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马知恩，王锦森 著

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• 高等数学
• 微积分
• 基础数学
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• 大学教材
• 数学分析
• Calculus
• Foundation
• Mathematics
• Higher Education

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040154849

版次：1

商品编码：10002081

包装：平装

开本：16开

出版时间：2005-01-01

用纸：胶版纸

页数：390

正文语种：英语

内容简介

The aim of this book is to meet the requirements of teaching Calculus in English or in bilin． gual education according to the customs of teaching and the present domestic conditions．It is divided into two volumes．The first volume contains Calculus of single variable，simple differential equations，infinite series，and the second volume contains the rest．
The selection of the contents is in accordance with the fundamental requirements of teaching issued by the Ministry of Education of China，and is based on the accOmDlishments of reform in teaching during the past ten years．The arrangement and explanation of the main contents in this book are approximately the same as the published Chinese version with the same title and edited in chief by the first two authors．It may help readers to understand the mathematics and to improve the level of their English by reading one of them and using the other one as a reference． This book may be used as a textbook for undergraduate students in the science and engi． neering schools whose majors are not mathematics，and may also be suitable to the readers at the same level．

目录

~Introduction
Chapter l Theoretical Basis of Calculus
1．1 Sets and Functions
1．1．1 Sets and their operations
1．1．2 Concepts of mappings and functions
1．1．3 Composition of mappings and composition of functions
1．1．4 Inverse mappings and inverse functions
1．1．5 Elementary functions and hyperbolic functions
1．1．6 Some examples for modelling of functions in practical problems

Exercises 1．1
1．2 Limit of Sequence
1．2．1 Concept of limit of a sequence
1．2．2 Conditions for c onvergenc e of a sequenc e
1．2．3 Rules of operations on convergent sequenc es
Exercises 1．2
l-3 Limit of Function
1-3．1 The concept of limit of a function
1．3．2 The properties and operation rules of functional limits
1-3-3 Two important limits
Exercises 1．3
1．4 Infinitesimal and Infinite Quantities
1．4．1 Infinitesimal quantities and their order
1．4．2 Equivalence transformations of infinitesimals
1．4．3 Infinite quantities
ExereIses 1．4
1．5 ContinUOUS Functions
1．5．1 The concept of continuous function and classification ofdisc ontinuous points
1．5．2 Operations on continuous functions and the continuAy of elementary funct~~ns
1．5．3 Properties of continuous funct~~ns on a closed interval
Exercises 1．5
Chapter 2 The Differcmtial Caleukls and Its Applications
2．1 Concept of Derivatives
2．1．1 Definition of derivatives
2．1．2 Relationship between derivability and continuity
2．1．3 Some examples of derivative prob~~ms in sconce and technology

Exercises 2．1
2．2 Fundamental Derivation Rules
2．2．1 Derivation rules for sum，difference，product and quotient of functions
2．2．2 Derivation rule for composite functions
2．2．3 The derivative of an inverse function
2．2．4 Higher-order derivatives
Exercises 2．2
2．3 Derivation of Implicit Functions and Functions Defined by Parametric Equations
2．3．1 Method of derivation of implicit functions
2．3．2 Method of derivation of a function defmed by parametric equations
2．3．3 Related rates of change
Exercises 2．3
2．4 The Differential
2．4．1 Concept of the differential
2．4．2 Geometric meaning of the differential
2．4．3 Rules of operations on differentials
2．4．4 Application of the differential in approximate computation
Exercises 2．4
2．5 The Mean Value Theorem in Differential Calculus and L’Hospital’S Rules
2．5．1 Mean value theorems in differential calculus
2．5．2 L’Hospital’S rules
Exercises 2．5
2．6 Taylor’S Theorem and Its Applications
2．6．1 Taylor’S theorem
2．6．2 Maclaurin formulae for some elementary functions
2．6．3 Some applications of Taylor’S theorem
Exerc ises 2．6
2．7 Study of Properties of Functions
2．7．1 Monotonicity of functmns
2．7．2 Extreme values of functions
2．7．3 Global maxima and minima
2．7．4 Convexity of functmns
Exercises 2．7
Synthetic exerc ises

Chapter 3 The Integral Calculus and Its Applications
3．1 Concept and Properties of Definite Integrals
3．1．1 Examples of definite integral problems
3．1．2 The definition of definite integral
3．1．3 Properties of defmite integrals
Exercises 3．1
3．2 The Newton-Leibniz Formula and the Fundamental Theorems of Calculus
3．2．1 Newton-Leibniz formula
3．2．2 Fundamental theorems of CalcUlus
Exercises 3．2
3．3 Indefinite Integrals and Integration
3．3．1 IndeKmite integrals
3．3．2 Integration by substitutions
3．3．3 Integration by parts
3．3．4 Quadrature problems for elementary fundamental functions
Exercises 3．3
3．4 Applications of Definite Integrals
3．4．1 Method of elements for setting up integral representations
3．4．2 Some examples on the applications of the defmite integral in geometry
3．4．3 Some examples of applications ofthe definite integralin physics
Exercises 3．4
3．5 Some Types of Simple Differential Equations
3．5．1 Some fundamental concepts
3．5．2 First order differential equations with variables separable
3．5．3 Linear equations offirst order
3．5．4 Equations of first order solvable by transformations of variables
3．5．5 Differential equations of second order solvable by reduced order
methods
3．5．6 Some examples of application of differential equations
Exertises 3．5
3．6 Improper Integrals
3．6．1 Integration on an infinite interval
3．6．2 Integrals of unbounded functions
Exercises 3．6

