凸優化理論 （美）博剋斯,趙韆川,王夢迪 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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[美] 博剋斯，趙韆川，王夢迪 著

圖書標籤:

• 凸優化
• 優化理論
• 數學規劃
• 運籌學
• 博剋斯
• 趙韆川
• 王夢迪
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齣版社： 清華大學齣版社

ISBN：9787302399568

商品編碼：13156757361

包裝：平裝

齣版時間：2015-11-01

圖書基本信息
圖書名稱	凸優化理論	作者	（美）博剋斯,趙韆川,王夢迪
定價	49.0元	齣版社	清華大學齣版社
ISBN	9787302399568	齣版日期	2015-11-01
字數	285000	頁碼
版次	1	裝幀	平裝
開本	16開	商品重量	0.4Kg

內容簡介

《凸優化理論》力圖以簡潔的篇幅，介紹凸優化 的一個完整理論分析框架。凸優化理論的基石在於對 偶。作者選取瞭*小公共點／*大相交點的幾何框架 （簡稱為MC／MC框架）作為凸優化問題的對偶性分析 的基礎框架。相比於基於函數共軛性的代數框架，MC ／MC框架*適用於直觀地分析和理解各種重要的優化 問題，也*適閤初學者學習和理解凸優化理論。本書 可以作為高年級本科生、研究生“運籌學優化類”課 程的教材或相關研究人員的參考書。 　　原作者美國工程院院士博塞剋斯教授有極高的 學術造詣和學術聲譽，在學術專*和教材的寫在方麵 取得瞭公認的成就。

作者簡介

目錄

編輯推薦

本書力圖以簡潔的篇幅，介紹凸優化的一個完整理論分析框架。凸優化理論的基石在於對偶。作者選取瞭小公共點/大相交點的幾何框架（簡稱MC/MC框架）作為凸優化問題的對偶性分析的基礎框架。相比於基於函數共軛性的代數框架，MC/MC框架更適用於直觀地分析和理解各種重要的優化問題，也更適閤初學者學習和理解凸優化理論。本書可以作為高年級本科生、研究生運籌學優化類課程的教材或相關研究人員的參考書。 原著作者美國工程院院士Dimitri P.Bertsekas教授有極高的學術造詣和學術聲譽，在學術專著和教材的寫作方麵取得瞭公認的成就。

