高等代數：全程學習指導與習題精解（北大第四版） pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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毛磊，寇冰煜，滕興虎 著

圖書標籤:

• 高等代數
• 北大第四版
• 數學教材
• 大學教材
• 綫性代數
• 抽象代數
• 學習指導
• 習題解答
• 考研數學
• 數學輔導

齣版社： 東南大學齣版社

ISBN：9787564151867

版次：1

商品編碼：11566951

包裝：平裝

開本：32開

齣版時間：2014-10-01

用紙：膠版紙

頁數：505

正文語種：中文

內容簡介

　　《高等代數：全程學習指導與習題精解（北大第四版）》由以下幾部分組成：
　　1.基本要求、重點與難點：列齣相應各章的基本要求、重點、難點內容，以幫助讀者總體把握本章內容。
　　2.主要概念與公式：列齣各章的基本概念、定理與公式，突齣必須掌握和理解的核心內容。
　　3.典型例題分析：精選曆年各院校研究生入學考試試題中具有代錶性的試題進行瞭詳細的解答，這些例題涉及內容廣、題型多、技巧性強，可以使廣大同學舉一反三、觸類旁通，開拓解題思路，更好地掌握高等代數的基本內容和解題方法。
　　4.課後習題全解：教材中課後習題數量大、層次多，許多基礎性問題從多個角度幫助理解基本概念和基本理論，錘煉讀者基本的解題方法，許多層次較高的問題有助於廣大讀者進一步的提高和應用，不少問題具有獨特的解題思路和方法。針對以上兩點，我們對教材課後全部習題給齣瞭詳細的解答，齣於高等代數解題方法韆變萬化，大多數習題我們隻給齣瞭一種參考解答，其他方法留給讀者自己去思考。

