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尤承业 著

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• 拓扑学
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• 代数拓扑
• 拓扑空间

出版社： 北京大学出版社

ISBN：9787301031032

版次：1

商品编码：11679886

包装：平装

开本：32开

出版时间：1997-11-01

用纸：胶版纸

页数：312

字数：250000

正文语种：中文

内容简介

　　《基础拓扑学讲义》是拓扑学的入门教材。内容包括点集拓扑与代数拓扑，重点介绍代数拓扑学中的基本概念、方法和应用。全书共分八章：拓扑空间的基本概念,紧致性和连通性，商空间与闭曲面，同伦与基本群，复叠空间，单纯同调及其应用，映射度与不动点等。每节配备了适量习题并在书末附有解答与提示。《基础拓扑学讲义》叙述深入浅出，例题丰富，论证严谨，重点突出；强调几何背景，注意培养学生的几何直观能力；方法新颖，特别是关于对径映射的映射度的计算颇具新意。《基础拓扑学讲义》把抽象理论与具体应用紧密结合，使学生得到抽象思维与逻辑推理能力的训练。
　　《基础拓扑学讲义》可作为综合大学、高等师范院校数学系的拓扑课教材，也可供有关的科技人员和拓扑学爱好者作为课外学习的入门读物。

内页插图

目录

引言（拓扑学的直观认识）
第一章 拓扑空间与连续性
1 拓扑空间
2 连续映射与同胚映射
3 乘积空间与拓扑基

第二章 几个重要的拓扑性质
1 分离公理与可数公理
2 YPBIXOH引理及其应用
3 紧致性
4 连通性
5 道路连通性
6 拓扑性质与同胚

第三章 商空间与闭曲面
1 几个常见曲面
2 商空间与商映射
3 拓扑流形与闭曲面
4 闭曲面分类定理

第四章 同伦与基本群
1 映射的同伦
2 基本群的定义
3 Sn的基本群
4 基本群的同伦不变性
5 基本群的计算与应用
6 Jordn曲线定理

第五章 复叠空间
1 复叠空间及其基本性质
2 两个提升定理
3 复叠变换与正则复叠空间
4 复叠空间存在定理

第六章 单纯同调群（上）
1 单纯复合形
2 单纯复合形的同调群
3 同调群的性质和意义
4 计算同调群的实例

第七章 单纯同调群（下）
1 单纯映射和单纯逼近
2 重心重分和单纯逼近存在定理
3 连续映射诱导的同调群同态
4 同伦不变性

第八章 映射度与不动点
1 球面自映射的映射度
2 保径映射的映射度及其应用
3 Lefshetz不动点定理

附录A 关于群的补充知识
附录B VnKmpen定理
附录C 链同伦及其应用
习题解答与提示
名词索引
符号说明
参考书目

前言/序言

探索几何学的内在秩序：一本关于空间、连续性与变换的入门读物 本书并非一本严谨的定理证明集，而是一次旨在揭示几何学深层结构与内在联系的探索之旅。我们将一同深入研究空间的基本属性，理解连续性这一直观概念背后所蕴含的数学力量，并领略变换如何塑造和改变我们对几何对象的认知。 第一部分：空间的基石——集合与关系 在开始构建复杂的几何世界之前，我们必须先奠定坚实的基础。我们将从最基本的概念——集合——入手。集合是数学的基石，通过它，我们可以清晰地描述和组织各种数学对象。我们会学习如何定义集合、进行集合运算（如并集、交集、差集），并理解子集和幂集的意义。 在此基础上，我们引入“关系”的概念。关系描述了集合元素之间的联系，从简单的相等关系到更复杂的序关系，它们为我们理解对象之间的结构性区别提供了工具。我们将特别关注“等价关系”，它将集合划分为互不相交的“等价类”，这一概念在后续的分类和结构分析中至关重要。 第二部分：连续性的奥秘——拓扑空间 “连续性”是我们日常生活中一个直观而重要的概念，比如一条不间断的曲线，一个平滑的形变。在数学中，我们需要一个严谨的框架来形式化这一概念。