從大學數學走嚮現代數學 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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徐宗本 編

圖書標籤:

• 數學史
• 數學分析
• 抽象代數
• 拓撲學
• 實分析
• 復分析
• 高等數學
• 數學哲學
• 數學普及
• 數學思維

齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030185792

版次：1

商品編碼：11727305

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2007-03-01

用紙：膠版紙

頁數：342

字數：435000

正文語種：中文

內容簡介

　　在國傢自然科學基金委員會天元基金領導小組委托西安交通大學理學院舉蘇的“西部與周邊地區高等學校非數學類數學教師培訓班”上，12位教授應邀聯閤開設瞭“從大學數學走嚮現代數學”的係列講座，《從大學數學走嚮現代數學》即為該係列講座的集成。書中各篇從大學數學中的某些基本概念與原理齣發，以簡短的篇幅闡明這些基本概念、原理如何發展到近代數學的相關分支與內容，使讀者能更清楚地瞭解大學數學與現代數學的聯係，從而能從更高的觀點和更全麵的視角理解大學數學內容。主要內容包括：從代數運算到代數結構、從有限維空間到無限維空間、從函數到算子、從序列收斂到網收斂、從導數到廣義導數、從Newton-Lcibniz公式到Stokes公式、從Taylor公式到學習理論、從矩陣的特徵值到算子的譜、從微分方程到動力係統、從隨機變量到隨機過程、從數學應用題到數學建模、從Stirling公式到積分的漸近逼近、從平坦的歐氏空間到彎麯的黎曼空間。全書各章內容自成體係。
　　《從大學數學走嚮現代數學》可作為高等學校數學基礎課程教師培訓教材，亦可供高等院校數學及相關專業的高年級本科生、研究生和教師閱讀。

內頁插圖

目錄

第一章 從代數運算到代數結構
1.1 代數運算和代數結構
1.1.1 什麼是代數運算
1.1.2 代數運算的規律
1.1.3 什麼是代數結構
1.1.4 關於運算的同餘關係
1.2 群
1.2.1 對稱與群
1.2.2 群的定義與性質
1.2.3 子群與商群
1.3 環、域
1.3.1 環的定義、性質與類型
1.3.2 子環與商環
1.3.3 域
1.4 模
1.4.1 模、子模、商模
1.4.2 自由模
1.5 同態與同構
1.5.1 同態與同構
1.5.2 同態基本定理
1.5.3 對代數體係的分類

第二章 從有限維空間到無限維空間
2.1 為什麼要引入無限維空間
2.1.1 n維Euclid空間Rn
2.1.2 無限維空間
2.2 度量空間中的收斂性、完備性和緊性
2.2.1 度量空間及其中點列的收斂性
2.2.2 空間的完備性與完備化
2.2.3 列緊性與緊性
2.3 賦範綫性空間與Hahn-Banach定理
2.3.1 賦範綫性空間
2.3.2 等價範數與有限維賦範綫性空間的特徵
2.3.3 有界綫性算子與有界綫性泛函
2.3.4 Hahn-Banach定理與對偶空間
2.3.5 各種收斂性
2.4 Hilbert空間與Fourier展開
2.4.1 Hilbert空間與正交投影
2.4.2 Hilbert空間的正交係與：Fourier展開
2.4.3 可分Hilbert空間的同構性與Hilbert空間的自共軛性

第三章 從函數到算子
3.1 函數概念發展的曆史簡述
3.2 從函數到映射與算子
3.3 廣義函數(分布)

第四章 從序列收斂到網收斂
4.1 數列與序列
4.2 度量空間中的序列
4.2.1 度量空間中序列的極限
4.2.2 度量所誘導的拓撲
4.2.3 用序列描述閉集和開集
4.2.4 連續映射
4.2.5 緊度量空間
4.3 拓撲空間中的網
4.3.1 從Riemann積分的定義看序列概念的局限性
4.3.2 拓撲空間
4.3.3 拓撲空間的若乾基本性質
4.3.4 拓撲空間上的連續映射
4.3.5 乘積拓撲空間
4.3.6 定嚮集與網
4.3.7 用網描述拓撲空間中的基本概念

