具體描述
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本書闡述瞭求解微積分的技巧，詳細講解瞭微積分基礎、極限、連續、微分、導數的應用、積分、無窮級數、泰勒級數與冪級數等內容，旨在教會讀者如何思考問題從而找到解題所需的知識點著重訓練大傢自己解答問題的能力。本書適用於大學低年級學生、高中高年級學生、想學習微積分的數學愛好者以及廣大數學教師，既可作為教材、習題集，也可作為學習指南，同時還有利於教師備課。
目錄第1章 函數、圖像和直綫 1
1.1 函數 1
1.1.1 區間錶示法 3
1.1.2 求定義域 3
1.1.3 利用圖像求值域 4
1.1.4 垂綫檢驗 5
1.2 反函數 6
1.2.1 水平綫檢驗 7
1.2.2 求反函數 8
1.2.3 限製定義域 8
1.2.4 反函數的反函數 9
1.3 函數的復閤 10
1.4 奇函數和偶函數 12
1.5 綫性函數的圖像 14
1.6 常見函數及其圖像 16
第2章 三角學迴顧 21
2.1 基本知識 21
2.2 擴展三角函數定義域 23
2.2.1 ASTC 方法 25
2.2.2 [0; 2π] 以外的三角函數 27
2.3 三角函數的圖像 29
2.4 三角恒等式 32
第3章 極限導論 34
3.1 極限：基本思想 34
3.2 左極限與右極限 36
3.3 何時不存在極限 37
3.4 在∞和-∞處的極限 38
3.5 關於漸近綫的兩個常見誤解 41
3.6 三明治定理 43
3.7 極限的基本類型小結 45
第4章 求解多項式的極限問題 47
4.1 x → a 時的有理函數的極限 47
4.2 x → a 時的平方根的極限 50
4.3 x →∞時的有理函數的極限 51
4.4 x →∞時的多項式型函數的極限 56
4.5 x → -∞時的有理函數的極限 59
4.6 包含juedui值的函數的極限 61
第5章 連續性和可導性 63
5.1 連續性 63
5.1.1 在一點處連續 63
5.1.2 在一個區間上連續 64
5.1.3 連續函數的一些例子 65
5.1.4 介值定理 67
5.1.5 一個更難的介值定理例子 69
5.1.6 連續函數的ZUI大值和ZUI小值 70
5.2 可導性 71
5.2.1 平均速率 72
5.2.2 位移和速度 72
5.2.3 瞬時速度 73
5.2.4 速度的圖像闡釋 74
5.2.5 切綫 75
5.2.6 導函數 77
5.2.7 作為極限比的導數 78
5.2.8 綫性函數的導數 80
5.2.9 二階導數和更高階導數 80
5.2.10 何時導數不存在 81
5.2.11 可導性和連續性 82
第6章 求解微分問題 84
6.1 使用定義求導 84
6.2 用更好的辦法求導 87
6.2.1 函數的常數倍 88
6.2.2 函數和與函數差 88
6.2.3 通過乘積法則求積函數的導數 88
6.2.4 通過商法則求商函數的導數 90
6.2.5 通過鏈式求導法則求復閤函數的導數 91
6.2.6 那個難以處理的例子 94
6.2.7 乘積法則和鏈式求導法則的理由 96
6.3 求切綫方程 98
6.4 速度和加速度 99
6.5 導數僞裝的極限 101
6.6 分段函數的導數 103
6.7 直接畫齣導函數的圖像 106
第7章 三角函數的極限和導數 111
7.1 三角函數的極限 111
7.1.1 小數的情況 111
7.1.2 問題的求解——小數的情況 113
7.1.3 大數的情況 117
7.1.4 “其他的”情況 120
7.1.5 一個重要極限的證明 121
7.2 三角函數的導數 124
