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Gerd Fischer 著，胥鸣伟 译

图书标签:

• 平面曲线
• 代数几何
• 代数曲线
• 射影几何
• 复分析
• 拓扑学
• 微分几何
• 代数
• 数学
• 几何学

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040322903

版次：1

商品编码：11842276

包装：平装

丛书名： 大学生数学图书馆

开本：32开

出版时间：2015-11-01

用纸：胶版纸

页数：231

字数：210000

正文语种：中文

内容简介

　　单变量多项式零点问题本质上是代数的，而在多变量时则变为一种几何。《平面代数曲线》中，作者费舍尔从传统的平面代数曲线出发来进入整个学科，其核心内容是普吕克、克莱布施和诺特的经典公式，它们描述了曲线的各种整体和局部不变量之间的关系。在书中，读者将很快看到代数与几何、分析与拓扑的融合，这正是一种典型的复代数几何。作者特别注重具体的计算方法，全书包含了大量具体的例子和图示。
　　《平面代数曲线》是一本非常的代数几何入门书，预备知识只包括分析、代数和初等拓扑的基础知识。学习《平面代数曲线》可以帮助建立几何直觉，这种直觉往往是产生多的先进思想和技巧的原因，这在高维变量的学习中会用到。

目录

《大学生数学图书馆》丛书序
序言
第零章 导引
0.1.直线
0.2.圆
0.3.尼尔抛物线
0.4.牛顿结点曲线
0.5.笛卡儿叶形线
0.6.摆线
0.7.克莱因四次曲线
0.8.连续曲线

第一章 仿射代数曲线及其方程
1.1.方程的簇
1.2.仿射代数曲线
1.3.施图迪引理
1.4.分解分支
1.5.不可约性和连通性
1.6.极小多项式
1.7.次数
1.8.与直线的交点

第二章 射影闭包
2.1.无穷远点
2.2.射影平面
2.3.曲线的射影闭包
2.4.分解为分支
2.5.曲线与直线的相交重数
2.6.两条曲线的相交
2.7.贝祖定理

第三章 切线和奇点
3.1.光滑点
3.2.奇点集
3.3.局部阶
3.4.在奇点的切线
3.5.阶与相交重数
3.6.欧拉公式
3.7.通过定点的曲线
3.8.奇点的个数.

第四章 配极曲线和黑塞曲线
4.1.配极曲线
4.2.配极曲线的性质
4.3.曲线和它的配极曲线的交
4.4.黑塞曲线
4.5.曲线与它的黑塞曲线的交
4.6.例子

第五章 对偶曲线和普吕克公式
5.1.对偶曲线
5.2.对偶曲线的代数性
5.3.对偶曲线的不可约性
5.4.局部数值不变量
5.5.二重对偶曲线
5.6.简单二重点和尖点
5.7.普吕克公式
5.8.例子
5.9.普吕克公式的证明

第六章 收敛幂级数环
6.1.整体和局部不可约性
6.2.幂级数公式
6.3.收敛的幂级数
6.4.巴拿赫代数
6.5.幂级数的变量替换
6.6.特殊的变量
6.7.魏尔斯特拉斯预备定理
6.8.证明
6.9.隐函数定理
6.10.亨泽尔引理
6.11.幂级数环中的除法
6.12.解析集的芽
6.13.施图迪引理
6.14.局部分支

第七章 用皮瑟级数对曲线分支参数化
7.1.问题的提出
7.2.皮瑟级数定理
7.3.幂级数的载形
7.4.拟齐次初始多项式
7.5.迭代的步骤
7.6.迭代
7.7.形式参数表示
7.8.皮瑟定理（几何形式）
7.9.证明
7.10.解的变形
7.11.皮瑟级数的收敛性
7.12.魏尔斯特拉斯多项式的线性因子分解

第八章 曲线芽的切线和相交重数
8.1.曲线芽的切线
8.2.在光滑点和奇点的切线
8.3.与一条直线的局部相交重数
8.4.与一个不可约芽的局部相交重数
8.5.曲线芽的局部相交重数
8.6.相交重数和阶
8.7.局部与整体相交重数

