微分几何例题详解和习题汇编 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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陈维桓 著

图书标签:

• 微分几何
• 几何学
• 数学
• 高等数学
• 例题
• 习题
• 教材
• 学习
• 参考书
• 大学教材

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040187731

版次：1

商品编码：10002542

包装：平装

开本：大32开

出版时间：2010-01-01

用纸：胶版纸

页数：316

字数：290000

正文语种：中文

内容简介

　　《微分几何例题详解和习题汇编》是数学专业和相关专业微分几何课程的教学参考书，也是与作者编著的普通高等教育“十五”国家规划教材《微分几何》(北京大学出版社，2006年)相配套的教学辅助参考书。《微分几何例题详解和习题汇编》是作者在北京大学长期从事微分几何课程教学经验的积累，反映了微分几何学科从外在理论到内在理论的发展趋势，在方法上使用了向量分析、活动标架和外微分等各种工具，与同类教学辅助参考书相比较，《微分几何例题详解和习题汇编》内容的选择是独创的，填补了有关出版物的空白。
　　《微分几何例题详解和习题汇编》内容包括：三维欧氏空间中的曲线论和曲面论、内蕴微分几何的要点复述、例题详解、习题汇编、解法提示或答案，其中“例题详解”为选修微分几何课程的学生提供了解题的范例，“要点复述”提供了本课程的复习要点，同时“习题汇编”提供了众多的练习题。《微分几何例题详解和习题汇编》对于学生学习微分几何课程有帮助，对于教师备课微分几何课程有参考价值，同时也为备考基础数学等相关专业研究生的学生提供了充分的复习资料。由于《微分几何例题详解和习题汇编》的叙述注意了与现代微分几何课程的衔接，所以《微分几何例题详解和习题汇编》对于学习现代微分几何等课程的学生也有帮助。

作者简介

　　陈维桓，北京大学数学科学学院教授，博士生导师。1964年毕业于北京大学数学力学系，后师从吴光磊先生读研究生。长期从事子流形微分几何的研究，包括浸入子流形的积分公式，极小曲面，自共轭极小曲面，线性Weingarten曲面的Backlund变换，以及可积系统在子流形微分几何中的应用。在长期从事微分几何教学和研究的基础上，撰写和出版了微分几何类的系统教材，包括本科生和研究生所用的各种教材。

内页插图

目录

第一章 向量代数复习
§1．1 要点和公式
§1．2 例题详解
第二章 曲线论
§2．1 要点和公式
§2．2 例题详解
§2．3 习题
第三章 曲面的第一基本形式
§3．1 要点和公式
§3．2 例题详解
§3．3 习题
第四章 曲面的第二基本形式
§4．1 要点和公式
§4．2 例题详解
§4．3 习题
第五章 曲面论基本定理
§5．1 要点和公式
§5．2 例题详解
§5．3 习题
第六章 测地曲率和测地线
§6．1 要点和公式
§6．2 例题详解
§6．3 习题
第七章 活动标架和外微分法
§7．1 要点和公式
§7．2 例题详解
§7．3 习题
习题答案或提示

前言/序言

　　在作者编写的“十五”国家级规划教材《微分几何》由北京大学出版社在2006年出版后，受到许多兄弟院校同行的关注，有一些学校要采用该书作为微分几何课的教材。任课老师常常向我索要讲授该课的课件，不少老师和同学也问我一些比较困难的习题的答案和做法。恰好在此时，高等教育出版社赵天夫编辑征求我关于出版微分几何方面的习题集的意见。我想，要使这本《微分几何》能够得到比较广泛的使用，一本适用的教材参考书或习题集是不可或缺的，于是我萌发了写作《微分几何例题详解和习题汇编》的想法。我把这个想法和赵天夫编辑透露之后，很快得到他的热情支持。
　　这本《微分几何例题详解和习题汇编》是和我所编写的《微分几何》相配套的教学参考书。我关于本书读者的设想，首先是微分几何课的任课老师和选修该课的同学，此外还有准备报考基础数学研究生的考生。由于微分几何课是在数学专业三大基础课（解析几何、高等代数和数学分析）之后开设的课程，不可能像三大基础课那样在理论课之外配置习题课。在课上例题讲得比较少，也不可能像在习题课上讲解做题的方法和技巧。这样，在课程设置从三大基础课到专门一点的基础课转变的关键时刻，再加上几何学需要更多的空间想象能力，选课的同学在刚接触该课程时常常会感到做题比较困难。本书给出了超过一百个例题的详细解答，基本上概括了微分几何习题的各种类型，并且在解题过程中指出了解题的思路和方法，它们可以作为课程的补充。本书的习题汇编收集了230多个题，内容比较丰富，并且在书后给出了答案或提示。为了同学能够掌握课程的主要内容，每一章还列出了本章的要点和公式。这可以作为选课同学复习该课程的复习提纲。特别要指出的是，在最后一章详细讲解了用活动标架和外微分法研究曲面论的基本想法、工具和方法，这对同学进一步学习现代微分几何基础有极大的帮助。