7.2.1 求三角函數導數的例子 127
7.2.2 簡諧運動 128
7.2.3 一個有趣的函數 129
第8章 隱函數求導和相關變化率 132
8.1 隱函數求導 132
8.1.1 技巧和例子 133
8.1.2 隱函數求二階導 137
8.2 相關變化率 138
8.2.1 一個簡單的例子 139
8.2.2 一個稍難的例子 141
8.2.3 一個更難的例子 142
8.2.4 一個非常難的例子 144
第9章 指數函數和對數函數 148
9.1 基礎知識 148
9.1.1 指數函數的迴顧 148
9.1.2 對數函數的迴顧 149
9.1.3 對數函數、指數函數及反函數 150
9.1.4 對數法則 151
9.2 e 的定義 153
9.2.1 一個有關復利的問題 153
9.2.2 問題的答案 154
9.2.3 更多關於e 和對數函數的內容 156
9.3 對數函數和指數函數求導 158
9.4 求解指數函數或對數函數的極限 161
9.4.1 涉及e 的定義的極限 161
9.4.2 指數函數在0 附近的行為 162
9.4.3 對數函數在1 附近的行為 164
9.4.4 指數函數在∞或-∞附近的行為 164
9.4.5 對數函數在∞附近的行為 167
9.4.6 對數函數在0 附近的行為 168
9.5 取對數求導法 169
9.6 指數增長和指數衰變 173
9.6.1 指數增長 174
9.6.2 指數衰變 176
9.7 雙麯函數 178
第10章 反函數和反三角函數 181
10.1 導數和反函數 181
10.1.1 使用導數證明反函數存在 181
10.1.2 導數和反函數：可能齣現的問題 182
10.1.3 求反函數的導數 183
10.1.4 一個綜閤性例子 185
10.2 反三角函數 187
10.2.1 反正弦函數 187
10.2.2 反餘弦函數 190
10.2.3 反正切函數 192
10.2.4 反正割函數 194
10.2.5 反餘割函數和反餘切函數 195
10.2.6 計算反三角函數 196
10.3 反雙麯函數 199
第11章 導數和圖像 202
11.1 函數的極值 202
11.1.1 全局極值和局部極值 202
11.1.2 極值定理 203
11.1.3 求全局ZUI大值和ZUI小值 204
11.2 羅爾定理 206
11.3 中值定理 209
11.4 二階導數和圖像 212
11.5 對導數為零點的分類 215
11.5.1 使用一次導數 215
11.5.2 使用二階導數 217
第12章 繪製函數圖像 219
12.1 建立符號錶格 219
12.1.1 建立一階導數的符號錶格 221
12.1.2 建立二階導數的符號錶格 222
12.2 繪製函數圖像的全麵方法 224
12.3 例題 225
12.3.1 一個不使用導數的例子 225
12.3.2 完整的方法：例一 227
12.3.3 完整的方法：例二 229
12.3.4 完整的方法：例三 231
12.3.5 完整的方法：例四 234
第13章 ZUI優化和綫性化 239
13.1 ZUI優化 239
13.1.1 一個簡單的ZUI優化例子 239
13.1.2 ZUI優化問題：一般方法 240
13.1.3 一個ZUI優化的例子 241
13.1.4 另一個ZUI優化的例子 242
13.1.5 在ZUI優化問題中使用隱函數求導 246
13.1.6 一個較難的ZUI優化例子 246
13.2 綫性化 249
13.2.1 綫性化問題：一般方法 251
13.2.2 微分 252
13.2.3 綫性化的總結和例子 254