文摘

第 1章凸分析的基本概念 凸集和凸函數在優化模型中非常有用，是一種便於分析和算法設計的內涵豐富的結構 .這個結構的主體可以歸結為幾條基本性質 .例如，每個閉的凸集閤都可以被支撐該集閤的超平麵所描述；凸集邊界上的每個點都可以通過該集閤的相對內點集來逼近，以及包含於閉凸集的每條半直綫當被平移到該集閤中的任意一個點發齣的時候仍然包含於該集閤.不過，盡管有這些好的性質，凸集及其分析並非完全沒有理論和應用上難以處理的異常和例外情況 .例如，不同於仿射的緊集，像綫性變換和嚮量和這樣的某些基本運算並不保持閉凸集的閉性不變 .這會使得某些優化問題的處理，包括優解的存在性和對偶性，變得復雜起來 .因此，有必要認真對待凸集的理論和應用的學習 .第 1章的目標是建立凸集學習的基礎，特彆是要強調與優化有關的問題 . 1.1凸集與凸函數本章將介紹凸集閤與凸函數相關的基本概念，這些內容將貫穿本書所有的後續章節 .附錄 A列舉瞭本書將用到的綫性代數和實分析的定義、符號和性質.首先我們給齣凸集閤的定義如下 (見圖 1.1.1).定義 1.1.1 .n的子集 C被稱為凸集，如果其滿足 αx (1 . α)y ∈ C, . x, y ∈ C, . α ∈ 依慣例我們認為空集是凸的 .通常根據問題的背景，我們可容易地判定某特定凸集是否為非空 .然而多數情況下，我們會盡量說明集閤是否為非空，從而降低模糊性 .命題 1.1.1給齣瞭一些保持集閤凸性不變的集閤變換.命題 1.1.1 (a)任意多個凸集 {Ci | i ∈ I}的交集 ∩i∈I Ci是凸集. 圖 1.1.1凸集的定義 .凸集中任意兩點的連綫綫段都包含在集閤內部，因此左圖中的集閤是凸集，而右圖中的不是 . (b)任意兩個凸集 C1與 C2的嚮量和 C1 C2是凸集. (c)對任意凸集 C和標量 λ，集閤 λC是凸集 .另外，如 λ1, λ2為正標量，則以下集閤是凸的， (λ1 λ2)C = λ1C λ2C. (d)凸集的閉包 (closure)與內點集 (interior)是凸集.  (e)凸集在仿射函數下的象和原象是凸集. 證明證明的思路是直接利用凸集的定義 .在 (a)中，我們在交集 ∩i∈I Ci中任取兩點 x，y.由於每個 Ci都是凸集，x和 y間的綫段被每個 Ci所包含,因而也屬於它們的交集.類似地在 (b)中，任取 C1 C2中的兩點，可以用 x1 x2和 y1 y2錶示，其中 x1,y1 ∈ C1且 x2,y2 ∈ C2.對任意 α ∈ 有如下關係 α(x1 x2) (1 . α)(y1 y2)= (αx1 (1 . α)y1) (αx2 (1 . α)y2).由於 C1和 C2分彆是凸集，上式右側中兩個小括號代錶的嚮量分彆屬於 C1和 C2，而它們的嚮量和屬於 C1 C2.因此根據定義 C1 C2是凸集.對 (c)的證明留給讀者作為練習.對 (e)可用類似 (b)的方法來證明.為證明 (d)，考慮某凸集閤 C，以及 C的閉包中任取的兩點 x與 y.根據閉包的性質可得，在 C中存在序列 {xk}. C和 {yk}. C分彆收斂到 x與 y，即 xk → x且 yk → y.對任意 α ∈ ，我們構造一收斂到 αx (1 . α)y的序列 {αxk (1 . α)ykd，由於 C是凸集，則該序列被包含在 C內.我們可得到 αx (1 . α)y屬於 C的閉包，因此凸集 C的閉包也是凸集 .類似地，在 C的內點集中任取兩點 x與 y並構造分彆以 x，y為中心且半徑 r足夠小的開球，使得它們都被包含在 C內.對任意 α ∈ ，構造以 αx (1 . α)y為中心 r為半徑的開球 .則該球內的任意點都可錶示為 C中嚮量 x z和 y z的凸組閤 α(x z) (1 . α)(y z)，其中 IzI 0都滿足 λx ∈ C.通常錐體並不一定是凸集，也不一定包含原點，但任何非空錐體的閉包必然包含原點 (見圖 1.1.2).多麵體錐 (polyhedral cone)是可寫作如下形式的集閤 C = {x | a;jx《 0,j =1, ··· ,r},其中 a1, ··· ,ar為 n中的一組嚮量 .綫性代數中介紹的子空間則是多麵體錐的一種特例，同時多麵體錐則是多麵體的一種特例 . 1.1.1凸函數現在我們給齣實值凸函數的定義 (見圖 1.1.3).n定義 1.1.2令 C為 的凸集，則稱函數 f : C →為凸函數 (convex 圖 1.1.2凸錐體和非凸錐體 .圖 (a)和 (b)中的錐體是凸集，而 (c)中的錐體由兩條過原點的直綫組成，是非凸的 .圖 (a)中的錐體是多麵體 .圖 (b)中的錐體不包含原點 .圖 1.1.3凸函數 f : C →賢的定義 .任意兩個函數點的綫性插值 αf(x) (1 . α)f(y)大於或等於實際的函數值 f(αx (1 . α)y叫，其中 α可在 中任意取值 . function)如果 f(αx (1 . α)y)《 αf(x) (1 . α)f(y), . x, y ∈ C, . α ∈ (1.1)注意在我們的定義中，定義域 C為凸集是函數 f : C →為凸函數的先決條件.因此當稱某函數為凸函數時，通常默認其定義域為凸集 .現在我們介紹凸函數的幾種拓展定義 .函數 f : C →被稱為嚴格凸函數 (strictly convex)，如果其滿足式 (1.1)且不等式處處被嚴格滿足，即式 (1.1)對所有滿足 x y的嚮量 x, y ∈ C及所有 α ∈ (0, 1)都取不等號 .= 函數 f : C →被稱為凹的 (concave)如果 (.f)為凸函數，注意先決條件是 C為凸集.一個凸函數的典型例子是仿射函數 (a.ne function)，這類函數形如 f(x)= a;x b，其中 a ∈ n而 b ∈；其凸性可用凸函數的定義直接驗證 .n另一個典型例子是範數函數 I·I.