代數幾何學基礎教程 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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[美] 基斯.肯迪格 著

圖書標籤:

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• 抽象代數

齣版社： 哈爾濱工業大學齣版社

ISBN：9787560369150

版次：1

商品編碼：12333170

包裝：平裝

開本：16

齣版時間：2018-03-01

用紙：膠版紙

內容簡介

Reprint from the English language edition：

Elementary Algebraic Geometry

by K.Kendig

Copyright Springer Science Business Media New York 1977

This work is published by Springer Nature

The registered company is Springer Science Business Media，LLC

All Rights Reserved

目錄

Contents

Chapter1

Examples of curves

Chapter2

Plane curves

Chapter3

Commutative ring theory and algebraic geometry

Chapter4

Varieties of arbitrary dimension

Chapter5

Some elementary mathematics on curves

Bibliography

Notation indes

Subject index

《代數幾何學基礎教程》 前言 代數幾何，一門連接瞭抽象代數與幾何直覺的迷人領域，在現代數學中扮演著至關重要的角色。它以代數的方法研究幾何對象，例如多項式方程的零點集，由此揭示齣深刻的結構和性質。本書旨在為那些對代數幾何感到好奇，希望係統性地建立起該領域基礎知識的讀者提供一份詳實入門指南。我們將循序漸進地探索代數幾何的核心概念，從多項式環的性質齣發，逐漸過渡到更復雜的代數簇的理論。 本書的編排力求邏輯清晰，內容嚴謹。我們不會迴避必要的抽象，但始終會以直觀的幾何解釋來輔助理解，力求在抽象與直觀之間找到最佳的平衡點。本書的目標讀者包括但不限於：對抽象代數有一定瞭解，希望將其應用於幾何研究的本科高年級學生或研究生；對代數幾何在其他領域（如數論、拓撲學、復分析、理論物理等）的應用感到興趣，需要紮實基礎的研究者；以及任何渴望深入探索數學美妙世界的求知者。 第一章：多項式環與理想 本章將作為我們代數幾何之旅的起點。我們將首先迴顧多項式環的基本概念，包括多項式的加法、乘法，以及多項式環的域擴張等。在此基礎上，我們將引入“理想”這一核心代數結構。理想的定義及其基本性質，如理想的生成元、主理想、素理想、極大理想等，將是後續章節討論代數簇的關鍵。我們還會探討一些重要的理想理論，例如希爾伯特基定定理，它為理解多項式方程組的解集提供瞭深刻的代數工具。理解多項式環的結構及其上的理想，如同在代數世界中構建坐標係，為我們描繪幾何對象奠定基礎。 第二章：代數集與簇 從代數結構轉嚮幾何對象，本章將介紹代數集的概念。一個代數集是由一組多項式方程的共同零點構成的集閤。我們將探討代數集的拓撲性質，特彆是引入紮裏斯基拓撲，它是一種與代數集結構緊密相關的特殊拓撲。紮裏斯基拓撲的開集正是那些由多項式方程的非零點構成的集閤。 在此基礎上，我們將引入“代數簇”這一更精細、更核心的概念。代數簇不僅僅是一個集閤，更是一個帶有代數結構的幾何對象。我們將通過“理想的零點集”來定義代數簇，並深入研究不同理想所對應的代數簇之間的關係。例如，相交的代數簇對應著理想的交集，而並集則對應著理想的乘積。理解代數集和代數簇的定義及其拓撲性質，是掌握代數幾何幾何語言的關鍵。 第三章：坐標環 代數幾何的一大魅力在於其“對偶性”，即代數對象與幾何對象之間的深刻聯係。本章將聚焦於“坐標環”，這是與代數簇密切相關的代數結構。對於一個代數簇，我們可以定義其上的正則函數（或稱多項式函數），這些函數的全體構成瞭一個環，稱為該代數簇的坐標環。 我們將闡述坐標環如何捕捉代數簇的代數信息。一個代數簇的幾何性質（如連通性、維數）可以通過其坐標環的代數性質（如整環、素因子分解）來刻畫。例如，兩個代數簇是同構的，當且僅當它們的坐標環是代數同構的。這一章將使讀者深刻體會代數與幾何之間的“對偶”之美。 第四章：維數理論 幾何對象的“維數”是一個直觀且重要的概念，例如點是0維，直綫是1維，平麵是2維。在本章中，我們將發展代數幾何中的維數理論。我們將從代數簇的代數性質齣發，定義其維數。