13.2.4 近似中的誤差 256
13.3 牛頓法 258
第14章 洛必達法則及極限問題總結 263
14.1 洛必達法則 263
14.1.1 類型A：0/0 263
14.1.2 類型A：±∞/ ±∞266
14.1.3 類型B1: (∞－∞) 267
14.1.4 類型B2: (0 ×±∞) 269
14.1.5 類型C:??(1±∞, 0o或∞o)270
14.1.6 洛必達法則類型的總結 272
14.2 關於極限的總結 273
第15章 積分 276
15.1 求和符號 276
15.1.1 一個有用的求和 279
15.1.2 伸縮求和法 280
15.2 位移和麵積 283
15.2.1 三個簡單的例子 283
15.2.2 一段更常規的旅行 285
15.2.3 有嚮麵積 287
15.2.4 連續的速度 288
15.2.5 兩個特彆的估算 291
第16章 定積分 293
16.1 基本思想 293
16.2 定積分的定義 297
16.3 定積分的性質 301
16.4 求麵積 305
16.4.1 求通常的麵積 306
16.4.2 求解兩條麯綫之間的麵積 308
16.4.3 求麯綫與y 軸所圍成的麵積 310
16.5 估算積分 313
16.6 積分的平均值和中值定理 316
16.7 不可積的函數 319
第17章 微積分基本定理 321
17.1 用其他函數的積分來錶示的函數 321
17.2 微積分的DIYI基本定理 324
17.3 微積分的第二基本定理 328
17.4 不定積分 329
17.5 怎樣解決問題：微積分的DIYI基本定理 331
17.5.1 變形1：變量是積分下限 332
17.5.2 變形2：積分上限是一個函數 332
17.5.3 變形3：積分上下限都為函數 334
17.5.4 變形4：極限僞裝成導數 335
17.6 怎樣解決問題：微積分的第二基本定理 336
17.6.1 計算不定積分 336
17.6.2 計算定積分 339
17.6.3 麵積和juedui值 341
17.7 技術要點 344
17.8 微積分DIYI基本定理的證明 345
第18章 積分的方法I347
18.1 換元法 347
18.1.1 換元法和定積分 350
18.1.2 如何換元 353
18.1.3 換元法的理論解釋 355
18.2 分部積分法 356
18.3 部分分式 361
18.3.1 部分分式的代數運算 361
18.3.2 對每一部分積分 365
18.3.3 方法和一個完整的例子 367
第19章 積分的方法II 373
19.1 應用三角恒等式的積分 373
19.2 關於三角函數的冪的積分 376
19.2.1 sin 或cos 的冪 376
19.2.2 tan 的冪 378
19.2.3 sec 的冪 379
19.2.4 cot 的冪 381
19.2.5 csc 的冪 382
19.2.6 約化公式 382
19.3 關於三角換元法的積分 384
19.3.1 類型1：">384
19.3.2 類型2：">386
19.3.3 類型3：">387
19.3.4 配方和三角換元法 388
19.3.5 關於三角換元法的總結 389
19.3.6 平方根的方法和三角換元法 389
19.4 積分技巧總結 391
第20章 反常積分：基本概念 393
20.1 收斂和發散 393
20.1.1 反常積分的一些例子 395
20.1.2 其他破裂點 397
20.2 關於無窮區間上的積分 398
20.3 比較判彆法(理論)400
20.4 極限比較判彆法(理論)402
20.4.1 函數互為漸近綫 402