第五章 從導數到廣義導數
5.1 從微積分中的導數談起
5.1.1 微積分中的導數
5.1.2 導數概念的一種最直接和自然的推廣
5.2 廣義函數與廣義導數
5.3 導子
5.4 切叢與嚮量叢

第六章 從Newton-Leibniz公式到Stokes公式
6.1 Newton-Leibniz公式及其在高維的推廣
6.2 外微分式和外微分
6.2.1 微分的意義
6.2.2 外形式
6.2.3 外微分式
6.2.4 外微分
6.2.5 積分
6.2.6 Stokes公式
6.3 微分流形上的Stokes公式
6.3.1 微分流形的概念
6.3.2 外微分的形式不變性
6.3.3 在光滑流形上外微分式的積分
6.3.4 微分流形上的Stokes公式
6.4 Stokes公式的意義

第七章 從Taylor公式到學習理論
7.1 Taylor公式及其發展
7.1.1 一元函數的Taylor公式
7.1.2 多元函數的Taylor公式
7.1.3 Banach空間上的及Taylor公式
7.2 從函數展開到Fourier分析
7.2.1 多項式展開
7.2.2 Hilbert空間理論
7.2.3 Fourier分析
7.2.4 Fourier變換
7.3 從函數近似到逼近論
7.3.1 用已知有限點信息的近似——數值逼近
7.3.2 用簡單函數的近似——函數逼近論
7.4 小波分析與神經網絡
7.4.1 小波分析
7.4.2 神經網絡

第八章 從矩陣的特徵值到算子的譜
8.1 從矩陣的特徵值談起
8.2 綫性算子的譜
8.3 緊算子和對稱算子的譜
8.3.1 緊算子的譜
8.3.2 對稱算子的譜
8.4 自伴算子的譜分析
8.5 結束語

第九章 從微分方程到動力係統
第十章 從隨機變量到隨機過程
第十一章 從數學應用題到數學建模
第十二章 從Stirling公式到積分的漸近逼近
第十三章 從平坦的歐氏空間到彎麯的黎曼空間
參考文獻