本书将引入“拓扑空间”这一核心概念，它提供了一种比度量空间更一般、更灵活的方式来定义连续性。 一个拓扑空间由一个集合以及该集合上的一个“拓扑”（即一个特殊的开集集合族）组成。开集是拓扑的基本单元，它们定义了空间的“局部”结构。通过对开集属性的约束，我们能够定义开集、闭集、邻域等重要概念。 一个函数是否是“连续”的，将不再仅仅依赖于距离的远近，而是取决于它如何保持空间的“连通性”和“邻域结构”。我们将通过一系列例子，从实数轴上的连续函数，到二维平面上的连续映射，逐步加深对拓扑连续性定义的理解。 第三部分：形状的本质——同胚与同态 当我们观察不同的几何形状时，我们常常关注它们的相似性。例如，我们知道一个圆可以被拉伸成一个椭圆，一个杯子可以被变形（不撕裂、不粘合）成一个甜甜圈。在拓扑学中，我们用“同胚”来描述这种“拓扑等价”的关系。 同胚是连续的、可逆的映射，它的逆映射也是连续的。拥有同胚关系的两个拓扑空间，在拓扑学意义上被认为是相同的。这意味着它们拥有相同的拓扑性质，比如连通性、紧致性、可数性等。我们将学习如何判断两个空间是否同胚，并探索一些重要的同胚不变量，例如洞的数量（即亏格）。 除了同胚，我们还将简要触及“同态”的概念。同态是保持结构（如运算）的映射，它在代数拓扑等领域有着广泛的应用，但在此我们将聚焦于其与几何形态的直观联系。 第四部分：空间的性质——连通性与紧致性 空间的“连通性”描述了空间是否可以被分解为不相交的“部分”。一个连通的空间无法被分成两个不相交的非空开集。我们将探讨路径连通性，它是一种更强的连通性概念，要求空间中的任意两点之间都存在一条连续的路径连接。 “紧致性”是另一个重要的拓扑性质，它直观上可以理解为“有限地覆盖”。一个紧致的空间，任何由开集组成的“开覆盖”，都可以从中提取出一个有限的子集，仍然能够覆盖整个空间。紧致性在分析学中扮演着重要角色，例如，连续函数在紧致集上能够达到其最大值和最小值。 第五部分：有趣的变换——同胚的实例与应用 在本书的最后，我们将通过一系列具体的例子来巩固和应用我们所学到的概念。我们将分析一些常见的拓扑空间，如欧几里得空间、球面、环面等，并讨论它们的拓扑性质。 我们将深入研究一些有趣的拓扑变换，例如镜面反射、旋转、平移等，理解它们如何在拓扑空间中被视为同胚。同时，我们会简要提及拓扑学在其他领域的潜在应用，比如在图形学中用于处理曲面变形，在计算机科学中用于分析网络结构，甚至在物理学中用于描述时空的性质。 本书的目标是激发读者对几何学内在美感和抽象思维的兴趣。我们不追求数学的严谨性，而是侧重于概念的直观理解和思想的启发。希望通过这次旅程，你能够对“空间”、“连续性”和“形状”产生全新的认识，并为进一步探索更深层次的数学世界打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

“同调论”的初步探索，是“基础拓扑学讲义”中令我感到极其兴奋和震撼的部分。虽然这本书是“基础”的，但作者并没有回避这一更高级的理论，而是以一种非常巧妙的方式，为读者勾勒出了同调论的轮廓。我一直认为，同调论是拓扑学中最强大的工具之一，它能够通过代数的方法来研究拓扑空间的“孔洞”和“连通性”。作者首先从“链复形”的概念入手，这是一种由群（或模）和群同态组成的序列，其中相邻的映射满足复合为零的性质。我虽然对群论不是非常精通，但在作者的引导下，我大致理解了链复形是如何构建起来的。接着，他引入了“同调群”的概念，并解释了同调群如何衡量链复形中“循环”和“边界”的“区别”。这让我体会到，通过代数的语言，我们可以量化拓扑空间中“孔洞”的数量和类型。作者还以简单的例子，比如圆周和球面，来展示它们各自的同调群。这让我直观地感受到，不同形状的物体，其同调群是不同的，这正是同调论的威力所在。虽然本书对同调论的介绍是初步的，没有深入到具体的计算和复杂的证明，但它成功地激发了我对这一领域的好奇心，让我看到了拓扑学研究的深度和广度，并期待将来有机会深入学习更高级的同调理论。

