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本书阐述了求解微积分的技巧，详细讲解了微积分基础、极限、连续、微分、导数的应用、积分、无穷级数、泰勒级数与幂级数等内容，旨在教会读者如何思考问题从而找到解题所需的知识点着重训练大家自己解答问题的能力。本书适用于大学低年级学生、高中高年级学生、想学习微积分的数学爱好者以及广大数学教师，既可作为教材、习题集，也可作为学习指南，同时还有利于教师备课。
目录第1章 函数、图像和直线 1
1.1 函数 1
1.1.1 区间表示法 3
1.1.2 求定义域 3
1.1.3 利用图像求值域 4
1.1.4 垂线检验 5
1.2 反函数 6
1.2.1 水平线检验 7
1.2.2 求反函数 8
1.2.3 限制定义域 8
1.2.4 反函数的反函数 9
1.3 函数的复合 10
1.4 奇函数和偶函数 12
1.5 线性函数的图像 14
1.6 常见函数及其图像 16
第2章 三角学回顾 21
2.1 基本知识 21
2.2 扩展三角函数定义域 23
2.2.1 ASTC 方法 25
2.2.2 [0; 2π] 以外的三角函数 27
2.3 三角函数的图像 29
2.4 三角恒等式 32
第3章 极限导论 34
3.1 极限：基本思想 34
3.2 左极限与右极限 36
3.3 何时不存在极限 37
3.4 在∞和-∞处的极限 38
3.5 关于渐近线的两个常见误解 41
3.6 三明治定理 43
3.7 极限的基本类型小结 45
第4章 求解多项式的极限问题 47
4.1 x → a 时的有理函数的极限 47
4.2 x → a 时的平方根的极限 50
4.3 x →∞时的有理函数的极限 51
4.4 x →∞时的多项式型函数的极限 56
4.5 x → -∞时的有理函数的极限 59
4.6 包含juedui值的函数的极限 61
第5章 连续性和可导性 63
5.1 连续性 63
5.1.1 在一点处连续 63
5.1.2 在一个区间上连续 64
5.1.3 连续函数的一些例子 65
5.1.4 介值定理 67
5.1.5 一个更难的介值定理例子 69
5.1.6 连续函数的ZUI大值和ZUI小值 70
5.2 可导性 71
5.2.1 平均速率 72
5.2.2 位移和速度 72
5.2.3 瞬时速度 73
5.2.4 速度的图像阐释 74
5.2.5 切线 75
5.2.6 导函数 77
5.2.7 作为极限比的导数 78
5.2.8 线性函数的导数 80
5.2.9 二阶导数和更高阶导数 80
5.2.10 何时导数不存在 81
5.2.11 可导性和连续性 82
第6章 求解微分问题 84
6.1 使用定义求导 84
6.2 用更好的办法求导 87
6.2.1 函数的常数倍 88
6.2.2 函数和与函数差 88
6.2.3 通过乘积法则求积函数的导数 88
6.2.4 通过商法则求商函数的导数 90
6.2.5 通过链式求导法则求复合函数的导数 91
6.2.6 那个难以处理的例子 94
6.2.7 乘积法则和链式求导法则的理由 96
6.3 求切线方程 98
6.4 速度和加速度 99
6.5 导数伪装的极限 101
6.6 分段函数的导数 103
6.7 直接画出导函数的图像 106
第7章 三角函数的极限和导数 111
7.1 三角函数的极限 111
7.1.1 小数的情况 111
7.1.2 问题的求解——小数的情况 113
7.1.3 大数的情况 117
7.1.4 “其他的”情况 120
7.1.5 一个重要极限的证明 121
7.2 三角函数的导数 124
7.2.1 求三角函数导数的例子 127
7.2.2 简谐运动 128
7.2.3 一个有趣的函数 129
第8章 隐函数求导和相关变化率 132
8.1 隐函数求导 132
8.1.1 技巧和例子 133
8.1.2 隐函数求二阶导 137
8.2 相关变化率 138
8.2.1 一个简单的例子 139
8.2.2 一个稍难的例子 141
8.2.3 一个更难的例子 142
8.2.4 一个非常难的例子 144
第9章 指数函数和对数函数 148
9.1 基础知识 148
9.1.1 指数函数的回顾 148
9.1.2 对数函数的回顾 149
9.1.3 对数函数、指数函数及反函数 150
9.1.4 对数法则 151
9.2 e 的定义 153
9.2.1 一个有关复利的问题 153
9.2.2 问题的答案 154
9.2.3 更多关于e 和对数函数的内容 156
