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韩云瑞，张广远，扈志明 著

图书标签:

• 微积分
• 数学
• 高等数学
• 教程
• 教材
• 大学
• 第二版
• 理工科
• 学习
• 计算

出版社： 清华大学出版社

ISBN：9787302141747

版次：2

商品编码：12301461

包装：平装

开本：16开

出版时间：2007-02-01

用纸：胶版纸

页数：406

字数：327000

正文语种：中文

内容简介

　　《微积分教程（下 第2版）》是编者总结多年的教学经验和教学研究成果，参考国内外若干优秀教材，对《微积分教程（下 第2版）》进行认真修订而成的，《微积分教程（下 第2版）》概念和原理的表述科学、准确、清晰、平易，语言流畅，例题和习题重视基础训练，丰富且有台阶、有跨度。为了方便教学与自学，在附录中给出了习题答案与补充题的提示与解答，并且补充了微积分概念和术语的索引。另外，在附录A中，按照“发现—猜测—验证—证明”的模式，指导读者以数学软件Mathematica为辅助工具，通过理论、数值和图形各方面的分析研究寻找问题的解答。这些问题紧密结合微积分教学和训练的基本要求，有助于培养学生分析和解决问题的能力。
　　《微积分教程（下 第2版）》分为上、下两册。上册包括实数和函数的基本概念和性质，极限理论和连续函数，一元函数微积分学，数项级数与函数项级数。下册包括多元函数微分学及其应用，重积分，曲线和曲面积分，向量场初步以及常微分方程初步等。《微积分教程（下 第2版）》可作为大学理工科非数学专业微积分（高等数学）课程的教材。

内页插图

目录

第9章 空间解析几何
9．1 向量及其运算
习题9．1
9．2 空间直角坐标系
习题9．2
9．3 空间平面与直线
习题9．3
9．4 空间曲面
习题9．4
9．5 空间曲线
习题9．5

第10章 多元函数微分学
10．1 多元连续函数
习题10．1
10．2 多元函数的偏导数
习题10．2
10．3 多元函数的微分
习题10．3
10．4 复合函数微分法
习题10．4
10．5 隐函数微分法
习题10．5
10．6 二元函数的泰勒公式
习题10．6
第10章 补充题

第11章 多元函数微分学的应用
11．1 向量值函数的导数和积分
习題11．1
11．2 空间曲面的切平面与法向量
习题11．2
11．3 多元函数的极值
习题11．3
11．4 条件极值
习题11．4
第11章 补充题

第12章 重积分
12．1 二重积分的概念和性质
习题12．1
12．2 二重积分的计算
习题12．2
12．3 二重积分的变量代换
习题12．3
12．4 三重积分的计算
习题12．4
12．5 第一型曲线积分
习题12．5
12．6 曲面面积和曲面积分
习题12．6
12．7 含参变量积分
习题12．7
第12章 补充题

第13章 向量场的微积分
13．1 向量场的微分运算
习题13．1
13．2 向量场在有向曲线上的积分
习题13．2
13．3格林公式
习题13．3
13．4 向量场的曲面积分
习题13．4
13．5 高斯公式与斯托克斯公式
习题13．5
13．6保守场
习题13．6
第13章 补充题

第14章 常微分方程
14．1 微分方程的基本概念
习题14．1
14．2 微分方程的初等解法
习题14．2
14．3 高阶线性微分方程解的结构
习题14．3
14．4 高阶线性常系数微分方程
习题14．4
14．5 线性常系数微分方程组
习题14．5
14．6 稳定性初步
习题14．6
第14章 补充题

