从大学数学走向现代数学 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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徐宗本 编

图书标签:

• 数学史
• 数学分析
• 抽象代数
• 拓扑学
• 实分析
• 复分析
• 高等数学
• 数学哲学
• 数学普及
• 数学思维

出版社： 科学出版社

ISBN：9787030185792

版次：1

商品编码：11727305

包装：平装

开本：16开

出版时间：2007-03-01

用纸：胶版纸

页数：342

字数：435000

正文语种：中文

内容简介

　　在国家自然科学基金委员会天元基金领导小组委托西安交通大学理学院举苏的“西部与周边地区高等学校非数学类数学教师培训班”上，12位教授应邀联合开设了“从大学数学走向现代数学”的系列讲座，《从大学数学走向现代数学》即为该系列讲座的集成。书中各篇从大学数学中的某些基本概念与原理出发，以简短的篇幅阐明这些基本概念、原理如何发展到近代数学的相关分支与内容，使读者能更清楚地了解大学数学与现代数学的联系，从而能从更高的观点和更全面的视角理解大学数学内容。主要内容包括：从代数运算到代数结构、从有限维空间到无限维空间、从函数到算子、从序列收敛到网收敛、从导数到广义导数、从Newton-Lcibniz公式到Stokes公式、从Taylor公式到学习理论、从矩阵的特征值到算子的谱、从微分方程到动力系统、从随机变量到随机过程、从数学应用题到数学建模、从Stirling公式到积分的渐近逼近、从平坦的欧氏空间到弯曲的黎曼空间。全书各章内容自成体系。
　　《从大学数学走向现代数学》可作为高等学校数学基础课程教师培训教材，亦可供高等院校数学及相关专业的高年级本科生、研究生和教师阅读。

内页插图

目录

第一章 从代数运算到代数结构
1.1 代数运算和代数结构
1.1.1 什么是代数运算
1.1.2 代数运算的规律
1.1.3 什么是代数结构
1.1.4 关于运算的同余关系
1.2 群
1.2.1 对称与群
1.2.2 群的定义与性质
1.2.3 子群与商群
1.3 环、域
1.3.1 环的定义、性质与类型
1.3.2 子环与商环
1.3.3 域
1.4 模
1.4.1 模、子模、商模
1.4.2 自由模
1.5 同态与同构
1.5.1 同态与同构
1.5.2 同态基本定理
1.5.3 对代数体系的分类

第二章 从有限维空间到无限维空间
2.1 为什么要引入无限维空间
2.1.1 n维Euclid空间Rn
2.1.2 无限维空间
2.2 度量空间中的收敛性、完备性和紧性
2.2.1 度量空间及其中点列的收敛性
2.2.2 空间的完备性与完备化
2.2.3 列紧性与紧性
2.3 赋范线性空间与Hahn-Banach定理
2.3.1 赋范线性空间
2.3.2 等价范数与有限维赋范线性空间的特征
2.3.3 有界线性算子与有界线性泛函
2.3.4 Hahn-Banach定理与对偶空间
2.3.5 各种收敛性
2.4 Hilbert空间与Fourier展开
2.4.1 Hilbert空间与正交投影
2.4.2 Hilbert空间的正交系与：Fourier展开
2.4.3 可分Hilbert空间的同构性与Hilbert空间的自共轭性

第三章 从函数到算子
3.1 函数概念发展的历史简述
3.2 从函数到映射与算子
3.3 广义函数(分布)

第四章 从序列收敛到网收敛
4.1 数列与序列
4.2 度量空间中的序列
4.2.1 度量空间中序列的极限
4.2.2 度量所诱导的拓扑
4.2.3 用序列描述闭集和开集
4.2.4 连续映射
4.2.5 紧度量空间
4.3 拓扑空间中的网
4.3.1 从Riemann积分的定义看序列概念的局限性
4.3.2 拓扑空间
4.3.3 拓扑空间的若干基本性质
4.3.4 拓扑空间上的连续映射
4.3.5 乘积拓扑空间
4.3.6 定向集与网
4.3.7 用网描述拓扑空间中的基本概念

第五章 从导数到广义导数
5.1 从微积分中的导数谈起
5.1.1 微积分中的导数
5.1.2 导数概念的一种最直接和自然的推广
5.2 广义函数与广义导数
5.3 导子
5.4 切丛与向量丛

第六章 从Newton-Leibniz公式到Stokes公式
6.1 Newton-Leibniz公式及其在高维的推广
6.2 外微分式和外微分
6.2.1 微分的意义
6.2.2 外形式
6.2.3 外微分式
6.2.4 外微分
6.2.5 积分
6.2.6 Stokes公式
6.3 微分流形上的Stokes公式
6.3.1 微分流形的概念
6.3.2 外微分的形式不变性
6.3.3 在光滑流形上外微分式的积分
6.3.4 微分流形上的Stokes公式
6.4 Stokes公式的意义