9.3 对数函数和指数函数求导 158
9.4 求解指数函数或对数函数的极限 161
9.4.1 涉及e 的定义的极限 161
9.4.2 指数函数在0 附近的行为 162
9.4.3 对数函数在1 附近的行为 164
9.4.4 指数函数在∞或-∞附近的行为 164
9.4.5 对数函数在∞附近的行为 167
9.4.6 对数函数在0 附近的行为 168
9.5 取对数求导法 169
9.6 指数增长和指数衰变 173
9.6.1 指数增长 174
9.6.2 指数衰变 176
9.7 双曲函数 178
第10章 反函数和反三角函数 181
10.1 导数和反函数 181
10.1.1 使用导数证明反函数存在 181
10.1.2 导数和反函数：可能出现的问题 182
10.1.3 求反函数的导数 183
10.1.4 一个综合性例子 185
10.2 反三角函数 187
10.2.1 反正弦函数 187
10.2.2 反余弦函数 190
10.2.3 反正切函数 192
10.2.4 反正割函数 194
10.2.5 反余割函数和反余切函数 195
10.2.6 计算反三角函数 196
10.3 反双曲函数 199
第11章 导数和图像 202
11.1 函数的极值 202
11.1.1 全局极值和局部极值 202
11.1.2 极值定理 203
11.1.3 求全局ZUI大值和ZUI小值 204
11.2 罗尔定理 206
11.3 中值定理 209
11.4 二阶导数和图像 212
11.5 对导数为零点的分类 215
11.5.1 使用一次导数 215
11.5.2 使用二阶导数 217
第12章 绘制函数图像 219
12.1 建立符号表格 219
12.1.1 建立一阶导数的符号表格 221
12.1.2 建立二阶导数的符号表格 222
12.2 绘制函数图像的全面方法 224
12.3 例题 225
12.3.1 一个不使用导数的例子 225
12.3.2 完整的方法：例一 227
12.3.3 完整的方法：例二 229
12.3.4 完整的方法：例三 231
12.3.5 完整的方法：例四 234
第13章 ZUI优化和线性化 239
13.1 ZUI优化 239
13.1.1 一个简单的ZUI优化例子 239
13.1.2 ZUI优化问题：一般方法 240
13.1.3 一个ZUI优化的例子 241
13.1.4 另一个ZUI优化的例子 242
13.1.5 在ZUI优化问题中使用隐函数求导 246
13.1.6 一个较难的ZUI优化例子 246
13.2 线性化 249
13.2.1 线性化问题：一般方法 251
13.2.2 微分 252
13.2.3 线性化的总结和例子 254
13.2.4 近似中的误差 256
13.3 牛顿法 258
第14章 洛必达法则及极限问题总结 263
14.1 洛必达法则 263
14.1.1 类型A：0/0 263
14.1.2 类型A：±∞/ ±∞266
14.1.3 类型B1: (∞－∞) 267
14.1.4 类型B2: (0 ×±∞) 269
14.1.5 类型C:??(1±∞, 0o或∞o)270
14.1.6 洛必达法则类型的总结 272
14.2 关于极限的总结 273
第15章 积分 276
15.1 求和符号 276
15.1.1 一个有用的求和 279
15.1.2 伸缩求和法 280
15.2 位移和面积 283
15.2.1 三个简单的例子 283
15.2.2 一段更常规的旅行 285
15.2.3 有向面积 287
15.2.4 连续的速度 288
15.2.5 两个特别的估算 291
第16章 定积分 293
16.1 基本思想 293
16.2 定积分的定义 297
16.3 定积分的性质 301
16.4 求面积 305
16.4.1 求通常的面积 306
16.4.2 求解两条曲线之间的面积 308
16.4.3 求曲线与y 轴所围成的面积 310
16.5 估算积分 313
16.6 积分的平均值和中值定理 316
16.7 不可积的函数 319
第17章 微积分基本定理 321
17.1 用其他函数的积分来表示的函数 321
17.2 微积分的DIYI基本定理 324
17.3 微积分的第二基本定理 328
17.4 不定积分 329
17.5 怎样解决问题：微积分的DIYI基本定理 331
17.5.1 变形1：变量是积分下限 332
17.5.2 变形2：积分上限是一个函数 332
17.5.3 变形3：积分上下限都为函数 334