目錄

第一章 多項式
基本要求、重點與難點
主要概念與公式
典型例題分析
課後習題全解

第二章 行列式
基本要求、重點與難點
主要概念與公式
典型例題分析
課後習題全解

第三章 綫性方程組
基本要求、重點與難點
主要概念與公式
典型例題分析
課後習題全解

第四章 矩陣
基本要求、重點與難點
主要概念與公式
典型例題分析
課後習題全解

第五章 二次型
基本要求、重點與難點
主要概念與公式
典型例題分析
課後習題全解

第六章 綫性空間
基本要求、重點與難點
主要概念與公式
典型例題分析
課後習題全解

第七章 綫性變換
基本要求、重點與難點
主要概念與公式
典型例題分析
課後習題全解

第八章 矩陣
基本要求、重點與難點
主要概念與公式
典型例題分析
課後習題全解

第九章 歐幾裏得空間
基本要求、重點與難點
主要概念與公式
典型例題分析
課後習題全解

第十章 雙綫性函數與辛空間
基本要求、重點與難點
主要概念與公式
典型例題分析
課後習題全解
總習題
總習題全解

前言/序言

深入解析《綫性代數：理論、應用與方法》 麵嚮對象： 本書旨在為高等院校數學、物理、工程技術、計算機科學及經濟管理等相關專業的本科生及研究生提供一套全麵、深入且實用的綫性代數學習資源。特彆適閤希望係統掌握綫性代數基礎理論、提升抽象思維能力、並渴望瞭解其在實際問題中應用的讀者。 --- 第一部分：基礎理論的夯實與深化 第一章 嚮量空間與綫性變換的結構 本章從嚮量空間的基本定義齣發，詳細闡述瞭子空間、綫性相關性、基與維數的概念。我們不滿足於對定義和定理的簡單羅列，而是通過大量的幾何直觀和算例，幫助讀者建立起對抽象嚮量空間的感性認識。重點討論瞭子空間之間的運算（和、交），以及直和的判定條件。 隨後，章節深入到綫性變換（或稱綫性映射）的性質。我們詳盡剖析瞭核（Kernel）與像（Image）的概念，證明瞭秩-零度定理（Rank-Nullity Theorem）的普適性，並展示瞭如何通過矩陣錶示來研究綫性變換的代數特性。本章的難點在於理解抽象空間中的結構保持映射，我們通過對比有限維與無限維空間中綫性變換的側重點，為後續的特徵值理論做鋪墊。 第二章 矩陣的分解與運算的本質 矩陣作為綫性變換的實現工具，在本章中被賦予瞭更深層次的理解。我們不僅復習瞭矩陣的乘法、轉置和逆，更聚焦於矩陣的等價性、相似性與閤同性。 初等行變換與矩陣的秩： 本章詳述瞭初等行變換如何保持行空間和列空間的關係，並以此為基礎，構建瞭計算矩陣秩的穩健方法。我們探討瞭秩的幾何意義及其在方程組解的存在性與解的結構確定中的核心作用。 矩陣的行列式： 行列式的定義及其性質（萊布尼茨公式、代數餘子式展開）被細緻推導。著重分析瞭行列式的幾何意義——體積的伸縮因子，並證明瞭 $det(AB) = det(A)det(B)$。行列式的計算技巧，如利用初等變換化為上（下）三角矩陣，在本章中有大量的實例演示。 第三章 綫性方程組的理論解法 本章是綫性代數理論與工程實踐結閤最緊密的部分。我們遵循“理論先行，算法為輔”的原則。 首先，基於嚮量空間的基和綫性無關性的概念，我們給齣瞭綫性方程組 $Ax=b$ 有解的充要條件（即 $b$ 屬於列空間的充要條件）。隨後，詳細介紹瞭高斯-約旦消元法，並嚴格證明瞭該算法的正確性和終止性。我們區分瞭齊次方程組與非齊次方程組的解的結構：齊次解空間（零空間）與特解。本章特彆強調瞭數值穩定性的初步概念，並對病態矩陣對求解精度可能造成的影響進行瞭定性討論。 --- 第二部分：結構分析與特徵值的深入探索 第四章 對角化、特徵值與特徵嚮量 特徵值問題是理解綫性動力學係統、穩定性分析和降維技術的基礎。本章從代數角度定義瞭特徵值和特徵嚮量，並推導瞭它們滿足的特徵方程。 對角化理論： 我們詳細討論瞭矩陣可對角化的充要條件——特徵子空間維數之和等於矩陣的階數。對於非對角化的情況，本章引入瞭若爾當標準型（Jordan Canonical Form, JCF） 的概念。JCF的構造過程是本章的難點與重點，我們通過係統地構造廣義特徵嚮量鏈，詳細展示瞭如何將任意方陣轉化為最簡的“準對角”形式，這對於研究綫性微分方程的解的穩定性至關重要。 矩陣函數與譜理論基礎： 基於對角化，我們引申齣矩陣指數、矩陣對數等函數的定義，並初步探討瞭譜理論（Spectral Theory）的雛形，為後續學習泛函分析打下基礎。 第五章 內積空間與正交性 本章將綫性代數從純粹的“域”上的代數結構擴展到具有度量和角度概念的空間，即內積空間。 度量結構： 詳述瞭內積的定義、範數、長度和角度的確定。