数值计算方法 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

简体网页||繁体网页

☆☆☆☆☆

郑成德 编

图书标签:

• 数值计算
• 数值分析
• 科学计算
• 算法
• 数学
• 高等数学
• 工程数学
• 计算方法
• Python
• MATLAB

出版社： 清华大学出版社

ISBN：9787302232827

版次：1

商品编码：12064870

包装：平装

开本：16开

出版时间：2010-08-01

用纸：胶版纸

页数：231

字数：328000

正文语种：中文

内容简介

　　《数值计算方法》是根据理工科数学“数值计算方法课程教学基本要求”，为普通高校理工科各专业本科生和工科各专业硕士研究生编写的教材，介绍了电子计算机上常用的数值计算方法以及有关的基本概念与基本理论，内容包括：非线性方程与线性方程组的数值解法、插值与逼近、数值积分与数值微分、常微分方程数值解法、矩阵的特征值与特征向量计算。每章均配有一定量的习题，部分例题附有MATLAB源程序，一些算法给出了框图，书末附有部分习题参考答案。《数值计算方法》叙述简明，注意深入浅出，言简意赅；淡化严格论证，削弱运算技巧；突出重点，循序渐进。
　　《数值计算方法》可作为普通高校理工科本科和工科硕士研究生各专业“数值计算方法”或“数值分析”教材，也可供从事科学与工程计算的科技工作者和研究人员参考。

内页插图

目录

绪论
第1章 基本概念与数学软件MATLAB简介
1．1 误差的来源与误差分析的重要性
1．2 误差的概念与误差的传播
1．3 数值运算中应注意的几个原则
1．4 数学软件MATLAB简介
小结
习题1

第2章 解线性方程组的直接方法
2．1 高斯消去法
2．2 高斯列主元素消去法
2．3 矩阵分解在解线性方程组中的应用
2．4 向量与矩阵的范数
2．5 误差分析
小结
习题2

第3章 解线性方程组的迭代法
3．1 简单迭代法
3．2 雅可比迭代法
3．3 高斯塞德尔迭代法
3．4 逐次超松弛迭代法
小结．
习题3

第4章 插值与拟合
4．1 引言
4．2 拉格朗日插值
4．3 差商与牛顿插值
4．4 差分与等距节点插值
4．5 埃尔米特插值
4．6 分段低次插值
4．7 三次样条插值
4．8 曲线拟合的最小二乘法
小结
习题4

第5章 函数逼近与计算
5．1 最佳一致逼近多项式
5．2 函数的最佳平方逼近
5．3 用正交多项式作最佳平方逼近
5．4 有理逼近
小结
习题5

第6章 数值积分与数值微分
6．1 引言
6．2 牛顿柯特斯公式
6．3 龙贝格算法
6．4 高斯公式
6．5 数值微分
小结
习题6

第7章 非线性方程求解
7．1 二分法
7．2 迭代法
7．3 牛顿法
7．4 弦截法
小结
习题7

第8章 常微分方程数值解法
8．1 引言
8．2 欧拉方法
8．3 改进的欧拉方法
8．4 龙格-库塔方法
8．5 单步法的收敛性与稳定性
8．6 线性多步法
8．7 微分方程组与高阶微分方程的数值解法
8．8 微分方程边值问题的数值解法
小结
习题8

第9章 矩阵的特征值与特征向量计算
9．1 幂法与反幂法
9．2 对称矩阵的雅可比方法
9．3 豪斯霍尔德方法
9．4 QR算法
小结
习题9
附录 部分习题参考答案
参考文献