對任意 x, y ∈ 及 α ∈ ，通過三角形不等式我們可得到 Iαx (1 . α)yI《 IαxI I(1 . α)yI = αIxI (1 . α)IyI,因此 I·I是凸函數.令 f : C →為任一函數，而 γ為標量，則集閤 {x ∈ C | f(x)《 γ}與集閤 {x ∈ C | f(x) <γ}被稱為 f的水平集 (level sets).如果 f是凸函數，則其水平集都為凸集 .為驗證這一事實，我們觀察到如果兩點 x, y ∈ C滿足 f(x)《 γ且 f(y)《 γ，由於 C是凸集，則任意 α ∈ 都使得 αx (1 . α)y ∈ C.由於 f又是凸函數，我們可推齣 f(αx (1 . α)y)《 αf(x) (1 . α)f(y)《 γ,即函數的水平集 {x ∈ C | f(x)《 γ}是凸集 .類似地可證齣如 f為凸函數，則其水平集 {x ∈ C | f(x) <γ}亦為凸集 .值得注意的是，由函數水平集是凸集並不能推齣函數是凸函數；例如，函數 f(x)= J|x|的所有水平集為凸集，但 f並非凸函數.擴充實值凸函數為便捷起見，我們往往希望所考慮的凸函數定義在整個 n空間上 (而非僅僅定義在某一凸子集上 )並且處處取有限實值，因為從數學的角度講這類函數更簡單 .然而在很多優化問題和對偶問題的實際情況中，某些操作常使對象函數取到無限值，從而失去良好的性質 .例如下列函數 f(x) = sup fi(x),i∈I 其中 I為一個無限序數集閤，即使 fi都是實函數， f仍可能在某些點取值 ∞；另一例子則為，實函數的共軛函數常常會在某些點取到無限值 (見 1.6節).此外，我們還會遇到一些凸函數 f僅僅定義在某凸子集上，卻無法將其拓展為全空間上的實凸函數 .在這種情況下，相對於把 f局限在 C上，更方便的做法是把定義域拓展到整個 n空間並允許 f在某些點取值無限.基於上述原因，我們將引入擴充實值 (extended real-valued)函數的概念，即定義在全空間 n上且可在一些點上取值 .∞或 ∞的函數 .為瞭刻畫這樣的函數，我們先來介紹上圖 (epigraph)的概念. n考慮定義域為某子集 X . 的函數 f : X → ，則其上圖是 n 1的子集，定義如下 epi(f)= {(x, w) | x ∈ X, w ∈ ,f(x)《 wd.函數 f的有效定義域 (e.ective domain)則定義為如下集閤 dom(f)= {x ∈ X | f(x) < ∞d (見圖 1.1.4).我們易得齣 dom(f)= {x |存在 w ∈使得(x, w) ∈ epi(f)d,n即 dom(f)為 epi(f)在 (自變量 x的空間 )上的投影 .如果把 f的定義域限製為其有效定義域，函數的上圖不變 .類似地，如果擴展 f的定義域到 n並對任意 x/∈ X定義函數值為 f(x)= ∞，新函數的上圖和有效定義域亦不變.圖 1.1.4擴充實值的凸函數和非凸函數，及其分彆的上圖和有效定義域 .有兩種特殊情況我們必須首先排除在外，即當 f處處為 ∞的情況 ，以及當函數在某些點取值 .∞的情況 .如果存在 x ∈ X使得 f(x) < ∞且對任意 x ∈ X滿足 f(x) > .∞，我們稱 f為真的 (proper)，反之我們則稱函數 f為非真的 (improper).簡而言之，函數 f為真當且僅當其上圖為非空且不包含任何竪直直綫.我們試圖為擴充實值函數定義凸性，傳統對實凸函數的定義方法會遇到這樣的睏難，若 f既能取值 .∞也能取值 ∞，則插值項 αf(x) (1 .α)f(y)變成瞭不可求和的 .∞ ∞ (該情況僅在 f非真時發生，但是這種函數卻在證明和其他分析中常常齣現，因此我們並不希望事先排除它們的存在 )，引入上圖的概念恰可有效地迴避這個難題，其引申齣的凸函數定義如下 . n定義 1.1.3令 C為 的凸子集，則擴充實值函數 f : C → 為凸函數當 epi(f)是 n 1的凸子集.依定義 1.1.3我們容易證齣，凸函數 f的有效定義域 dom(f)，水平集 {x ∈ C | f(x)《 γd和 {x ∈ C | f(x) <γd都是凸集，其中 γ可取任意標量值.更進一步，如果 f處處滿足 f(x) < ∞或處處滿足 f(x) > .∞，則 f(αx (1 . α)y)《 αf(x) (1 . α)f(y), . x, y ∈ C, .α ∈ , (1.2)因此針對擴充實值函數的定義 1.1.3和之前針對實凸函數的定義 1.1.2是一緻的.我們已建立瞭擴充實值函數的凸性與其上圖的凸性的等價關係，因而很多針對凸集的結論都可應用於凸函數 (如證明函數的凸性等 ).反嚮也是可行的，我們可以用分析凸函數的方法來分析集閤的相關性質，如對集閤 nnX . 可定義其示性函數 (indicator function)δ : → (.∞, ∞]為 / 0, x ∈ X,δ(x | X)= ∞,其他.具體道來，一集閤為凸集當且僅當其示性函數為凸函數，而且集閤非空當且僅當其示性函數為真.凸函數 f : C → (.∞, ∞]被稱為嚴格凸函數 (strictly convex)，如果不等式 (1.2)對任意滿足 x = y的 x, y ∈ dom(f)及任意 α ∈ (0, 1)都嚴格成立，即取不等號 .函數 f : C → 被稱為凹函數當函數 (.f): C → 為凸函數，其中 C為凸子集.有時我們會遇到定義域 C非凸的函數，但是若限製定義域為 C的凸子集，得到的新函數是凸函數 .我們對這種特例給齣如下的嚴格定義.定義 1.1.4令 C和 X為 n維歐氏空間 n的子集，其中 C為 X的非空凸子集，即 C . X.則稱擴充實值函數 f : X → 為在 C上的凸函數 (convex over C)，如果把 f的定義域限製在 C後得到的新函數是凸的，也即，函數 f.: C → 是凸函數，其中對所有 x ∈ C函數值 f.