指出一条明路：“凡是无法说出的，就应该保持沉默。”这并不是单纯的同语反复，而是相当深刻的神秘主义，沉默地指出哲学的疆界与理性的限制之外存在着繁多经验。

评分☆☆☆☆☆

在方先生的描述里，Haus Wittgenstein位于维也纳市中心东侧一处闲静的住宅区，楼房高三层，钢筋混凝土柱梁，水平屋顶，外部造型是简单的几何形状组合，乍看跟现代主义建筑先驱阿道夫•洛斯的作品有几分相似。不过一当进入里面，就会发现空间运用极为明晰独立，内部与外部非常统一，迥异于洛斯建筑内部那种复杂的空间构造。通过现场考察，作者指出维氏可能更多受到英国建筑家麦金托什（Mackintosh）的影响，譬如那些修长垂直的铁制门窗框架（除了体量/空间比例的精确计算分割，笔者以为这恐怕是“房子”予人感觉形貌气质特异的最重要的元素了），或许就是自麦氏那里脱胎提炼而来。

评分☆☆☆☆☆

“凡是可以说的东西都可以说清楚；对于不能谈论的东西必须保持沉默。”

评分☆☆☆☆☆

记住：有时我们需要说明，并不是为了说明内容，而是为了说明的形式。我们的要求是一种建筑结构上的需要。说明有时只是一种不支撑任何东西的墙檐物。