17.5.4 变形4：极限伪装成导数 335
17.6 怎样解决问题：微积分的第二基本定理 336
17.6.1 计算不定积分 336
17.6.2 计算定积分 339
17.6.3 面积和juedui值 341
17.7 技术要点 344
17.8 微积分DIYI基本定理的证明 345
第18章 积分的方法I347
18.1 换元法 347
18.1.1 换元法和定积分 350
18.1.2 如何换元 353
18.1.3 换元法的理论解释 355
18.2 分部积分法 356
18.3 部分分式 361
18.3.1 部分分式的代数运算 361
18.3.2 对每一部分积分 365
18.3.3 方法和一个完整的例子 367
第19章 积分的方法II 373
19.1 应用三角恒等式的积分 373
19.2 关于三角函数的幂的积分 376
19.2.1 sin 或cos 的幂 376
19.2.2 tan 的幂 378
19.2.3 sec 的幂 379
19.2.4 cot 的幂 381
19.2.5 csc 的幂 382
19.2.6 约化公式 382
19.3 关于三角换元法的积分 384
19.3.1 类型1：">384
19.3.2 类型2：">386
19.3.3 类型3：">387
19.3.4 配方和三角换元法 388
19.3.5 关于三角换元法的总结 389
19.3.6 平方根的方法和三角换元法 389
19.4 积分技巧总结 391
第20章 反常积分：基本概念 393
20.1 收敛和发散 393
20.1.1 反常积分的一些例子 395
20.1.2 其他破裂点 397
20.2 关于无穷区间上的积分 398
20.3 比较判别法(理论)400
20.4 极限比较判别法(理论)402
20.4.1 函数互为渐近线 402
20.4.2 关于判别法的陈述 404
20.5 p 判别法(理论) 405
20.6 juedui收敛判别法 407
第21章 反常积分：如何解题 410
21.1 如何开始 410
21.1.1 拆分积分 410
21.1.2 如何处理负函数值 411
21.2 积分判别法总结 413
21.3 常见函数在∞和－∞附近的表现 414
21.3.1 多项式和多项式型函数在1 和?1 附近的表现 415
21.3.2 三角函数在∞和－∞附近的表现 417
21.3.3 指数在∞和－∞附近的表现 419
21.3.4 对数在∞附近的表现 422
21.4 常见函数在0 附近的表现 426
21.4.1 多项式和多项式型函数在0 附近的表现 426
21.4.2 三角函数在0 附近的表现 427
21.4.3 指数函数在0 附近的表现 429
21.4.4 对数函数在0 附近的表现 430
21.4.5 更一般的函数在0 附近的表现 431
21.5 如何应对不在0 或∞处的瑕点 432
第22章 数列和级数：基本概念 434
22.1 数列的收
用户评价
这本书的书名和宣传语，让我立刻联想到那种“速成”、“通关”的学渣福音。作为一个常年与“数学恐惧症”作斗争的人，我总觉得微积分就像一座高不可攀的大山，而这本书，似乎承诺能提供一条捷径。事实上，虽然它确实比我之前尝试过的任何一本教材都更容易入门，但我不得不说，它并没有“偷工减料”。它依然保持了相当高的学术水准，只是在呈现方式上更加人性化。它并没有回避微积分的严谨性，但它将枯燥的数学语言转化为更易于理解的叙述，并辅以大量直观的图形和生动的类比。例如，在讲解不定积分的几何意义时，它并没有仅仅停留在“求面积”这个层面，而是深入探讨了它与微分之间的“互逆”关系，并形象地将其比作“寻找轨迹的反过程”。这一点对我来说，简直是醍醐灌顶。而且，它并没有因为强调“复习”而显得内容陈旧，其“修订版”的身份也确保了内容的时效性。书中穿插的一些“思考与讨论”环节，更是极大地激发了我独立思考的欲望，让我不再是被动接受知识，而是主动去探索和验证。我发现，通过这本书，我不再仅仅是记住公式，而是开始真正理解了微积分的内在逻辑。它让我看到了数学的优雅与力量，也让我对曾经避之不及的微积分产生了浓厚的兴趣。
