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姜建国 著

图书标签:

• 数论
• 算法
• 数学
• 计算机科学
• 研究生
• 密码学
• 计算数论
• 算术
• 离散数学
• 高级数学

出版社： 西安电子科技大学出版社

ISBN：9787560633022

版次：1

商品编码：11479471

开本：16开

出版时间：2014-05-01

页数：376

编辑推荐

本书从实用角度出发，介绍数论的有关基础理论、实用算法及其应用。
全书共9章，主要内容包括整数的可除性、数论函数、同余及其运算、同余方程、二次同余方程与平方剩余、原根与离散对数、连分数、素性测试和整数分解、有限域等。
本书选材精练，推理严谨，重点突出，例题丰富，习题难易适度，对重点内容从不同角度进行论述，尤其对实用问题举例较多，有利于培养读者利用数论的理论和方法解决实际问题的能力。本书可作为计算机、通信、信息和网络安全、数学等专业的研究生教材，也可作为相关领域科研人员的参考书。

内容简介

数论是研究整数性质的一个数学分支，它历史悠久，有着强大的生命力。数论问题叙述简明，“很多数论问题可以从经验中归纳出来，并且仅用三言两语就能向一个行外人解释清楚，但要证明它却远非易事”，因而有人说：“用以发现天才，在初等数学中再也没有比数论更好的课程了”，所以在国内外各级各类的数学竞赛中，数论问题总是占有相当大的比重。
随着科学技术的发展，将经典理论与现代应用相结合已成为发展的一种趋势，故数论的应用领域也逐渐扩展开来，顺应发展趋势，推动数论应用，正是本书的编写目的和出发点。实际上，目前数论的有关理论和方法在计算机、通信等领域有着大量的应用，尤其在信息和网络安全、数字信号处理等方面应用更加广泛，而本书也主要从应用角度出发来研究数论问题，尤其是有关整数运算中实用的方法和具体算法。
本书共分9章，各章的主要内容概括如下：
第1章整数的可除性，主要介绍整除概念及与其相关的问题，如整除的定义及其性质，重点介绍了求最大公因数的有关算法。
第2章数论函数，给出了几种常用数论函数并讨论了其性质，同时介绍了函数的积性和函数的Dirichlet乘积等概念及性质。
第3章同余及其运算，介绍了整数按同余的分类、同余条件下幂函数的快速运算算法，给出了不定方程的解法、矩阵的同余运算和同余在信息安全和随机数生成方面的应用实例。
第4章同余方程，介绍了同余方程的概念，讨论了同余方程的解数及解法，给出了一次同余方程组和素数模的同余方程的求解方法及同余方程在秘密共享和数据加密方面的应用实例。
第5章二次同余方程与平方剩余，主要针对特殊的同余方程（即二次同余方程的求解）给出了问题的分类、化简和转换方法，重点介绍了利用勒让德符号和雅可比符号判断方程的可解性和模数为素数时的求解方法。
第6章原根与离散对数，从整数的阶与原根的定义出发，给出了阶的性质、原根及其判断方法与计算方法、 n次剩余以及利用原根解特殊高次方程的方法，最后给出了原根和离散对数在密钥管理、信息加密和随机数生成等方面的应用。
第7章连分数，介绍了连分数的概念和有关性质，重点介绍了用连分数逼近实数和有理分数的方法。
第8章素性测试和整数分解，主要针对素数的精确判断方法的复杂度问题，介绍了素数的概率测试，以及正整数的分解方法。
第9章有限域，主要讨论与数论相关的群、环、域的概念和性质，重点介绍了同余运算与群、环、域的关系，以及利用同余运算实现有限域的构造等问题。
本书具有如下几个特点：
(1) 紧密结合研究生教学实际和教学大纲，在内容编排上力求深入浅出，循序渐进；在讲解理论和原理的同时，给出了大量例题，并在讲解例题时，重视对解题思路的分析，有利于提高读者独立分析问题和解决问题的能力。
(2) 针对工科研究生教学要求，书中除了数论的理论成果外，还结合实际应用，搜集并整理了相关问题的实用算法，尽力做到与时俱进，重在实用。
(3) 注重教学思想方法的渗透和解题水平的提高。拾众家之所长，精选题目，使例题和习题均具有典型性和代表性。
(4) 本书在撰写时，参阅了国内外大量的相关资料，并凝结了作者十多年来从事研究生“数论算法”课程教学的体会，力求内容新颖，取舍得当。
本书是在西安电子科技大学校内教材“数论算法”的基础上，经过多年的试用，并吸取了老师和学生大量的修改意见，不断完善而成的。
西安电子科技大学出版社对本书的出版给予了热情的关怀和支持，尤其是出版社李惠萍老师对书稿严格把关，在内容的叙述方式上提出了很多有益的建议，使作者深受教益，在此表示感谢。
由于作者水平有限，书中不足之处在所难免，恳请读者批评指正，使本书得以不断改进和完善。