重點關注歐幾裏得空間 $mathbb{R}^n$ 和復嚮量空間 $mathbb{C}^n$ 上的標準內積。 正交基與投影： 格拉姆-施密特（Gram-Schmidt）正交化過程被詳細分解，並嚴格證明瞭其有效性。我們利用正交投影定理，解決瞭在子空間中尋找“最近點”的問題，這在最小二乘法（Least Squares）中有著直接應用。 正交矩陣與酉矩陣： 對正交矩陣（保持長度和角度的變換）的性質進行瞭深入分析，它們是鏇轉、反射等剛體運動的數學模型。 第六章 對稱矩陣與二次型 這是連接幾何和代數的關鍵章節。 譜定理（Spectral Theorem）： 對於實對稱矩陣，我們證明瞭其特徵值必為實數，且存在一組正交特徵嚮量作為基。譜定理的證明不僅強化瞭正交性的應用，也揭示瞭對稱矩陣在幾何上的特殊地位。 二次型與主軸定理： 二次型 $f(mathbf{x}) = mathbf{x}^T A mathbf{x}$ 被引入，其矩陣 $A$ 總是可以被假定為對稱的。主軸定理錶明，通過一個正交變換，可以將二次型化為最簡形式，即所有交叉項消失，隻剩下平方項。我們通過分析這些化簡後的係數（即特徵值），對二次型的正定性、半正定性進行瞭分類，這直接對應於多元函數極值、二次麯麵的分類等幾何問題。 --- 第三部分：應用導嚮與進階主題 第七章 矩陣分解與數值穩定性 本章聚焦於工程和計算科學中實際應用的矩陣分解技術，這些分解方法在數值計算中至關重要。 LU分解： 詳細講解瞭如何通過初等矩陣將矩陣分解為下三角矩陣 $L$ 和上三角矩陣 $U$，這是高效求解大規模綫性方程組的關鍵技術。本節討論瞭 $LUP$ 分解在處理行交換時的必要性。 QR分解： 利用正交投影和格拉姆-施密特過程，我們推導瞭矩陣 $A=QR$ 的分解，其中 $Q$ 是正交矩陣，$R$ 是上三角矩陣。QR分解因其齣色的數值穩定性，被廣泛應用於最小二乘問題的求解以及QR算法中。 奇異值分解（Singular Value Decomposition, SVD）： SVD被譽為矩陣分解的“終極形式”。我們證明瞭任意 $m imes n$ 矩陣 $A$ 都可以分解為 $A = U Sigma V^T$，其中 $U$ 和 $V$ 是正交矩陣，$Sigma$ 是包含奇異值的對角矩陣。SVD在數據壓縮（如圖像處理）、主成分分析（PCA）和僞逆（Pseudo-inverse）的計算中展現瞭無可替代的威力。 第八章 廣義逆與最小二乘問題 本章專門解決“無解”或“解不唯一”的係統。 最小二乘解： 在內積空間中，我們證明瞭最小二乘解 $hat{x}$ 是指誤差嚮量 $b - Ahat{x}$ 與列空間正交的嚮量。我們利用正規方程組 $A^T A hat{x} = A^T b$ 的求解來獲得最小二乘解，並進一步展示瞭SVD在求解最小範數最小二乘解中的優越性。 摩爾-彭若斯（Moore-Penrose）僞逆： 僞逆是矩陣逆概念在任意矩陣上的推廣。我們通過分析SVD構造瞭僞逆矩陣 $A^+$，並驗證瞭其四條定義性質，展示瞭它如何作為求解廣義綫性係統的工具。 第九章 綫性代數在現代科學中的應用綜述（選讀） 本章提供瞭一係列高階應用的簡要概述，激發讀者的進一步研究興趣： 迭代法基礎： 簡要介紹瞭雅可比（Jacobi）和高斯-賽德爾（Gauss-Seidel）迭代法在求解大型稀疏綫性係統中的原理和收斂性分析的初步概念。 圖論與矩陣： 介紹鄰接矩陣、拉普拉斯矩陣及其在網絡分析和圖的連通性判斷中的應用。 信息論與編碼： 綫性代數在有限域上的運算如何構建齣信息編碼（如循環碼）的理論基礎。 --- 本書特色與教學理念 1. 理論的嚴謹性與計算的有效性並重： 本書力求在證明的完整性與計算方法的易操作性之間找到最佳平衡點。所有核心定理均提供清晰的邏輯推導，同時配備瞭大量細緻的數值算例，確保讀者能夠將抽象概念轉化為可執行的步驟。 2. 幾何直觀的貫穿： 從嚮量空間的基到矩陣的變換，再到二次型的麯麵，本書始終強調幾何解釋。通過二維和三維的直觀模型，輔助理解高維空間中的操作。 3. 強調結構而非孤立知識點： 本書將綫性代數視為一個整體結構，例如，通過特徵值理論統一瞭對角化、相似變換和二次型的分析；通過內積空間統一瞭投影、正交性和最小二乘。 4. 習題體係的層次化： 書中包含數百道習題，難度梯度清晰，從基礎概念的檢驗（Type A），到復雜定理的綜閤應用（Type B），再到需要獨立思考和創新結閤的開放性問題（Type C），以全麵考察學習效果。 通過學習本書，讀者不僅將掌握一套強大的代數工具，更將培養齣進行嚴格的邏輯推理和清晰的抽象建模的能力，這是未來所有科學與工程研究的基石。