第七章 从Taylor公式到学习理论
7.1 Taylor公式及其发展
7.1.1 一元函数的Taylor公式
7.1.2 多元函数的Taylor公式
7.1.3 Banach空间上的及Taylor公式
7.2 从函数展开到Fourier分析
7.2.1 多项式展开
7.2.2 Hilbert空间理论
7.2.3 Fourier分析
7.2.4 Fourier变换
7.3 从函数近似到逼近论
7.3.1 用已知有限点信息的近似——数值逼近
7.3.2 用简单函数的近似——函数逼近论
7.4 小波分析与神经网络
7.4.1 小波分析
7.4.2 神经网络

第八章 从矩阵的特征值到算子的谱
8.1 从矩阵的特征值谈起
8.2 线性算子的谱
8.3 紧算子和对称算子的谱
8.3.1 紧算子的谱
8.3.2 对称算子的谱
8.4 自伴算子的谱分析
8.5 结束语

第九章 从微分方程到动力系统
第十章 从随机变量到随机过程
第十一章 从数学应用题到数学建模
第十二章 从Stirling公式到积分的渐近逼近
第十三章 从平坦的欧氏空间到弯曲的黎曼空间
参考文献

前言/序言

《跨越代际的数学：从算术基石到前沿探索》 图书简介 本书旨在为读者构建一座坚实的桥梁，连接我们熟悉的传统数学知识与构建当代数学大厦所需的严谨思维和核心概念。我们深知，许多读者在初次接触高等数学时，常感到理论的抽象与现实应用的脱节。本书的创作初衷，便是要填补这一鸿沟，以一种既尊重历史脉络又充满前瞻性的方式，引导读者完成从“习题解答者”到“数学思考者”的转变。 第一部分：回归本源——代数与几何的再审视 本书的开篇并非急于进入复杂的微积分或线性代数，而是选择对初等数学进行一次深刻的、概念驱动的重访。我们认为，现代数学的严谨性恰恰建立在对基础概念的彻底理解之上。 数系的拓展与内在逻辑： 我们将超越对实数、复数的简单运算记忆，深入探讨为何需要引入这些数系。从皮亚诺公理对自然数的构建，到有理数构造的完备性，再到复数域$mathbb{C}$作为代数封闭性的必然，我们将揭示每一个新数系的引入，都是为了解决旧体系中的内在矛盾或局限。重点在于集合论的初步思想如何悄然渗透到我们对“数”的定义之中。 几何学的范式转变： 欧几里得几何的完美性受到了挑战，但其背后的演绎推理精神却被完整继承。本部分将简要介绍非欧几何（如双曲几何）的兴起，并非旨在深入计算，而是为了阐明“公理系统”的概念——即数学的真理性是相对于其所处的公理体系而言的。我们将探讨解析几何如何将代数工具引入几何空间，预示着现代代数拓扑的某些思想萌芽。 函数的本质： 函数不再仅仅是 $y=f(x)$ 的图像，而是集合之间的映射关系。我们将使用集合论的语言，重新定义函数的单射、满射和双射性质，强调这些性质在后续的抽象代数和分析学中的决定性作用。 第二部分：结构的力量——抽象代数的基石 现代数学的标志性特征之一，便是对“结构”的关注，而非具体对象的运算。本部分将逐步引入群、环和域的概念，这是理解现代代数、拓扑学乃至数论的必要工具。 群论的起源与应用： 从对称性（如晶体学中的群）到方程的解（伽罗瓦理论的直观背景），群论的魅力在于其普适性。我们将详细阐释什么是“群”，什么是“子群”和“陪集”。通过具体的例子——例如模运算或置换群，读者可以直观理解商群的构造，这是理解同态和同构的关键一步。 环与域的层次递进： 在群的基础上，我们引入运算的“和”与“积”，构建环的结构。这里的重点是理解“理想”的概念，它类似于数论中的“模”或“整除性”，是理解环的重要工具。域的引入则确保了除法的合法性，为线性代数打下基础。我们将简要对比 $mathbb{Z}$（整数环）、$mathbb{Q}$（有理数域）和 $mathbb{Z}_p$（有限域）的内在区别。 第三部分：极限、连续性与无限的处理 分析学是连接代数和应用科学的枢纽，但其核心在于对“无限过程”的精确控制。本书将以更严格的视角审视微积分中的核心概念。 $epsilon-delta$ 语言的必要性： 我们不会将 $epsilon-delta$ 定义视为晦涩的障碍，而是视为人类为了精确描述“趋近”这一直觉概念而发明的必要语言。本部分将用大量的几何和直觉图示来解释为什么我们需要如此严格的定义来处理有理数的稠密性和柯西序列的概念。 序列与级数的收敛判据： 重点探讨比值检验、根值检验背后的深刻含义，以及交错级数和绝对收敛的区别。我们将简要提及傅里叶分析的早期思想，即任何“良性”函数都可以被分解为更简单的三角函数的和，这预示着函数空间和正交性的重要性。 度量空间与拓扑的萌芽： 在超越实数线后，我们需要一种更一般的“距离”概念。本部分将介绍度量空间的初步想法，仅仅是定义距离函数需要满足的几个基本性质，以此来展示“收敛”的概念如何被推广到更广阔的空间中去。 第四部分：空间的线性化——现代代数的核心引擎 线性代数是应用数学的“通用语言”，本书将从向量空间的角度来统一视角。 向量空间的公理化定义： 强调向量空间是满足特定公理的元素的集合，它们可以是函数、矩阵，甚至是多项式。核心在于理解“基”和“维度”的概念，它们是描述空间复杂性的最简洁方式。 线性变换的本质： 线性变换（矩阵）是连接不同向量空间的桥梁。我们将重点讨论矩阵的秩、行列式（作为变换是否保持维度的指标）以及特征值和特征向量（描述变换的“不变方向”）。这部分内容将与微分方程中的稳定性分析、傅里叶变换中的基函数概念形成呼应。 内积空间与正交性： 引入内积，使得我们可以在抽象的向量空间中讨论角度和投影，这是傅里叶级数、最小二乘法等应用的基础。 结语：数学思想的整体性 本书的最终目标是培养一种整体性的数学观。读者将看到，抽象代数提供的群论结构，如何用于理解对称性；分析学提供的极限概念，如何精确描述变化；而线性代数提供的向量空间，则为所有这些概念提供了一个统一的、可操作的框架。我们希望读者在合上书本时，能够认识到，数学并非孤立知识点的堆砌，而是一个相互关联、不断自我完善的宏大思想体系。从对数的精确定义到对更高维度空间的描述，一切都建立在逻辑的严密推演之上，展现出一种超越具体计算的美感与力量。