评分☆☆☆☆☆

“同胚”和“同伦”是拓扑学中两个非常核心且有趣的“等价”概念，而“基础拓扑学讲义”在这方面的讲解，让我觉得既严谨又富有趣味。作者首先详细定义了“同胚”：一个双射且其逆映射也连续的映射。他通过大量例子，比如将一个圆盘拉伸成一个椭圆，或者将一个立方体变形为一个球体，来形象地说明同胚的概念——即两个拓扑空间在拓扑意义上是“等价”的，它们具有相同的拓扑性质。我特别喜欢作者在讲解同胚时，所使用的“橡胶片几何”的比喻，这让我一下子就抓住了其精髓：只要不撕裂、不粘合，就可以将一个形状变成另一个形状，而拓扑学的研究对象正是那些在这样的形变下不变的性质。紧接着，作者引入了“同伦”的概念，这比同胚更加“宽松”，允许一些“粘合”的行为。他通过“连续变形”的描述，来解释同伦。我脑海中立刻浮现出将一个橡皮筋在空间中缓慢移动，直至变成另一个形状的过程。作者还区分了“路径同伦”和“端点同伦”，并给出了相应的定义。这两部分内容，为我理解“拓扑等价”提供了坚实的理论基础，也为我后续学习更高级的拓扑概念，比如同调论和同伦论，打下了良好的基础。

评分☆☆☆☆☆

这本书在引入“紧致性”概念时，处理得相当到位。我之前对紧致性的理解，更多停留在“有限开覆盖”的定义上，虽然理论上正确，但总觉得不够直观，在实际应用中也显得有些晦涩。而“基础拓扑学讲义”作者在这部分的处理，则让我耳目一新。他首先从“局部紧致”这个概念入手，通过一系列例子，比如欧几里得空间中的有界闭集就是紧致集，让我对紧致性有了初步的感性认识。接着，他详细阐述了“ Heine-Borel 定理”，并对其证明过程进行了细致的剖析。这个定理在拓扑学中扮演着至关重要的角色，将抽象的紧致性与我们熟悉的“有界闭集”联系起来，极大地便利了理论的讨论和实际的应用。作者在讲解证明时，没有急于求成，而是一步一步地引导读者思考，每一个逻辑推导都显得顺理成章。他还特别强调了紧致性在分析学中的重要性，比如在函数连续性、极限存在性等方面的应用，这让我深刻体会到，学习拓扑学不仅仅是为了理解抽象的数学结构，更是为了更好地理解和解决分析学中的实际问题。我尤其喜欢作者在对比不同空间的紧致性时，所举的一些对比性例子，这有助于我理解不同条件下紧致性的表现形式，也让我更加清晰地认识到紧致性这个性质的强大和普遍性。

评分☆☆☆☆☆

“紧致空间”的进一步探索，是“基础拓扑学讲义”中让我受益匪浅的部分。在我初次接触拓扑学时，对紧致性的理解更多是通过 Heine-Borel 定理，将其与欧几里得空间中的有界闭集联系起来。而这本书则更深入地挖掘了紧致空间的内在性质。作者首先详细讨论了紧致空间的“子集”和“商空间”的紧致性。我了解到，紧致空间的一个非常重要的性质是，它的任意子集也是紧致的（当然，这需要空间本身是 Hausdorff 的）。而关于商空间的紧致性，则需要结合映射的性质来分析，这让我对商映射和商拓扑有了更深的理解。我尤其欣赏作者在分析“紧致空间”的“积空间”性质时，详细阐述了 Tychonoff 定理。这个定理指出，任意多个紧致 Hausdorff 空间的积空间也是紧致 Hausdorff 空间。这个结论着实令人惊叹，它揭示了紧致性在乘法运算下的强大“保持力”，也为构建更复杂的紧致空间提供了有力工具。他还探讨了紧致空间在不动点理论、分析学中的一些应用，比如连续函数在紧致空间上一定能达到最大值和最小值。这让我更加深刻地认识到，紧致性不仅仅是一个抽象的定义，它在数学的许多分支都有着极其重要的意义。