20.4.2 關於判彆法的陳述 404
20.5 p 判彆法(理論) 405
20.6 juedui收斂判彆法 407
第21章 反常積分：如何解題 410
21.1 如何開始 410
21.1.1 拆分積分 410
21.1.2 如何處理負函數值 411
21.2 積分判彆法總結 413
21.3 常見函數在∞和－∞附近的錶現 414
21.3.1 多項式和多項式型函數在1 和?1 附近的錶現 415
21.3.2 三角函數在∞和－∞附近的錶現 417
21.3.3 指數在∞和－∞附近的錶現 419
21.3.4 對數在∞附近的錶現 422
21.4 常見函數在0 附近的錶現 426
21.4.1 多項式和多項式型函數在0 附近的錶現 426
21.4.2 三角函數在0 附近的錶現 427
21.4.3 指數函數在0 附近的錶現 429
21.4.4 對數函數在0 附近的錶現 430
21.4.5 更一般的函數在0 附近的錶現 431
21.5 如何應對不在0 或∞處的瑕點 432
第22章 數列和級數：基本概念 434
22.1 數列的收
用戶評價
這本書的書名和宣傳語，讓我立刻聯想到那種“速成”、“通關”的學渣福音。作為一個常年與“數學恐懼癥”作鬥爭的人，我總覺得微積分就像一座高不可攀的大山，而這本書，似乎承諾能提供一條捷徑。事實上，雖然它確實比我之前嘗試過的任何一本教材都更容易入門，但我不得不說，它並沒有“偷工減料”。它依然保持瞭相當高的學術水準，隻是在呈現方式上更加人性化。它並沒有迴避微積分的嚴謹性，但它將枯燥的數學語言轉化為更易於理解的敘述，並輔以大量直觀的圖形和生動的類比。例如，在講解不定積分的幾何意義時，它並沒有僅僅停留在“求麵積”這個層麵，而是深入探討瞭它與微分之間的“互逆”關係，並形象地將其比作“尋找軌跡的反過程”。這一點對我來說，簡直是醍醐灌頂。而且，它並沒有因為強調“復習”而顯得內容陳舊，其“修訂版”的身份也確保瞭內容的時效性。書中穿插的一些“思考與討論”環節，更是極大地激發瞭我獨立思考的欲望，讓我不再是被動接受知識，而是主動去探索和驗證。我發現，通過這本書，我不再僅僅是記住公式，而是開始真正理解瞭微積分的內在邏輯。它讓我看到瞭數學的優雅與力量，也讓我對曾經避之不及的微積分産生瞭濃厚的興趣。
評分坦白說，我購買這本書的初衷，更多的是因為近期需要接觸一些涉及到“量變”和“速率”等概念的學術文獻，而微積分正是這些概念的基礎。在朋友的推薦下，我選擇瞭這本《普林斯頓微積分讀本》。我對於“普林斯頓”這個名字，天然就帶有一種信任感，總覺得它代錶著嚴謹和深度。拿到書後，我並沒有立刻投入到大量的公式推導中，而是先仔細閱讀瞭它在引言部分對微積分發展曆程和核心思想的介紹。這部分內容寫得相當引人入勝，它將微積分的誕生與人類認識世界、改造世界的曆史緊密聯係起來，讓我從宏觀上對微積分的重要性有瞭更深刻的認識。在具體的章節中，我發現這本書的講解方式非常注重“化繁為簡”。比如，在引入導數定義時，它沒有直接給齣 epsilon-delta 的嚴格定義，而是先從平均變化率過渡到瞬時變化率，並用許多貼近生活的例子來幫助理解，比如汽車的速度變化、河流的水流速度等等。這極大地緩解瞭我對數學抽象概念的恐懼。而且，書中的練習題也很有特色，很多題目都需要你對概念有深刻的理解纔能解答，而不是簡單的套用公式。一些“挑戰題”更是能激發你的深入思考。這本書讓我明白，微積分並非高不可攀，而是一種強大而優雅的工具，隻要掌握瞭正確的方法，每個人都能駕馭。
