基礎拓撲學講義 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

簡體網頁||繁體網頁

☆☆☆☆☆

尤承業 著

圖書標籤:

• 拓撲學
• 基礎
• 數學
• 講義
• 高等教育
• 教材
• 點集拓撲
• 一般拓撲
• 代數拓撲
• 拓撲空間

齣版社： 北京大學齣版社

ISBN：9787301031032

版次：1

商品編碼：11679886

包裝：平裝

開本：32開

齣版時間：1997-11-01

用紙：膠版紙

頁數：312

字數：250000

正文語種：中文

內容簡介

　　《基礎拓撲學講義》是拓撲學的入門教材。內容包括點集拓撲與代數拓撲，重點介紹代數拓撲學中的基本概念、方法和應用。全書共分八章：拓撲空間的基本概念,緊緻性和連通性，商空間與閉麯麵，同倫與基本群，復疊空間，單純同調及其應用，映射度與不動點等。每節配備瞭適量習題並在書末附有解答與提示。《基礎拓撲學講義》敘述深入淺齣，例題豐富，論證嚴謹，重點突齣；強調幾何背景，注意培養學生的幾何直觀能力；方法新穎，特彆是關於對徑映射的映射度的計算頗具新意。《基礎拓撲學講義》把抽象理論與具體應用緊密結閤，使學生得到抽象思維與邏輯推理能力的訓練。
　　《基礎拓撲學講義》可作為綜閤大學、高等師範院校數學係的拓撲課教材，也可供有關的科技人員和拓撲學愛好者作為課外學習的入門讀物。

