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[美] 基斯.肯迪格 著

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• 代数几何
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• 数学
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• 数学教材
• 抽象代数

出版社： 哈尔滨工业大学出版社

ISBN：9787560369150

版次：1

商品编码：12333170

包装：平装

开本：16

出版时间：2018-03-01

用纸：胶版纸

内容简介

Reprint from the English language edition：

Elementary Algebraic Geometry

by K.Kendig

Copyright Springer Science Business Media New York 1977

This work is published by Springer Nature

The registered company is Springer Science Business Media，LLC

All Rights Reserved

目录

Contents

Chapter1

Examples of curves

Chapter2

Plane curves

Chapter3

Commutative ring theory and algebraic geometry

Chapter4

Varieties of arbitrary dimension

Chapter5

Some elementary mathematics on curves

Bibliography

Notation indes

Subject index

《代数几何学基础教程》 前言 代数几何，一门连接了抽象代数与几何直觉的迷人领域，在现代数学中扮演着至关重要的角色。它以代数的方法研究几何对象，例如多项式方程的零点集，由此揭示出深刻的结构和性质。本书旨在为那些对代数几何感到好奇，希望系统性地建立起该领域基础知识的读者提供一份详实入门指南。我们将循序渐进地探索代数几何的核心概念，从多项式环的性质出发，逐渐过渡到更复杂的代数簇的理论。 本书的编排力求逻辑清晰，内容严谨。我们不会回避必要的抽象，但始终会以直观的几何解释来辅助理解，力求在抽象与直观之间找到最佳的平衡点。本书的目标读者包括但不限于：对抽象代数有一定了解，希望将其应用于几何研究的本科高年级学生或研究生；对代数几何在其他领域（如数论、拓扑学、复分析、理论物理等）的应用感到兴趣，需要扎实基础的研究者；以及任何渴望深入探索数学美妙世界的求知者。 第一章：多项式环与理想 本章将作为我们代数几何之旅的起点。我们将首先回顾多项式环的基本概念，包括多项式的加法、乘法，以及多项式环的域扩张等。在此基础上，我们将引入“理想”这一核心代数结构。理想的定义及其基本性质，如理想的生成元、主理想、素理想、极大理想等，将是后续章节讨论代数簇的关键。我们还会探讨一些重要的理想理论，例如希尔伯特基定定理，它为理解多项式方程组的解集提供了深刻的代数工具。理解多项式环的结构及其上的理想，如同在代数世界中构建坐标系，为我们描绘几何对象奠定基础。 第二章：代数集与簇 从代数结构转向几何对象，本章将介绍代数集的概念。一个代数集是由一组多项式方程的共同零点构成的集合。我们将探讨代数集的拓扑性质，特别是引入扎里斯基拓扑，它是一种与代数集结构紧密相关的特殊拓扑。扎里斯基拓扑的开集正是那些由多项式方程的非零点构成的集合。 在此基础上，我们将引入“代数簇”这一更精细、更核心的概念。代数簇不仅仅是一个集合，更是一个带有代数结构的几何对象。我们将通过“理想的零点集”来定义代数簇，并深入研究不同理想所对应的代数簇之间的关系。例如，相交的代数簇对应着理想的交集，而并集则对应着理想的乘积。理解代数集和代数簇的定义及其拓扑性质，是掌握代数几何几何语言的关键。 第三章：坐标环 代数几何的一大魅力在于其“对偶性”，即代数对象与几何对象之间的深刻联系。本章将聚焦于“坐标环”，这是与代数簇密切相关的代数结构。对于一个代数簇，我们可以定义其上的正则函数（或称多项式函数），这些函数的全体构成了一个环，称为该代数簇的坐标环。 我们将阐述坐标环如何捕捉代数簇的代数信息。一个代数簇的几何性质（如连通性、维数）可以通过其坐标环的代数性质（如整环、素因子分解）来刻画。例如，两个代数簇是同构的，当且仅当它们的坐标环是代数同构的。这一章将使读者深刻体会代数与几何之间的“对偶”之美。 