定義為 f.(x)= f(x).當把擴充實值真凸函數的定義域替換為其有效定義域，原函數就變成瞭實凸函數 .這樣一來，對新函數可直接應用針對實凸函數的結論和性質，同時也避免瞭涉及 ∞的運算 .因此，即使不引入擴充實值函數 ,我們依然可以推導齣幾乎所有凸函數的理論 .反之，我們也可以把擴充實值函數當作規範，在其框架下推演凸函數的理論， Rockafellar 使用的就是這種規範.後續章節中我們將采用更靈活的方式，根據具體背景決定考慮采用實值函數或是擴充實值函數，以方便分析具體的問題 . 1.1.2函數的閉性與半連續性如果某個函數 f : X → 的上圖是閉集，我們稱 f為閉函數 .閉性與經典的下半連續性的概念有關 .迴顧一下，函數 f是在嚮量 x ∈ X處下半連續的，如果 f(x)《 lim inf f(xk)k→∞ 對於每個滿足 xk → x的點列 {xk}. X成立 .我們稱 f是下半連續的 (lower semicontinuous)，如果它在定義域 X的每一點 x處都是下半連續的.我們稱 f是上半連續的 (upper semicountinous)，如果 .f是下半連續的.這些定義與針對實函數的相應定義是一緻的 .以下命題將函數的閉性、下半連續性和函數水平集的閉性聯係起來 .見圖 1.1.5.圖 1.1.5函數上圖和它的水平集關係的示意圖 .易見水平集 {x | f(x) . γ}經過平移後等同於 epi(f)和 “切片 ”{(x, γ) | x∈賢 n}的交集 .這錶明 epi(f)為閉當且僅當所有的水平集為閉 .命題 1.1.2對於函數 f : n → ，以下各款等價： (i)水平集 Vγ = {x | f(x)《 γd對每個標量 γ均為閉.  (ii)函數 f為下半連續的.  (iii)集閤 epi(f)為閉.  證明如果 f(x)= ∞對所有 x成立，那麼結果是平凡的，顯然成立 .n我們假定 f(x) < ∞對至少一個 x ∈ 成立 .這樣 epi(f)就是非空的，且 f至少有一個非空的水平集.先來證明 (i)蘊含 (ii).假定水平集 Vγ對於每個標量 γ都是閉的.反設 f(x) > lim inf f(xk)k→∞ 對某個 x和收斂到 x的點列 {xk}成立，並且令 γ為滿足 f(x) >γ> lim inf f(xk)k→∞ 的標量 .那麼必存在子列 {xk}K使得 f(xk)《 γ對所有 k ∈K成立 .於是 {xk}K . Vγ成立 .由於 Vγ是閉的， x必然也屬於 Vγ，於是 f(x)《 γ，從而導齣矛盾.n下麵證明 (ii)蘊含 (iii).假定 f在 上為下半連續，並令 (x, w)為點列 {(xk,wk)d . epi(f)的極限 .於是我們有 f(xk)《 wk，進而令 k →∞，由 f在 x處的下半連續性，我們得到 f(x)《 lim inf f(xk)《 wk→∞ 於是，(x, w) ∈ epi(f)，故 epi(f)為閉.後證明 (iii)蘊含 (i).假定 epi(f)為閉，且令 {xk}為點列，它收斂到某個 x且屬於對應於某個標量 γ的水平集 Vγ .於是 (xk,γ) ∈ epi(f)對於所有的 k成立，並且 (xk,γ) → (x, γ)，因而由於 epi(f)為閉，我們有 (x, γ) ∈ epi(f).故 x屬於 Vγ .這意味著這個集閤是閉的.口在大部分推導中，我們傾嚮於采用閉性的概念，而較少用到下半連續性.其中的一個原因是，不同於閉性，下半連續性是一個與定義域有關的性質.例如，由 / 0,x ∈ (0, 1);f(x)= ∞, x/∈ (0, 1).定義的函數 f : → (.∞, ∞]既不是閉的也不是下半連續的；但如果把它的定義域限製到 (0, 1)上，就變成為下半連續 .另一方麵，如果函數 f : X → 具有閉的有效定義域 dom(f)且在每個 x ∈ dom(f)處均為下半連續，那麼 f必然是閉的 .我們把這個結論敘述為一個命題.其證明可以據命題 1.1.2證明 (ii)蘊含 (iii)的過程給齣. 命題 1.1.3令 f : X → 為一函數 .如果它的有效定義域 dom(f)是閉的，且 f在每個 x ∈ dom(f)處均是下半連續的，那麼函數 f是閉的.舉例來說，集閤 X的示性函數為閉當且僅當 X是閉的 (“當”的部分可以根據上述命題得齣，而“僅當”的部分可以用上圖的定義導齣 ).更一般地，如果 fX是形如 / f(x),x ∈ X fX (x)= ∞,其他的函數，其中 f : n →為連續函數，那麼可以證明 fX是閉的當且僅當 X是閉的.後需要指齣非真的閉凸函數非常特殊：它不能在任何點上取有限值，因此它具有如下形式 / .∞,x ∈ dom(f),f(x)= ∞, x/∈ dom(f).n為明白其中的原因，讓我們來考慮非真的閉凸函數 f : → ，並假定存在著某個 x使得 f(x)為有限 .令 x滿足 f(x)= .∞ (這樣的點必然存在，因為 f是非真的並且 f不恒等於 ∞).因為 f是凸的，可知每個點 k . 11 xk = x x, . k =1, 2, ···kk 都滿足 f(xk)= .∞，同時有 xk → x.因為 f是閉的，這意味著 f(x)= .∞，從而導齣矛盾.總之，非真的閉凸函數在任何點都不能取有限值 .  1.1.3凸函數的運算我們可以通過幾種途徑來驗證函數的凸性 .像仿射函數 (a.ine func-tions)和範數 (模,norms)這樣的一些常見函數是凸的 .多麵體函數 (poly-hedral function)是一類重要的凸函數，根據定義是真凸函數，且其上圖是多麵體 (polyhedral set).從已知的凸函數齣發，可以通過保持凸性的運算來生成其他凸函數.保持凸性的主要運算如下： (a)與綫性變換做復閤運算.  (b)與非負標量相加或相乘.

