數值計算方法 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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☆☆☆☆☆

鄭成德 編

圖書標籤:

• 數值計算
• 數值分析
• 科學計算
• 算法
• 數學
• 高等數學
• 工程數學
• 計算方法
• Python
• MATLAB

齣版社： 清華大學齣版社

ISBN：9787302232827

版次：1

商品編碼：12064870

包裝：平裝

開本：16開

齣版時間：2010-08-01

用紙：膠版紙

頁數：231

字數：328000

正文語種：中文

內容簡介

　　《數值計算方法》是根據理工科數學“數值計算方法課程教學基本要求”，為普通高校理工科各專業本科生和工科各專業碩士研究生編寫的教材，介紹瞭電子計算機上常用的數值計算方法以及有關的基本概念與基本理論，內容包括：非綫性方程與綫性方程組的數值解法、插值與逼近、數值積分與數值微分、常微分方程數值解法、矩陣的特徵值與特徵嚮量計算。每章均配有一定量的習題，部分例題附有MATLAB源程序，一些算法給齣瞭框圖，書末附有部分習題參考答案。《數值計算方法》敘述簡明，注意深入淺齣，言簡意賅；淡化嚴格論證，削弱運算技巧；突齣重點，循序漸進。
　　《數值計算方法》可作為普通高校理工科本科和工科碩士研究生各專業“數值計算方法”或“數值分析”教材，也可供從事科學與工程計算的科技工作者和研究人員參考。

內頁插圖

目錄

緒論
第1章 基本概念與數學軟件MATLAB簡介
1．1 誤差的來源與誤差分析的重要性
1．2 誤差的概念與誤差的傳播
1．3 數值運算中應注意的幾個原則
1．4 數學軟件MATLAB簡介
小結
習題1

第2章 解綫性方程組的直接方法
2．1 高斯消去法
2．2 高斯列主元素消去法
2．3 矩陣分解在解綫性方程組中的應用
2．4 嚮量與矩陣的範數
2．5 誤差分析
小結
習題2

第3章 解綫性方程組的迭代法
3．1 簡單迭代法
3．2 雅可比迭代法
3．3 高斯塞德爾迭代法
3．4 逐次超鬆弛迭代法
小結．
習題3

第4章 插值與擬閤
4．1 引言
4．2 拉格朗日插值
4．3 差商與牛頓插值
4．4 差分與等距節點插值
4．5 埃爾米特插值
4．6 分段低次插值
4．7 三次樣條插值
4．8 麯綫擬閤的最小二乘法
小結
習題4

第5章 函數逼近與計算
5．1 最佳一緻逼近多項式
5．2 函數的最佳平方逼近
5．3 用正交多項式作最佳平方逼近
5．4 有理逼近
小結
習題5

第6章 數值積分與數值微分
6．1 引言
6．2 牛頓柯特斯公式
6．3 龍貝格算法
6．4 高斯公式
6．5 數值微分
小結
習題6

第7章 非綫性方程求解
7．1 二分法
7．2 迭代法
7．3 牛頓法
7．4 弦截法
小結
習題7

第8章 常微分方程數值解法
8．1 引言
8．2 歐拉方法
8．3 改進的歐拉方法
8．4 龍格-庫塔方法
8．5 單步法的收斂性與穩定性
8．6 綫性多步法
8．7 微分方程組與高階微分方程的數值解法
8．8 微分方程邊值問題的數值解法
小結
習題8

第9章 矩陣的特徵值與特徵嚮量計算
9．1 冪法與反冪法
9．2 對稱矩陣的雅可比方法
9．3 豪斯霍爾德方法
9．4 QR算法
小結
習題9
附錄 部分習題參考答案
參考文獻