第九章 代数曲线的黎曼面
9.1.黎曼面
9.2.举例
9.3.代数曲线的奇点消解
9.4.证明
9.5.曲线的连通性
9.6.黎曼一胡尔维茨公式
9.7.光滑曲线的亏格公式
9.8.普吕克曲线的亏格公式
9.9.诺特亏格公式

附录一 结式
A.1.1.结式与公共零点
A.1.2.判别式
A.1.3.齐次多项式的结式
A.1.4.结式和线性因子

附录二 覆叠映射
A.2.1.定义
A.2.2.逆紧映射
A.2.3.道路提升

附录三 隐函数定理
附录四 牛顿多边形
A.4.1.幂级数的牛顿多边形
A.4.2.魏尔斯特拉斯多项式的牛顿多边形

附录五 奇点曲线的一个数值不变量
A.5.1.奇点的解析等价
A.5.2.奇点的次数
A.5.3.广义类公式
A.5.4.广义亏格公式
A.5.5.次和阶
A.5.6.例子

附录六 哈纳克不等式
A.6.1.实代数曲线
A.6.2.连通分支和次数
A.6.3.系数在Z／2Z中的同调群
参考文献
索引
符号表
译后记

好的，这是一本关于拓扑学基础与现代几何视角下的空间结构的图书简介： --- 《空间结构探源：从欧几里得到黎曼的几何演进》 一部深入剖析人类对空间认知演变历程的权威著作 内容提要： 本书旨在带领读者穿越数千年的数学史，探寻人类如何从直观的、基于经验的“空间”概念，一步步构建起抽象的、形式化的现代几何学体系。我们聚焦于空间结构本身的内在逻辑与外在表现形式的演变，探讨不同历史时期和不同数学分支如何塑造了我们对“形体”、“度量”与“连续性”的理解。 本书的叙事核心并非局限于某一特定维度的代数描述，而是横跨了宏观的形而上学思辨、严谨的公理化构建、乃至尖端物理学对时空结构的描述。它是一次对“空间”概念的深度考古与前沿审视。 第一部分：欧氏公理体系的辉煌与局限（约 350 字） 本部分从欧几里得的《几何原本》入手，细致剖析了其公理化方法的伟大意义及其在两千多年中对西方科学思想的统治地位。我们将深入探讨“点、线、面”的基本定义，以及第五公设（平行公设）所蕴含的深刻哲学与数学张力。 随后，我们将详细考察 19 世纪初期，对第五公设的质疑如何催生了非欧几何的诞生。罗巴切夫斯基、波יא尔和高斯的工作，标志着人类首次认识到空间的结构并非唯一的、先验确定的。我们不仅会解析双曲几何和椭圆几何的构造原理，更重要的是，分析这些发现如何从根本上动摇了经验主义对几何学的绝对束缚，开启了对空间本质的全新探索。 第二部分：分析几何的引入与维度的拓宽（约 400 字） 分析几何（解析几何）的出现，是几何学与代数实现革命性联姻的关键一步。笛卡尔和费马的工作，将几何图形的性质转化为代数方程的解集，使得处理复杂形体成为可能。 本部分将详细阐述坐标系、距离公式以及曲线的代数表示法。在此基础上，我们将系统地引入高维空间的概念。我们不会停留在形式上的 $n$ 维向量空间，而是追溯高维几何直觉的建立过程，探讨如何通过投影、截面以及代数约束来想象和操作超出三维感官经验的结构。重点关注线性代数中的基、线性变换在空间结构保持与形变中的作用，以及对高维凸集和超曲面的初步讨论。 第三部分：拓扑学的兴起与空间性质的“不变量”追求（约 450 字） 进入 19 世纪末 20 世纪初，随着连续性与极限概念的严格化，一种全新的几何学视角——拓扑学——应运而生。拓扑学关注的是那些在连续形变（如拉伸、弯曲，但不允许撕裂或粘合）下保持不变的性质，即拓扑不变量。 本部分将深度解析拓扑学的核心思想：从欧拉示性数到同胚、连通性、紧致性等基本拓扑性质。我们将通过著名的柯尼斯堡七桥问题引出图论的初步概念，并以此为基础，探讨如何通过拓扑工具来区分本质上不同（不可互相形变成）的空间形体，如圆环面与球面的区别。对基本群（Poincaré 首次引入）的直观介绍，将展示如何利用“环路”的概念来捕捉空间中“洞”的个数和结构，这是从局部性质转向整体结构分析的里程碑。 第四部分：微分几何与黎曼几何对可微空间的描述（约 300 字） 本书的最后部分将目光投向对“光滑”空间的研究，即微分几何。当空间本身被赋予非均匀的度量结构时，传统的欧氏或黎曼几何的局部一致性被打破。 我们将探讨流形（Manifold）的概念，它作为一种“局部是欧几里得空间”的数学对象，是研究光滑空间的基础。重点将放在黎曼度量张量的引入，它允许我们在弯曲空间中定义距离、角度和测地线。这一视角不仅是纯粹几何学的深化，更是连接到现代物理学的关键桥梁——爱因斯坦的广义相对论正是基于黎曼几何对四维时空曲率的描述。 结语：空间概念的未来视野 本书总结了人类对空间理解的历程，强调了数学工具的演进如何不断拓展我们对“存在”之维度的想象边界。它为那些希望在几何、拓扑、分析和物理学交叉领域进行深入研究的读者，奠定了坚实的、跨越学科壁垒的理论基础。 --- 目标读者： 具有微积分和基础线性代数知识的数学系学生、物理学专业人士，以及对数学史和几何哲学感兴趣的理工科爱好者。