內頁插圖

目錄

引言（拓撲學的直觀認識）
第一章 拓撲空間與連續性
1 拓撲空間
2 連續映射與同胚映射
3 乘積空間與拓撲基

第二章 幾個重要的拓撲性質
1 分離公理與可數公理
2 YPBIXOH引理及其應用
3 緊緻性
4 連通性
5 道路連通性
6 拓撲性質與同胚

第三章 商空間與閉麯麵
1 幾個常見麯麵
2 商空間與商映射
3 拓撲流形與閉麯麵
4 閉麯麵分類定理

第四章 同倫與基本群
1 映射的同倫
2 基本群的定義
3 Sn的基本群
4 基本群的同倫不變性
5 基本群的計算與應用
6 Jordn麯綫定理

第五章 復疊空間
1 復疊空間及其基本性質
2 兩個提升定理
3 復疊變換與正則復疊空間
4 復疊空間存在定理

第六章 單純同調群（上）
1 單純復閤形
2 單純復閤形的同調群
3 同調群的性質和意義
4 計算同調群的實例

第七章 單純同調群（下）
1 單純映射和單純逼近
2 重心重分和單純逼近存在定理
3 連續映射誘導的同調群同態
4 同倫不變性

第八章 映射度與不動點
1 球麵自映射的映射度
2 保徑映射的映射度及其應用
3 Lefshetz不動點定理

附錄A 關於群的補充知識
附錄B VnKmpen定理
附錄C 鏈同倫及其應用
習題解答與提示
名詞索引
符號說明
參考書目

前言/序言

探索幾何學的內在秩序：一本關於空間、連續性與變換的入門讀物 本書並非一本嚴謹的定理證明集，而是一次旨在揭示幾何學深層結構與內在聯係的探索之旅。我們將一同深入研究空間的基本屬性，理解連續性這一直觀概念背後所蘊含的數學力量，並領略變換如何塑造和改變我們對幾何對象的認知。 第一部分：空間的基石——集閤與關係 在開始構建復雜的幾何世界之前，我們必須先奠定堅實的基礎。我們將從最基本的概念——集閤——入手。集閤是數學的基石，通過它，我們可以清晰地描述和組織各種數學對象。我們會學習如何定義集閤、進行集閤運算（如並集、交集、差集），並理解子集和冪集的意義。 在此基礎上，我們引入“關係”的概念。關係描述瞭集閤元素之間的聯係，從簡單的相等關係到更復雜的序關係，它們為我們理解對象之間的結構性區彆提供瞭工具。我們將特彆關注“等價關係”，它將集閤劃分為互不相交的“等價類”，這一概念在後續的分類和結構分析中至關重要。 第二部分：連續性的奧秘——拓撲空間 “連續性”是我們日常生活中一個直觀而重要的概念，比如一條不間斷的麯綫，一個平滑的形變。在數學中，我們需要一個嚴謹的框架來形式化這一概念。本書將引入“拓撲空間”這一核心概念，它提供瞭一種比度量空間更一般、更靈活的方式來定義連續性。 一個拓撲空間由一個集閤以及該集閤上的一個“拓撲”（即一個特殊的開集集閤族）組成。開集是拓撲的基本單元，它們定義瞭空間的“局部”結構。通過對開集屬性的約束，我們能夠定義開集、閉集、鄰域等重要概念。 一個函數是否是“連續”的，將不再僅僅依賴於距離的遠近，而是取決於它如何保持空間的“連通性”和“鄰域結構”。我們將通過一係列例子，從實數軸上的連續函數，到二維平麵上的連續映射，逐步加深對拓撲連續性定義的理解。 第三部分：形狀的本質——同胚與同態 當我們觀察不同的幾何形狀時，我們常常關注它們的相似性。例如，我們知道一個圓可以被拉伸成一個橢圓，一個杯子可以被變形（不撕裂、不粘閤）成一個甜甜圈。在拓撲學中，我們用“同胚”來描述這種“拓撲等價”的關係。 同胚是連續的、可逆的映射，它的逆映射也是連續的。擁有同胚關係的兩個拓撲空間，在拓撲學意義上被認為是相同的。這意味著它們擁有相同的拓撲性質，比如連通性、緊緻性、可數性等。我們將學習如何判斷兩個空間是否同胚，並探索一些重要的同胚不變量，例如洞的數量（即虧格）。 除瞭同胚，我們還將簡要觸及“同態”的概念。同態是保持結構（如運算）的映射，它在代數拓撲等領域有著廣泛的應用，但在此我們將聚焦於其與幾何形態的直觀聯係。 第四部分：空間的性質——連通性與緊緻性 空間的“連通性”描述瞭空間是否可以被分解為不相交的“部分”。一個連通的空間無法被分成兩個不相交的非空開集。我們將探討路徑連通性，它是一種更強的連通性概念，要求空間中的任意兩點之間都存在一條連續的路徑連接。 “緊緻性”是另一個重要的拓撲性質，它直觀上可以理解為“有限地覆蓋”。一個緊緻的空間，任何由開集組成的“開覆蓋”，都可以從中提取齣一個有限的子集，仍然能夠覆蓋整個空間。緊緻性在分析學中扮演著重要角色，例如，連續函數在緊緻集上能夠達到其最大值和最小值。 第五部分：有趣的變換——同胚的實例與應用 在本書的最後，我們將通過一係列具體的例子來鞏固和應用我們所學到的概念。我們將分析一些常見的拓撲空間，如歐幾裏得空間、球麵、環麵等，並討論它們的拓撲性質。 我們將深入研究一些有趣的拓撲變換，例如鏡麵反射、鏇轉、平移等，理解它們如何在拓撲空間中被視為同胚。同時，我們會簡要提及拓撲學在其他領域的潛在應用，比如在圖形學中用於處理麯麵變形，在計算機科學中用於分析網絡結構，甚至在物理學中用於描述時空的性質。 本書的目標是激發讀者對幾何學內在美感和抽象思維的興趣。我們不追求數學的嚴謹性，而是側重於概念的直觀理解和思想的啓發。希望通過這次旅程，你能夠對“空間”、“連續性”和“形狀”産生全新的認識，並為進一步探索更深層次的數學世界打下堅實的基礎。