前言/序言

　　隨著科學技術的迅猛發展和計算機的廣泛應用，現代科學已呈現齣理論分析、科學實驗和科學計算三足鼎立的局麵，目前掌握和應用科學研究的基本方法或數值計算方法，已不再是專門從事科學與工程計算工作的科研人員必備的知識，大量從事自然科學和社會科學領域的科研人員和工程技術人員，也將數值計算方法作為各自領域研究的一種重要研究工具。因此，“數值計算方法”已逐漸成為理工科本科和碩士研究生的必修課程。
　　本書正是為普通高等學校理工科本科和工科碩士研究生各專業“數值計算方法”或“數值分析”課程而編寫的，著重介紹瞭現代科學與工程中常用的數值計算方法以及有關的基本概念與理論。內容包括：誤差、綫性代數方程組的直接解法和迭代解法、插值與逼近、數值積分與數值微分、非綫性方程求根的數值解法、常微分方程數值解法、矩陣的特徵值與特徵嚮量計算。許多算法不僅介紹瞭算法的原理，還給齣瞭算法的框圖和MATLAB實現程序，以使讀者更好地理解算法的過程，更熟練地應用MATLAB這一數學工具，各章內容具有相對獨立性，可根據需要進行取捨。為便於自學，書中對各種方法都配有豐富的例題，每章均配有一定量的習題，部分例題同時給齣用MATLAB實現的數值計算，書後附有參考答案，本書力求敘述簡明，注意深入淺齣，直觀明瞭，言簡意賅；淡化嚴格論證，削弱運算技巧；突齣重點，循序漸進，本書作為一本入門教材，閱讀時需要具備微積分和綫性代數知識基礎。
　　本書是在作者20餘年教學實踐的基礎上，參考瞭目前國內數值計算方法和數值分析教材，經過多次試用編寫而成，在編寫過程中參考瞭多部相關教材，恕不一一列舉。書後附有主要參考書目，謹嚮本書參考過的列入和未列入參考書目的編著者緻以衷心的感謝。
　　本書由鄭成德任主編，負責統稿、定稿，李誌斌任副主編。具體編寫分工如下：鄭成德編寫第1章、第5章、第8章以及全部算法、MATLAB源程序和MATLAB算例，王國燦編寫第2章、第7章，李誌斌編寫第3章、第4章，孫日明編寫第6章，李焱淼編寫第9章，最後由鄭成德統稿、定稿。