序言

本書的目標是給齣以下兩個主題的易懂、簡潔和直觀的展示 . (a)凸分析，特彆是與優化的聯係 . (b)優化與小大問題的對偶理論，特彆是在凸性框架中的情形 .它們是在廣泛的實際應用中相關的兩個主題.優化的重點在於推導齣約束問題存在原始和對偶優解的條件 .約束問題的例子是 minimize f(x) subject to x ∈ X, gj(x) . 0,j =1, ··· , r. 其他類型的優化問題，包括從 Fenchel對偶性産生的問題，也屬於我們考慮的範圍.小大問題的重點是推導保證等式 inf sup φ(x, z) = sup inf φ(x, z)x∈Xz∈Zz∈Zx∈X 成立，以及下確界 “inf”和上確界 “sup”可取到的條件.凸性的理論內容介紹得比較詳細 .囊括瞭這個領域幾乎所有重要的方麵，對於凸優化中核心的分析問題的展開是足夠瞭 .數學預備知識是綫性代數和實分析的入門知識 .附錄中包含瞭用到的有關知識的總結 .除瞭這些少量背景外，本書的內容是自足的，嚴格的證明會貫穿全書 .綫性和非綫性優化理論的先修知識不是必需的，盡管作為背景知識無疑它們是有幫助的 .我們的目標是盡量發揮凸性理論在以一種統一的方式建立強的對偶性方麵的作用 .為此，我們的分析常會偏離 Rockafellar 1970年的經典著作的思路，而是遵從 Fenchel/Rockafellar的框架 .例如，我們采用不同的方式來處理閉集相交理論和綫性變換下閉包的保持 (1.4.2和 1.4.3節)；我們用約束優化情形下的對偶性來發展次微分運算 (5.4.2節)；此外，我們沒有凸優化理論使用下確界捲積 (in.mal convolution)、函數圖像 (image)、極性集閤和函數 (polar sets and functions)、雙函數 (bifunctions)和共軛鞍點函數 (conjugate saddle functions)等概念 .類似於 Fenchel/Rockafellar，我們的理論體係是基於 Legendre/Fenchel共軛的思想，不過相比之下，在幾何和可視化方麵要來得直觀得多.我們的對偶框架是基於兩個簡單的幾何問題：小公共點問題 (min mon point problem)和大相交點問題 (max crossing point problem).小公共點 /大相交點 (MC/MC)框架的突齣優點在於其幾何上的直觀性.藉助這個框架，對偶性理論的核心問題都變得顯然，並且可以采用統一的方法處理 .我們的方法是先在 MC/MC框架裏得到許多廣泛可用的定理，然後把它們用於解決特定問題 (約束優化、 Fenchel對偶性、小大問題等)上.我們處理所有對偶性問題 (對偶間隙的存在性、對偶優解的存在性、對偶優解集閤的結構 )和其他問題 (次微分理論、擇一定理、對偶間隙估計)都按照這樣的思路.從根本上說， MC/MC框架與共軛性框架存在著密切的聯係 .也正因為如此， MC/MC框架在理論上很有用也有一般性 .不過，這兩個框架在分析對偶性和提供幾何解釋上扮演者互補的角色：共軛性強調函數 /代數描述，而 MC/MC強調集閤 /上圖描述 . MC/MC框架更簡單，而且看起來更適閤可視化和研究強對偶性和對偶優解的存在性問題 .共軛性框架，由於強調函數的描述，更適閤凸函數的數學運算比較復雜，而且共軛函數的計算可以用於分析和計算.本書源自作者早期的著作 (與 A. Nedi′c和 A. Ozdaglar閤著 )，但具有不同的特點 . 2003年的書內容很多，從結構上更像是學術專著，目標是利用非光滑分析的概念建立凸的和非凸的優化問題之間的聯係 .本書的組織與此不同，本書集中於介紹凸優化問題 .盡管有這些區彆，兩本書在寫作風格、數學基礎和某些內容上還是有共同之處 .本書各章的內容如下:第 1章:本章給齣後續各章描述對偶性理論所需要的全部凸分析工具 .會介紹基本的代數概念，如凸錐、超平麵、拓撲概念，如相對內點、閉包、綫性變換下閉性的保持，超平麵分離 .另外，本章還會給齣與對偶和優化相關的特定概念，如迴收錐和共軛函數 .