编著者
2013年10月

目录

第 1 章 整数的可除性 1
1.1 整除的概念与带余除法 1
1.1.1 整除及其性质 1
1.1.2 素数 4
1.1.3 带余除法 5
1.2 整数的表示 7
1.3 最大公因数与辗转相除法 8
1.3.1 最大公因数 8
1.3.2 辗转相除法 13
1.3.3 求（a，b）的算法 14
1.3.4 （a，b）与a、b的关系 17
1.3.5 其他性质 22
1.4 整除的进一步性质及最小公倍数 25
1.4.1 整除和最大公因数的其他性质 25
1.4.2 最小公倍数及其性质 26
1.5 算术基本定理 28
习题1 32
第 2 章 数论函数 38
2.1 数论函数 38
2.2 函数�Tx�A|、 |�@x�S 、 ［x］ 38
2.2.1 下整数函数�Tx�A| 38
2.2.2 上整数函数|�@x�S 39
2.2.3 四舍五入函数［x］ 39
2.3 函数potpn 40
2.4 Euler函数φ(n) 43
2.5 墨比乌斯函数μ(n) 50
2.5.1 墨比乌斯函数 50
2.5.2 墨比乌斯反演公式 53
2.6 素数个数函数π(n) 56
2.7 数论函数的狄利克雷乘积 57
2.8 积性函数 60
2.8.1 积性函数的定义 61
2.8.2 积性函数的性质 62
习题2 65
第 3 章 同余及其运算 71
3.1 同余的概念及基本性质 71
3.2 剩余类及完全剩余系 77
3.2.1 剩余类和完全剩余系 77
3.2.2 剩余类的性质 79
3.3 既约剩余系 80
3.3.1 既约剩余系 80
3.3.2 整数a模m的逆 84
3.4 欧拉定理和费马小定理 87
3.4.1 欧拉定理 87
3.4.2 费马小定理 89
3.5 模重复平方计算法 91
3.5.1 算法原理 91
3.5.2 模重复平方计算法 92
3.6 一次不定方程 95
3.6.1 二元一次（不定）方程 95
3.6.2 求特解的方法 99
3.6.3 s元一次不定方程 103
3.6.4 （s元）一次不定方程组 104
3.7 矩阵的同余运算 107
3.7.1 矩阵及其线性运算 107
3.7.2 矩阵乘法 109
3.7.3 可逆矩阵 111
3.8 同余的应用 113
3.8.1 RSA公钥密码算法 113
3.8.2 背包公钥密码算法 114
3.8.3 希尔密码算法 116
3.8.4 随机数的Lehmer生成算法 118
3.8.5 随机数的BBS生成算法 120
习题3 121
第 4 章 同余方程 126
4.1 基本概念 126
4.2 一次同余方程 134
4.3 中国剩余定理 140
4.4 高次同余方程的解数及解法 152
4.4.1 解数 152
4.4.2 特殊情形的解法 154
4.4.3 一般情形的解法 161
4.5 素数模的同余方程 165
4.5.1 同余方程的化简 165
4.5.2 解数的判断 168
4.6 同余方程的应用 170
4.6.1 密钥分存 170
4.6.2 数据库加密方案 173
4.6.3 BBS流密码算法 174
习题4 177
第 5 章 二次同余方程与平方剩余 182
5.1 一般二次同余方程 182
5.1.1 二次同余方程的化简 182
5.1.2 平方剩余 183