評分☆☆☆☆☆

說實話，學習高等代數對我來說一直是個不小的挑戰。很多抽象的概念，像嚮量空間、綫性變換、特徵值等等，初次接觸時都感覺雲裏霧裏。這本《全程學習指導與習題精解》（北大第四版）的齣版，簡直是我等“小白”的福音。我最看重的是它“習題精解”的部分，因為我總是在做題時卡殼，明明理解瞭概念，但一遇到題目就不知道如何下手，或者思路跑偏。這本書的詳細解析，我相信能給我提供一個清晰的解題思路，讓我明白每一步的邏輯依據，以及如何從題目條件齣發，聯係所學知識，最終找到正確的答案。不僅僅是答案本身，更重要的是它如何一步步地引導我思考，培養我的解題能力。有時候，一道題的解析比幾十道題的練習更能啓發我的思維。我希望能通過這本書，不僅掌握高等代數的知識點，更能學會如何靈活運用這些知識去解決實際問題，提升自己的數學素養。

評分☆☆☆☆☆

作為一名正在為考研奮鬥的學生，高等代數是必不可少的一門硬骨頭。之前也嘗試過一些參考書，但總覺得不夠“對味”。這本《高等代數：全程學習指導與習題精解》（北大第四版）我覬覦已久，聽說它是由北大名師編寫，質量肯定有保證。我尤其看重的是“全程學習指導”的環節，它能否幫助我梳理齣學習的重點和難點，並且提供一些高效的學習方法？高等代數的知識點非常多，而且相互關聯，如果不能建立起一個完整的知識體係，很容易顧此失彼。我希望這本書能夠提供一個清晰的知識框架，讓我能夠係統地掌握每個章節的內容，並且知道它們之間是如何聯係起來的。同時，作為一本“精解”，我更期待它在解析習題時，不僅僅給齣答案，更能解釋清楚解題的思路和技巧，幫助我舉一反三，觸類旁通。畢竟，考研數學考察的不僅僅是知識的記憶，更是能力的運用。

評分☆☆☆☆☆

我對這本書的期待，更多地來自於它“全程學習指導”這四個字。在學習高等代數這樣一門邏輯性極強的學科時，很多時候我們需要的不僅僅是知識點的羅列，更需要一種循序漸進的引導，幫助我們理解概念的産生背景，洞察其內在的深刻含義。我相信這本書的指導部分，會從宏觀和微觀兩個層麵，為我們勾勒齣學習的路徑。宏觀上，它可能會為我們梳理整體的知識框架，讓我們對高等代數有一個全局的認識；微觀上，它又會針對每一個抽象的概念，給齣深入淺齣的解釋，甚至可能會引入一些曆史背景或者直觀的例子，來幫助我們建立起對這些概念的感知。另外，“習題精解”的部分，我希望它能覆蓋不同難度和類型的題目，並且在解析中體現齣嚴謹的數學邏輯，而不是簡單的計算過程。我期待它能教會我如何分析問題，如何選擇閤適的工具，如何進行規範的推導，最終形成一套自己有效的解題方法。

評分☆☆☆☆☆

拿到這本書，首先被它厚實的體量所震撼，厚厚一本，封麵設計簡潔大氣，但又透露齣一股沉甸甸的學術氣息。翻開第一頁，一股淡淡的油墨香撲鼻而來，這種感覺是電子書永遠無法替代的。我之前也涉獵過一些高等代數相關的資料，但總覺得碎片化，缺乏係統性。這本《全程學習指導與習題精解》的齣現，仿佛為我點亮瞭一盞明燈。從目錄的編排來看，就覺得非常用心，每一章的知識點都梳理得井井有條，並且有清晰的學習脈絡。特彆是“全程學習指導”這部分，我非常期待它能提供不同於傳統教材的視角，比如它會怎麼強調某個概念的重要性，或者在某個難點上給齣什麼獨到的理解方法。畢竟，高等代數這門學科，概念抽象，邏輯嚴謹，光靠死記硬背是遠遠不夠的，真正理解其內在的邏輯和思想纔是關鍵。我特彆關注它對於一些經典定理的證明思路講解，是否能幫助我建立起更深刻的認識，而不是僅僅停留在公式的推導上。

評分☆☆☆☆☆

接觸高等代數以來，最大的感受就是它所構建的那個抽象的數學世界，雖然精妙絕倫，但初學者常常會感到望而卻步。這本書的齣現，似乎正是為瞭彌閤這一鴻溝。《高等代數：全程學習指導與習題精解》（北大第四版）的“學習指導”部分，我推測會是對教材內容的一種“再加工”，它不會簡單地重復教材的錶述，而是會用更貼近學生理解的方式，去闡釋那些晦澀難懂的概念。比如，它可能會解釋嚮量空間為何如此重要，綫性變換的幾何意義又是什麼，這些概念在數學發展史上的地位如何等等。而“習題精解”，我期望它能成為我攻剋難題的利器。我希望它在解析題目時，能夠詳細地剖析題意，識彆齣題目的關鍵信息，然後有條不紊地將相關理論知識與題目聯係起來。它應該能夠指齣我可能齣現的思維誤區，並且提供一些解決問題的“秘訣”或者“技巧”。總而言之，我希望這本書能成為我學習高等代數過程中，一位既能指點迷津，又能循循善誘的良師益友。

評分☆☆☆☆☆

不錯 習題都有詳細的解答 值得購買

評分☆☆☆☆☆

快遞哥還是挺不錯的額，書也沒問題

評分☆☆☆☆☆

感覺不錯。建議購買

評分☆☆☆☆☆

包裝盡然是爛的！！幸好書沒壞。書的內容很不錯。對學習很有幫助

評分☆☆☆☆☆

解析很詳細，對於知識點的概括很好，我們班都買瞭很多本瞭

評分☆☆☆☆☆

很好

評分☆☆☆☆☆

書收到後發現拐角破損瞭(?_?)

評分☆☆☆☆☆

書還是不錯的，買來作為參考。

評分☆☆☆☆☆

是正版而且有課後習題和答案 挺全的