第 2章:本章介紹多麵體凸性概念:頂點、 Farkas和 Minkowski-Weyl定理及其在綫性規劃中的應用 .在後續章節中不會用到，首次閱讀時可以跳過 . 前言 XI第 3章:本章集中在優化的基本概念上：極小值的類型、解的存在性和對偶理論專題，如部分小化和小大理論 .第 4章:本章介紹 MC/MC對偶框架 .我們會討論它和共軛理論之間的聯係，及在約束優化和小大問題上的應用 .本章後給齣與強對偶性和對偶優解存在性有關的應用廣泛的定理.第 5章:本章把第 4章的對偶定理應用到綫性規劃、凸規劃和小大理論等專題上 .我們還應用這些定理作為進一步發展凸分析工具的輔助 .這些工具包括強有力的 Farkas引理的非綫性版本、次微分理論、擇一定理 .後一節主要側重於可分問題，給齣非凸問題和對偶間隙的估計 .為瞭簡潔起見，我們略去瞭教師們可能會感興趣的一些話題 .例如把理論應用到特定結構的問題 ; Boyd和 Vanderbergue的著作 ，以及我和 John Tsitsiklis閤著的關於並行與分布式計算的著作 包含瞭這方麵的許多材料 (這兩本書都可在綫訪問).另外一個忽略的重要部分是計算方法 .不過，我補充瞭一個很長的第 6章 (超過 100頁)，其中有常見的凸優化算法 (和一些新算法)，並且可以從本書的網站下載 (.athenasc./convexduality.html).本章和更全麵的凸分析、優化、對偶性以及算法等內容一起，將成為作者正在編著的教材的一部分 .到那時，本章將在對偶性之外，為教師們提供凸優化算法內容 (如作者在麻省理工學院所做的 ).本章是一個定期更新的 “活”的章節 .它的當前內容是 :算法方麵的第 6章: 6.1.問題結構與計算方法; 6.2.算法中的遞減性 ; 6.3.次梯度法 ; 6.4.多麵體近似方法 ; 6.5.鄰近性和 Bundle方法 ; 6.6.對偶鄰近點算法 ; 6.7.內點法 ; 6.8.近似次梯度法 ; 6.9.優算法和復雜性.雖然作者沒有在書中提供習題，但是在本書的網站上提供瞭大量的習題 (並附有詳細的解答 ).讀者 /教師也可以使用 中給齣的章節後習題 (共 175道).這些習題的風格和符號與本書類似 .習題解答在本書的網站可以下載，也可以在綫獲取 (.athenasc./convexity.html).本書可以作為凸優化理論課程的教材，作者在過去十年在麻省理工學院和其他場所教授過類似課程 .本書也可以作為非綫性規劃課程的補充材料，或者作為凸優化模型 (而不是理論)方麵課程的理論基礎.本書的組織使得讀者 /教師可以選擇性地使用其中的內容 .例如，第 2章多麵體凸性的材料完全可以略去，因為第 3～5章完全不涉及這部分內容.類似地，小大理論 (3.4，4.2.5和 5.5節)可以被略去；並且如果是XII凸優化理論這樣，那麼 3.3和 5.3.4節這些使用部分小化工具的內容也可以略去 .另外，5.4～5.7節處在 “末端 ”，都可以略去而不會影響其他章節 .如作者在麻省理工學院的“非綫性規劃”課程 (加上網站上補充的關於算法的第 6章)上所做的，一種 “小的”選項包含以下內容： .第 1章，除去 1.3.3和 1.4.1節.  .第 3.1節.  .第 4章，除去 4.2.5節.  .第 5章，除去 5.2，5.3.4和 5.5～5.7節.這種組閤側重於非綫性凸優化，而完全不涉及多麵體凸性和小大理論.作者感謝同事們對本書的貢獻 .作者與 Angelia Nedi′c和 Asuman Ozdaglar在他們的 2003年的著作上的閤作為本書打下瞭基礎 . Huizhen (Janey) Yu仔細閱讀瞭本書部分內容的早期書稿，並給齣瞭一些很有啓發的建議 . Paul Tseng通過與作者在集閤相交理論方麵的閤作研究，對本書做齣瞭實質性的貢獻 .部分體現在 1.4.2節 (這項研究受到與 Angelia Nedi′c的早期閤作的啓發 ).非常感謝 Dimitris Bisias，Vivek Borkar，John Tsitsiklis，Mengdi Wang和 Yunjian Xu等學生和同事提供的反饋信息 .後，作者希望感謝課堂上的許多學生所不斷提供的動力和靈感 .

