西安交大 常微分方程定性與穩定性方法 第二版 馬知恩 科學齣版社 常微分方程定性理論穩定性 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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圖書標籤:

• 常微分方程
• 定性理論
• 穩定性
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齣版社： 科學齣版社

ISBN：9787030443557

商品編碼：27254549812

叢書名： 常微分方程定性與穩定性方法(第2版)研究生教

齣版時間：2015-06-01

産品展示

基本信息

圖書名稱：	常微分方程定性與穩定性方法
作 者：	馬知恩
定價：	58.00
ISBN號：	9787030443557
齣版社：	科學齣版社
開本：	32
裝幀：	平裝
齣版日期：	2015-6-1
印刷日期：	2015-6-1

編輯推薦

適讀人群 ：《常微分方程定性與穩定性方法》可作為理工類專業研究生的教材和高年級本科生的選修課教材，也可供相關的科學技術人員參考.  本書作者馬知恩老師是微分動力係統與生物數學方嚮專傢，是優秀大學教師中的佼佼者，本書內容著眼於應用，取材精練,注意概念實質，定理思路闡述清晰、應用方法介紹簡明扼要，實際例子分析一語中的。

內容介紹

《常微分方程定性與穩定性方法》是為理工類專業的碩士研究生和高年級本科生的需要所編寫的一《常微分方程定性與穩定性方法》.《常微分方程定性與穩定性方法》為第二版.主要包括定性理論、穩定性理論和分支理論三個部分.內容著眼於應用的需要 取材精練，注意概念實質的揭示、定理思路的闡述、應用方法的介紹和實際例子的分析，並配閤內容引入計算機軟件. 每章後附有習題供讀者練習.

作者介紹

馬知恩，男，數學傢，西安交通大學教授，博士生導師。1954年畢業於北京大學數學係，分配至交通大學任教。1963-1965在南京大學數學係進修。 1985-1986在美國威斯康辛大學與田納西大學訪問學者，學習生物數學。曾任西安交通大學數學係主任、理學院院長。全國工科數學課程教學指導委員會主任，中國數學學會生物數學專業委員會副主任，陝西省生態數學專業委員會主任等職。現任"J.of Biological Systems"(Canada)雜誌副主編，J. of Theoretical Biology(USA)， 等6種雜誌編委。曾多次赴美、意、加、德、日、荷蘭、比利時等國訪問、閤作研究和講學。研究領域或方嚮:微分動力係統與生物數學。科研項目:八十年代以來，承擔瞭教育部立項的教學改革項目9項，國傢自然科學基金項目8項，國傢十五攻關項目1項。學術及科研成果:講授過高等數學等12門課程，科研方嚮為微分動力係統與生物數學。培養瞭碩士生43人，博士生11人。齣版教材10套，譯著1套。發錶學術論文130餘篇，齣版專著3本。曾獲***和教育部有關教學奬8項，省部級科學進步奬3項(均排名第1)。1991年獲全國優秀教師稱號，2003年獲國傢首屆教學名師奬。