前言/序言

　　随着科学技术的迅猛发展和计算机的广泛应用，现代科学已呈现出理论分析、科学实验和科学计算三足鼎立的局面，目前掌握和应用科学研究的基本方法或数值计算方法，已不再是专门从事科学与工程计算工作的科研人员必备的知识，大量从事自然科学和社会科学领域的科研人员和工程技术人员，也将数值计算方法作为各自领域研究的一种重要研究工具。因此，“数值计算方法”已逐渐成为理工科本科和硕士研究生的必修课程。
　　本书正是为普通高等学校理工科本科和工科硕士研究生各专业“数值计算方法”或“数值分析”课程而编写的，着重介绍了现代科学与工程中常用的数值计算方法以及有关的基本概念与理论。内容包括：误差、线性代数方程组的直接解法和迭代解法、插值与逼近、数值积分与数值微分、非线性方程求根的数值解法、常微分方程数值解法、矩阵的特征值与特征向量计算。许多算法不仅介绍了算法的原理，还给出了算法的框图和MATLAB实现程序，以使读者更好地理解算法的过程，更熟练地应用MATLAB这一数学工具，各章内容具有相对独立性，可根据需要进行取舍。为便于自学，书中对各种方法都配有丰富的例题，每章均配有一定量的习题，部分例题同时给出用MATLAB实现的数值计算，书后附有参考答案，本书力求叙述简明，注意深入浅出，直观明了，言简意赅；淡化严格论证，削弱运算技巧；突出重点，循序渐进，本书作为一本入门教材，阅读时需要具备微积分和线性代数知识基础。
　　本书是在作者20余年教学实践的基础上，参考了目前国内数值计算方法和数值分析教材，经过多次试用编写而成，在编写过程中参考了多部相关教材，恕不一一列举。书后附有主要参考书目，谨向本书参考过的列入和未列入参考书目的编著者致以衷心的感谢。
　　本书由郑成德任主编，负责统稿、定稿，李志斌任副主编。具体编写分工如下：郑成德编写第1章、第5章、第8章以及全部算法、MATLAB源程序和MATLAB算例，王国灿编写第2章、第7章，李志斌编写第3章、第4章，孙日明编写第6章，李焱淼编写第9章，最后由郑成德统稿、定稿。