现代分析基础：理论与应用 图书简介 本书旨在为学习和研究现代数学分析的读者提供一本全面、深入且富有实践性的参考书。本书的结构设计精巧，从基础概念的夯实到高级主题的探讨，再到具体的应用实例分析，力求构建一个严谨而又易于理解的知识体系。 全书共分为五大部分，约三十章，内容涵盖了经典分析学的核心内容，并融入了现代数学对这些理论的最新发展和视角。 --- 第一部分：实数系统与拓扑基础 (Real Numbers and Topological Foundations) 本部分着重于为后续的分析理论奠定坚实的集合论与拓扑学基础。我们摒弃了过于冗长和基础的集合论回顾，直接切入与分析紧密相关的拓扑概念，确保读者能够迅速理解分析工具的背景结构。 第一章：实数集的完备性与结构 详细阐述了实数系的构造（基于有理数的戴德金截或柯西序列），重点讨论了阿基米德性质、确界原理（上确界原理）在分析中的核心作用。通过对 $mathbb{R}$ 拓扑性质的初步探讨，引入开集、闭集、紧集等基本概念，为后续的收敛性讨论做铺垫。 第二章：度量空间基础 (Metric Spaces) 度量空间的引入是将分析从欧几里得空间 $mathbb{R}^n$ 推广的桥梁。我们详细定义了度量空间，讨论了开球、闭球、邻域等基本拓扑结构。重点分析了完备性（Cauchy sequences and completeness）的概念，并给出了著名的巴拿赫不动点定理（Contraction Mapping Theorem）在度量空间中的表述及其在微分方程中的初步应用，例如局部存在性定理的证明框架。 第三章：连续性与等度连续性 在度量空间框架下，重新审视函数的连续性定义（$epsilon-delta$ 语言的推广）。深入探讨了紧凑性与连续映射的关系，证明了紧集在连续映射下的像仍是紧集。随后，引入等度连续性（Equicontinuity）的概念，这是函数空间分析，尤其是函数序列收敛性研究的关键工具，并预告了其在 Arzelá-Ascoli 定理中的核心地位。 --- 第二部分：一元函数微积分的严格化与推广 (Rigorous Single-Variable Calculus) 本部分是对经典微积分的重新审视，强调其严格的逻辑基础和极限过程的精确控制。 第四章：极限、序列与级数 严格定义了序列收敛性，讨论了单调收敛定理和子序列的概念。对无穷级数进行了系统的分类讨论，包括正项级数（比较判别法、比值判别法）、任意项级数（绝对收敛、条件收敛、黎曼重排定理的严格表述）。特别强调了级数一致收敛性的重要性。 第五章：函数的极限与连续性 详细论述了函数的极限（单侧极限、无穷极限）的定义，并基于此建立起函数连续性的严格定义。探讨了闭区间上的连续函数的性质，如最大值最小值定理，以及介值定理。 第六章：导数与微分 导数的定义、求导法则（链式法则的严格推导）。重点分析了罗尔定理、介值定理（均值定理）和柯西中值定理的几何意义和代数证明。引入了高阶导数和泰勒公式，并详细讨论了拉格朗日余项和佩亚诺余项的适用范围和收敛性分析。 第七章：黎曼积分的理论基础 本书对黎曼积分的介绍侧重于其存在性的条件和积分的性质，而非繁琐的计算技巧。严格定义了可积性（上和与下和），证明了连续函数在闭区间上的可积性，以及可积函数的性质（如积分的线性性、保序性）。对不恰当积分（无穷区间或函数不连续点）的处理也给予了足够的篇幅。 --- 第三部分：多元函数微积分与向量分析 (Multivariable Calculus and Vector Analysis) 本部分将分析工具推广到 $mathbb{R}^n$ 空间，这是理解现代物理和工程问题的基础。 第八章：偏导数与微分 多变量函数的偏导数定义、可微性（而不是仅仅存在偏导数）的严格定义和判别条件。梯度、方向导数。重点讲解了多元函数的链式法则，并首次引入了雅可比矩阵和海森矩阵，它们是分析高维局部行为的核心工具。 第九章：隐函数定理与反函数定理 这是多元分析中最为关键的理论成果之一。本书对这两个定理的证明进行了详尽的分解，重点阐述了它们在几何（曲面描述）和代数（方程组求解）上的意义。通过大量的实例说明了判别雅可比行列式是否为零的重要性。 第十章：多元函数的极值问题 利用海森矩阵（二次型）的性质来判断多元函数的局部极值点（鞍点、极大值、极小值）。引入拉格朗日乘数法，并结合实际问题（如约束优化）展示其应用，这部分内容与优化理论紧密相关。 