目錄

第二版前言  第一版前言  第 1 章 基本定理 1  1.1 解的存在唯一性定理 1  1.2 解的延拓 3  1.3 解對初值和參數的連續依賴性和可微性 9  1.4 比較定理 13  習題 1 21  第 2 章 動力係統的基本知識 23  2.1 自治係統與非自治係統 23  2.1.1 相空間與軌綫 23  2.1.2 自治係統的基本性質 25  2.1.3 動力係統的概念 28  2.2 軌綫的極限集閤.29  2.2.1 常點與奇點 29 2.2.2 自治係統解的延拓性 30  2.2.3 極限集與 極限集及其基本性質 32  2.3 平麵上的極限集.35  2.3.1 平麵有界極限集的特性與結構35  2.3.2 Poincar.e-Bendixson 環域定理37  2.4 極限集的應用實例 39  2.4.1 Volterra 捕食{被捕食模型 39  2.4.2 三極管電路的 van der Pol 方程 42  習題 2 44  第 3 章 穩定性理論 46  3.1 穩定性的定義和例子 46  3.1.1 穩定性的幾個定義 46  3.1.2 穩定性的關係及例子 49  3.2 自治係統零解的穩定性 54  3.2.1 V 函數 54？ 3.2.2 Liapunov 穩定性定理 55  3.2.3 不穩定性定理 57  3.3 非自治係統零解的穩定性 59  3.3.1 V 函數和 k 類函數 59  3.3.2 零解的穩定性 62  3.3.3 零解的不穩定性 65  3.4 全局穩定性 67  3.4.1 全局穩定的概念和判定定理 67  3.4.2 應用舉例.71  3.4.3 吸引域的估計 73  3.5 綫性係統及其擾動係統的穩定性 73  3.5.1 常係數綫性係統的穩定性 74  3.5.2 綫性係統的擾動 81  3.5.3 非自治綫性係統的穩定性 84  3.6 臨界情形下奇點的穩定性分析 87  3.6.1 中心流形.88  3.6.2 中心流形定理 92  3.6.3 臨界情況下奇點的穩定性分析舉例.95  3.7 Liapunov 函數的構造 102  3.7.1 Liapunov 函數的存在性 102  3.7.2 常係數綫性係統的巴爾巴欣公式 104  3.7.3 二次型方法的推廣 108  3.7.4 綫性類比法 110  3.7.5 能量函數法 112  3.7.6 分離變量法 113  3.7.7 變梯度法 114  3.8 判定穩定性時的比較方法 116  3.8.1 與數量方程的比較 116  3.8.2 與嚮量方程的比較 120  習題 3122  第 4 章 平麵係統的奇點 125  4.1 初等奇點.125  4.1.1 綫性係統的孤立奇點 125  4.1.2 非綫性係統的雙麯奇點 135  4.2 中心與焦點的判定 140 4.2.1 非雙麯初等奇點的類型與中心的判定定理 140  4.2.2 細焦點及其判定法 147  4.3 高階奇點.157  4.3.1 沿不變直綫方嚮的拉伸變換158  4.3.2 通過極坐標變換的吹脹" 技巧 160  4.3.3 沿 x 與 y 方嚮的吹脹"165  4.3.4 非齊次 吹脹" 169  4.4 鏇轉數與指數 171  4.4.1 鏇轉數及其基本性質 171  4.4.2 奇點的指數 173  習題 4177  第 5 章 極限環.179  5.1 基本概念與極限環的不存在性 179  5.1.1 基本概念 179  5.1.2 極限環不存在性的判定法 181  5.2 極限環的存在性.187  5.3 後繼函數與極限環的穩定性.198  5.3.1 Poinear.e 映射與後繼函數 198  5.3.2 麯綫坐標與極限環的穩定性200  5.4 極限環的唯一性.204  習題 5211  第 6 章 無窮遠奇點與全局結構 212  6.1 無窮遠奇點 212  6.1.1 Poincar.e 球麵與 Poincar.e 變換 212  6.1.2 無窮遠奇點與 Poincar.e 圓盤214  6.2 軌綫的全局結構分析舉例 224  習題 6228  第 7 章 分支理論 229  7.1 一個例子.229  7.2 結構穩定與分支現象230  7.2.1 結構穩定的定義 230  7.2.2 結構穩定的等價描述 232  7.2.3 結構不穩定:分支現象 233  7.3 奇點分支.234  7.3.1 一維係統的奇點分支 234 7.3.2 二維或更高維係統的奇點分支.238  7.3.3 給定擾動參數的奇點分支問題.242  7.4 Hopf 分支 243  7.4.1 平麵係統的 Hopf 分支 244  7.4.2 利用特徵根的共振性求正規形.255  7.4.3 三維或更高維係統的 Hopf 分支 257  7.5 閉軌分支.259  7.5.1 平麵係統的閉軌分支 259  7.5.2 三維或更高維係統的閉軌分支.263  7.6 奇異閉軌分支 268  7.6.1 平麵係統的同宿分支 269  7.6.2 鏇轉嚮量場 270  7.6.3 平麵係統同宿分支的例子 272  7.6.4 關於異宿分支和高維係統奇異閉軌分支的介紹 275  7.7 Poincar.e 分支||從平麵閉軌族分支極限環 276  7.7.1 平麵 Hamilton 係統的擾動問題 276  7.7.2 高階 Melnikov 函數.284  7.7.3 平麵可積係統的擾動問題 286  7.7.4 弱化的希爾伯特第 16 問題 287  7.8 從高維係統的閉軌族産生周期解的分支問題 289  7.9 Bogdanov-Takens 分支 296  7.9.1 利用變換求正規形 296  7.9.2 餘維 2 的 B-T 分支:普適開摺的推導 298  7.9.3 餘維 2 的 B-T 分支:分支圖與軌綫拓撲分類 302  習題 7303  第 8 章 常微分方程的應用舉例 308  8.1 一個三種群相互作用的 Volterra 模型研究 308  8.1.1 正平衡解的穩定性 308  8.1.2 模型平麵解的存在性及其漸近性態 311  8.1.3 一個 Volterra 模型的 Hopf 分支 314  8.2 傳染病模型 317  8.2.1 假設和記號 317  8.2.2 SIS 模型 317  8.2.3 SIR 模型 319  8.2.4 SEIR 模型 321 8.3 一個總人口變化的 SEIR 模型的全局性態分析 323  8.3.1 模型及其平衡解 323  8.3.2 無病平衡點的穩定性 325 8.3.3 地方病平衡點的穩定性 327  8.3.4 地方病平衡點的全局穩定性329  8.4 三分子反應模型.332  8.4.1 模型及其奇點分析 332  8.4.2 極限環的存在唯一性 334  8.5 一個具有非綫性傳染率的 SI 模型的穩定性與分支 336  8.5.1 具有非綫性傳染率的 SI 模型 336  8.5.2 平衡點的穩定性 338  8.5.3 模型 (8.5.3) 的 Bogdanov-Takens 分支 341  8.6 一個具有飽和恢復率的季節性傳染病模型 348  8.6.1 模型及其基本再生數 348  8.6.2 兩個正周期解的存在性 349  8.6.3 周期解的穩定性 354  習題 8 359  參考文獻362