《数值计算方法》：洞悉数字世界的精确语言 在信息爆炸、数据驱动的现代社会，数学作为理解和描述世界的基础语言，其应用深度和广度前所未有。然而，许多现实世界的复杂问题，无论是模拟物理现象、分析金融市场，还是优化工程设计，都无法通过简单的代数运算或解析方法完美求解。这时，数值计算方法便应运而生，它提供了一套强大的工具，将抽象的数学模型转化为计算机可以理解和处理的离散化问题，从而得出近似但足够精确的数值解。 《数值计算方法》正是这样一本旨在深入剖析并系统阐述这些核心计算原理与技术的著作。它不仅仅是关于“如何做”，更是关于“为何如此”的哲学探究，引领读者从数学的本质出发，理解算法的内在逻辑，掌握其优劣，并能根据实际问题灵活运用。本书力求在理论深度与实际应用之间取得平衡，既为初学者打下坚实的基础，也为有经验的实践者提供精进的阶梯。 核心概念与算法的深度解析 本书首先从误差理论入手，这是数值计算的基石。任何数值计算过程都不可避免地会引入误差，包括模型误差、截断误差和舍入误差。书中将详细探讨这些误差的来源、传播机制以及量化方法。理解误差是至关重要的，它决定了我们能否信任计算结果的准确性，以及如何选择合适的算法和精度来控制误差在可接受的范围内。我们将学习如何进行误差分析，包括绝对误差、相对误差，以及误差传播的规律，为后续的学习打下坚实的理论基础。 接着，本书将聚焦于方程的求解。无论是求解非线性方程 $f(x)=0$ 还是线性方程组 $Ax=b$，都是科学计算中最基本也是最常见的任务。对于非线性方程，我们将深入研究诸如二分法、试位法、不动点迭代法（包括雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代）以及牛顿法及其变种（如割线法）等经典方法。每个算法的推导过程都将详细呈现，并分析其收敛性、收敛速度以及对初值和函数特性的敏感性。我们将理解为何牛顿法能够实现二次收敛，以及在何种情况下二分法尽管收敛慢但能保证稳定性。 对于线性方程组的求解，本书将涵盖直接法和迭代法两大类。直接法包括高斯消元法及其改进形式（如LU分解、Cholesky分解），它们能够直接得到精确解（不考虑舍入误差的情况下）。我们将深入理解消元过程的矩阵形式，以及这些分解方法如何提高计算效率和数值稳定性。迭代法，如前述的雅可比迭代和高斯-赛德尔迭代，以及更高级的共轭梯度法，则是在大型稀疏线性方程组求解中展现出巨大优势。本书将分析这些迭代法的收敛条件、收敛速度，并探讨如何通过预条件技术来加速其收敛。 插值与逼近是本书的另一重要组成部分。当数据点是离散的，而我们又需要一个连续的函数来描述其趋势或进行进一步的计算时，插值和逼近就显得尤为重要。我们将学习多项式插值，包括拉格朗日插值和牛顿插值，并分析它们的优缺点，特别是龙格现象的出现及其应对策略。此外，本书还将介绍样条插值，特别是三次样条插值，它能够克服高次多项式插值的振荡问题，产生更光滑、更自然的插值曲线。在逼近方面，我们将接触到最小二乘法，它用于在给定数据点集合下，找到一个函数（通常是多项式）使其在某种意义下“最接近”这些数据点，广泛应用于数据拟合和参数估计。 数值积分与微分是处理连续过程离散化计算的关键。对于定积分的计算，本书将介绍梯形法则、辛普森法则以及更一般的牛顿-科特斯公式。我们将分析这些方法的截断误差，并讨论如何通过复化和提高阶数来提高精度。对于不规则区域或高维积分，蒙特卡罗方法也将被引入。在数值微分方面，我们将使用有限差分方法来近似导数，分析不同阶数差分格式的精度与稳定性，以及它们在求解微分方程中的应用。 常微分方程（ODE）的数值解是本书的另一大亮点。许多物理、工程和生物过程都可以用常微分方程来描述，而解析求解往往极其困难，甚至不可能。因此，数值求解 ODE 变得至关重要。本书将系统介绍欧拉法（向前、向后、隐式）、梯形法、中点法等单步法，并深入探讨龙格-库塔（RK）方法，包括经典的二阶和四阶 RK 方法。这些方法在精度和稳定性之间有着精妙的权衡。此外，对于需要更高精度的长时程积分，多步法，如亚当斯-巴什福斯法和亚当斯-穆尔顿法，以及预测-校正方法也将被详细介绍。本书还将讨论稳定性分析（如零输入稳定性、A-稳定性）和刚性方程的数值求解策略。 最优化问题的数值求解，尤其是无约束优化，也将是本书探讨的内容。我们将介绍梯度下降法、牛顿法（及其变种如拟牛顿法，如BFGS和DFP算法）等基本算法，理解它们如何通过迭代步找到函数的局部或全局最小值。对于有约束优化，虽然本书侧重于基础，但也会提及一些初步的概念，如拉格朗日乘子法在数值求解中的一些启示。 多维插值与数值线性代数 除了上述核心内容，本书还将涉足一些更广阔的领域。例如，在数值线性代数方面，除了方程组的求解，还将讨论特征值与特征向量的计算，如幂法、反幂法以及QR分解在计算特征值中的应用。这些在量子力学、振动分析和数据降维（如 PCA）中至关重要。 在多维插值方面，将简要介绍如何将一维插值技术推广到二维甚至更高维度的情形，以及在科学可视化和数据分析中的作用。 计算实现与工具 理论知识固然重要，但数值计算的最终目的是实现。本书将在讲解算法的同时，穿 伪代码，帮助读者理解算法的实现细节。虽然不依赖于特定的编程语言，但会提供一些通用的编程思想，并鼓励读者结合实际的编程环境（如 Python、MATLAB、C++等）进行验证和实践。通过实际编程，读者能够更直观地体会算法的性能，并解决实际问题。 本书的目标读者 《数值计算方法》面向广泛的读者群体，包括： 高等院校的理工科学生：作为数学、物理、工程、计算机科学、经济学等专业的必修或选修课程教材，为学生提供扎实的数值计算基础。 研究生及科研人员：为需要运用数值方法进行科学研究、数据分析和模型仿真的学者提供深入的理论指导和实用的算法工具。 工程师与从业者：帮助他们在工程设计、数据科学、金融建模等领域，有效地解决实际的计算难题，优化解决方案。 对计算机科学与数学交叉领域感兴趣的爱好者：提供一个系统了解如何将数学思想转化为可执行计算过程的窗口。 结语 《数值计算方法》旨在成为读者探索数字世界奥秘的一把钥匙。通过掌握书中所述的原理和方法，读者将能够更自信地面对复杂的科学与工程问题，用精确的数字语言去理解、模拟和创造，最终推动科学技术的进步。它是一次关于精确性的数学旅程，一次关于计算智慧的探索，一次关于数字世界无限可能的开启。