5.2 模为奇素数的平方剩余与平方非剩余 185
5.2.1 平方剩余的判断条件 185
5.2.2 平方剩余的个数 187
5.3 勒让德符号 188
5.4 雅可比符号 198
5.5 模p平方根 205
5.6 模数为合数的情形 209
5.6.1 p为奇素数 210
5.6.2 p＝2 210
5.7 解同余方程小结 215
习题5 215
第 6 章 原根与离散对数 221
6.1 整数的阶及其性质 221
6.1.1 整数的阶和原根 221
6.1.2 阶的性质与计算方法 222
6.2 原根的存在性与计算方法 235
6.3 离散对数 244
6.4 离散对数的计算 247
6.4.1 Pohlid-Hellman算法 247
6.4.2 Shank算法 252
6.5 二项同余方程与n次剩余 254
6.6 原根与离散对数的应用 257
6.6.1 Diffie-Hellman密钥交换算法 257
6.6.2 ElGamal加密算法 258
6.6.3 改进的随机数生成算法 261
6.6.4 一种快速傅里叶变换算法 263
6.6.5 同余方程的求解 264
6.7 单向函数 266
习题6 267
第 7 章 连分数 271
7.1 连分数 271
7.1.1 连分数的概念 271
7.1.2 连分数性质与渐进连分数的计算 274
7.2 简单连分数 279
7.2.1 实数的简单连分数的生成 279
7.2.2 有理分数的连分数表示 281
7.3 循环连分数 283
习题7 284
第 8 章 素性测试和整数分解 287
8.1 素性测试的精确方法 287
8.2 伪素数与Fermat测试算法 289
8.3 Euler伪素数与Solovay-Stassen测试算法 292
8.3.1 Euler伪素数 292
8.3.2 Solovay-Stassen测试算法 293
8.4 强伪素数与Miller-Rabin测试算法 293
8.4.1 强伪素数 295
8.4.2 Miller-Rabin测试算法 295
8.5 正整数的分解 297
8.5.1 Fermat方法 298
8.5.2 Fermat方法的拓展 299
8.5.3 Legendre方法 299
8.5.4 Pollard方法 300
8.5.5 Kraitchik方法 301
8.5.6 B基数法——Brillhart-Morrison法 303
8.5.7 连分数法 306
8.5.8 二次筛法 308
8.5.9 p-1法 310
习题8 312
第9章 有限域 314
9.1 集合及其运算 314
9.1.1 集合 314
9.1.2 映射 315
9.1.3 代数运算 317
9.1.4 同构映射 317
9.2 群 319
9.3 环 323
9.3.1 环 323
9.3.2 多项式环 325
9.4 域 329
9.4.1 域的概念 329
9.4.2 域的特征和同构 332
9.4.3 有限域及其结构 335
9.4.4 有限域的构造 337
9.4.5 GF（2n）域上的计算 341
习题 9 343
附录A 素数表与最小正原根表(1200以内) 345
附录B k的连分数 346
附录C F2上的既约多项式(n≤10) 348
附录D F2上的本原多项式 350
索引 352
参考文献 361