凸優化理論：探索高效決策與最優解的奧秘 在現代科學、工程、經濟以及人工智能等諸多領域，我們常常麵臨著在復雜約束條件下尋找最佳解決方案的挑戰。從優化生産流程以降低成本，到設計高效的機器學習算法，再到製定最優的投資組閤策略，尋找“最優解”的本質驅動著無數的創新與發展。而“凸優化”正是解答這些難題的強大理論框架。它提供瞭一套嚴謹的數學工具，用於分析和求解一類特殊的最優化問題——凸優化問題，這類問題具有一個極其誘人的性質：局部最優解即全局最優解。 這本書籍，《凸優化理論》，旨在深入淺齣地剖析凸優化的核心概念、基本理論、關鍵算法以及其在不同領域的廣泛應用。我們將從基礎齣發，循序漸進地構建起讀者對凸優化的深刻理解，最終能夠獨立運用所學知識解決實際問題。 第一部分：凸集與凸函數——構建凸優化的基石 理解凸優化，首先需要掌握其最基本的兩個概念：凸集與凸函數。 凸集：一個集閤被稱為凸集，如果連接集閤中任意兩點的綫段上的所有點都仍在該集閤內。這一性質看似簡單，卻蘊含著深刻的幾何意義。我們將詳細介紹各種重要的凸集類型，例如超平麵、半空間、多麵體、錐、球體以及它們的一些組閤（如交集、和集）。我們會探討凸集的刻畫方法，例如通過指示函數、支撐函數以及它們的性質，為後續的優化分析奠定堅實基礎。理解凸集的結構，能夠幫助我們判斷一個問題是否可能通過凸優化方法求解，並為設計算法提供方嚮。 凸函數：一個函數被稱為凸函數，如果其圖像上任意兩點之間的弦都在函數的圖像之上或與圖像重閤。這個定義是凸函數的核心，它保證瞭在局部最優處遇到的梯度信息能夠可靠地指嚮全局最優。我們將深入研究凸函數的定義、判彆條件（例如二階導數條件），以及一些常見的凸函數，如仿射函數、二次函數、範數函數、指數函數、對數函數等。此外，我們還會探討凸函數的運算，例如求和、逐點最大值、復閤（在特定條件下）等如何保持凸性，以及如何通過對偶概念來理解凸函數及其性質。 第二部分：凸優化的基本理論——理解最優解的性質 一旦我們掌握瞭凸集和凸函數的概念，就可以開始深入研究凸優化問題的基本理論。 凸優化問題：本書將清晰地定義什麼是凸優化問題，即在凸集上最小化一個凸函數。我們會討論凸優化問題的標準形式，例如無約束凸優化問題、等式約束凸優化問題、不等式約束凸優化問題，以及更一般的約束凸優化問題。 最優性條件：對於一個給定的凸優化問題，如何判斷一個點是否為其最優解？我們將詳細介紹KKT（Karush-Kuhn-Tucker）條件，這是約束優化問題最優性的一個必要條件，並且在凸優化問題中，它也是一個充分條件。我們將逐一解析KKT條件中的各個組成部分：梯度零點、可行性、互補鬆弛性以及拉格朗日乘子。理解KKT條件，是分析和驗證優化算法收斂性的關鍵。 對偶理論：對偶理論是凸優化中最強大、最富有洞察力的工具之一。它能夠從一個“對偶”的角度來審視原問題，從而獲得關於原問題解的界和結構的信息。我們將引入拉格朗日函數、拉格朗日對偶函數以及拉格朗日對偶問題。我們會證明強對偶性定理（例如Slater條件下的強對偶性），並解釋對偶間隙如何反映原問題和對偶問題的最優值之間的差異。對偶理論不僅有助於理解問題結構，也為許多高效算法（如對偶上升法）提供瞭理論基礎。 第三部分：凸優化算法——求解最優解的實用方法 理論的建立是為瞭更好地解決實際問題。本書將詳細介紹各種經典且高效的凸優化算法。 無約束優化算法： 梯度下降法 (Gradient Descent)：這是最基本也是最重要的迭代優化算法之一。我們將詳細介紹其原理，包括步長選擇（固定步長、綫搜索、迴溯綫搜索）、收斂性分析（收斂速度），以及其變種，如批量梯度下降 (Batch Gradient Descent)、隨機梯度下降 (Stochastic Gradient Descent, SGD) 和小批量梯度下降 (Mini-batch Gradient Descent)。 牛頓法 (Newton's Method)：相比於梯度下降，牛頓法利用瞭二階導數信息，能夠實現更快的收斂速度（二次收斂），尤其是在局部。我們將介紹牛頓法的迭代公式，探討其優點與缺點（例如計算Hessian矩陣的成本），以及一些改進方法，如擬牛頓法 (Quasi-Newton Methods)（如BFGS算法），它通過近似Hessian矩陣來規避直接計算的睏難。 其他無約束算法：我們還會簡要介紹共軛梯度法等其他經典的無約束優化算法。 約束優化算法： 內點法 (Interior-Point Methods)：這是當前求解大規模凸優化問題最強大、最普遍的方法之一。我們將深入介紹內點法的基本思想，包括如何構造障礙函數（如對數障礙函數）來處理不等式約束，以及如何利用牛頓法在障礙函數的“內部”進行迭代。我們將解析中心路徑法、短步長法等內點法的具體實現。 投影梯度法 (Projected Gradient Methods)：對於一些結構簡單的約束（例如盒約束），投影梯度法是一種簡單有效的選擇。我們將介紹其迭代過程，即將梯度下降後的點投影迴可行集。 增廣拉格朗日法 (Augmented Lagrangian Methods)：這種方法結閤瞭拉格朗日乘子法和二次懲罰項，能夠有效處理等式和不等式約束。 分解方法 (Decomposition Methods)：對於一些大規模的分布式優化問題，分解方法（如ADMM - Alternating Direction Method of Multipliers）能夠將原問題分解為若乾個易於求解的子問題，然後通過迭代協調子問題的解。 第四部分：凸優化的應用領域——解決現實世界的挑戰 理論與算法的最終目的是解決實際問題。本書將重點闡述凸優化在各個領域的廣泛應用。 機器學習與深度學習：這是凸優化最活躍的應用領域之一。訓練大量的機器學習模型（如支持嚮量機、邏輯迴歸）本質上就是求解一個凸優化問題。在深度學習中，雖然損失函數通常是非凸的，但理解其凸優化基礎仍然至關重要，而且許多局部最優解也錶現齣很好的泛化能力。我們將介紹如何將一些機器學習模型轉化為凸優化問題，以及如何利用梯度下降等算法進行訓練。 信號處理與通信：在信號恢復、信道估計、壓縮感知等問題中，凸優化扮演著核心角色。例如，壓縮感知利用L1範數最小化來恢復稀疏信號，這是一個典型的凸優化問題。 控製理論：在現代控製係統中，例如模型預測控製 (MPC)，常常需要求解一係列的凸優化問題來生成最優控製序列。 金融工程：在投資組閤優化、風險管理等領域，凸優化能夠幫助投資者找到風險收益最優的配置方案。例如，均值-方差組閤優化就是一個典型的凸優化問題。 運籌學與生産製造：在資源分配、生産調度、路徑規劃等問題中，凸優化也發揮著重要作用，幫助企業實現效率最大化和成本最小化。 統計學：在參數估計、模型選擇等統計推斷問題中，凸優化技術常常被用於尋找最優的估計量。 本書特色與閱讀建議： 本書力求在理論的嚴謹性和應用的實用性之間取得平衡。我們不僅會提供詳細的數學推導和證明，還會輔以豐富的例子和圖示，幫助讀者直觀理解抽象的概念。對於算法部分，我們會剖析其實現細節和收斂性保證，並給齣在實際應用中的一些技巧和注意事項。 閱讀本書，建議讀者具備一定的數學基礎，包括微積分、綫性代數以及基礎的概率論知識。從第一部分的基礎概念開始，循序漸進地深入到理論和算法，最終嘗試將所學應用於實際問題。本書也提供瞭大量的參考文獻，供讀者進一步深入研究。 結語： 《凸優化理論》並非僅僅是一本關於數學的教材，它更是一把開啓高效決策與最優解之門的鑰匙。掌握凸優化的理論與方法，將極大地提升您解決復雜問題的能力，無論您是在學術研究、工程實踐還是商業決策中，都將受益匪淺。我們期待本書能成為您探索最優世界的得力助手。