在綫試讀部分章節

 

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定性分析的深邃之境：探索常微分方程世界的內在規律 常微分方程，作為描述自然界和社會現象演化規律的核心數學工具，其應用領域早已滲透到物理、工程、生物、經濟等幾乎所有科學技術分支。當方程本身的解析解難以獲得，或其復雜性超齣瞭直接求解的範疇時，我們便將目光投嚮方程的“定性”層麵。這並非是對具體數值的追求，而是要揭示方程解的整體行為、內在結構以及隨參數變化時的動態響應。本文所探討的常微分方程定性與穩定性方法，正是緻力於引領讀者進入這個充滿智慧與洞察的領域。 一、 定性分析的基石：理解方程的“靈魂” 在深入探究常微分方程的定性特徵之前，我們需要建立一套堅實的理論基礎。這其中，相空間的概念至關重要。它是一個抽象的幾何空間，其維度等於方程的階數，每個點都代錶瞭係統在某一時刻的完整狀態。方程的解在相空間中描繪齣的軌跡，就如同一個動態的“生命綫”，揭示瞭係統從一個狀態嚮另一個狀態演化的過程。通過觀察這些軌跡的走嚮、匯聚與離散，我們便能初步洞察係統的行為模式。 奇點（平衡點）是相空間中至關重要的一類點。它們代錶瞭係統處於穩定或非穩定平衡狀態下的位置，即微分量為零的點。奇點的性質，如是節點、焦點、鞍點還是中心，直接決定瞭係統在這些平衡點附近的動態行為。例如，一個穩定的節點意味著係統將逐漸趨嚮於該平衡點，而一個鞍點則可能導緻係統在某些方嚮上趨近，在另一些方嚮上遠離。對奇點類型的深入理解，是進行更復雜定性分析的前提。 相平麵分析，對於二階常微分方程而言，更是提供瞭一種直觀而強大的工具。通過繪製相平麵的等傾綫圖，我們可以大緻描繪齣解的走嚮，即使無法精確求解，也能清晰地看到解的漸進行為、周期性運動以及可能存在的復雜吸引子。這種可視化方法極大地增強瞭我們對係統行為的理解。 李雅普諾夫穩定性理論，則是對奇點穩定性的嚴謹數學刻畫。它不依賴於直接求解方程，而是通過構造特殊的“李雅普諾夫函數”，來判斷係統在擾動下的收斂性。一個巧妙選擇的李雅普諾夫函數，可以像一個“能量函數”一樣，衡量係統偏離平衡點的程度，並根據其變化趨勢來判定係統的穩定性。這使得我們能夠分析那些難以求解的非綫性係統的穩定性，這在控製理論和動力學係統中具有不可估量的價值。 二、 穩定性分析的精妙藝術：把握係統的“生命力” 穩定性是常微分方程研究的核心議題之一。一個係統是否能夠容忍外界微小的擾動而保持其基本狀態，這直接關係到其在現實世界中的可靠性和可用性。 綫性係統的穩定性是研究的起點。對於綫性常微分方程組，其穩定性完全取決於係數矩陣的特徵值。特徵值的實部正負決定瞭係統是指數增長、指數衰減還是齣現振蕩。這是分析復雜非綫性係統穩定性的重要基礎，因為許多非綫性係統可以在其平衡點附近被綫性化，從而藉用綫性係統的穩定性判據。 非綫性係統的穩定性則更為復雜和有趣。局部穩定性分析，即分析係統在其平衡點附近的穩定性，是研究非綫性係統行為的常見方法。李雅普諾夫第二方法（直接法）在這裏大顯身手，它通過構造李雅普諾夫函數，可以判斷係統的全局穩定性，即係統是否對任意的初始狀態都能收斂到平衡點。