评分这本《普林斯顿微积分读本（修订版）》简直是为我这样的“老花眼”数学爱好者量身定制的！我当年大学学的微积分早就还给老师了，最近因为工作需要，又得重新捡起来。市面上各种微积分教材看得我眼花缭乱，不是太枯燥就是太理论化，根本下不去嘴。直到我看到了这本，被它“普林斯顿微积分复习课程”的定位吸引了。拿到手之后，迫不及待地翻阅。书的排版非常清晰，图示也很直观，不像我以前看的那些，密密麻麻的公式看得人头大。它从最基础的概念讲起，一步步深入，逻辑性极强，让我这种数学基础不太牢固的人也能跟得上。更重要的是，它并没有直接丢给你一堆定理公式就让你硬背，而是通过大量的例子和直观的解释，让你真正理解微积分的“为什么”和“怎么用”。比如，在讲到导数的时候，它会用非常生动的比喻来解释“瞬时变化率”这个概念，让我这个曾经的文科生都能茅塞顿开。书中的习题设计也非常合理，由易到难，既能巩固基础，又能挑战思考。我尤其喜欢它的一些“思考题”，能激发我主动去探索和发现，而不是被动接受知识。而且，它居然强调“正版包邮”，这个细节真的让人觉得很贴心，也证明了出版方的认真态度。总而言之，如果你也像我一样，对微积分有“阴影”，又想重新拾起，这本书绝对是你的首选。它就像一位耐心又经验丰富的老师，一步步带领你走出微积分的迷宫，让你重新发现数学的乐趣。
评分老实说，我当初买这本书，更多的是出于一种“普林斯顿出品，必属精品”的品牌效应。毕竟，在美国知名学府的学术光环加持下，这本书的含金量应该不低。拿到实体书后，我的第一印象是它的厚度适中，不像一些“砖头书”那样让人望而生畏，但又足够内容充实。翻开扉页，那精炼的英文原版介绍（虽然我后来是看中文版，但它保留了原汁原味的学术气息）以及清晰的目录，就预示着这是一本严谨且结构化的读物。在内容上，它并没有像许多国内教材那样，上来就列举一大堆繁琐的定理和证明，而是更注重概念的引入和理解。比如，它在讲解极限时，会花不少篇幅去阐述极限的直观意义，以及它在描述函数行为中的重要性。书中的论证过程也显得尤为清晰，即使是比较复杂的推导，也能被分解成一个个易于理解的小步骤，并通过精美的插图加以辅助，极大地降低了理解门槛。我最欣赏的是它在一些关键概念的阐释上，会引用一些实际应用的例子，比如物理学中的速度与位移关系、经济学中的边际分析等，这让抽象的数学概念变得生动且具有现实意义，也让我看到了微积分在不同领域应用的广阔前景。而且，它还特别强调了“修订版”，这通常意味着内容经过了优化和更新，理论上会更加完善和现代。虽然我还没有完全啃完，但就目前的阅读体验而言，这本书确实达到了我对于一本高质量微积分入门读物的所有期望，甚至超出了不少。
评分坦白说，我购买这本书的初衷，更多的是因为近期需要接触一些涉及到“量变”和“速率”等概念的学术文献，而微积分正是这些概念的基础。在朋友的推荐下，我选择了这本《普林斯顿微积分读本》。我对于“普林斯顿”这个名字，天然就带有一种信任感，总觉得它代表着严谨和深度。拿到书后，我并没有立刻投入到大量的公式推导中，而是先仔细阅读了它在引言部分对微积分发展历程和核心思想的介绍。这部分内容写得相当引人入胜，它将微积分的诞生与人类认识世界、改造世界的历史紧密联系起来，让我从宏观上对微积分的重要性有了更深刻的认识。在具体的章节中，我发现这本书的讲解方式非常注重“化繁为简”。比如，在引入导数定义时，它没有直接给出 epsilon-delta 的严格定义，而是先从平均变化率过渡到瞬时变化率，并用许多贴近生活的例子来帮助理解，比如汽车的速度变化、河流的水流速度等等。这极大地缓解了我对数学抽象概念的恐惧。而且，书中的练习题也很有特色，很多题目都需要你对概念有深刻的理解才能解答，而不是简单的套用公式。一些“挑战题”更是能激发你的深入思考。这本书让我明白，微积分并非高不可攀，而是一种强大而优雅的工具，只要掌握了正确的方法，每个人都能驾驭。
评分这本书的封面设计虽然简洁，但“普林斯顿”三个字足以吸引我的目光。作为一个非数学专业背景的人，我一直对微积分感到敬而远之。但最近工作需要，我又不得不硬着头皮去了解。市面上很多微积分书籍，要么过于理论化，要么过于浅显，都无法满足我既想理解概念精髓，又需要一定严谨性的需求。这本《普林斯顿微积分读本》恰好填补了这一空白。它以一种非常“美国化”的教学方式，将微积分的讲解变得生动有趣。书中的语言风格非常平易近人，避免了过多的学术术语堆砌，而是用清晰、流畅的文字引导读者一步步深入。我印象最深刻的是它在讲解函数和图形关系时，用了大量的插图和动画（虽然是静态的，但想象空间很大），将抽象的函数变化过程可视化，让我能够直观地感受到曲线的起伏和区域的面积。它还非常注重数学思想的传达，不仅仅是告诉你“怎么做”，更会解释“为什么这么做”，以及这样做背后的逻辑和哲学。在习题方面，它也设计得相当巧妙，有的题目需要你结合图像来思考，有的题目则需要你运用前面学到的知识进行推理，而不是简单的套用公式。这本书让我感觉，学习微积分不再是一件痛苦的任务，而是一场充满发现和乐趣的旅程。
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