前言/序言

《数论算法（研究生）》图书简介 引言 在当今信息爆炸的时代，算法的重要性日益凸显。从加密通信到大数据分析，再到人工智能的飞速发展，算法是驱动这些前沿技术的核心。而在众多算法领域中，数论算法以其深厚的理论基础和广泛的应用前景，成为计算机科学、密码学、编码理论以及相关交叉学科研究的基石。本书《数论算法（研究生）》旨在为有志于深入探索这一领域的读者提供一份全面而系统的指导，帮助他们掌握数论算法的精髓，并能灵活运用于实际问题。 本书并非一本浅尝辄止的科普读物，而是面向具有一定数学基础（特别是线性代数、离散数学、微积分等）的研究生及高年级本科生量身打造的专业教材。我们致力于在理论严谨性的同时，注重算法的实际实现和应用，力求让读者不仅理解“为什么”，更能掌握“怎么做”。 核心内容概述 本书的结构围绕数论中最核心、最具算法潜力的概念展开，并逐步深入到复杂且高效的算法设计与分析。我们将从最基础的数论概念出发，逐步构建起坚实的理论框架，并在此基础上介绍和分析各类经典和现代的数论算法。 第一部分：基础理论与预备知识 在深入算法之前，扎实的理论基础是必不可少的。本部分将回顾和梳理数论中的一些基本概念，为后续算法的学习打下坚实基础。 整除性与同余理论： 这是数论的基石。我们将详细介绍整除的性质、素数与合数、最大公约数和最小公倍数等概念，并重点讲解同余关系、同余方程组（如中国剩余定理）及其算法应用。这部分内容对于理解许多数论算法，如欧几里得算法、模幂运算等至关重要。 模算术与群论基础： 模算术在计算机科学中无处不在，特别是在密码学和编码理论中。我们将介绍模加法、模乘法、模逆元、模幂等运算，并引入有限域、循环群等抽象代数中的基本概念。这将为理解公钥密码系统、有限域上的离散对数问题等打下理论基础。 数论函数与性质： 欧拉函数、莫比乌斯函数等数论函数在数论研究和算法设计中扮演着重要角色。我们将探讨它们的定义、性质以及计算方法，并展示它们在求和、计数等问题中的应用。 第二部分：核心数论算法 本部分是本书的重中之重，我们将详细介绍各种经典和现代的数论算法，并探讨它们的原理、复杂度分析和实际应用。 欧几里得算法及其变种： 作为最古老且最有效的算法之一，欧几里得算法及其扩展（用于求解线性同余方程）将在本节得到深入剖析。我们将分析其时间复杂度，并探讨其在最大公约数计算、模逆元求解等方面的应用。 素性判定算法： 确定一个大整数是否为素数是数论中的一个重要问题，尤其在密码学中。我们将介绍多种素性判定算法，包括： 确定性算法： 如试除法（对于小范围整数）、AKS素性测试（理论上是多项式时间，但实践中通常较慢）。 概率性算法： 如费马小定理素性检验、米勒-拉宾素性检验。我们将详细分析这些算法的原理、正确率和效率，以及它们在实际中的权衡。 整数分解算法： 将一个大整数分解为其素因子的过程称为整数分解，这是许多公钥密码系统（如RSA）的安全性基础。我们将讲解以下关键算法： 试除法： 最直观但效率最低的算法，适用于小因子。 平方根算法（Pollard's rho, Pollard's p-1）： 一些基于概率思想的改进算法，在特定情况下表现良好。 二次筛法（Quadratic Sieve, QS）： 经典的亚指数级整数分解算法，具有重要的理论和历史意义。 数域筛法（Number Field Sieve, NFS）： 目前已知的最快的通用整数分解算法，我们将对其复杂度和原理进行介绍。 