評分老實說，我當初買這本書，更多的是齣於一種“普林斯頓齣品，必屬精品”的品牌效應。畢竟，在美國知名學府的學術光環加持下，這本書的含金量應該不低。拿到實體書後，我的第一印象是它的厚度適中，不像一些“磚頭書”那樣讓人望而生畏，但又足夠內容充實。翻開扉頁，那精煉的英文原版介紹（雖然我後來是看中文版，但它保留瞭原汁原味的學術氣息）以及清晰的目錄，就預示著這是一本嚴謹且結構化的讀物。在內容上，它並沒有像許多國內教材那樣，上來就列舉一大堆繁瑣的定理和證明，而是更注重概念的引入和理解。比如，它在講解極限時，會花不少篇幅去闡述極限的直觀意義，以及它在描述函數行為中的重要性。書中的論證過程也顯得尤為清晰，即使是比較復雜的推導，也能被分解成一個個易於理解的小步驟，並通過精美的插圖加以輔助，極大地降低瞭理解門檻。我最欣賞的是它在一些關鍵概念的闡釋上，會引用一些實際應用的例子，比如物理學中的速度與位移關係、經濟學中的邊際分析等，這讓抽象的數學概念變得生動且具有現實意義，也讓我看到瞭微積分在不同領域應用的廣闊前景。而且，它還特彆強調瞭“修訂版”，這通常意味著內容經過瞭優化和更新，理論上會更加完善和現代。雖然我還沒有完全啃完，但就目前的閱讀體驗而言，這本書確實達到瞭我對於一本高質量微積分入門讀物的所有期望，甚至超齣瞭不少。
評分這本書的封麵設計雖然簡潔，但“普林斯頓”三個字足以吸引我的目光。作為一個非數學專業背景的人，我一直對微積分感到敬而遠之。但最近工作需要，我又不得不硬著頭皮去瞭解。市麵上很多微積分書籍，要麼過於理論化，要麼過於淺顯，都無法滿足我既想理解概念精髓，又需要一定嚴謹性的需求。這本《普林斯頓微積分讀本》恰好填補瞭這一空白。它以一種非常“美國化”的教學方式，將微積分的講解變得生動有趣。書中的語言風格非常平易近人，避免瞭過多的學術術語堆砌，而是用清晰、流暢的文字引導讀者一步步深入。我印象最深刻的是它在講解函數和圖形關係時，用瞭大量的插圖和動畫（雖然是靜態的，但想象空間很大），將抽象的函數變化過程可視化，讓我能夠直觀地感受到麯綫的起伏和區域的麵積。它還非常注重數學思想的傳達，不僅僅是告訴你“怎麼做”，更會解釋“為什麼這麼做”，以及這樣做背後的邏輯和哲學。在習題方麵，它也設計得相當巧妙，有的題目需要你結閤圖像來思考，有的題目則需要你運用前麵學到的知識進行推理，而不是簡單的套用公式。這本書讓我感覺，學習微積分不再是一件痛苦的任務，而是一場充滿發現和樂趣的旅程。
評分這本《普林斯頓微積分讀本（修訂版）》簡直是為我這樣的“老花眼”數學愛好者量身定製的！我當年大學學的微積分早就還給老師瞭，最近因為工作需要，又得重新撿起來。市麵上各種微積分教材看得我眼花繚亂，不是太枯燥就是太理論化，根本下不去嘴。直到我看到瞭這本，被它“普林斯頓微積分復習課程”的定位吸引瞭。拿到手之後，迫不及待地翻閱。書的排版非常清晰，圖示也很直觀，不像我以前看的那些，密密麻麻的公式看得人頭大。它從最基礎的概念講起，一步步深入，邏輯性極強，讓我這種數學基礎不太牢固的人也能跟得上。更重要的是，它並沒有直接丟給你一堆定理公式就讓你硬背，而是通過大量的例子和直觀的解釋，讓你真正理解微積分的“為什麼”和“怎麼用”。比如，在講到導數的時候，它會用非常生動的比喻來解釋“瞬時變化率”這個概念，讓我這個曾經的文科生都能茅塞頓開。書中的習題設計也非常閤理，由易到難，既能鞏固基礎，又能挑戰思考。我尤其喜歡它的一些“思考題”，能激發我主動去探索和發現，而不是被動接受知識。而且，它居然強調“正版包郵”，這個細節真的讓人覺得很貼心，也證明瞭齣版方的認真態度。總而言之，如果你也像我一樣，對微積分有“陰影”，又想重新拾起，這本書絕對是你的首選。它就像一位耐心又經驗豐富的老師，一步步帶領你走齣微積分的迷宮，讓你重新發現數學的樂趣。
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