评分☆☆☆☆☆

这本书的装帧设计着实让人眼前一亮，那素雅的封面配上鎏金的书名，在书架上显得既低调又不失内涵。初捧其书，那种纸张的质感就传递出一种沉甸甸的学术气息，仿佛能感受到作者在编撰过程中的严谨与用心。我尤其欣赏扉页上那句引人深思的话，它为接下来的阅读旅程设定了一个非常高的基调，让人不禁对接下来的内容充满了期待。整体来看，这本书的版式设计非常考究，字体大小适中，段落间的留白恰到好处，即便是长时间阅读也不会感到视觉疲劳。这不仅仅是一本书，更像是一件艺术品，体现了出版方对知识载体本身的尊重，也反映出它所承载内容的重量感。

评分☆☆☆☆☆

读完最后一章，合上书本时，心中涌起的是一种充实和平静。这本书最难能可贵之处，在于它不仅仅停留在知识的传授，更在于它成功地塑造了一种数学思维方式——一种追求精确、热爱逻辑、勇于探索未知的精神气质。它没有给我提供速成的“秘籍”，而是为我铺设了一条通往更深层次思考的道路。我感觉自己的看待世界的方式都变得更加结构化和系统化了，这是一种超越学科本身的收获。对于任何希望拓宽思维边界的人来说，这本书都提供了一个极具价值的参考坐标。

评分☆☆☆☆☆

这本书的配图和图表设计简直是教科书级别的典范。很多抽象的数学概念，仅凭文字描述是难以想象其真实形态的，而这里出现的插图，线条简洁却极富表现力，精准地捕捉了核心的几何或代数特征。我特别留意到在讲解某些证明过程时，作者没有堆砌冗长的文字，而是用一系列结构化的图形变化来辅助说明，使得原本需要反复推敲的步骤，变得一目了然。这种视觉化的表达方式，极大地提升了学习效率，也让那些原本枯燥的逻辑推演过程充满了视觉上的愉悦感。

评分☆☆☆☆☆

翻开内页，首先感受到的是作者叙事的节奏感，如同行云流水般自然流畅，却没有丝毫的松懈与敷衍。对于初学者而言，一些高深的数学概念往往是难以企及的壁垒，但作者似乎深谙此道，总能巧妙地利用一些生活中的实例或者历史典故来引出那些看似晦涩的原理。这种叙事方式极大地降低了阅读的心理门槛，让人在不知不觉中就被带入了数学的深邃世界。我发现自己不再是生硬地记忆公式，而是开始理解公式背后的逻辑和它诞生的时代背景，这种由表及里的探索过程，极大地激发了我对数学美的感受力。

评分☆☆☆☆☆

书中对不同数学分支之间的联系描绘得极为精妙，让人有种豁然开朗的感觉。以往总觉得微积分、线性代数、概率论是孤立的知识点，相互之间缺乏交集。然而，作者通过一系列精巧的过渡和对比，展示了它们如何像复杂的齿轮一样相互咬合、共同驱动着整个数学大厦的运转。这种宏观的视角，对于建立一个完整的知识体系至关重要。特别是其中关于某些抽象代数结构与拓扑学概念的类比，处理得非常高明，既保持了严谨性，又兼顾了读者的直观理解，体现了深厚的教学功底。

评分☆☆☆☆☆

好！

评分☆☆☆☆☆

好书，慢慢评偿…

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比较满意

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徐院士的大作

评分☆☆☆☆☆

好书好好读

评分☆☆☆☆☆

很好！费曼的作品值得一读!

评分☆☆☆☆☆

比较专业，推荐阅读，作为业余阅读书籍放到案头吧

评分☆☆☆☆☆

比较满意

评分☆☆☆☆☆

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