附录A 探索与发现
附录B 习题答案
附录C 补充题提示或答案
索 引

前言/序言

　　《微积分教程》面世以来，在教学使用中取得了良好的效果，受到许多读者的好评.但是，近年来国内高校的微积分（高等数学）教学的思想与水平都发生了许多变化，本书编者在近几年结合教学实践，从教育数学和数学教学两个方面对于微积分的体系和内容进行了较为深入的分析，同时也广泛地阅读了国内外的有关教材.为了体现当前微积分课程教学的特点与要求，体现编者有关的教学研究成果，使本教材更加适应微积分课程的教学，同时也为了克服本教材存在的若干不足，编者对原教材进行了较大幅度的修订。
　　修订后的《微积分教程》有以下几个特点：
　　1.编者从教育数学的观点对微积分的内容进行深入研究，所以本书的逻辑结构简约而清晰，概念和原理的表述科学、准确、平易.定理证明思路自然、清楚.语言准确、流畅，层次清楚，逻辑性强，表述清楚，易教易学.因此本书为学生和教师提供了一本在教学和学习方面都有参考价值的教科书和教学参考书。
　　2.概念、定理与例题配置和谐，例题和习题重视基础训练，同时又丰富且有台阶、有跨度.有许多激发学习兴趣、提高数学水平的独具特色的习题。
　　3.对于微积分课程中的某些难点（例如极限概念、多元函数微分概念和曲面积分等），本书不追求完全形式化的抽象，而是以较为直观的、平易的方式适当地改变表述形式，在不失科学性的前提下降低教学难度。.
　　4.本书的上、下册都有一个名为“探索与发现”的附录.读者需要以数学软件Mathematica为辅助工具，通过理论分析和数值、图形分析才能找到解决问题的思路和解答方法.这些问题紧密结合微积分教学和训练的基本要求，既能培养学生运用数学理论分析问题的能力，又能提高学生运用数学软件作为辅助工具来分析、发现和解决问题的能力.这些问题的求解过程体现了“发现一猜测一验证一证明”的模式，有助于学生的创造能力和应用能力的培养。
　　5.为了便于教学和自学，本书增加了习题答案与各章补充题的提示。
　　施学瑜、马连荣、刘智新、刘庆华、章梅荣和谭泽光等教授都曾以不同形式对本书第1版做出了贡献，借此机会，编著者向他们表示敬意。
　　由于编者的水平所限，可能会有一些错误和不妥之处，敬请读者给予批评和指正。