离散对数问题（DLP）相关算法： 离散对数问题是另一类重要的密码学难题。我们将介绍： Baby-step giant-step算法： 一种改进的搜索算法，在有限域上求解DLP。 Pollard's rho算法（针对DLP）： 概率性算法，用于求解DLP。 索引演算算法（Index Calculus Algorithm）： 对于特定结构的群（如有限域），效率较高的算法。 模幂运算与中国剩余定理的应用： 模幂运算是许多加密算法（如RSA、ElGamal）的核心，我们将介绍高效的模幂算法（如平方乘算法）。同时，我们将再次强调中国剩余定理在并行计算、合同解决等方面的算法应用。 第三部分：高级主题与应用 在本部分，我们将进一步拓展数论算法的应用范围，并介绍一些更高级的主题。 椭圆曲线上的离散对数问题（ECDLP）： 椭圆曲线密码学（ECC）因其密钥长度短、运算效率高而成为当前研究的热点。我们将介绍椭圆曲线的数学基础，以及在椭圆曲线上求解离散对数问题的算法（如 Pollard's rho, Baby-step giant-step for ECC）。 代数数论在算法中的体现： 某些高级数论算法（如NFS）的背后涉及更深刻的代数数论概念。我们将简要介绍代数数域、理想等概念，并说明它们如何为算法的构建提供理论支撑，但这部分内容不会深入到复杂的代数数论证明，而是侧重于算法思想的启发。 数论算法在密码学中的应用： 我们将深入探讨数论算法如何支撑现代密码学，包括： 公钥密码系统： RSA、Diffie-Hellman密钥交换、ElGamal加密等。 数字签名： RSA签名、DSA签名等。 对称加密： AES等算法中也使用了模运算和有限域的概念。 哈希函数： 部分哈希函数的构造也依赖于数论原理。 数论算法在编码理论中的应用： 有限域上的多项式运算、循环码、BCH码、Reed-Solomon码等都与数论紧密相关。我们将介绍这些算法的基本思想和数论基础。 算法的实现与优化： 除了理论分析，本书还将讨论数论算法的实际实现细节。我们将探讨大数运算库的选择、算法的并行化、硬件加速的可能性，以及如何根据具体应用场景选择和优化算法。 本书的特色与目标读者 理论与实践并重： 本书力求在数学证明的严谨性与算法的实际可操作性之间取得平衡，提供清晰的算法伪代码和必要的实现建议。 循序渐进的结构： 从基础概念到核心算法，再到高级应用，本书的章节安排遵循逻辑递进的原则，便于读者逐步掌握。 面向研究生的深度： 本书的内容深度和广度适合研究生阶段的学习，能够为后续的深入研究打下坚实基础。 跨学科的连接： 本书的内容广泛涉及计算机科学、密码学、信息安全、编码理论等多个领域，旨在培养具备跨学科视野的专业人才。 目标读者 本书适合以下读者： 计算机科学、软件工程、信息安全、密码学、数学等专业的在读研究生。 对数论算法感兴趣的高年级本科生。 希望深入了解数论算法在现代科技中应用的研究人员和工程师。 结语 数论算法的世界既古老又年轻，它在抽象的数学领域孕育出无数解决实际问题的强大工具。通过学习本书，我们期望读者能够建立起对数论算法的深刻理解，掌握分析和设计相关算法的能力，并能够将其运用于科学研究和工程实践中，为推动相关领域的发展贡献力量。我们相信，本书将成为您在数论算法领域探索之旅中不可或缺的伙伴。