這對於理解例如飛行器姿態控製、機器人軌跡跟蹤等問題至關重要。 極限環是另一種非常重要的定性現象，尤其是在描述振蕩和周期性行為的係統中。極限環是孤立的周期解，係統可以穩定地或不穩定地趨嚮於它。例如，在生物振蕩模型、電路振蕩器中，極限環的性質直接決定瞭係統的振動頻率和幅度。尋找和分析極限環的存在、穩定性和其吸引區域，是定性分析的重要組成部分。 分岔理論揭示瞭係統參數變化時，其定性行為可能發生劇烈改變的現象。當一個或多個參數緩慢變化時，係統的奇點數量、類型甚至穩定性都可能發生突變，這就如同事物發展到某個臨界點會發生質變。例如，一個穩定平衡點可能隨著參數的變化變成一個不穩定的奇點，或者齣現新的極限環。理解分岔現象，能夠幫助我們預測係統在不同工作條件下的行為，並指導我們如何通過調整參數來達到期望的係統性能。超臨界分岔和次臨界分岔是兩種基本的分岔類型，它們描述瞭在分岔點附近係統行為變化的不同模式。 三、 方法的拓展與應用：洞察動態世界的奧秘 除瞭上述基本概念和理論，常微分方程的定性與穩定性方法還包含著更廣泛的工具和應用。 數值方法的輔助雖然定性分析旨在避免直接求解，但在某些復雜情況下，數值計算可以為定性分析提供重要的參考和驗證。例如，通過數值模擬軌跡，可以直觀地觀察奇點的性質，驗證李雅普諾夫函數的有效性，或者初步判斷極限環的存在。然而，需要注意的是，數值結果僅僅是對局部行為的近似，並不能替代嚴謹的理論分析。 多尺度分析在處理具有不同時間尺度行為的係統時顯得尤為重要。某些係統可能同時包含快速和慢速的動力學過程，這時直接進行整體分析會變得非常睏難。多尺度方法通過分離不同的時間尺度，並分彆進行分析，從而簡化問題，並揭示係統在不同時間尺度下的耦閤機製。 耗散係統是另一類重要的研究對象。耗散係統是指係統中能量會隨著時間逐漸減少的係統，其最終會收斂到一個穩態或者吸引子。這類係統在物理、化學、生物等領域有廣泛的應用。研究耗散係統的吸引子，能夠幫助我們理解係統的長期演化趨勢和穩態行為。 混沌理論的興起，更是為常微分方程的定性分析注入瞭新的活力。混沌係統是指那些對初始條件極其敏感的確定性係統，其長期行為具有不可預測性。盡管混沌係統是確定性的，但其復雜的、看似隨機的行為，使得傳統的定性分析方法麵臨新的挑戰。通過龐加萊截麵、分形維度等工具，我們可以對混沌係統的內在結構進行深入的刻畫。 全局穩定性分析是穩定性理論的進一步發展，它關心的是係統在整個狀態空間內的穩定性。當係統能夠從任何初始狀態收斂到平衡點時，我們就稱其具有全局穩定性。這在很多工程應用中是至關重要的，例如需要確保係統在任何可能的故障情況下都能恢復正常。 四、 結語 常微分方程的定性與穩定性方法，是一門深入探索動態係統內在規律的學問。它不拘泥於繁瑣的計算，而是以一種更宏觀、更本質的視角，去理解方程解的行為模式。從相空間的幾何描繪，到李雅普諾夫函數的嚴謹論證，再到分岔與混沌的奇妙現象，這一係列方法為我們提供瞭一套強大的工具，去揭示自然界和工程世界中那些看似神秘的演化規律。掌握這些方法，不僅能夠幫助我們更好地理解現有的係統，更能指導我們設計和控製新的係統，以期達到我們所期望的動態行為。它是一場關於理解、預測和控製的智慧之旅，帶領我們深入常微分方程的深邃之境。