第十一章：线积分与面积分的基础 向量场、保守场、格林公式在平面上的推导与应用。重点处理了线积分的路径无关性，以及面积分的概念引入。 --- 第四部分：序列与函数的收敛性 (Convergence of Sequences and Functions) 本部分是分析理论的精髓，关注于无限过程的有效性。 第十二章：函数序列与函数级数 详细区分了逐点收敛（Pointwise Convergence）和一致收敛（Uniform Convergence）。一致收敛的判别法（如 Weierstrass M-检验法）。重点讨论了连续函数序列的一致收敛对极限函数连续性的保持，以及对极限函数可微性的影响。 第十三章：幂级数与傅里叶级数 幂级数的收敛半径和收敛域的确定。函数项幂级数的性质（可以逐项求导和积分）。傅里叶级数作为经典正交函数展开的代表，本书详细讨论了其收敛性（狄利克雷条件），以及傅里叶级数在逼近一般函数中的作用。 第十四章：函数空间的概念初步 初步引入函数空间的拓扑结构，讨论 $C[a, b]$ 上的范数和度量。重新审视 Arzelá-Ascoli 定理，证明了等度连续性和有界性集合在紧度量空间上的紧性之间的关系，这是泛函分析的入门基石。 --- 第五部分：勒贝格测度与积分初步 (Introduction to Lebesgue Measure and Integration) 为了超越黎曼积分的局限性，本部分引入了更强大的勒贝格积分理论框架。 第十五章：测度论的动机与基础 分析黎曼积分的局限性（例如不可测集的积分困难）。介绍测度（Measure）的概念，从外测度（Outer Measure）出发，构造可测集（Measurable Sets）。重点关注 $mathbb{R}$ 上的勒贝格测度，包括开集、闭集、有界集的可测性和测度的可加性。 第十六章：可测函数与勒贝格积分 定义可测函数（Measurable Functions）。勒贝格积分的构造：首先定义简单函数的积分，然后推广到非负可测函数，最后推广到一般可测函数。通过清晰的例子对比了黎曼可积函数与勒贝格可积函数的区别与包含关系。 第十七章：积分收敛定理 本部分的核心成果。详细论证了勒贝格积分理论的优越性，主要体现在其强大的收敛定理上：单调收敛定理（MCT）、法图引理（Fatou's Lemma）、以及最重要的支配收敛定理（DCT）。这些定理在概率论和偏微分方程的分析中具有不可替代的地位。 --- 本书特色： 1. 理论与实践的平衡： 每章的理论讲解后，紧接着是大量的结构化示例和习题，这些习题旨在巩固读者对抽象定义的理解，并展示如何应用这些理论解决具体问题。 2. 逻辑的连贯性： 强调概念间的逻辑依赖关系，确保读者在学习高级主题时，能够清晰地追溯到其分析基础。 3. 现代视角： 引入度量空间、泛函空间的基本思想，使读者能够平稳过渡到更专业的泛函分析和测度论领域。 本书适合高等院校数学系本科生高年级、研究生，以及需要全面回顾和深入理解数学分析基础的工程、物理和经济学等领域的专业人士使用。本书不假设读者对复变函数或拓扑学有先验的深入了解，但要求读者具备扎实的微积分计算能力。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，我之前对微分几何一直有一种“望而生畏”的感觉，觉得它是一个非常抽象且难以掌握的领域。但是，《微分几何例题详解和习题汇编》彻底改变了我的看法。这本书的语言非常平实易懂，不像一些高深的数学专著那样充斥着晦涩的符号和复杂的定义。作者似乎真的站在读者的角度去思考，用最简洁明了的方式来解释复杂的概念。比如，在讲解曲面的法向量和单位法向量时，书中用了一个非常生动的例子，想象一个气球的表面，无论你在哪里触摸它，都有一个指向外部的方向，这个方向就是法向量。这样的类比一下子就让抽象的概念变得生动起来。而且，书中的例题选择也很有代表性，涵盖了曲线的切线、法平面、曲率、挠率，以及曲面的第一、第二、第三基本形式，高斯曲率、平均曲率等等。每一个例题都给出了详细的解答过程，并且对关键步骤进行了强调，让我能够跟着思路一步步理解。更让我感到惊喜的是，书后附带的习题也很有梯度，从简单到复杂，能够帮助我逐步巩固所学知识。我甚至觉得，如果高中时期能接触到这样一本教材，我对数学的兴趣可能会更大。