评分☆☆☆☆☆

这本书我大概读了一半，感觉比我预期的要更深入一些。最初选择这本书，是因为在本科阶段接触过一些基础的数论概念，比如素数、同余等等，觉得这门课应该会让我对这些概念有一个更扎实的理解，为之后学习密码学或者计算几何这类需要数论背景的学科打下基础。然而，这本书的内容很快就超越了我对“基础”的定义。它从一些非常抽象的数学模型开始，逐步引申到一些我从未接触过的算法。比如，书中对某些数论函数的性质的分析，以及如何利用这些性质来设计高效的算法，这部分让我感到耳目一新，也承认了自己的知识储备不足。 但是，我并不是觉得这本书的内容不好。恰恰相反，它所展示的数学的严谨性和算法设计的精妙之处，让我对数论这门学科产生了更浓厚的兴趣。我尤其喜欢书中在讲解某个算法时，会先给出它的理论基础，然后逐步推导出算法的步骤，最后还会分析算法的时间复杂度。这种层层递进的讲解方式，虽然需要花费更多的时间去理解，但一旦掌握了，就会有一种豁然开朗的感觉。我正在努力跟上作者的思路，即使有时候需要反复阅读，查阅一些额外的资料，我也觉得这段学习过程是值得的。

评分☆☆☆☆☆

这本书我大概看了三分之一，对我而言，它更像是一本“概念模型”的书，而不是一本“操作手册”。我之前接触的数论算法，更多的是停留在“知道有这么个算法，能解决什么问题”的层面。而这本书则是在追溯这些算法的“根”。它从一些非常基础的数学公理出发，一步一步地构建起整个数论算法的理论框架。 我特别欣赏它在讲解某些算法时，会先铺垫一大段数学背景知识，让你理解这个算法产生的“土壤”。比如，关于二次剩余的讲解，作者花了相当多的篇幅来介绍群论和域论的基础，这让我对为什么二次剩余在很多算法中如此重要有了更清晰的认识。虽然有时候会觉得这些数学铺垫有点过于“理论化”，与我直接想要了解的算法实现有些距离，但当我回头再去看那些算法时，就会发现，原来它们是建立在如此坚实的数学大厦之上。这种“由表及里”的学习方式，虽然慢，但印象会更深刻。

评分☆☆☆☆☆

这本书简直是为我量身定做的！我一直对理论性的计算机科学领域非常着迷，而数论算法恰恰是连接抽象数学和实际计算的一个绝佳桥梁。这本书在引入数论概念时，并没有像一些入门书籍那样止步于表面，而是直接深入到一些更高级的主题，比如代数数论和解析数论在算法设计中的应用。我之前在阅读一些关于编码理论的论文时，就经常遇到一些数论的术语和结论，但一直没有机会系统地学习。这本书恰好填补了这个空白。 它对一些经典数论算法的讲解，比如 Miller-Rabin 素性测试和 Pollard's rho 算法，不仅详细地描述了算法的实现细节，还深入剖析了其背后的数学原理，让我理解了为什么这些算法能够高效地解决问题。更重要的是，书中还涉及了一些前沿的研究方向，虽然有些内容我暂时还无法完全消化，但它极大地拓宽了我的视野，让我看到了数论算法在现代密码学、量子计算等领域的巨大潜力。这激励我更加努力地学习，希望将来也能为这个领域贡献自己的力量。

评分☆☆☆☆☆

我拿到这本书的时候，其实是抱着一种“学习一些高级算法，然后写进我的毕业论文”的目的。我本以为它会是一本“一本通”式的教材，里面罗列了各种算法，然后给出伪代码，再讲解一下应用场景。但事实并非如此。这本书的风格更像是一部学术专著，充满了严谨的数学推导和深刻的理论分析。它很少直接给出“你应该怎么做”，而是引导你思考“为什么是这样”。 一开始，我确实有点不适应这种风格，觉得有点枯燥。但随着阅读的深入，我逐渐发现，正是这种严谨性，才使得这本书的内容如此扎实可靠。它不会给你一些“速成”的技巧，而是让你真正理解算法背后的逻辑。比如，书中对某些数论函数的奇偶性、周期性等性质的细致分析，以及如何利用这些性质来构造新的算法，这部分让我感受到了数学的魅力。尽管我现在还不能完全独立地设计出新的数论算法，但这本书无疑为我打下了坚实的理论基础，让我对算法的本质有了更深的理解。

评分☆☆☆☆☆

老实说，这本书对我来说有点“超纲”了。我当初选择它，是想在数论算法领域有所突破，为我的研究项目找一些新的思路。我期待的是能够看到一些直接可用的、经过优化的算法，并且了解它们在实际应用中的表现。然而，这本书的内容更多的是探讨一些数论算法的理论极限、计算复杂性，以及一些更抽象的数学模型。 比如，书中对某些非经典数论算法的介绍，以及对这些算法在某些特定数域上的性能分析，这些内容对我目前的直接研究项目可能并不完全适用。但是，它也确实让我认识到了数论算法的广阔天地。它展示了许多我之前从未听说过的算法和数学工具，让我意识到，原来数论算法不仅仅是素性测试和因式分解。这激发了我对数论这门学科更深层次的探索欲望，尽管我知道这条路会比较漫长，但我愿意尝试去理解这些更高级的内容。

评分☆☆☆☆☆

好

评分☆☆☆☆☆

好

评分☆☆☆☆☆

好

评分☆☆☆☆☆

内容讲述全面，算法叙述还可，值得一读

评分☆☆☆☆☆

好

评分☆☆☆☆☆

不错

评分☆☆☆☆☆

不错

评分☆☆☆☆☆

好

评分☆☆☆☆☆

收到书了 以后还来这里看看