评分☆☆☆☆☆

“函数空间”的引入，是“基础拓扑学讲义”中一个非常有价值的章节。我之前对函数空间的理解，更多停留在代数层面，比如向量空间中的函数。而这本书则从拓扑学的角度，为函数空间赋予了新的生命。作者首先定义了在函数空间中常用的几种拓扑，比如“逐点收敛拓扑”和“一致收敛拓扑”。我深刻体会到，这两种拓扑虽然都与函数的收敛有关，但它们所诱导出的拓扑性质却是截然不同的。逐点收敛拓扑相对“弱”，而一致收敛拓扑则相对“强”。接着，他详细讨论了这些函数空间的拓扑性质，例如它们是否是 Hausdorff 空间、是否是可分的，以及它们自身的紧致性。我特别喜欢作者在分析“紧致开集拓扑”（Compact-open topology）时，将其与连续映射空间联系起来，并阐述了其在同伦论中的重要性。这让我看到了，如何用拓扑学的语言来研究函数集合本身，并发现函数集合所具有的“形状”和“结构”。我还了解到，在某些条件下，函数空间可以具有非常美好的拓扑性质，比如 Arzelà-Ascoli 定理，它给出了函数序列在一致收敛拓扑下具有紧致子集的充要条件。这部分内容，无疑为我将来在分析学、泛函分析等领域的研究，打开了新的视野。

评分☆☆☆☆☆

“连通性”在“基础拓扑学讲义”中得到了非常有条理的阐述。我一直认为，理解一个空间的“连通性”，是理解其整体结构的钥匙之一。作者首先给出了“连通空间”和“分离空间”的定义，并清晰地解释了它们之间的区别。让我印象深刻的是，他用“无法将空间分成两个不相交的非空开集的并集”来描述连通性，这个反向的定义方式，反而让我更容易抓住连通性的本质。接着，他引入了“路径连通”的概念，并详细阐述了路径连通性比连通性更强的性质。通过一系列生动的例子，比如直线、圆、圆盘都是路径连通的，而一些特殊的集合则可能只是连通但非路径连通，作者让我直观地感受到了这两个概念的细微差别。我特别喜欢他对“路径”的定义，以及如何利用路径来证明空间的连通性。他还讨论了连通性在保持拓扑性质上的重要性，比如连续映射会保持紧致性和连通性。这部分内容让我对“拓扑不变性”有了更深的理解。我甚至能想象出，如果一个空间是连通的，那么它就不会有“洞”，或者说它是一个整体，不容易被分割。作者还探讨了一些特殊情形下的连通性，例如在实数集上的区间，这使得抽象的概念更加具体化，便于理解和记忆。

评分☆☆☆☆☆

“度量空间”的引入，是“基础拓扑学讲义”中一个非常关键的过渡。我一直觉得，从一般的拓扑空间跳到度量空间，就像是从宏观世界进入微观世界，我们有了更精细的工具来描述空间的结构。作者首先清晰地定义了“度量”，也就是一个函数，它满足非负性、对称性、三角不等式和距离为零的充要条件。然后，他通过各种具体的例子，比如欧几里得距离、曼哈顿距离、离散度量等，来展示不同度量在同一集合上如何定义出不同的拓扑结构。这让我明白了，即使集合是相同的，但不同的度量会带来不同的拓扑性质。接着，他详细讨论了由度量诱导出的拓扑，例如开集、闭集、收敛等概念在度量空间中的具体表现。我尤其欣赏作者在讲解“收敛”时，不仅给出了严格的定义，还将其与度量的大小变化联系起来，让我对数列的收敛有了更直观的认识。我还学会了如何判断一个度量空间是否具有某些拓扑性质，比如是 Hausdorff 空间、完备空间等等。这部分内容让我体会到，度量空间是拓扑学中一个非常重要的子类，它既保留了拓扑学的研究方法，又具有更强的结构性，使得许多问题的讨论变得更加容易和具体。