微积分教程（下）第二版：探索现代数学的基石与应用 引言 本书是《微积分教程》（下）第二版的修订版本，旨在为读者提供一个全面而深入的微积分学习体验。微积分作为现代数学的基石之一，其思想和方法渗透在科学、工程、经济、金融以及社会科学等众多领域。它提供了描述和分析变化、极限、连续性、无穷等核心概念的强大工具，是理解和解决复杂问题的关键。本教程在保留微积分核心内容的基础上，更加注重其数学思想的传达，并拓展了其在实际问题中的应用，力求让读者不仅掌握计算技巧，更能理解其背后的深刻含义。 上卷回顾与下卷导览 在进入本卷的详细内容之前，我们简要回顾上卷的核心概念。上卷主要涵盖了函数的极限、连续性、导数及其应用，以及不定积分和定积分。我们学习了如何利用导数分析函数的单调性、凹凸性、极值，并应用定积分计算面积、体积等几何量。这些知识为理解下卷更为抽象和高阶的概念打下了坚实的基础。 本卷，即《微积分教程》（下）第二版，将进一步拓展我们的微积分视野。我们将深入探讨多变量函数的微积分，包括偏导数、梯度、方向导数，以及重积分（二重积分、三重积分）的计算和应用。此外，我们还将学习向量微积分，这门学科结合了微积分和向量代数，是描述和分析场（如电场、磁场、流体场）的关键工具。内容将涵盖曲线积分、曲面积分，并引入重要的定理，如格林公式、高斯公式和斯托克斯公式，它们将微积分的基本思想推广到更高维度。 多变量函数的微积分：拓展到更高维度 多变量函数的出现，使得我们能够描述和分析现实世界中更为复杂的情形。一个函数可能依赖于多个自变量，例如，一个物体的温度可能同时取决于其位置的三个坐标。本卷将系统性地介绍多变量函数的极限、连续性，为后续的微分和积分奠定基础。 偏导数与梯度：刻画多维变化 偏导数是描述多变量函数沿某一特定自变量方向变化率的概念。通过计算偏导数，我们可以局部地理解函数在不同方向上的敏感程度。例如，对于一个地形模型，我们可以通过偏导数了解在东西方向和南北方向上地形坡度的变化。 梯度的概念则进一步将偏导数组合成一个向量，这个向量指向函数值增长最快的方向，并且其大小表示了在该方向上的变化率。梯度在优化问题中扮演着至关重要的角色，例如在机器学习的梯度下降算法中，它指导着模型参数的调整方向，以最小化损失函数。 方向导数：任意方向上的变化率 方向导数允许我们在任意指定的方向上分析函数的瞬时变化率。它将偏导数推广到任意方向，为我们提供了更全面的函数变化刻画。例如，我们可以利用方向导数计算水流在某个特定路径上的流速变化。 重积分：在多维空间中累积 重积分，包括二重积分和三重积分，是将积分的概念推广到二维和三维空间。通过重积分，我们可以计算不规则形状的面积、体积，甚至计算物体在三维空间中的质量或质心。 二重积分： 我们将学习如何计算定义在二维区域上的函数的二重积分，这常用于计算曲顶曲面的体积、平面区域的质量分布等。通过坐标变换（如极坐标变换），我们可以简化某些区域上二重积分的计算。 三重积分： 进一步推广，三重积分用于计算三维区域上的累积量，例如计算不均匀密度物体的总质量，或者计算流体在三维空间中的流量。同样，坐标变换（如柱坐标变换和球坐标变换）对于简化某些区域上的三重积分至关重要。 向量微积分：连接微积分与场论 向量微积分是微积分与向量代数的结合，是描述和分析物理学中各种“场”的核心工具。场是指在空间中的每一点都赋予一个向量或标量量的数学对象。 曲线积分：沿着曲线的累积 曲线积分允许我们在一条给定的曲线上对一个函数进行累积。它可以用于计算曲线的长度、曲线上的质量分布，以及在保守场中沿曲线做功。我们还将探讨标量场和向量场在曲线上的积分。 曲面积分：在曲面上的累积 曲面积分将积分的概念推广到二维曲面上。它可以用于计算曲面上的质量分布，以及通过曲面的流量（例如，通过一个曲面的水流总量）。我们同样会区分标量场和向量场在曲面积分中的应用。 关键定理：统一与升华 本卷的重头戏之一是介绍几个强大的微积分基本定理，它们将局部变化率（导数）与全局累积量（积分）联系起来，揭示了微积分的深刻统一性。 格林公式： 将一个平面区域上的二重积分与该区域边界上的曲线积分联系起来。它为计算面积和分析二维流场提供了便利。 高斯公式（散度定理）： 将一个三维区域上的三重积分（通过散度）与该区域边界曲面上的曲面积分联系起来。这是理解流体动力学、电磁学等领域不可或缺的工具。 斯托克斯公式： 将一个三维曲面上的曲面积分（通过旋度）与该曲面边界上的曲线积分联系起来。它在描述旋转运动和电磁场方面有着重要的应用。 这些定理不仅仅是计算工具，更是对微积分思想在更高维度下的一种升华和概括。它们展示了微积分在连接局部性质与全局性质方面的强大力量。 数学思想与应用：融会贯通 在学习了上述内容后，我们将更深入地理解微积分在以下方面的应用： 物理学： 流体动力学（如纳维-斯托克斯方程）、电磁学（麦克斯韦方程组）、经典力学（如牛顿定律的推广）等诸多领域都依赖于向量微积分。 工程学： 结构分析、热传导、信号处理、控制理论等都大量运用多变量微积分和向量微积分的工具。 经济学与金融学： 经济增长模型、风险管理、期权定价等都涉及到微积分的思想和计算。 计算机科学： 机器学习中的优化算法、计算机图形学中的曲面建模和渲染，甚至数据科学中的统计模型，都离不开微积分的支撑。 学习方法建议 本卷内容在概念上比上卷更为抽象，对逻辑思维和空间想象能力有更高的要求。建议读者在学习过程中： 1. 注重概念理解： 不要仅仅停留在计算技巧上，要努力理解每个概念的几何意义和物理意义。尝试用自己的话复述概念。 2. 勤加练习： 通过大量的练习题来巩固对计算方法的掌握，并逐渐体会不同类型问题的解题思路。 3. 可视化辅助： 利用图形工具或想象力来可视化多变量函数、曲面、向量场以及积分区域，这有助于加深理解。 4. 联系实际： 尝试将学到的理论知识与现实世界中的问题联系起来，思考微积分在解决这些问题中的作用。 5. 小组讨论： 与同学交流学习心得，讨论疑难问题，往往能获得新的启发。 结语 《微积分教程》（下）第二版是一次穿越现代数学核心领域的旅程。它将带领读者从单一变量的微积分世界，走向多变量函数和向量场的广阔天地。掌握这些内容，不仅意味着获得了一套强大的分析工具，更是开启了理解和塑造我们所处世界的另一扇大门。愿本书能成为您在探索微积分奥秘道路上的忠实伙伴。

评分☆☆☆☆☆

作为一名对数学有着浓厚兴趣的学生，我一直在寻找一本能够真正帮助我理解微积分精髓的书籍，而《微积分教程（下 第2版）》无疑给了我惊喜。它没有故弄玄虚，而是用一种非常平实、易懂的语言，将那些原本令人生畏的数学概念一一剖析。我特别欣赏书中在处理复杂问题时展现出的条理性和系统性。比如，在讲解多元函数微积分时，作者非常细致地解释了偏导数、梯度、方向导数等概念之间的联系，并结合实际例子，让我能够清晰地理解它们在物理、工程等领域的应用。书中穿插的“思考题”和“拓展阅读”部分，更是激发了我深入探究的欲望。它们并非强制性的要求，而是给予读者更多的空间去自由探索，去发现数学的更多可能性。我曾经因为一道“思考题”而熬夜钻研，最终豁然开朗，那种成就感是无与伦比的。这本书就像一个经验丰富的向导，带领我穿越微积分的丛林，指引我避开那些容易让人迷失的陷阱，让我能够更加高效、扎实地掌握知识。我向所有希望深入理解微积分的学生强烈推荐这本书，它绝对是你学习道路上的良师益友。