評分☆☆☆☆☆

“分離公理”在“基礎拓撲學講義”中扮演著“規矩”的角色，它為我們構建更精細的空間結構提供瞭基礎。作者首先係統地介紹瞭 T0, T1, T2 (Hausdorff), T3, T4 (正則和正則豪斯多夫) 等一係列分離公理。我之前對這些公理的理解，更多是停留在定義上，比如 T1 空間要求任意兩點都有不包含對方的開鄰域，而 Hausdorff 空間則要求任意兩點都有不相交的開鄰域。這本書通過大量的例子，讓我深刻體會到這些公理的遞進關係以及它們對空間性質的影響。例如，一個 Hausdorff 空間，任意兩個點都可以被“分開”，這使得空間更加“有序”，不易齣現“混淆”。作者還強調瞭 T4 空間（正則豪斯多夫空間）的重要性，因為許多在分析學中常見的空間，如歐幾裏得空間，都滿足這個條件。我尤其喜歡作者在解釋正則性和正則豪斯多夫性時，引入瞭“分離一個點和一個不包含該點的閉集”的概念，這讓我對這兩個公理有瞭更直觀的理解。他還討論瞭這些分離公理在保持拓撲性質上的作用，比如連續映射不會破壞分離公理的性質。這些公理的存在，使得我們可以對拓撲空間進行更細緻的分類，也為進一步研究更高級的拓撲概念奠定瞭基礎。

評分☆☆☆☆☆

終於有機會深入鑽研“基礎拓撲學講義”這本書瞭，作為一名數學係的學生，拓撲學一直是我覺得既神秘又迷人的領域。這本書以其嚴謹的定義和清晰的講解，為我打開瞭理解這一抽象學科的大門。開篇關於集閤論基礎的復習，雖然看似基礎，但其重要性不言而喻，它為後續建立拓撲空間的概念打下瞭堅實的地基。作者對“鄰域”和“開集”的定義，以及它們之間的等價關係，用一種非常直觀的方式呈現齣來，我甚至能想象齣在數軸上或者平麵上，這些概念是如何被構建的。接著，對“閉集”、“稠集”、“孤立點”等基本概念的引入，也都是循序漸進，每一步都建立在前一個概念之上，讓人感覺邏輯嚴密，絲毫沒有跳躍感。特彆讓我印象深刻的是，作者在講解“閉集”時，不僅給齣瞭定義，還通過一些具體的例子，比如實數集上的區間，來闡述閉集的性質，這使得抽象的定義變得生動起來。而對“稠集”的解釋，雖然一開始有些抽象，但作者巧妙地運用瞭“任何非空開集都與該集閤有交點”這一描述，讓我一下子就抓住瞭核心。讓我感到欣慰的是，這本書沒有一開始就拋齣大量難以理解的定義，而是從最基本、最核心的概念入手，像剝洋蔥一樣，一層一層地揭開拓撲學的麵紗。對於我這樣初次接觸拓撲學的學生來說，這種教學方式無疑是極其友好的，它最大限度地降低瞭學習門檻，讓我能夠以一種相對輕鬆的心態去麵對這個全新的領域，並對後續的內容充滿瞭期待。

評分☆☆☆☆☆

“度量空間”的引入，是“基礎拓撲學講義”中一個非常關鍵的過渡。我一直覺得，從一般的拓撲空間跳到度量空間，就像是從宏觀世界進入微觀世界，我們有瞭更精細的工具來描述空間的結構。作者首先清晰地定義瞭“度量”，也就是一個函數，它滿足非負性、對稱性、三角不等式和距離為零的充要條件。然後，他通過各種具體的例子，比如歐幾裏得距離、曼哈頓距離、離散度量等，來展示不同度量在同一集閤上如何定義齣不同的拓撲結構。這讓我明白瞭，即使集閤是相同的，但不同的度量會帶來不同的拓撲性質。接著，他詳細討論瞭由度量誘導齣的拓撲，例如開集、閉集、收斂等概念在度量空間中的具體錶現。我尤其欣賞作者在講解“收斂”時，不僅給齣瞭嚴格的定義，還將其與度量的大小變化聯係起來，讓我對數列的收斂有瞭更直觀的認識。我還學會瞭如何判斷一個度量空間是否具有某些拓撲性質，比如是 Hausdorff 空間、完備空間等等。這部分內容讓我體會到，度量空間是拓撲學中一個非常重要的子類，它既保留瞭拓撲學的研究方法，又具有更強的結構性，使得許多問題的討論變得更加容易和具體。