评分☆☆☆☆☆

终于有机会深入钻研“基础拓扑学讲义”这本书了，作为一名数学系的学生，拓扑学一直是我觉得既神秘又迷人的领域。这本书以其严谨的定义和清晰的讲解，为我打开了理解这一抽象学科的大门。开篇关于集合论基础的复习，虽然看似基础，但其重要性不言而喻，它为后续建立拓扑空间的概念打下了坚实的地基。作者对“邻域”和“开集”的定义，以及它们之间的等价关系，用一种非常直观的方式呈现出来，我甚至能想象出在数轴上或者平面上，这些概念是如何被构建的。接着，对“闭集”、“稠集”、“孤立点”等基本概念的引入，也都是循序渐进，每一步都建立在前一个概念之上，让人感觉逻辑严密，丝毫没有跳跃感。特别让我印象深刻的是，作者在讲解“闭集”时，不仅给出了定义，还通过一些具体的例子，比如实数集上的区间，来阐述闭集的性质，这使得抽象的定义变得生动起来。而对“稠集”的解释，虽然一开始有些抽象，但作者巧妙地运用了“任何非空开集都与该集合有交点”这一描述，让我一下子就抓住了核心。让我感到欣慰的是，这本书没有一开始就抛出大量难以理解的定义，而是从最基本、最核心的概念入手，像剥洋葱一样，一层一层地揭开拓扑学的面纱。对于我这样初次接触拓扑学的学生来说，这种教学方式无疑是极其友好的，它最大限度地降低了学习门槛，让我能够以一种相对轻松的心态去面对这个全新的领域，并对后续的内容充满了期待。

评分☆☆☆☆☆

“可分性”和“可数性”在“基础拓扑学讲义”中占据了相当重要的位置，它们揭示了空间“大小”的另一层含义。作者在讲解“可分性”时，首先引入了“可数稠密子集”的概念，并详细阐述了其重要性。一个可分空间，意味着存在一个可数的点集，它在空间中“密度很高”，几乎可以“触及”到空间中的每一个角落。这对我来说是一种非常深刻的认识，它将抽象的空间结构与“可数”这一更具操作性的概念联系了起来。接着，作者讨论了许多重要的拓扑空间，例如实数集 $mathbb{R}^n$ 和度量空间，都是可分的。我特别喜欢作者在解释“可数性”时，引入的“第一可数性”和“第二可数性”的概念。第一可数性强调每个点都有一个可数的邻域基，这使得我们在处理序列和极限时更加方便。第二可数性则进一步要求存在整个空间的 countable basis of open sets。这两种可数性条件，虽然看似抽象，但它们对于理解空间的结构和许多拓扑性质的证明至关重要。例如，第二可数性是许多重要定理成立的必要条件，比如 Lindelöf 定理。作者通过这些概念，让我对空间的“局部”和“整体”结构有了更深刻的理解，也让我意识到，在研究拓扑空间时，其“基数”或者说“大小”是一个不可忽视的因素。

评分☆☆☆☆☆

“分离公理”在“基础拓扑学讲义”中扮演着“规矩”的角色，它为我们构建更精细的空间结构提供了基础。作者首先系统地介绍了 T0, T1, T2 (Hausdorff), T3, T4 (正则和正则豪斯多夫) 等一系列分离公理。我之前对这些公理的理解，更多是停留在定义上，比如 T1 空间要求任意两点都有不包含对方的开邻域，而 Hausdorff 空间则要求任意两点都有不相交的开邻域。这本书通过大量的例子，让我深刻体会到这些公理的递进关系以及它们对空间性质的影响。例如，一个 Hausdorff 空间，任意两个点都可以被“分开”，这使得空间更加“有序”，不易出现“混淆”。作者还强调了 T4 空间（正则豪斯多夫空间）的重要性，因为许多在分析学中常见的空间，如欧几里得空间，都满足这个条件。我尤其喜欢作者在解释正则性和正则豪斯多夫性时，引入了“分离一个点和一个不包含该点的闭集”的概念，这让我对这两个公理有了更直观的理解。他还讨论了这些分离公理在保持拓扑性质上的作用，比如连续映射不会破坏分离公理的性质。这些公理的存在，使得我们可以对拓扑空间进行更细致的分类，也为进一步研究更高级的拓扑概念奠定了基础。

评分☆☆☆☆☆

补充下原来欠缺的部分。

评分☆☆☆☆☆

书本不错，物流速度快，给个赞

评分☆☆☆☆☆

学习拓扑的入门书。。。

评分☆☆☆☆☆

还是蛮好的，，，，，，，

评分☆☆☆☆☆

好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好好

评分☆☆☆☆☆

基础书籍，国内流行教材

评分☆☆☆☆☆

好书，快递给力，值得收藏

评分☆☆☆☆☆

专业书籍

评分☆☆☆☆☆

很好很好的一本书，和阿姆斯特朗的书差不多构造吧！有点基础的看起来比较好，第一次看有一些困难