常見的定義方式包括基於理想的素鏈長度，以及基於坐標環的超越次數。 我們將證明這些不同的維數定義是等價的，並探討維數在代數簇中的重要性。例如，一個代數簇的維數決定瞭它的“大小”和復雜程度。我們還會討論低維代數簇的一些基本性質，為進一步學習高維情形打下基礎。 第五章：有理映射與同構 代數簇之間的“映射”也是研究其幾何性質的重要手段。本章將介紹“有理映射”的概念，它是在代數簇上定義的、由有理函數構成的映射。有理映射可以看作是代數簇之間的一種“幾何”聯係。 我們將深入研究“同構”的概念。當兩個代數簇之間存在彼此為有理映射的映射，並且其逆映射也是有理映射時，我們就稱這兩個代數簇是代數同構的。同構是代數幾何中最強的等價關係，意味著兩個代數簇在代數和幾何上是完全等價的。本章將通過例子說明如何判斷兩個代數簇是否同構，以及同構的意義。 第六章：環麵與射影簇 在前麵章節的基礎上，我們將開始考察一些具體的、重要的代數簇。本章將聚焦於“環麵”代數簇。一個環麵代數簇是可以通過一組多項式方程來描述的。我們將研究其代數性質和幾何形狀，並探討它們在不同維數下的錶現。 隨後，我們將引入“射影簇”的概念。射影簇是在射影空間中定義的代數簇。射影空間是仿射空間的一個推廣，它包含瞭“無窮遠點”，從而使得代數簇的性質更加完備。許多重要的代數簇，例如代數麯綫和代數麯麵，都可以在射影空間中找到更自然的描述和研究方式。我們將探討射影簇的特點，以及它們與仿射簇之間的關係。 第七章：理想的性質與希爾伯特零點定理 迴到代數的核心，本章將深入探討理想的性質，並介紹代數幾何中最為重要的定理之一——希爾伯特零點定理。我們將詳細闡述零點定理的內容，它建立瞭理想與代數集之間的深刻聯係。零點定理錶明，在代數閉域上，一個理想的根（radical）的零點集與該理想的根理想是相互對應的。 本章將詳細證明零點定理，並展示其在代數幾何中的廣泛應用。零點定理是連接代數結構（理想）與幾何對象（代數集）的橋梁，它使得我們可以通過研究理想的代數性質來理解代數集的幾何性質。 第八章：代數簇的分類（初步） 代數簇的分類是代數幾何中的一個宏大課題。本章將對代數簇的分類問題進行初步的介紹。我們將探討一些基本的代數簇類型，並討論如何根據它們的代數性質（如虧格、維數）來區分它們。 我們將以代數麯綫為例，介紹其虧格的概念，以及虧格如何決定代數麯綫的幾何性質。雖然完整的代數簇分類極其復雜，本章旨在為讀者建立起一個初步的概念框架，理解代數幾何學傢如何嘗試將無數的代數簇進行係統性的歸類和研究。 第九章：復代數簇 許多重要的代數幾何研究都發生在復數域上，因此本章將專門介紹“復代數簇”。復代數簇是在復數域上的仿射空間或射影空間中定義的代數簇。在復數域上，代數簇會展現齣與實數域上不同的、更為豐富的拓撲和幾何性質。 我們將探討復代數簇與復流形之間的關係，並介紹一些復代數幾何中的經典概念，如緊緻性、連通性等。復代數簇的理論在復分析、微分幾何等領域有著廣泛的應用。 第十章：應用與展望 代數幾何早已超越瞭純數學的範疇，在眾多領域中展現齣強大的生命力。本章將概述代數幾何在其他數學分支以及科學技術中的一些重要應用。 我們將簡要提及代數幾何在數論（如費馬大定理的證明）、代數拓撲、復分析、復幾何等方麵的聯係。此外，代數幾何在密碼學（如橢圓麯綫密碼學）、編碼理論、理論物理（如弦理論）等現代科技領域也扮演著越來越重要的角色。 最後，本章將對代數幾何未來的研究方嚮進行展望，指齣該領域仍然存在的許多未解決的難題和充滿活力的研究前沿。希望本書能夠激發讀者對代數幾何的興趣，並引導他們踏上更深入的學習和探索之旅。 結語 本書的寫作旨在提供一個清晰、嚴謹且易於理解的代數幾何入門。我們希望通過對核心概念的細緻講解和對關鍵定理的深入闡述，幫助讀者建立起堅實的代數幾何基礎。代數幾何是一門充滿美感和力量的學科，它的理論框架不斷被拓展，應用領域也日益廣泛。願本書成為您在代數幾何海洋中航行的第一艘船，帶您領略數學的壯麗風光。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，在拿到這本書之前，我對代數幾何的理解僅限於一些零碎的知識點，很多時候在閱讀論文時會遇到概念上的障礙。這本《代數幾何學基礎教程》簡直是為我量身定做的！它不僅僅是一本“教程”，更像是一位耐心的老師，用一種非常親切的方式把我帶入瞭代數幾何的殿堂。最讓我印象深刻的是，作者並沒有一開始就拋齣過於艱深的理論，而是從代數數論、拓撲學等相關領域巧妙地引入，讓我能夠從熟悉的知識齣發，逐步構建起對代數幾何的認識。書中的講解邏輯嚴謹，條理清晰，每一個概念的提齣都有其鋪墊和緣由。特彆是在介紹Sheaf Theory（層論）時，作者花瞭大量的篇幅來解釋其直觀意義和在代數幾何中的重要性，這一點對於很多初學者來說是至關重要的。我感覺自己不再是被動地記憶公式，而是真正理解瞭這些數學工具的由來和應用。這本書讓我對研究代數幾何的各個分支都有瞭初步的瞭解，並且能夠根據自己的興趣選擇進一步深入的方嚮。