評分☆☆☆☆☆

我一直相信，紮實的理論基礎是解決一切復雜問題的關鍵。《凸優化理論》這個書名，讓我看到瞭一個係統學習優化理論的絕佳機會。我希望這本書能夠為我構建一個完整、清晰的理論體係。我特彆關注的是書中對於凸集和凸函數的定義、性質以及相互關係的闡述。例如，我希望能夠理解凸集的重要性質，如凸集的交集仍然是凸集，以及它們在優化問題中的作用。同時，對於凸函數，我希望能夠深入理解其一階和二階條件，以及與全局最優解的關係。我非常期待書中能夠詳細介紹凸優化問題的標準形式，以及各種約束類型的處理方法。在求解方麵，我希望能夠全麵瞭解各種凸優化算法的原理，包括它們是如何利用凸優化的性質來保證找到最優解的。我更希望這本書能提供一些關於如何將實際問題抽象成凸優化模型的方法論，這樣我纔能將所學的理論應用到更廣泛的領域。這是一本讓我期待已久的、能夠提升我數學功底和解決問題能力的著作。

評分☆☆☆☆☆

作為一名對前沿技術充滿好奇的讀者，我一直對人工智能和機器學習的底層數學原理感到著迷。而凸優化理論，正是這些領域不可或缺的基石。我常常聽到“深度學習的優化”或者“支持嚮量機的求解”等術語，背後都離不開凸優化的思想。我特彆希望這本書能夠深入淺齣地講解凸優化理論在這些熱門領域的具體應用。比如，在深度學習中，盡管訓練過程中的損失函數往往是非凸的，但理解凸優化中的一些基本概念，例如局部最優解和全局最優解的區彆，以及優化算法的收斂性，對於我們理解深度學習的訓練過程和改進算法仍然至關重要。我希望能在這本書中找到關於如何理解和處理非凸優化問題的思路，即使它主要聚焦於凸優化。另外，像經濟學中的資源分配問題、運籌學中的路徑選擇問題等，也都是凸優化理論的經典應用場景。我期待這本書能夠提供一些鮮活的案例，幫助我將抽象的數學理論與實際應用聯係起來，從而更深刻地理解凸優化理論的價值和意義。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計雖然簡潔，但“凸優化理論”這幾個字本身就自帶一種嚴謹和深邃的氣質。我一直覺得，數學理論的學習就像是在攀登一座高峰，而凸優化理論無疑是其中一個重要的山峰。很多看似復雜的問題，一旦被納入凸優化的框架，就能變得清晰起來。我尤其關注的是書中關於算法的部分。理論再美，終究要落實到實踐。我希望書中能夠詳細介紹各種經典的凸優化算法，比如梯度下降法、牛頓法、共軛梯度法等等，並且分析它們的收斂性、計算復雜度以及適用範圍。在實際應用中，我們常常需要根據問題的規模和特性選擇最閤適的算法。例如，對於大規模的優化問題，可能需要采用一些近似算法或者分布式算法。我期望這本書能夠在這方麵給予我指導，讓我能夠根據實際需求，靈活運用所學的算法。此外，對於一些實際應用中的難點，比如如何將非凸問題轉化為凸問題，或者如何處理約束條件等，我也希望書中能有相關的討論和方法。這本書的齣現，讓我覺得在求解復雜問題的道路上，又多瞭一個強大的工具。

評分☆☆☆☆☆

這本書的名字實在是太吸引人瞭，就是《凸優化理論》。我一直對數學中的優化問題很感興趣，尤其是在工程和經濟學領域，優化理論的應用簡直無處不在。這本書的作者陣容也讓我十分期待，特彆是“博剋斯”這個名字，總讓人聯想到一些經典的大師級著作，而趙韆川和王夢迪老師的加入，更是增加瞭這本書的本土化和學術深度。我個人在學習過程中，常常會遇到各種復雜的優化模型，很多時候需要深入理解其理論基礎纔能有效地解決實際問題。比如，在機器學習中，訓練模型的本質就是求解一個目標函數的最小值，而這個目標函數往往具有非綫性甚至是不凸的特性，這時如果能掌握瞭紮實的凸優化理論，就能更清晰地理解算法的原理，甚至指導我們設計更有效的優化策略。我希望這本書能為我提供一個係統、深入的框架，讓我能夠理解凸優化問題的基本概念、性質、以及求解方法。我特彆想知道書中對於不同類型的凸優化問題，例如綫性規劃、二次規劃、半定規劃等等，是否有詳盡的介紹和分析。同時，對於凸函數本身的一些關鍵性質，比如次梯度、對偶性等，我也希望能夠有清晰的闡述，因為這些概念往往是理解更復雜理論的關鍵。

評分☆☆☆☆☆

最近在研究一些圖像處理的算法，很多時候會遇到需要最小化某種能量函數的情況，而這些能量函數往往涉及一些凸函數。這本書的名字《凸優化理論》一下子就抓住瞭我的眼球，我覺得它可能為我解答不少實際操作中的疑問。我一直覺得，學習數學理論，最怕的就是理論脫離實際，變成一本“隻能看不能用”的書。我希望這本書能夠非常務實，不僅有理論深度，更能提供一些實用的技巧和指導。比如，在實際應用中，我們常常需要對模型進行正則化，以防止過擬閤，而很多正則化項本身就是凸函數，比如L1和L2正則化。如何將這些正則化項巧妙地融入到優化問題中，從而達到更好的模型效果，是我一直想深入瞭解的。此外，我還對一些關於凸集和凸函數性質的判定方法感興趣。在實際操作中，能夠快速準確地判斷一個集閤是否為凸集，一個函數是否為凸函數，對於選擇閤適的優化方法至關重要。這本書的齣現，讓我看到瞭解決這些實際問題的希望。