评分☆☆☆☆☆

这本《微积分教程（下 第2版）》带给我的学习体验，简直就像是一场精心设计的寻宝之旅。翻开书页的那一刻，我就被它扎实的理论基础和清晰的逻辑脉络深深吸引。作者并非一股脑地抛出公式和定理，而是循序渐进，从最基本的概念讲起，然后逐步构建起庞大的微积分体系。尤其是在讲解积分部分，我常常感到自己仿佛置身于一个充满无限可能的空间，能够通过积分去理解和量化那些复杂的几何形状和物理现象。书中大量的例题，涵盖了从基础应用到稍有难度的综合题，每一道都像是一块垫脚石，帮助我巩固所学，并且在解题过程中，我不仅学会了技巧，更重要的是培养了独立思考和分析问题的能力。有时候，我会花上大把的时间去钻研一个例题，试图理解其背后的数学思想，而这本书恰恰满足了我这种“刨根问底”的需求。那些巧妙的解法，以及作者不时点拨的“小窍门”，都让我受益匪浅。即使是一些看似枯燥的证明，在作者的引导下，也变得生动起来，让我体会到数学的严谨之美。我尤其喜欢书中对一些概念的直观解释，比如通过图形的变化来理解导数的几何意义，这比单纯的公式推导要来得深刻得多。总而言之，这本书为我打开了通往微积分世界的大门，让我对这个学科产生了浓厚的兴趣，并且充满信心去探索更深层次的知识。

评分☆☆☆☆☆

我必须承认，在接触《微积分教程（下 第2版）》之前，我对微积分的印象一直停留在“难懂”和“抽象”的层面。然而，这本书的出现彻底改变了我的看法。作者在编写这本书时，显然是站在学生的角度思考的，他充分考虑到了学生在学习过程中可能遇到的困难，并提前做好了铺垫。我喜欢书中对一些抽象概念的类比和可视化解释。例如，当讲解无穷级数的收敛性时，作者通过形象的“走迷宫”的比喻，让我一下子就理解了级数项趋于零的必要性。这种接地气的讲解方式，极大地降低了我的学习门槛。而且，本书的结构设计也非常合理，知识点的安排循序渐进，前后呼应，让我在学习过程中不会感到突兀或生涩。每一章都以一个小结和习题集结束，这为我巩固和检验学习成果提供了很好的平台。我特别喜欢书后那些精心设计的习题，它们不仅能够考察我对基本概念的掌握程度，更能锻炼我的逻辑思维和解题能力。读这本书，我感受到的是一种智力上的挑战，更是一种学习的乐趣。

评分☆☆☆☆☆

我一直认为，一本好的教科书不仅仅是知识的载体，更是一种学习方法的引导。《微积分教程（下 第2版）》在这方面做得非常出色。它不仅提供了扎实的理论基础，更重要的是，它教会了我如何去思考数学问题。书中的讲解风格非常严谨，但又不失灵活性。作者在介绍定理时，总是会先给出直观的理解，然后再进行严格的证明。这让我能够先建立起感性的认识，然后再去深入理解其逻辑推导。我特别欣赏书中对不同解题方法的探讨，它鼓励我不要局限于一种思路，而是要学会灵活运用各种工具来解决问题。我曾经在解决一道关于曲线积分的难题时，尝试了书中介绍的几种不同方法，最终找到了最优雅的解法，这让我深刻体会到了数学的魅力。此外，这本书的排版也非常舒适，清晰的图表和标注，让我在阅读时不易疲劳，能够更专注于内容本身。总的来说，这本教材不仅仅是一本工具书，更是一本能够激发我学习热情、培养我数学思维的优秀读物。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，在拿到《微积分教程（下 第2版）》之前，我对“高阶微积分”这个词就充满了敬畏，总觉得它会是枯燥乏味、难以理解的。然而，当我翻开这本书，我的这种感觉立刻被颠覆了。作者以一种近乎诗意的笔触，将抽象的数学概念描绘得鲜活起来。我尤其喜欢书中对一些概念的溯源和历史背景的介绍，这让我明白，数学并非凭空产生，而是人类智慧的结晶。它不仅仅是冷冰冰的公式，更是对自然规律的探索和总结。书中对一些复杂证明的讲解，采用了“化繁为简”的手法，将长篇大论的论证分解成一系列易于理解的小步骤，让我能够跟上作者的思路，并且在每一步都充满自信。那些看似遥不可及的定理，在作者的解释下，变得触手可及。我常常会在深夜独自一人，在台灯下细细品味书中的某个证明，那种与智者对话的感觉，让我沉醉。这本书让我明白，微积分不仅仅是一门学科，更是一种看待世界、理解世界的独特视角，而《微积分教程（下 第2版）》正是开启这扇大门的钥匙。