評分☆☆☆☆☆

作為一名數學愛好者，我一直被代數幾何的獨特魅力所吸引，但苦於找不到閤適的入門材料。市麵上不少教材要麼過於理論化，要麼過於側重某個特定的方嚮，導緻初學者難以建立起完整的知識體係。《代數幾何學基礎教程》的齣現，無疑為我解決瞭這個睏境。這本書最大的優點在於其“循序漸進”的教學思路。它從最基本的代數結構齣發，層層遞進，將抽象的概念巧妙地與幾何對象聯係起來。書中對“理想”和“代數簇”之間關係的闡述，以及如何利用代數方法來研究幾何性質，都寫得非常清晰透徹。我尤其欣賞作者對“商環”的講解，它不僅解釋瞭商環的代數定義，還詳細闡述瞭它在幾何上所對應的“商空間”的構造，這對於理解一些更高級的概念至關重要。這本書的齣現，讓我感覺代數幾何不再是遙不可及的學問，而是觸手可及的智慧寶藏。

評分☆☆☆☆☆

我最近在學習代數幾何，之前接觸過一些相關內容，但總覺得零散，沒有形成一個完整的框架。偶然發現瞭這本《代數幾何學基礎教程》，簡直是如獲至寶！這本書的邏輯非常清晰，從最基礎的“代數簇”概念開始，逐步深入到更復雜的“概形”理論，每一個概念的引入都非常自然，並且作者總是會給齣充足的例子來幫助讀者理解。我特彆喜歡書中對“切空間”的講解，它不僅僅給齣瞭切空間的代數定義，還從幾何上解釋瞭它在幾何上的直觀意義，讓我能夠更好地理解代數簇的局部性質。這本書的語言風格也非常棒，既嚴謹又不失生動，讀起來一點都不枯燥。我感覺通過這本書，我對於代數幾何的理解得到瞭質的飛躍，也對未來的學習充滿瞭信心。這本書絕對是代數幾何入門的必讀書籍。

評分☆☆☆☆☆

這本書實在是太令人驚艷瞭！作為一名數學係的本科生，我一直對代數幾何充滿瞭好奇，但又覺得它高深莫測，難以入門。市麵上很多代數幾何的書籍，要麼過於側重抽象的理論，讓人望而卻步；要麼講授的內容過於零散，缺乏係統性。然而，當我翻開《代數幾何學基礎教程》時，立刻被它清晰的邏輯和循序漸進的講解所吸引。作者從最基礎的概念講起，比如多項式環、代數簇的定義，逐步深入到更復雜的課題，比如概形、模空間等。而且，書中並非隻是枯燥的定義和定理，而是穿插瞭大量的例子和幾何直觀的解釋，幫助我理解那些抽象的數學對象。我尤其喜歡書中對射影空間的講解，它用非常生動的方式展現瞭射影幾何的魅力，讓我對代數簇的全局性質有瞭更深刻的認識。即使是那些我之前認為非常睏難的定理，在作者的引導下，也變得相對容易理解瞭。這本書就像一位經驗豐富的嚮導，帶領我一步步探索代數幾何的奇妙世界，讓我重拾瞭學習的信心和熱情。我迫不及待地想繼續深入閱讀，去發現更多代數幾何的奧秘。

評分☆☆☆☆☆

這本《代數幾何學基礎教程》可以說是近幾年來我讀過的最令人振奮的數學書籍之一瞭。對於一些數學分支來說，找到一本既有深度又不失可讀性的入門讀物是相當睏難的。《代數幾何學基礎教程》就完美地剋服瞭這一點。書中在引入例如“概形”這樣在代數幾何中至關重要的概念時，作者並非直接給齣定義，而是通過對“環同態”的深入剖析，以及將其與幾何對象之間的聯係娓娓道來，使得我們能夠自然而然地理解概形所蘊含的幾何意義。我尤其喜歡書中關於“相交數”和“貝祖定理”的講解，作者不僅給齣瞭嚴謹的證明，還結閤瞭具體的例子，比如圓錐麯綫的相交點個數，讓我對這些抽象的定理有瞭非常直觀的感受。這本書的排版和語言都非常用心，即使是麵對一些復雜的證明，也不會感到晦澀難懂。讀完之後，我感覺自己對代數幾何的理解上升到瞭一個新的高度，也更加堅定瞭我在這個領域繼續深入研究的決心。