評分☆☆☆☆☆

說實話，當我拿到這本《常微分方程定性與穩定性方法 第二版》時，對於“定性”和“穩定性”這些概念，我腦海裏還隻是一些模糊的印象。但隨著閱讀的深入，我發現這本書提供瞭一個非常係統化的視角來理解這些概念。馬知恩教授的寫作風格，個人感覺偏嚮於“引導式”的教學，也就是說，他不會直接拋齣結論，而是通過一係列的問題、例子和推導，一步步地將讀者引嚮最終的結論。這種方式對於培養獨立思考能力非常有幫助。我記得書中在講解“吸引子”這個概念時，花瞭相當多的篇幅去解釋，從最簡單的吸引子（如孤立子）到更復雜的吸引子（如奇怪吸引子），每一個都用圖形和數學語言進行瞭生動的描繪。這讓我對動態係統的長期行為有瞭更直觀的認識。同時，關於“極限環”的討論，也讓我印象深刻。書中不僅講解瞭如何存在極限環，還提供瞭判斷和計算的方法，並且分析瞭極限環的穩定性。這對於理解周期性振蕩等現象非常有啓發。總的來說，這本書的優點在於它能夠將抽象的數學理論，用一種非常“可見”的方式呈現齣來，讓讀者能夠“看到”數學在描述現實世界中的力量，而不僅僅是停留在枯燥的符號和公式上。

評分☆☆☆☆☆

翻閱這本《常微分方程定性與穩定性方法 第二版》，我最大的感受是它對於理論細節的重視，以及對證明過程的嚴謹性。馬知恩教授在書中對於每一個定理的提齣，都給予瞭詳盡的證明，並且在證明過程中，思路清晰，邏輯嚴密，很少有跳躍式的推導，這對於希望深入理解數學原理的讀者來說，簡直是福音。書中關於綫性係統的穩定性分析部分，我感覺尤為受益。從特徵方程的根與係統穩定性的關係，到各種情況下（實數根、復數根、重根）的分析，都處理得非常到位。尤其是對於高維綫性係統的穩定性判斷，書中給齣的方法和理論依據，非常具有指導意義。我嘗試著去推導一些書中的引理，並且對照書中的證明進行比對，收獲頗豐。這不僅僅是知識的獲取，更是一種數學思維的訓練。此外，書中對非綫性係統穩定性分析的探討，也展現瞭作者深厚的功底。雖然非綫性係統的分析往往比綫性係統復雜得多，但書中通過引入一些關鍵的定理和概念，例如局部穩定性、全局穩定性以及一些穩定性判據，為讀者提供瞭一個係統性的分析框架。我特彆喜歡書中關於李雅普諾夫第二方法的部分，雖然初看有些抽象，但經過反復揣摩和聯係之前的例子，逐漸體會到瞭其在判斷係統穩定性方麵的強大力量。這本書確實能讓你在數學的嚴謹性中感受到一種彆樣的美。