评分☆☆☆☆☆

这本书在计算矩阵的特征值和特征向量方面，提供了非常有价值的指导。作者从幂法开始，逐步深入到反幂法和QR算法等更复杂但更高效的方法。他不仅解释了这些算法的原理，还详细分析了它们在不同情况下的适用性。 我尤其喜欢书中关于QR算法的讲解。作者用非常清晰的逻辑，解释了如何通过一系列正交变换来逐步将矩阵化为上Hessenberg矩阵，进而逼近其特征值。虽然QR算法的推导过程比较复杂，但作者的讲解方式，让我能够理解其核心思想，并认识到其在数值线性代数中的重要地位。这对于我理解一些更高级的算法，比如主成分分析，都有了很大的帮助。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数学计算略有了解的爱好者，这本书给我带来了不少启发。书中对迭代求解非线性方程组方法的阐述，比如不动点迭代法和牛顿法，都非常细致。作者不仅仅是列出公式，还深入探讨了迭代收敛的条件，以及不同方法之间的收敛速度对比。这对于我们理解算法的效率至关重要。我尤其欣赏作者在讲解这些方法时，所使用的图示和伪代码，它们极大地降低了理解难度，让我能够更直观地掌握算法的执行流程。 更让我惊喜的是，书中还触及了一些更高级的主题，例如对矩阵特征值和特征向量的计算。虽然我还没有完全消化这部分内容，但作者的讲解方式，让我看到了探索这些复杂数学问题的可能性。他用通俗易懂的语言解释了幂法和反幂法等基本方法，并强调了它们在数据降维、主成分分析等领域的应用。这让我意识到，看似抽象的数学理论，在实际应用中可以产生如此巨大的价值。

评分☆☆☆☆☆

对于我这样对算法效率比较关注的读者来说，这本书的内容简直是宝藏。它详细介绍了求解线性方程组时，直接法和迭代法各自的优劣，并且对迭代法的收敛性进行了深入的探讨。作者在书中用大量的篇幅来分析不同迭代算法的时间复杂度和空间复杂度，这对于我们在实际编程中选择合适的算法非常有指导意义。 我特别喜欢书中关于SOR（逐次超松弛）方法的讲解。作者不仅给出了其迭代公式，还深入分析了松弛因子$omega$对收敛速度的影响，并且提供了选择最优$omega$的建议。这让我看到，即使是看似简单的迭代方法，其背后也有丰富的理论和实践经验。这种对细节的关注，让这本书的实用性大大提升。

评分☆☆☆☆☆

这本书真的让我对数值计算的世界有了全新的认识，虽然我本身并不是计算机科学专业出身，但书中清晰的逻辑和循序渐进的讲解，让我这个“门外汉”也能大致理解其中的奥秘。特别是关于牛顿迭代法的部分，作者通过形象的比喻和详实的例子，将抽象的数学概念具象化，让我不再被那些复杂的公式吓倒。我记得书中提到，牛顿迭代法就像是在山顶寻找一个最低点，每次都朝着当前位置最陡峭的斜率方向前进，一步步逼近目标。这个比喻非常生动，让我立刻就抓住了核心思想。 此外，书中对线性方程组的求解方法也进行了深入的剖析，像是高斯消元法、LU分解等等，作者并没有停留在理论层面，而是详细阐述了每种方法的原理、优缺点以及适用场景。让我印象深刻的是，作者在讲解高斯消元法时，特意强调了其在实际应用中的数值稳定性问题，并引入了主元消去等改进措施，这使得我对数值计算的严谨性有了更深刻的体会。对于我这种习惯于“拿来主义”的读者来说，这样的讲解尤为宝贵，因为它帮助我理解了“为什么”这样做，而不仅仅是“怎么做”。

评分☆☆☆☆☆

这本书在讲解关于方程组求解时，对不同方法的权衡和选择，给我留下了深刻的印象。作者在书中详细对比了直接法（如高斯消元法）和迭代法（如雅可比迭代法、高斯-赛德尔迭代法）的适用场景。他指出，对于规模较小的方程组，直接法可能更方便快捷；而对于大规模的稀疏方程组，迭代法则往往具有更高的效率和更好的数值稳定性。 我尤其喜欢书中关于迭代法收敛性分析的部分。作者不仅给出了迭代矩阵范数小于1的理论条件，还通过一些具体的例子，展示了如何判断一个迭代算法是否会收敛，以及收敛的速度。这让我意识到，在使用迭代法时，不能盲目地套用公式，而是要对算法的性质有所了解，才能避免陷入收敛的困境。