第四章：维数理论 几何对象的“维数”是一个直观且重要的概念，例如点是0维，直线是1维，平面是2维。在本章中，我们将发展代数几何中的维数理论。我们将从代数簇的代数性质出发，定义其维数。常见的定义方式包括基于理想的素链长度，以及基于坐标环的超越次数。 我们将证明这些不同的维数定义是等价的，并探讨维数在代数簇中的重要性。例如，一个代数簇的维数决定了它的“大小”和复杂程度。我们还会讨论低维代数簇的一些基本性质，为进一步学习高维情形打下基础。 第五章：有理映射与同构 代数簇之间的“映射”也是研究其几何性质的重要手段。本章将介绍“有理映射”的概念，它是在代数簇上定义的、由有理函数构成的映射。有理映射可以看作是代数簇之间的一种“几何”联系。 我们将深入研究“同构”的概念。当两个代数簇之间存在彼此为有理映射的映射，并且其逆映射也是有理映射时，我们就称这两个代数簇是代数同构的。同构是代数几何中最强的等价关系，意味着两个代数簇在代数和几何上是完全等价的。本章将通过例子说明如何判断两个代数簇是否同构，以及同构的意义。 第六章：环面与射影簇 在前面章节的基础上，我们将开始考察一些具体的、重要的代数簇。本章将聚焦于“环面”代数簇。一个环面代数簇是可以通过一组多项式方程来描述的。我们将研究其代数性质和几何形状，并探讨它们在不同维数下的表现。 随后，我们将引入“射影簇”的概念。射影簇是在射影空间中定义的代数簇。射影空间是仿射空间的一个推广，它包含了“无穷远点”，从而使得代数簇的性质更加完备。许多重要的代数簇，例如代数曲线和代数曲面，都可以在射影空间中找到更自然的描述和研究方式。我们将探讨射影簇的特点，以及它们与仿射簇之间的关系。 第七章：理想的性质与希尔伯特零点定理 回到代数的核心，本章将深入探讨理想的性质，并介绍代数几何中最为重要的定理之一——希尔伯特零点定理。我们将详细阐述零点定理的内容，它建立了理想与代数集之间的深刻联系。零点定理表明，在代数闭域上，一个理想的根（radical）的零点集与该理想的根理想是相互对应的。 本章将详细证明零点定理，并展示其在代数几何中的广泛应用。零点定理是连接代数结构（理想）与几何对象（代数集）的桥梁，它使得我们可以通过研究理想的代数性质来理解代数集的几何性质。 第八章：代数簇的分类（初步） 代数簇的分类是代数几何中的一个宏大课题。本章将对代数簇的分类问题进行初步的介绍。我们将探讨一些基本的代数簇类型，并讨论如何根据它们的代数性质（如亏格、维数）来区分它们。 我们将以代数曲线为例，介绍其亏格的概念，以及亏格如何决定代数曲线的几何性质。虽然完整的代数簇分类极其复杂，本章旨在为读者建立起一个初步的概念框架，理解代数几何学家如何尝试将无数的代数簇进行系统性的归类和研究。 第九章：复代数簇 许多重要的代数几何研究都发生在复数域上，因此本章将专门介绍“复代数簇”。复代数簇是在复数域上的仿射空间或射影空间中定义的代数簇。在复数域上，代数簇会展现出与实数域上不同的、更为丰富的拓扑和几何性质。 我们将探讨复代数簇与复流形之间的关系，并介绍一些复代数几何中的经典概念，如紧致性、连通性等。复代数簇的理论在复分析、微分几何等领域有着广泛的应用。 第十章：应用与展望 代数几何早已超越了纯数学的范畴，在众多领域中展现出强大的生命力。本章将概述代数几何在其他数学分支以及科学技术中的一些重要应用。 我们将简要提及代数几何在数论（如费马大定理的证明）、代数拓扑、复分析、复几何等方面的联系。此外，代数几何在密码学（如椭圆曲线密码学）、编码理论、理论物理（如弦理论）等现代科技领域也扮演着越来越重要的角色。 最后，本章将对代数几何未来的研究方向进行展望，指出该领域仍然存在的许多未解决的难题和充满活力的研究前沿。希望本书能够激发读者对代数几何的兴趣，并引导他们踏上更深入的学习和探索之旅。 结语 本书的写作旨在提供一个清晰、严谨且易于理解的代数几何入门。我们希望通过对核心概念的细致讲解和对关键定理的深入阐述，帮助读者建立起坚实的代数几何基础。代数几何是一门充满美感和力量的学科，它的理论框架不断被拓展，应用领域也日益广泛。愿本书成为您在代数几何海洋中航行的第一艘船，带您领略数学的壮丽风光。

评分☆☆☆☆☆

我最近在学习代数几何，之前接触过一些相关内容，但总觉得零散，没有形成一个完整的框架。偶然发现了这本《代数几何学基础教程》，简直是如获至宝！这本书的逻辑非常清晰，从最基础的“代数簇”概念开始，逐步深入到更复杂的“概形”理论，每一个概念的引入都非常自然，并且作者总是会给出充足的例子来帮助读者理解。我特别喜欢书中对“切空间”的讲解，它不仅仅给出了切空间的代数定义，还从几何上解释了它在几何上的直观意义，让我能够更好地理解代数簇的局部性质。这本书的语言风格也非常棒，既严谨又不失生动，读起来一点都不枯燥。我感觉通过这本书，我对于代数几何的理解得到了质的飞跃，也对未来的学习充满了信心。这本书绝对是代数几何入门的必读书籍。