評分☆☆☆☆☆

“同調論”的初步探索，是“基礎拓撲學講義”中令我感到極其興奮和震撼的部分。雖然這本書是“基礎”的，但作者並沒有迴避這一更高級的理論，而是以一種非常巧妙的方式，為讀者勾勒齣瞭同調論的輪廓。我一直認為，同調論是拓撲學中最強大的工具之一，它能夠通過代數的方法來研究拓撲空間的“孔洞”和“連通性”。作者首先從“鏈復形”的概念入手，這是一種由群（或模）和群同態組成的序列，其中相鄰的映射滿足復閤為零的性質。我雖然對群論不是非常精通，但在作者的引導下，我大緻理解瞭鏈復形是如何構建起來的。接著，他引入瞭“同調群”的概念，並解釋瞭同調群如何衡量鏈復形中“循環”和“邊界”的“區彆”。這讓我體會到，通過代數的語言，我們可以量化拓撲空間中“孔洞”的數量和類型。作者還以簡單的例子，比如圓周和球麵，來展示它們各自的同調群。這讓我直觀地感受到，不同形狀的物體，其同調群是不同的，這正是同調論的威力所在。雖然本書對同調論的介紹是初步的，沒有深入到具體的計算和復雜的證明，但它成功地激發瞭我對這一領域的好奇心，讓我看到瞭拓撲學研究的深度和廣度，並期待將來有機會深入學習更高級的同調理論。

評分☆☆☆☆☆

這本書在引入“緊緻性”概念時，處理得相當到位。我之前對緊緻性的理解，更多停留在“有限開覆蓋”的定義上，雖然理論上正確，但總覺得不夠直觀，在實際應用中也顯得有些晦澀。而“基礎拓撲學講義”作者在這部分的處理，則讓我耳目一新。他首先從“局部緊緻”這個概念入手，通過一係列例子，比如歐幾裏得空間中的有界閉集就是緊緻集，讓我對緊緻性有瞭初步的感性認識。接著，他詳細闡述瞭“ Heine-Borel 定理”，並對其證明過程進行瞭細緻的剖析。這個定理在拓撲學中扮演著至關重要的角色，將抽象的緊緻性與我們熟悉的“有界閉集”聯係起來，極大地便利瞭理論的討論和實際的應用。作者在講解證明時，沒有急於求成，而是一步一步地引導讀者思考，每一個邏輯推導都顯得順理成章。他還特彆強調瞭緊緻性在分析學中的重要性，比如在函數連續性、極限存在性等方麵的應用，這讓我深刻體會到，學習拓撲學不僅僅是為瞭理解抽象的數學結構，更是為瞭更好地理解和解決分析學中的實際問題。我尤其喜歡作者在對比不同空間的緊緻性時，所舉的一些對比性例子，這有助於我理解不同條件下緊緻性的錶現形式，也讓我更加清晰地認識到緊緻性這個性質的強大和普遍性。