评分☆☆☆☆☆

作为一名多年从事数学教学的老师，我一直致力于寻找能够帮助学生更好地理解微分几何这门课程的辅助教材，《微分几何例题详解和习题汇编》无疑是我近几年来发现的质量最高的一本。这本书最大的优点在于其“例题详解”的定位，它不仅仅是罗列题目，而是深入挖掘每个例题背后的数学原理和解题技巧。书中对例题的解析，不仅给出了计算过程，更重要的是对每一步的推理进行了详细的说明，让学生能够明白“为什么这么做”，而不是仅仅停留在“怎么做”。比如，在讲解曲面参数方程的求导时，书中会详细分析不同参数下导数的几何意义，并给出如何通过这些导数来计算曲面的切平面和法线。这种由浅入深、由表及里的讲解方式，能够极大地提升学生的理解能力和解题能力。此外，习题部分的丰富性也令人称道，既有基础巩固性的练习，也有一些具有探索性和拓展性的题目，能够满足不同层次学生的需求。作为教师，我也常常从中借鉴一些优秀的例题和解题思路，用来启发我的学生。这本书的出版，对于推动微分几何教学的发展，提高学生的学习兴趣和掌握水平，都将具有积极的意义。

评分☆☆☆☆☆

这本《微分几何例题详解和习题汇编》绝对是我近期最满意的一本数学教材！作为一名非数学专业的学生，一直以来对微积分的高阶部分都感到有些畏惧，尤其是微分几何，那些弯弯绕绕的曲面和空间总让我头昏脑胀。但自从翻开这本书，我的感觉发生了翻天覆地的变化。首先，它的例题设计得非常精妙，几乎涵盖了每一个重要的概念和定理，而且例题的讲解清晰透彻，步骤详细，几乎可以说是手把手地教你如何一步步解决问题。比如，在讲解曲面的第一基本形式时，书中不仅给出了公式，还用一个非常直观的球面上曲线的例子，从不同的参数化角度出发，让我们理解不同参数化下的度量差异，以及如何通过度量来研究曲面的内禀性质。更让我惊喜的是，书中的插图也非常丰富，那些三维的曲面图和向量场图，让抽象的概念瞬间具象化，不再是枯燥的符号和公式。我经常会一边看书一边对照着插图，感觉自己仿佛置身于那个几何空间中，思考着向量的运动和曲面的变化。而且，例题的难度梯度也很合理，从最基础的曲线和曲面到更复杂的微分形式和黎曼几何，都能循序渐进地引导读者深入理解。这本书的语言风格也非常友好，没有使用过于晦涩难懂的专业术语，即使是初学者也能很快上手，找到学习的乐趣。