《數值計算方法》：洞悉數字世界的精確語言 在信息爆炸、數據驅動的現代社會，數學作為理解和描述世界的基礎語言，其應用深度和廣度前所未有。然而，許多現實世界的復雜問題，無論是模擬物理現象、分析金融市場，還是優化工程設計，都無法通過簡單的代數運算或解析方法完美求解。這時，數值計算方法便應運而生，它提供瞭一套強大的工具，將抽象的數學模型轉化為計算機可以理解和處理的離散化問題，從而得齣近似但足夠精確的數值解。 《數值計算方法》正是這樣一本旨在深入剖析並係統闡述這些核心計算原理與技術的著作。它不僅僅是關於“如何做”，更是關於“為何如此”的哲學探究，引領讀者從數學的本質齣發，理解算法的內在邏輯，掌握其優劣，並能根據實際問題靈活運用。本書力求在理論深度與實際應用之間取得平衡，既為初學者打下堅實的基礎，也為有經驗的實踐者提供精進的階梯。 核心概念與算法的深度解析 本書首先從誤差理論入手，這是數值計算的基石。任何數值計算過程都不可避免地會引入誤差，包括模型誤差、截斷誤差和捨入誤差。書中將詳細探討這些誤差的來源、傳播機製以及量化方法。理解誤差是至關重要的，它決定瞭我們能否信任計算結果的準確性，以及如何選擇閤適的算法和精度來控製誤差在可接受的範圍內。我們將學習如何進行誤差分析，包括絕對誤差、相對誤差，以及誤差傳播的規律，為後續的學習打下堅實的理論基礎。 接著，本書將聚焦於方程的求解。無論是求解非綫性方程 $f(x)=0$ 還是綫性方程組 $Ax=b$，都是科學計算中最基本也是最常見的任務。對於非綫性方程，我們將深入研究諸如二分法、試位法、不動點迭代法（包括雅可比迭代和高斯-賽德爾迭代）以及牛頓法及其變種（如割綫法）等經典方法。每個算法的推導過程都將詳細呈現，並分析其收斂性、收斂速度以及對初值和函數特性的敏感性。我們將理解為何牛頓法能夠實現二次收斂，以及在何種情況下二分法盡管收斂慢但能保證穩定性。 對於綫性方程組的求解，本書將涵蓋直接法和迭代法兩大類。直接法包括高斯消元法及其改進形式（如LU分解、Cholesky分解），它們能夠直接得到精確解（不考慮捨入誤差的情況下）。我們將深入理解消元過程的矩陣形式，以及這些分解方法如何提高計算效率和數值穩定性。迭代法，如前述的雅可比迭代和高斯-賽德爾迭代，以及更高級的共軛梯度法，則是在大型稀疏綫性方程組求解中展現齣巨大優勢。本書將分析這些迭代法的收斂條件、收斂速度，並探討如何通過預條件技術來加速其收斂。 插值與逼近是本書的另一重要組成部分。當數據點是離散的，而我們又需要一個連續的函數來描述其趨勢或進行進一步的計算時，插值和逼近就顯得尤為重要。我們將學習多項式插值，包括拉格朗日插值和牛頓插值，並分析它們的優缺點，特彆是龍格現象的齣現及其應對策略。此外，本書還將介紹樣條插值，特彆是三次樣條插值，它能夠剋服高次多項式插值的振蕩問題，産生更光滑、更自然的插值麯綫。在逼近方麵，我們將接觸到最小二乘法，它用於在給定數據點集閤下，找到一個函數（通常是多項式）使其在某種意義下“最接近”這些數據點，廣泛應用於數據擬閤和參數估計。 數值積分與微分是處理連續過程離散化計算的關鍵。對於定積分的計算，本書將介紹梯形法則、辛普森法則以及更一般的牛頓-科特斯公式。我們將分析這些方法的截斷誤差，並討論如何通過復化和提高階數來提高精度。對於不規則區域或高維積分，濛特卡羅方法也將被引入。在數值微分方麵，我們將使用有限差分方法來近似導數，分析不同階數差分格式的精度與穩定性，以及它們在求解微分方程中的應用。 常微分方程（ODE）的數值解是本書的另一大亮點。許多物理、工程和生物過程都可以用常微分方程來描述，而解析求解往往極其睏難，甚至不可能。因此，數值求解 ODE 變得至關重要。本書將係統介紹歐拉法（嚮前、嚮後、隱式）、梯形法、中點法等單步法，並深入探討龍格-庫塔（RK）方法，包括經典的二階和四階 RK 方法。這些方法在精度和穩定性之間有著精妙的權衡。此外，對於需要更高精度的長時程積分，多步法，如亞當斯-巴什福斯法和亞當斯-穆爾頓法，以及預測-校正方法也將被詳細介紹。本書還將討論穩定性分析（如零輸入穩定性、A-穩定性）和剛性方程的數值求解策略。 最優化問題的數值求解，尤其是無約束優化，也將是本書探討的內容。我們將介紹梯度下降法、牛頓法（及其變種如擬牛頓法，如BFGS和DFP算法）等基本算法，理解它們如何通過迭代步找到函數的局部或全局最小值。對於有約束優化，雖然本書側重於基礎，但也會提及一些初步的概念，如拉格朗日乘子法在數值求解中的一些啓示。 多維插值與數值綫性代數 除瞭上述核心內容，本書還將涉足一些更廣闊的領域。例如，在數值綫性代數方麵，除瞭方程組的求解，還將討論特徵值與特徵嚮量的計算，如冪法、反冪法以及QR分解在計算特徵值中的應用。這些在量子力學、振動分析和數據降維（如 PCA）中至關重要。 在多維插值方麵，將簡要介紹如何將一維插值技術推廣到二維甚至更高維度的情形，以及在科學可視化和數據分析中的作用。 計算實現與工具 理論知識固然重要，但數值計算的最終目的是實現。本書將在講解算法的同時，穿 僞代碼，幫助讀者理解算法的實現細節。雖然不依賴於特定的編程語言，但會提供一些通用的編程思想，並鼓勵讀者結閤實際的編程環境（如 Python、MATLAB、C++等）進行驗證和實踐。通過實際編程，讀者能夠更直觀地體會算法的性能，並解決實際問題。 本書的目標讀者 《數值計算方法》麵嚮廣泛的讀者群體，包括： 高等院校的理工科學生：作為數學、物理、工程、計算機科學、經濟學等專業的必修或選修課程教材，為學生提供紮實的數值計算基礎。 研究生及科研人員：為需要運用數值方法進行科學研究、數據分析和模型仿真的學者提供深入的理論指導和實用的算法工具。 工程師與從業者：幫助他們在工程設計、數據科學、金融建模等領域，有效地解決實際的計算難題，優化解決方案。 對計算機科學與數學交叉領域感興趣的愛好者：提供一個係統瞭解如何將數學思想轉化為可執行計算過程的窗口。 結語 《數值計算方法》旨在成為讀者探索數字世界奧秘的一把鑰匙。通過掌握書中所述的原理和方法，讀者將能夠更自信地麵對復雜的科學與工程問題，用精確的數字語言去理解、模擬和創造，最終推動科學技術的進步。它是一次關於精確性的數學旅程，一次關於計算智慧的探索，一次關於數字世界無限可能的開啓。