評分☆☆☆☆☆

“可分性”和“可數性”在“基礎拓撲學講義”中占據瞭相當重要的位置，它們揭示瞭空間“大小”的另一層含義。作者在講解“可分性”時，首先引入瞭“可數稠密子集”的概念，並詳細闡述瞭其重要性。一個可分空間，意味著存在一個可數的點集，它在空間中“密度很高”，幾乎可以“觸及”到空間中的每一個角落。這對我來說是一種非常深刻的認識，它將抽象的空間結構與“可數”這一更具操作性的概念聯係瞭起來。接著，作者討論瞭許多重要的拓撲空間，例如實數集 $mathbb{R}^n$ 和度量空間，都是可分的。我特彆喜歡作者在解釋“可數性”時，引入的“第一可數性”和“第二可數性”的概念。第一可數性強調每個點都有一個可數的鄰域基，這使得我們在處理序列和極限時更加方便。第二可數性則進一步要求存在整個空間的 countable basis of open sets。這兩種可數性條件，雖然看似抽象，但它們對於理解空間的結構和許多拓撲性質的證明至關重要。例如，第二可數性是許多重要定理成立的必要條件，比如 Lindelöf 定理。作者通過這些概念，讓我對空間的“局部”和“整體”結構有瞭更深刻的理解，也讓我意識到，在研究拓撲空間時，其“基數”或者說“大小”是一個不可忽視的因素。

評分☆☆☆☆☆

“緊緻空間”的進一步探索，是“基礎拓撲學講義”中讓我受益匪淺的部分。在我初次接觸拓撲學時，對緊緻性的理解更多是通過 Heine-Borel 定理，將其與歐幾裏得空間中的有界閉集聯係起來。而這本書則更深入地挖掘瞭緊緻空間的內在性質。作者首先詳細討論瞭緊緻空間的“子集”和“商空間”的緊緻性。我瞭解到，緊緻空間的一個非常重要的性質是，它的任意子集也是緊緻的（當然，這需要空間本身是 Hausdorff 的）。而關於商空間的緊緻性，則需要結閤映射的性質來分析，這讓我對商映射和商拓撲有瞭更深的理解。我尤其欣賞作者在分析“緊緻空間”的“積空間”性質時，詳細闡述瞭 Tychonoff 定理。這個定理指齣，任意多個緊緻 Hausdorff 空間的積空間也是緊緻 Hausdorff 空間。這個結論著實令人驚嘆，它揭示瞭緊緻性在乘法運算下的強大“保持力”，也為構建更復雜的緊緻空間提供瞭有力工具。他還探討瞭緊緻空間在不動點理論、分析學中的一些應用，比如連續函數在緊緻空間上一定能達到最大值和最小值。這讓我更加深刻地認識到，緊緻性不僅僅是一個抽象的定義，它在數學的許多分支都有著極其重要的意義。

評分☆☆☆☆☆

“連通性”在“基礎拓撲學講義”中得到瞭非常有條理的闡述。我一直認為，理解一個空間的“連通性”，是理解其整體結構的鑰匙之一。作者首先給齣瞭“連通空間”和“分離空間”的定義，並清晰地解釋瞭它們之間的區彆。讓我印象深刻的是，他用“無法將空間分成兩個不相交的非空開集的並集”來描述連通性，這個反嚮的定義方式，反而讓我更容易抓住連通性的本質。接著，他引入瞭“路徑連通”的概念，並詳細闡述瞭路徑連通性比連通性更強的性質。通過一係列生動的例子，比如直綫、圓、圓盤都是路徑連通的，而一些特殊的集閤則可能隻是連通但非路徑連通，作者讓我直觀地感受到瞭這兩個概念的細微差彆。我特彆喜歡他對“路徑”的定義，以及如何利用路徑來證明空間的連通性。他還討論瞭連通性在保持拓撲性質上的重要性，比如連續映射會保持緊緻性和連通性。這部分內容讓我對“拓撲不變性”有瞭更深的理解。我甚至能想象齣，如果一個空間是連通的，那麼它就不會有“洞”，或者說它是一個整體，不容易被分割。作者還探討瞭一些特殊情形下的連通性，例如在實數集上的區間，這使得抽象的概念更加具體化，便於理解和記憶。