前言/序言

《跨越代際的數學：從算術基石到前沿探索》 圖書簡介 本書旨在為讀者構建一座堅實的橋梁，連接我們熟悉的傳統數學知識與構建當代數學大廈所需的嚴謹思維和核心概念。我們深知，許多讀者在初次接觸高等數學時，常感到理論的抽象與現實應用的脫節。本書的創作初衷，便是要填補這一鴻溝，以一種既尊重曆史脈絡又充滿前瞻性的方式，引導讀者完成從“習題解答者”到“數學思考者”的轉變。 第一部分：迴歸本源——代數與幾何的再審視 本書的開篇並非急於進入復雜的微積分或綫性代數，而是選擇對初等數學進行一次深刻的、概念驅動的重訪。我們認為，現代數學的嚴謹性恰恰建立在對基礎概念的徹底理解之上。 數係的拓展與內在邏輯： 我們將超越對實數、復數的簡單運算記憶，深入探討為何需要引入這些數係。從皮亞諾公理對自然數的構建，到有理數構造的完備性，再到復數域$mathbb{C}$作為代數封閉性的必然，我們將揭示每一個新數係的引入，都是為瞭解決舊體係中的內在矛盾或局限。重點在於集閤論的初步思想如何悄然滲透到我們對“數”的定義之中。 幾何學的範式轉變： 歐幾裏得幾何的完美性受到瞭挑戰，但其背後的演繹推理精神卻被完整繼承。本部分將簡要介紹非歐幾何（如雙麯幾何）的興起，並非旨在深入計算，而是為瞭闡明“公理係統”的概念——即數學的真理性是相對於其所處的公理體係而言的。我們將探討解析幾何如何將代數工具引入幾何空間，預示著現代代數拓撲的某些思想萌芽。 函數的本質： 函數不再僅僅是 $y=f(x)$ 的圖像，而是集閤之間的映射關係。我們將使用集閤論的語言，重新定義函數的單射、滿射和雙射性質，強調這些性質在後續的抽象代數和分析學中的決定性作用。 第二部分：結構的力量——抽象代數的基石 現代數學的標誌性特徵之一，便是對“結構”的關注，而非具體對象的運算。本部分將逐步引入群、環和域的概念，這是理解現代代數、拓撲學乃至數論的必要工具。 群論的起源與應用： 從對稱性（如晶體學中的群）到方程的解（伽羅瓦理論的直觀背景），群論的魅力在於其普適性。我們將詳細闡釋什麼是“群”，什麼是“子群”和“陪集”。通過具體的例子——例如模運算或置換群，讀者可以直觀理解商群的構造，這是理解同態和同構的關鍵一步。 環與域的層次遞進： 在群的基礎上，我們引入運算的“和”與“積”，構建環的結構。這裏的重點是理解“理想”的概念，它類似於數論中的“模”或“整除性”，是理解環的重要工具。域的引入則確保瞭除法的閤法性，為綫性代數打下基礎。我們將簡要對比 $mathbb{Z}$（整數環）、$mathbb{Q}$（有理數域）和 $mathbb{Z}_p$（有限域）的內在區彆。 第三部分：極限、連續性與無限的處理 分析學是連接代數和應用科學的樞紐，但其核心在於對“無限過程”的精確控製。本書將以更嚴格的視角審視微積分中的核心概念。 $epsilon-delta$ 語言的必要性： 我們不會將 $epsilon-delta$ 定義視為晦澀的障礙，而是視為人類為瞭精確描述“趨近”這一直覺概念而發明的必要語言。本部分將用大量的幾何和直覺圖示來解釋為什麼我們需要如此嚴格的定義來處理有理數的稠密性和柯西序列的概念。 序列與級數的收斂判據： 重點探討比值檢驗、根值檢驗背後的深刻含義，以及交錯級數和絕對收斂的區彆。我們將簡要提及傅裏葉分析的早期思想，即任何“良性”函數都可以被分解為更簡單的三角函數的和，這預示著函數空間和正交性的重要性。 度量空間與拓撲的萌芽： 在超越實數綫後，我們需要一種更一般的“距離”概念。本部分將介紹度量空間的初步想法，僅僅是定義距離函數需要滿足的幾個基本性質，以此來展示“收斂”的概念如何被推廣到更廣闊的空間中去。 第四部分：空間的綫性化——現代代數的核心引擎 綫性代數是應用數學的“通用語言”，本書將從嚮量空間的角度來統一視角。 嚮量空間的公理化定義： 強調嚮量空間是滿足特定公理的元素的集閤，它們可以是函數、矩陣，甚至是多項式。核心在於理解“基”和“維度”的概念，它們是描述空間復雜性的最簡潔方式。 綫性變換的本質： 綫性變換（矩陣）是連接不同嚮量空間的橋梁。我們將重點討論矩陣的秩、行列式（作為變換是否保持維度的指標）以及特徵值和特徵嚮量（描述變換的“不變方嚮”）。這部分內容將與微分方程中的穩定性分析、傅裏葉變換中的基函數概念形成呼應。 內積空間與正交性： 引入內積，使得我們可以在抽象的嚮量空間中討論角度和投影，這是傅裏葉級數、最小二乘法等應用的基礎。 結語：數學思想的整體性 本書的最終目標是培養一種整體性的數學觀。讀者將看到，抽象代數提供的群論結構，如何用於理解對稱性；分析學提供的極限概念，如何精確描述變化；而綫性代數提供的嚮量空間，則為所有這些概念提供瞭一個統一的、可操作的框架。我們希望讀者在閤上書本時，能夠認識到，數學並非孤立知識點的堆砌，而是一個相互關聯、不斷自我完善的宏大思想體係。從對數的精確定義到對更高維度空間的描述，一切都建立在邏輯的嚴密推演之上，展現齣一種超越具體計算的美感與力量。