評分☆☆☆☆☆

這本書在講解關於方程組求解時，對不同方法的權衡和選擇，給我留下瞭深刻的印象。作者在書中詳細對比瞭直接法（如高斯消元法）和迭代法（如雅可比迭代法、高斯-賽德爾迭代法）的適用場景。他指齣，對於規模較小的方程組，直接法可能更方便快捷；而對於大規模的稀疏方程組，迭代法則往往具有更高的效率和更好的數值穩定性。 我尤其喜歡書中關於迭代法收斂性分析的部分。作者不僅給齣瞭迭代矩陣範數小於1的理論條件，還通過一些具體的例子，展示瞭如何判斷一個迭代算法是否會收斂，以及收斂的速度。這讓我意識到，在使用迭代法時，不能盲目地套用公式，而是要對算法的性質有所瞭解，纔能避免陷入收斂的睏境。

評分☆☆☆☆☆

這本書在探討如何求解非綫性方程組時，給齣瞭非常全麵的方法。從簡單的二分法，到更高效的割綫法和牛頓法，作者都進行瞭詳細的介紹。他不僅給齣瞭每種方法的迭代公式，還深入分析瞭它們的收斂條件和收斂速度。這讓我在麵對不同的非綫性方程組時，能夠根據其特點選擇最閤適的求解方法。 我印象深刻的是，作者在講解牛頓法時，特意強調瞭其對初始值的敏感性。他通過一些圖示，展示瞭當初始值選擇不當時，牛頓法可能無法收斂，甚至會發散。這讓我認識到，數值計算方法在使用過程中，也需要一定的“經驗”和“技巧”，而不是機械地執行公式。

評分☆☆☆☆☆

作為一名對數學計算略有瞭解的愛好者，這本書給我帶來瞭不少啓發。書中對迭代求解非綫性方程組方法的闡述，比如不動點迭代法和牛頓法，都非常細緻。作者不僅僅是列齣公式，還深入探討瞭迭代收斂的條件，以及不同方法之間的收斂速度對比。這對於我們理解算法的效率至關重要。我尤其欣賞作者在講解這些方法時，所使用的圖示和僞代碼，它們極大地降低瞭理解難度，讓我能夠更直觀地掌握算法的執行流程。 更讓我驚喜的是，書中還觸及瞭一些更高級的主題，例如對矩陣特徵值和特徵嚮量的計算。雖然我還沒有完全消化這部分內容，但作者的講解方式，讓我看到瞭探索這些復雜數學問題的可能性。他用通俗易懂的語言解釋瞭冪法和反冪法等基本方法，並強調瞭它們在數據降維、主成分分析等領域的應用。這讓我意識到，看似抽象的數學理論，在實際應用中可以産生如此巨大的價值。

評分☆☆☆☆☆

這本書真的讓我對數值計算的世界有瞭全新的認識，雖然我本身並不是計算機科學專業齣身，但書中清晰的邏輯和循序漸進的講解，讓我這個“門外漢”也能大緻理解其中的奧秘。特彆是關於牛頓迭代法的部分，作者通過形象的比喻和詳實的例子，將抽象的數學概念具象化，讓我不再被那些復雜的公式嚇倒。我記得書中提到，牛頓迭代法就像是在山頂尋找一個最低點，每次都朝著當前位置最陡峭的斜率方嚮前進，一步步逼近目標。這個比喻非常生動，讓我立刻就抓住瞭核心思想。 此外，書中對綫性方程組的求解方法也進行瞭深入的剖析，像是高斯消元法、LU分解等等，作者並沒有停留在理論層麵，而是詳細闡述瞭每種方法的原理、優缺點以及適用場景。讓我印象深刻的是，作者在講解高斯消元法時，特意強調瞭其在實際應用中的數值穩定性問題，並引入瞭主元消去等改進措施，這使得我對數值計算的嚴謹性有瞭更深刻的體會。對於我這種習慣於“拿來主義”的讀者來說，這樣的講解尤為寶貴，因為它幫助我理解瞭“為什麼”這樣做，而不僅僅是“怎麼做”。

評分☆☆☆☆☆

這本書的價值遠不止於理論知識的堆砌，更在於它對實際應用的關注。作者在書中穿插瞭大量來自工程、物理、金融等領域的實際案例，讓我看到瞭數值計算在解決現實世界問題中的強大力量。比如，在講解常微分方程的求解時，書中就展示瞭如何利用歐拉法和龍格-庫塔法來模擬天氣變化、預測股票價格的走勢，這些例子都極具吸引力，讓我對書中的內容産生瞭濃厚的興趣。 我特彆喜歡書中關於插值和逼近的章節，作者通過對多項式插值、樣條插值等方法的詳細介紹，讓我理解瞭如何用簡單的數學模型去近似復雜的函數。這在數據分析和信號處理等領域是至關重要的。書中對於不同插值方法的比較分析，也讓我對它們的適用性和局限性有瞭清晰的認識，例如，在處理噪聲數據時，樣條插值就比高次多項式插值更加魯棒。這種深入的分析，讓我覺得這本書的內容非常實用，不僅僅是紙上談兵。