评分☆☆☆☆☆

这本书对于我理解函数的逼近和拟合起到了非常重要的作用。作者在书中详细讲解了最小二乘法，以及如何利用它来找到最佳的拟合曲线。这在统计学、机器学习等领域都是最基础也是最重要的工具之一。我记得书中通过一个实际的例子，展示了如何利用最小二乘法来拟合一条直线，从最开始的一个个散点，到最后一条完美贴合数据的直线，这个过程让我对数据拟合有了全新的认识。 此外，书中关于样条插值的内容也让我印象深刻。与简单的高次多项式插值相比，样条插值能够更好地处理数据的局部变化，避免了龙格现象。作者通过对三次样条插值的详细讲解，让我了解了如何通过分段三次多项式来构建平滑且连续的插值曲线。这在计算机图形学、数据可视化等领域都有着广泛的应用。

评分☆☆☆☆☆

这本书的价值远不止于理论知识的堆砌，更在于它对实际应用的关注。作者在书中穿插了大量来自工程、物理、金融等领域的实际案例，让我看到了数值计算在解决现实世界问题中的强大力量。比如，在讲解常微分方程的求解时，书中就展示了如何利用欧拉法和龙格-库塔法来模拟天气变化、预测股票价格的走势，这些例子都极具吸引力，让我对书中的内容产生了浓厚的兴趣。 我特别喜欢书中关于插值和逼近的章节，作者通过对多项式插值、样条插值等方法的详细介绍，让我理解了如何用简单的数学模型去近似复杂的函数。这在数据分析和信号处理等领域是至关重要的。书中对于不同插值方法的比较分析，也让我对它们的适用性和局限性有了清晰的认识，例如，在处理噪声数据时，样条插值就比高次多项式插值更加鲁棒。这种深入的分析，让我觉得这本书的内容非常实用，不仅仅是纸上谈兵。

评分☆☆☆☆☆

这本书在探讨如何求解非线性方程组时，给出了非常全面的方法。从简单的二分法，到更高效的割线法和牛顿法，作者都进行了详细的介绍。他不仅给出了每种方法的迭代公式，还深入分析了它们的收敛条件和收敛速度。这让我在面对不同的非线性方程组时，能够根据其特点选择最合适的求解方法。 我印象深刻的是，作者在讲解牛顿法时，特意强调了其对初始值的敏感性。他通过一些图示，展示了当初始值选择不当时，牛顿法可能无法收敛，甚至会发散。这让我认识到，数值计算方法在使用过程中，也需要一定的“经验”和“技巧”，而不是机械地执行公式。

评分☆☆☆☆☆

这本书在阐述数值积分和数值微分方面，也做得非常出色。作者从最基础的梯形法则和辛普森法则讲起，逐步深入到更复杂的高斯积分等方法。他不仅解释了这些方法的原理，还详细分析了它们在近似积分时的误差分析。这让我明白，数值计算并非是完全精确的，而是在允许的误差范围内寻找最优解。 书中关于数值微分的部分，也让我受益匪浅。理解如何通过离散数据来近似计算导数，在很多工程问题中都非常关键，比如流体力学中的速度梯度计算。作者通过对向前差分、向后差分和中心差分法的讲解，让我了解了不同差分方法的精度差异，以及它们在不同场景下的优劣。这些详细的分析，让我对数值计算的实际应用有了更深刻的认识。

评分☆☆☆☆☆

这本书在处理定积分的数值近似方面，展现了其深入的功底。从最基本的矩形法、梯形法，到更精密的辛普森法，作者都进行了详尽的介绍，并详细阐述了每种方法的误差分析。他不仅给出了误差的上界，还说明了这些误差是如何产生的，以及如何通过增加分割区间数量来减小误差。 我特别欣赏书中关于高斯积分的讲解。这是一种非常高效的数值积分方法，能够用比传统方法更少的函数求值次数来达到更高的精度。作者通过引入正交多项式的概念，解释了高斯积分背后的数学原理，这让我对数值计算的巧妙之处有了更深的理解。这种深入的理论讲解，对于提升读者的数学素养非常有帮助。