评分☆☆☆☆☆

作为一名数学爱好者，我一直被代数几何的独特魅力所吸引，但苦于找不到合适的入门材料。市面上不少教材要么过于理论化，要么过于侧重某个特定的方向，导致初学者难以建立起完整的知识体系。《代数几何学基础教程》的出现，无疑为我解决了这个困境。这本书最大的优点在于其“循序渐进”的教学思路。它从最基本的代数结构出发，层层递进，将抽象的概念巧妙地与几何对象联系起来。书中对“理想”和“代数簇”之间关系的阐述，以及如何利用代数方法来研究几何性质，都写得非常清晰透彻。我尤其欣赏作者对“商环”的讲解，它不仅解释了商环的代数定义，还详细阐述了它在几何上所对应的“商空间”的构造，这对于理解一些更高级的概念至关重要。这本书的出现，让我感觉代数几何不再是遥不可及的学问，而是触手可及的智慧宝藏。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，在拿到这本书之前，我对代数几何的理解仅限于一些零碎的知识点，很多时候在阅读论文时会遇到概念上的障碍。这本《代数几何学基础教程》简直是为我量身定做的！它不仅仅是一本“教程”，更像是一位耐心的老师，用一种非常亲切的方式把我带入了代数几何的殿堂。最让我印象深刻的是，作者并没有一开始就抛出过于艰深的理论，而是从代数数论、拓扑学等相关领域巧妙地引入，让我能够从熟悉的知识出发，逐步构建起对代数几何的认识。书中的讲解逻辑严谨，条理清晰，每一个概念的提出都有其铺垫和缘由。特别是在介绍Sheaf Theory（层论）时，作者花了大量的篇幅来解释其直观意义和在代数几何中的重要性，这一点对于很多初学者来说是至关重要的。我感觉自己不再是被动地记忆公式，而是真正理解了这些数学工具的由来和应用。这本书让我对研究代数几何的各个分支都有了初步的了解，并且能够根据自己的兴趣选择进一步深入的方向。

评分☆☆☆☆☆

这本《代数几何学基础教程》可以说是近几年来我读过的最令人振奋的数学书籍之一了。对于一些数学分支来说，找到一本既有深度又不失可读性的入门读物是相当困难的。《代数几何学基础教程》就完美地克服了这一点。书中在引入例如“概形”这样在代数几何中至关重要的概念时，作者并非直接给出定义，而是通过对“环同态”的深入剖析，以及将其与几何对象之间的联系娓娓道来，使得我们能够自然而然地理解概形所蕴含的几何意义。我尤其喜欢书中关于“相交数”和“贝祖定理”的讲解，作者不仅给出了严谨的证明，还结合了具体的例子，比如圆锥曲线的相交点个数，让我对这些抽象的定理有了非常直观的感受。这本书的排版和语言都非常用心，即使是面对一些复杂的证明，也不会感到晦涩难懂。读完之后，我感觉自己对代数几何的理解上升到了一个新的高度，也更加坚定了我在这个领域继续深入研究的决心。

评分☆☆☆☆☆

这本书实在是太令人惊艳了！作为一名数学系的本科生，我一直对代数几何充满了好奇，但又觉得它高深莫测，难以入门。市面上很多代数几何的书籍，要么过于侧重抽象的理论，让人望而却步；要么讲授的内容过于零散，缺乏系统性。然而，当我翻开《代数几何学基础教程》时，立刻被它清晰的逻辑和循序渐进的讲解所吸引。作者从最基础的概念讲起，比如多项式环、代数簇的定义，逐步深入到更复杂的课题，比如概形、模空间等。而且，书中并非只是枯燥的定义和定理，而是穿插了大量的例子和几何直观的解释，帮助我理解那些抽象的数学对象。我尤其喜欢书中对射影空间的讲解，它用非常生动的方式展现了射影几何的魅力，让我对代数簇的全局性质有了更深刻的认识。即使是那些我之前认为非常困难的定理，在作者的引导下，也变得相对容易理解了。这本书就像一位经验丰富的向导，带领我一步步探索代数几何的奇妙世界，让我重拾了学习的信心和热情。我迫不及待地想继续深入阅读，去发现更多代数几何的奥秘。