評分☆☆☆☆☆

書中對不同數學分支之間的聯係描繪得極為精妙，讓人有種豁然開朗的感覺。以往總覺得微積分、綫性代數、概率論是孤立的知識點，相互之間缺乏交集。然而，作者通過一係列精巧的過渡和對比，展示瞭它們如何像復雜的齒輪一樣相互咬閤、共同驅動著整個數學大廈的運轉。這種宏觀的視角，對於建立一個完整的知識體係至關重要。特彆是其中關於某些抽象代數結構與拓撲學概念的類比，處理得非常高明，既保持瞭嚴謹性，又兼顧瞭讀者的直觀理解，體現瞭深厚的教學功底。

評分☆☆☆☆☆

這本書的配圖和圖錶設計簡直是教科書級彆的典範。很多抽象的數學概念，僅憑文字描述是難以想象其真實形態的，而這裏齣現的插圖，綫條簡潔卻極富錶現力，精準地捕捉瞭核心的幾何或代數特徵。我特彆留意到在講解某些證明過程時，作者沒有堆砌冗長的文字，而是用一係列結構化的圖形變化來輔助說明，使得原本需要反復推敲的步驟，變得一目瞭然。這種視覺化的錶達方式，極大地提升瞭學習效率，也讓那些原本枯燥的邏輯推演過程充滿瞭視覺上的愉悅感。

評分☆☆☆☆☆

讀完最後一章，閤上書本時，心中湧起的是一種充實和平靜。這本書最難能可貴之處，在於它不僅僅停留在知識的傳授，更在於它成功地塑造瞭一種數學思維方式——一種追求精確、熱愛邏輯、勇於探索未知的精神氣質。它沒有給我提供速成的“秘籍”，而是為我鋪設瞭一條通往更深層次思考的道路。我感覺自己的看待世界的方式都變得更加結構化和係統化瞭，這是一種超越學科本身的收獲。對於任何希望拓寬思維邊界的人來說，這本書都提供瞭一個極具價值的參考坐標。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀設計著實讓人眼前一亮，那素雅的封麵配上鎏金的書名，在書架上顯得既低調又不失內涵。初捧其書，那種紙張的質感就傳遞齣一種沉甸甸的學術氣息，仿佛能感受到作者在編撰過程中的嚴謹與用心。我尤其欣賞扉頁上那句引人深思的話，它為接下來的閱讀旅程設定瞭一個非常高的基調，讓人不禁對接下來的內容充滿瞭期待。整體來看，這本書的版式設計非常考究，字體大小適中，段落間的留白恰到好處，即便是長時間閱讀也不會感到視覺疲勞。這不僅僅是一本書，更像是一件藝術品，體現瞭齣版方對知識載體本身的尊重，也反映齣它所承載內容的重量感。

評分☆☆☆☆☆

翻開內頁，首先感受到的是作者敘事的節奏感，如同行雲流水般自然流暢，卻沒有絲毫的鬆懈與敷衍。對於初學者而言，一些高深的數學概念往往是難以企及的壁壘，但作者似乎深諳此道，總能巧妙地利用一些生活中的實例或者曆史典故來引齣那些看似晦澀的原理。這種敘事方式極大地降低瞭閱讀的心理門檻，讓人在不知不覺中就被帶入瞭數學的深邃世界。我發現自己不再是生硬地記憶公式，而是開始理解公式背後的邏輯和它誕生的時代背景，這種由錶及裏的探索過程，極大地激發瞭我對數學美的感受力。

評分☆☆☆☆☆

好書好好讀

評分☆☆☆☆☆

比較專業，推薦閱讀，作為業餘閱讀書籍放到案頭吧

評分☆☆☆☆☆

好！

評分☆☆☆☆☆

為什麼一定要寫字啊？

評分☆☆☆☆☆

好書好好讀

評分☆☆☆☆☆

好！

評分☆☆☆☆☆

好書，慢慢評償…

評分☆☆☆☆☆

比較專業，推薦閱讀，作為業餘閱讀書籍放到案頭吧

評分☆☆☆☆☆

為什麼一定要寫字啊？