評分☆☆☆☆☆

“同胚”和“同倫”是拓撲學中兩個非常核心且有趣的“等價”概念，而“基礎拓撲學講義”在這方麵的講解，讓我覺得既嚴謹又富有趣味。作者首先詳細定義瞭“同胚”：一個雙射且其逆映射也連續的映射。他通過大量例子，比如將一個圓盤拉伸成一個橢圓，或者將一個立方體變形為一個球體，來形象地說明同胚的概念——即兩個拓撲空間在拓撲意義上是“等價”的，它們具有相同的拓撲性質。我特彆喜歡作者在講解同胚時，所使用的“橡膠片幾何”的比喻，這讓我一下子就抓住瞭其精髓：隻要不撕裂、不粘閤，就可以將一個形狀變成另一個形狀，而拓撲學的研究對象正是那些在這樣的形變下不變的性質。緊接著，作者引入瞭“同倫”的概念，這比同胚更加“寬鬆”，允許一些“粘閤”的行為。他通過“連續變形”的描述，來解釋同倫。我腦海中立刻浮現齣將一個橡皮筋在空間中緩慢移動，直至變成另一個形狀的過程。作者還區分瞭“路徑同倫”和“端點同倫”，並給齣瞭相應的定義。這兩部分內容，為我理解“拓撲等價”提供瞭堅實的理論基礎，也為我後續學習更高級的拓撲概念，比如同調論和同倫論，打下瞭良好的基礎。

評分☆☆☆☆☆

“函數空間”的引入，是“基礎拓撲學講義”中一個非常有價值的章節。我之前對函數空間的理解，更多停留在代數層麵，比如嚮量空間中的函數。而這本書則從拓撲學的角度，為函數空間賦予瞭新的生命。作者首先定義瞭在函數空間中常用的幾種拓撲，比如“逐點收斂拓撲”和“一緻收斂拓撲”。我深刻體會到，這兩種拓撲雖然都與函數的收斂有關，但它們所誘導齣的拓撲性質卻是截然不同的。逐點收斂拓撲相對“弱”，而一緻收斂拓撲則相對“強”。接著，他詳細討論瞭這些函數空間的拓撲性質，例如它們是否是 Hausdorff 空間、是否是可分的，以及它們自身的緊緻性。我特彆喜歡作者在分析“緊緻開集拓撲”（Compact-open topology）時，將其與連續映射空間聯係起來，並闡述瞭其在同倫論中的重要性。這讓我看到瞭，如何用拓撲學的語言來研究函數集閤本身，並發現函數集閤所具有的“形狀”和“結構”。我還瞭解到，在某些條件下，函數空間可以具有非常美好的拓撲性質，比如 Arzelà-Ascoli 定理，它給齣瞭函數序列在一緻收斂拓撲下具有緊緻子集的充要條件。這部分內容，無疑為我將來在分析學、泛函分析等領域的研究，打開瞭新的視野。

評分☆☆☆☆☆

京東上的東西我覺得非常好，我的所有東西都在京東上麵買的，送貨速度非常快，買瞭東西就知道什麼時候來，我在京東買東西好多年瞭，京東的東西都是正品，售後服務特彆好，我太喜歡瞭！這次買的東西還是一如繼往的好，買瞭我就迫不及待的打開，確實很不錯，我真是太喜歡瞭。在京東消費很多，都成鑽石會員瞭，哈哈，以後還會買，所有的東西都在京東買，京東商城是生活首選！

評分☆☆☆☆☆

補充下原來欠缺的部分。

評分☆☆☆☆☆

不錯不錯不錯不錯不錯不錯不錯不錯不錯不錯

評分☆☆☆☆☆

買不著英文版的拓撲，隻能買中文，希望能看下去吧。

評分☆☆☆☆☆

很好的書，值得推薦。

評分☆☆☆☆☆

好很好很好好很好很好

評分☆☆☆☆☆

基礎拓撲學講義基礎拓撲學講義

評分☆☆☆☆☆

相當好

評分☆☆☆☆☆

經常在京東買東西，送貨速度快，質量好