评分☆☆☆☆☆

这本《平面代数曲线》，给我带来了前所未有的数学体验。我抱着一丝好奇心，以为会看到一些关于几何图形和方程之间关系的介绍，但这本书所展现的内容，远远超出了我的预期。当我深入阅读后，我发现它更像是一本关于抽象代数和几何的深度探索。书中充斥着大量的专业术语和复杂的公式推导，很多概念都建立在非常严谨的数学逻辑之上。我努力去理解关于理想、模、代数簇的定义，以及它们在代数曲线理论中的作用。特别是关于曲线的分类和不变量的研究，让我觉得数学的严谨性和抽象性达到了一个新的高度。我尝试着去回溯书中引用的那些定理和证明，但这需要我具备相当扎实的数论和代数基础，否则很容易迷失在细节之中。这本书的叙述风格比较直接，更侧重于数学的内在逻辑，缺乏一些更具启发性的引入或者故事性的背景介绍，这对于我这样希望从直观感受出发的读者来说，增加了学习的难度。我常常在阅读过程中感到力不从心，需要不断地查阅辅助资料来理解其中的概念，这让我对代数几何这个领域产生了既敬畏又感到难以企及的感觉。

评分☆☆☆☆☆

《平面代数曲线》这本书，对我而言，简直是一次高强度的智力挑战。我本来是抱着学习一些关于数学绘图和图形表现的兴趣来阅读的，希望能从中找到一些能够帮助我理解数学图形美感的方法。然而，这本书的内容远比我想象的要深刻和理论化得多。我开始时对书中的定义和定理感到非常困惑，特别是那些关于域、代数簇、以及模空间的概念，它们都建立在非常抽象的数学框架之上。我记得在理解某些关于代数曲线分类的定理时，我反复阅读了好几遍，试图抓住其中的逻辑联系，但始终觉得一知半解。书中所使用的数学语言和符号系统，对我来说是全新的，需要花费大量的时间去学习和适应。我有时候会怀疑自己是否有能力完全掌握这本书的内容，因为它的深度和专业性，似乎已经超出了我的现有知识体系。即使是一些看似简单的例子，其背后的数学原理也异常复杂，需要结合代数几何、拓扑学甚至数论等多个领域的知识来理解。这本书更像是为那些已经拥有深厚数学功底的研究者准备的，对于我这样的业余爱好者来说，学习起来确实是非常吃力的。