评分☆☆☆☆☆

我是一位正在准备考研数学的同学，在复习微分几何这块内容的时候，市面上找了好几本教材，都觉得内容过于理论化，或者例题太少，难以消化。直到我发现了《微分几何例题详解和习题汇编》，简直是救星！这本书的亮点在于它的“详解”二字，每个例题的解答都极其详尽，不仅给出了最终答案，更重要的是展示了思考过程和解题思路，这对于我这种需要融会贯通的考生来说太重要了。比如，在学习曲率和挠率的时候，书中不仅仅是计算公式，还会解析曲率和挠率的几何意义，例如曲率如何反映曲线的弯曲程度，挠率又如何描述曲线在三维空间中的扭转程度，这些深入的解释让我对概念有了更深刻的理解，而不是死记硬背公式。而且，习题部分更是让我惊喜，数量庞大且种类繁多，从基础的计算题到一些需要证明的定理题，应有尽有。很多题目都巧妙地结合了不同章节的知识点，能够有效地检验我是否真正掌握了所学内容。我发现，通过反复练习书中的习题，我不仅熟练掌握了计算技巧，更重要的是培养了分析和解决问题的能力，这对于应对考研中的综合性题目非常有帮助。这本书的排版也很清晰，重点内容加粗，公式清晰标注，阅读起来非常舒适。

评分☆☆☆☆☆

作为一名在读的数学专业研究生，我一直在寻找一本能够帮助我深入理解微分几何核心概念的书籍，《微分几何例题详解和习题汇编》在这一点上做得非常出色。本书的编排逻辑清晰，从最基础的度量张量、曲率张量，逐步深入到更高级的联络、曲率张量和黎曼几何。书中对于每一个重要定理的证明过程都进行了细致的推导，并且在推导过程中穿插了大量的解释性文字，帮助读者理解每一步的逻辑跳跃和数学思想。尤其让我印象深刻的是，书中关于曲面论部分的讲解，不仅仅停留在代数运算层面，而是充分强调了几何直观，比如通过曲率测度来判断曲面的内在性质，以及关于高斯曲率和平均曲率的几何解释，这些内容对于我理解微分几何的深层含义非常有启发。此外，习题部分的设计也非常有水平，很多题目都具有挑战性，能够促使我独立思考，甚至需要查阅一些额外的资料来解决，这恰恰是提升科研能力所必需的。书中也包含了一些前沿性的概念介绍，比如关于流形和张量分析的一些基础内容，虽然不深，但为我后续更深入的学习奠定了基础。总而言之，这本书不仅仅是一本习题集，更是一本能够引导读者进行深度思考和探索的宝贵资源。

评分☆☆☆☆☆

很好的书，值得推荐。

评分☆☆☆☆☆

好评啊啊啊好评啊啊啊

评分☆☆☆☆☆

在京东上购买商品已经很多次了，图书这是第一次购买，非常棒的购物体验，首先是发货很快，刚下的订单，很快就显示正在配货了，对于网上购物来说，速度很重要，京东的发货速度令人非常满意。快递的服务态度也非常好，不像有些快递根本不打电话联系你，直接往传达室里一扔就完事了。拿到书后真的是让人出乎意料，外面是用纸箱包装，然后里面还用塑料泡膜包裹，非常严实，收货那天是下雨天，拆开看后，书籍完全没有收到下雨的影响，完好无损。书绝对是正版这个不用说了，在京东买东西，你完全不用担心质量问题。高尔基说过：“书，是人类进步的阶梯。”开卷者古来就有，有“五柳先生”那“不求甚解”读法的；也有朱光潜倡导的“字字推敲，咬文嚼字”读法的；更有王国维所谓的三种读书境界……但终归来看，开卷是有益的，因为开卷既是知识之源，又是古人之鉴，更是修养之法。其实读书有很多好处,就等有心人去慢慢发现.最大的好处你有属于自己的本领靠自己生存。让你生活活过得更充实，学习到不同的东西。感受世界的不同。