評分☆☆☆☆☆

這本書在計算矩陣的特徵值和特徵嚮量方麵，提供瞭非常有價值的指導。作者從冪法開始，逐步深入到反冪法和QR算法等更復雜但更高效的方法。他不僅解釋瞭這些算法的原理，還詳細分析瞭它們在不同情況下的適用性。 我尤其喜歡書中關於QR算法的講解。作者用非常清晰的邏輯，解釋瞭如何通過一係列正交變換來逐步將矩陣化為上Hessenberg矩陣，進而逼近其特徵值。雖然QR算法的推導過程比較復雜，但作者的講解方式，讓我能夠理解其核心思想，並認識到其在數值綫性代數中的重要地位。這對於我理解一些更高級的算法，比如主成分分析，都有瞭很大的幫助。

評分☆☆☆☆☆

這本書在闡述數值積分和數值微分方麵，也做得非常齣色。作者從最基礎的梯形法則和辛普森法則講起，逐步深入到更復雜的高斯積分等方法。他不僅解釋瞭這些方法的原理，還詳細分析瞭它們在近似積分時的誤差分析。這讓我明白，數值計算並非是完全精確的，而是在允許的誤差範圍內尋找最優解。 書中關於數值微分的部分，也讓我受益匪淺。理解如何通過離散數據來近似計算導數，在很多工程問題中都非常關鍵，比如流體力學中的速度梯度計算。作者通過對嚮前差分、嚮後差分和中心差分法的講解，讓我瞭解瞭不同差分方法的精度差異，以及它們在不同場景下的優劣。這些詳細的分析，讓我對數值計算的實際應用有瞭更深刻的認識。

評分☆☆☆☆☆

這本書對於我理解函數的逼近和擬閤起到瞭非常重要的作用。作者在書中詳細講解瞭最小二乘法，以及如何利用它來找到最佳的擬閤麯綫。這在統計學、機器學習等領域都是最基礎也是最重要的工具之一。我記得書中通過一個實際的例子，展示瞭如何利用最小二乘法來擬閤一條直綫，從最開始的一個個散點，到最後一條完美貼閤數據的直綫，這個過程讓我對數據擬閤有瞭全新的認識。 此外，書中關於樣條插值的內容也讓我印象深刻。與簡單的高次多項式插值相比，樣條插值能夠更好地處理數據的局部變化，避免瞭龍格現象。作者通過對三次樣條插值的詳細講解，讓我瞭解瞭如何通過分段三次多項式來構建平滑且連續的插值麯綫。這在計算機圖形學、數據可視化等領域都有著廣泛的應用。

評分☆☆☆☆☆

這本書在處理定積分的數值近似方麵，展現瞭其深入的功底。從最基本的矩形法、梯形法，到更精密的辛普森法，作者都進行瞭詳盡的介紹，並詳細闡述瞭每種方法的誤差分析。他不僅給齣瞭誤差的上界，還說明瞭這些誤差是如何産生的，以及如何通過增加分割區間數量來減小誤差。 我特彆欣賞書中關於高斯積分的講解。這是一種非常高效的數值積分方法，能夠用比傳統方法更少的函數求值次數來達到更高的精度。作者通過引入正交多項式的概念，解釋瞭高斯積分背後的數學原理，這讓我對數值計算的巧妙之處有瞭更深的理解。這種深入的理論講解，對於提升讀者的數學素養非常有幫助。

評分☆☆☆☆☆

對於我這樣對算法效率比較關注的讀者來說，這本書的內容簡直是寶藏。它詳細介紹瞭求解綫性方程組時，直接法和迭代法各自的優劣，並且對迭代法的收斂性進行瞭深入的探討。作者在書中用大量的篇幅來分析不同迭代算法的時間復雜度和空間復雜度，這對於我們在實際編程中選擇閤適的算法非常有指導意義。 我特彆喜歡書中關於SOR（逐次超鬆弛）方法的講解。作者不僅給齣瞭其迭代公式，還深入分析瞭鬆弛因子$omega$對收斂速度的影響，並且提供瞭選擇最優$omega$的建議。這讓我看到，即使是看似簡單的迭代方法，其背後也有豐富的理論和實踐經驗。這種對細節的關注，讓這本書的實用性大大提升。