评分☆☆☆☆☆

《平面代数曲线》这本书，说实话，拿到手的时候我脑子里是空白的。我对“代数”这个词一直有点敬而远之，总觉得那是数学里最抽象、最枯燥的部分。加上“曲线”这个词，更是让我联想到一些复杂的几何图形，需要用我那早已生疏的微积分知识去描绘。打开第一页，密密麻麻的公式和符号扑面而来，我真的瞬间就有点退缩了。但是，抱着“来都来了”的心态，我还是硬着头皮继续往下看。不得不说，作者的叙述方式一开始确实是挑战，很多概念的引入都建立在一定的数学基础之上，如果没有相关的预备知识，初学者可能会觉得比较吃力。我当时就想着，也许这本书更适合那些已经对代数几何有所了解，或者是数学专业背景比较深厚的读者。我花了很长时间去理解那些定理和证明，有时候会反复翻看前面的章节，试图梳理清楚逻辑脉络。尤其是那些关于群论和拓扑学的章节，对我来说简直是天书。我承认，这本书的深度和广度确实不一般，它所探讨的内容远超我最初的想象，触及到了数学的很多前沿领域。我当时最大的感受就是，这本书不是一本轻松的读物，它需要读者投入大量的时间和精力去消化和理解。

评分☆☆☆☆☆

不得不承认，《平面代数曲线》这本书的书名，可能有些误导了像我这样的普通读者。我最初拿到这本书，以为它会像一本介绍各种数学图形的书，或者是一本教你如何用代数方法绘制出各种美妙曲线的指南。我期待着能够看到一些具体的例子，比如如何用代数方程来描述抛物线、椭圆、双曲线，甚至是一些更奇特的数学曲线。但当我翻开书页，看到的却是极其抽象的数学定义、复杂的定理证明，以及大量的符号和公式。关于“代数”的探讨，似乎更加侧重于抽象代数层面的讨论，而不是简单的方程表示。我花了很多时间去理解一些基本的概念，比如域、理想、模，这些对我来说都相当陌生。书中的内容，更多的是在探讨代数曲线的理论性质，比如它们的维度、奇异点、以及分类问题，这些内容对于一个没有受过专业数学训练的人来说，确实是相当晦涩的。我尝试着去理解一些关于代数几何的早期发展历史，以及一些重要的数学家在这个领域做出的贡献，但书中的叙述方式，更多的是直接给出结论和证明，缺乏一些背景的铺垫和故事性的讲解，这让我学习起来更加困难。

评分☆☆☆☆☆

这本《平面代数曲线》带给我的体验，更像是一次充满挑战的数学探险。我原本以为会看到一些关于画图、关于可视化代数方程的有趣内容，但实际内容要深刻得多。书中对曲线的定义、分类、以及它们在不同坐标系下的表现形式，都进行了非常严谨的数学推导。我记得有一个章节详细介绍了射影平面上的代数曲线，这让我对“无穷远点”以及齐次坐标有了全新的认识。读到后面，还涉及到了函数域、黎曼曲面等更高级的概念，这已经远远超出了我高中数学的范畴，甚至大学初期的数学知识也显得捉襟见肘。作者在推导过程中，常常会引用一些非常专业的数学定理，比如贝祖定理，看得我云里雾里。我尝试着去理解定理的含义，但要真正领会其精髓，恐怕还需要更扎实的数论和代数基础。这本书的数学严谨性毋庸置疑，但对于像我这样非数学专业的读者来说，学习曲线有些陡峭。我常常会感到力不从心，需要不断地查阅资料，补充背景知识。不过，也正是在这种啃硬骨头的过程中，我隐约感觉到了一些数学之美，虽然暂时还没能完全捕捉到。

评分☆☆☆☆☆

书质量不错，印刷也很清晰。

评分☆☆☆☆☆

来来来考虑考虑看看两节课考虑考虑看看

评分☆☆☆☆☆

平面代数曲线

评分☆☆☆☆☆

东西很好，经常来京东购买， 觉得质量有保障物流也快，习惯了

评分☆☆☆☆☆

这一系列的书真不是给基础差的人看

评分☆☆☆☆☆

简单生活，好好过活，天天读书，学习修行……

评分☆☆☆☆☆

很精致的一本书，适合本科生阅读。对于非数学专业的研究生也很好

评分☆☆☆☆☆

可以，想学学学看

评分☆☆☆☆☆

物流快，包装好，看完再追加评论～(￣▽￣～)~