评分☆☆☆☆☆

§7．2

评分☆☆☆☆☆

对刚学习微分几何的人来说，是本很好的参考书，初学者做微分几何题目是感觉优点无从下手，应该是我笨的缘故。

评分☆☆☆☆☆

价格还行,值今天家里没有牛奶了，我和妈妈晚上便去门口的苏果便利买了一箱牛奶和一点饮料。刚好，苏果便利有一台电脑坏了，于是便开启了另外一台电脑。因为开电脑和调试的时间，队伍越排越长。过了5,6分钟，有一个阿姨突然提出把键盘换了，这样就能刷卡了。我妈妈就在旁边讲了一句：“键盘不能热插拔，必须要重启。”那个阿姨好像没听见，还在坚持已见。我提出：“妈妈，我们不要在这家店卖了吧！又不是在其他地方买不到。”妈妈看了看队伍，同意了。我们把东西一放，就去了另一家百货。我提出要换另一家店不是只因为这队伍太长，还有店员素质之差。你布置了两台电脑，那你随时都要准备好换一台电脑呀，你现在让人的感觉就是你只有一台电脑能用，那一台就好像是摆设，没有一点用。我气愤不过跟妈妈说“我们去网上买吧”这样就来京东了，看到了这本书就顺便买了。一直想买这书，又觉得对它了解太少，买了这本书，非常好，喜欢作者的感慨，不光是看历史或者史诗书，这样的感觉是好，就是书中的字太小了点，不利于保护视力！等了我2个星期，快递送到了传达室也不来个电话，自己打京东客服查到的。书是正版。好了，我现在来说说这本书的观感吧，坐得冷板凳，耐得清寂夜，是为学之根本；独处不寂寞，游走自在乐，是为人之良质。潜心学问，风姿初显。喜爱独处，以窥视内心，反观自我；砥砺思想，磨砺意志。学与诗，文与思；青春之神思飞扬与学问之静寂孤独本是一种应该的、美好的平衡。在中国传统文人那里，诗人性情，学者本分，一脉相承久矣。现在讲究“术业有专攻”，分界逐渐明确，诗与学渐离渐远。此脉悬若一线，惜乎。我青年游历治学，晚年回首成书，记忆清新如初，景物历历如昨。挥发诗人情怀，摹写学者本分，意足矣，足已矣。据说，2011年8月24日，京东与支付宝合作到期。官方公告显示，京东商城已经全面停用支付宝，除了无法使用支付服务外，使用支付宝账号登录的功能也一并被停用。京东商城创始人刘先生5月份曾表示京东弃用支付宝原因是支付宝的费率太贵，为快钱等公司的4倍。在弃支付宝而去之后，京东商城转投银联怀抱。这点我很喜欢，因为支付宝我从来就不用，用起来也很麻烦的。好了，现在给大家介绍两本好书：《电影学院037?电影语言的语法:电影剪辑的奥秘》编辑推荐：全球畅销三十余年并被翻译成数十种语言，被公认为讨论导演、摄影、剪辑等电影影像画面组织技巧方面最详密、实用的经典之作。|从实践出发阐明摄影机位、场面调度、剪辑等电影语言，为“用画面讲故事”奠定基础；百科全书式的工作手册，囊括拍摄中的所有基本设计方案，如对话场面、人物运动，使初学者能够迅速掌握专业方法；近500幅机位图、故事板贯穿全书，帮助读者一目了然地理解电影语言；对大量经典影片的典型段落进行多角度分析，如《西北偏北》、《放大》、《广岛之恋》、《桂河大桥》，深入揭示其中激动人心的奥秘；《致青年电影人的信:电影圈新人的入行锦囊》是中国老一辈电影教育工作者精心挑选的教材，在翻译、审订中投入了巨大的心力，译笔简明、准确、流畅，惠及无数电影人。二、你是否也有错过的挚爱？有些人，没有在一起，也好。如何遇见不要紧，要紧的是，如何告别。《莫失莫忘》并不简单是一本爱情小说，作者将众多社会事件作为故事的时代背景，俨然一部加长版的《倾城之恋》。“莫失莫忘”是贾宝玉那块通灵宝玉上刻的字，代表着一段看似完美实则无终的金玉良缘。叹人间美中不足今方信，纵然是举案齐眉，到底意难平。“相爱时不离不弃，分开后莫失莫忘”，这句话是秋微对感情的信仰，也是她对善缘的执念。才女作家秋微近几年最费心力写的一本小说，写作过程中由于太过投入，以至揪心痛楚到无法继续，直至完成最后一个字，大哭一场，才得以抽离出这份情感，也算是对自己前一段写作生涯的完美告别。

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很好~

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好评啊啊啊好评啊啊啊

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我们问那万一开出来下雨呢