評分☆☆☆☆☆

這本《常微分方程定性與穩定性方法 第二版》的確是一本讓人印象深刻的書，盡管我當初是齣於對這個領域的好奇而翻開它，但其內容的深度和廣度還是遠遠超齣瞭我的預期。馬知恩教授的講解，以其嚴謹而又不失條理的風格，將抽象的數學概念層層剝開，呈現在讀者麵前。尤其是關於平衡點的分類和相圖的繪製，書中通過大量生動的例子，將理論與實踐緊密結閤，使得原本可能枯燥的數學推導變得清晰易懂。我尤其欣賞書中對於不同類型奇點的分析，從簡單的節點、鞍點到更復雜的極限環，每一種情況都進行瞭詳盡的討論，並給齣瞭判斷和分析的方法。這種深入淺齣的講解方式，對於初學者來說無疑是一大福音，能夠幫助他們建立起紮實的理論基礎。同時，書中對於穩定性理論的闡述，也讓我對係統的動態行為有瞭更深刻的認識。從李雅普諾夫穩定性到漸近穩定性，再到李雅普諾夫函數法的應用，每一個概念的引入都伴隨著清晰的證明和直觀的解釋。我嘗試著運用書中的方法去分析一些簡單的動力學模型，發現效果非常顯著，能夠準確地預測係統的長期行為。總而言之，這本書不僅僅是一本教材，更像是一位循循善誘的導師，帶領我一步步走進常微分方程定性分析的迷人世界。

評分☆☆☆☆☆

我不得不說，馬知恩教授的這本《常微分方程定性與穩定性方法 第二版》在細節上的處理非常到位，堪稱我讀過的關於此領域最詳盡的著作之一。書中對不同類型奇點的分析，細緻入微，每個奇點的判定準則都給齣瞭嚴謹的推導過程，並且附有大量的圖示，使得抽象的概念能夠直觀地呈現在讀者眼前。我尤其喜歡書中對於“同宿軌”和“異宿軌”的講解，雖然這兩個概念在初學時可能有些難以理解，但書中通過清晰的定義和生動的例子，將它們之間的區彆和聯係闡述得淋灕盡緻。這讓我對相圖的復雜性有瞭更深刻的認識，也為理解混沌動力學打下瞭基礎。此外，書中關於“多周期解”的討論，也拓寬瞭我的視野。不僅僅是簡單的周期解，書中還探討瞭多重周期解的存在性和穩定性，這對於理解一些復雜的振動現象非常有幫助。這本書的另一個亮點在於其廣泛的應用性。書中列舉瞭許多來自物理、工程等領域的例子，將抽象的數學理論與實際問題緊密結閤，讓讀者能夠深刻體會到數學的實用價值。這本書是一本值得反復研讀的經典之作。

評分☆☆☆☆☆

這本書給我的最大衝擊，在於它對於“穩定性”這個概念的深入剖析。在閱讀《常微分方程定性與穩定性方法 第二版》之前，我對於“穩定”的理解非常錶麵化，比如係統不會“崩潰”，或者會趨於某個“平衡點”。然而，馬知恩教授的講解，讓我認識到“穩定性”其實是一個非常精妙的數學概念，涉及到係統對微小擾動的響應以及係統本身的內在性質。書中對李雅普諾夫穩定性理論的闡述，簡直是教科書級彆的。我尤其欣賞書中關於“李雅普諾夫函數”的構建過程的詳細說明，這不僅僅是給齣瞭一個工具，更重要的是教會瞭讀者如何去“想”齣這個工具。從正定性、負定性到半負定性，每一個性質的引入都伴隨著對其在穩定性判斷中作用的清晰解釋。我嘗試著去運用書中提供的一些標準方法，去分析一些簡單的非綫性係統的穩定性，雖然過程有些麯摺，但最終的成功讓我非常有成就感。這本書讓我明白，常微分方程的定性分析，不僅僅是求解方程，更重要的是理解方程所描述的係統在不同條件下的“命運”。這種理解，對於工程、物理、生物等多個領域的研究都至關重要。