Chapter 4 Infinte Series
4．1 Series of Constant Terms
4．I．I Concepts and properties of series with constant terms
4．1．2 Convergence tests for series of positive terms
4．1．3 Series with variation of signs and tests for convergence
Exercises 4．1
4 2 Power Series
4．2．I Concepts of series of functions
4．2．2 Convergence of power series and operations on power series
4．2．3 Expansion of functions in power series
4．2．4 Some examples of applications of power series
4．2．5 Uniform convergence of series of functions
Exercises 4．2
4．3 Fourier Series
4．3．1 Periodic functions and trigonometric series
4．3．2 Orthogonality of the system of trigonometric functions and Fourier series
4．3．3 Fourier expansions of periodic functions
4．3．4 Fourier expansion of functions defined on the interval[O，l]
4．3．5 Complex form of Fourier series
Exercises 4．3
Synthetic exerc ises
Appendix Answers and Hints for Exercises~

前言/序言

In order to improve the English level of students in China and to make use of successful teaching experiences in Western countries，universities in China have begun to use bilingual teaching in classrooms．To accomodate this，Eng． 1ish language textbooks are

《高等数学基础1（英文版）》内容概览 《高等数学基础1（英文版）》 是一本旨在为初学者和需要巩固基础知识的读者提供严谨、全面数学概念介绍的教材。本书聚焦于微积分学的核心基础，是后续深入学习高等数学、应用数学、工程学、物理学以及经济学等量化领域不可或缺的敲门砖。 本书的编写遵循循序渐进的原则，力求在概念的精确性与教学的直观性之间取得完美的平衡。通过大量的图示、详尽的步骤分解和精心设计的习题，读者将能够逐步建立起对极限、导数和定积分等核心概念的深刻理解。 --- 第一部分：预备知识与函数基础 (Foundational Concepts and Functions) 本部分为读者奠定坚实的代数和几何基础，确保所有学习者都具备进入微积分学习所需的必要工具和思维框架。 1. 集合、逻辑与证明方法 (Sets, Logic, and Proof Techniques): 首先，我们回顾了基本的集合论概念，包括集合的表示法、子集、交集、并集和补集运算。在此基础上，引入了基本的命题逻辑（如蕴涵、等价、量词的使用）。对于数学证明的严格性至关重要，本章详细介绍了数学归纳法（Principle of Mathematical Induction）作为核心工具，并辅以直接证明、反证法（Proof by Contradiction）和构造性证明的示例，为后续的定理证明打下方法论基础。 2. 实数系统与不等式 (The Real Number System and Inequalities): 深入探讨实数的完备性（Completeness Axiom），这是理解极限概念的基础。详细讲解了区间表示法、绝对值及其性质，并提供了求解各类代数不等式和绝对值不等式的系统方法。对上确界（Supremum）和下确界（Infimum）的初步介绍，为后续的收敛性分析埋下伏笔。 3. 函数的本质 (The Essence of Functions): 本章是对函数概念的全面梳理。定义了函数的域（Domain）和值域（Range），并区分了显函数与隐函数。重点分析了几类重要的函数族： 代数函数 (Algebraic Functions): 包括多项式函数（Polynomials）的性质、有理函数（Rational Functions）的渐近线分析。 超越函数 (Transcendental Functions): 详细阐述了指数函数（Exponential Functions）的增长特性及其反函数——自然对数函数（Natural Logarithm）的定义和微积分性质。三角函数（Trigonometric Functions）的回顾着重于其周期性、奇偶性及其在单位圆上的定义，并引入反三角函数（Inverse Trigonometric Functions）的求导法则。 4. 函数的图形与变换 (Graphing and Transformations): 教授读者如何通过代数方法分析函数的性质，包括对称性、周期性。系统地介绍了函数图像的平移（Shifts）、伸缩（Stretches/Compressions）和反射（Reflections），使读者能够快速准确地描绘基本函数的复合变换后的图形。 --- 第二部分：极限与连续性 (Limits and Continuity) 这是微积分的基石。本部分力求用最严谨的语言阐释“无限接近”这一核心思想。 5. 极限的概念 (The Concept of the Limit): 本章是全书的重点和难点。首先，从直观的图形和数值逼近角度引入极限（Limit）的概念。随后，引入了ε-δ 定义 (The Epsilon-Delta Definition)，这是理解极限严格性的关键。通过大量的实例，读者将学会如何根据定义来验证或反驳一个极限的存在性。 6. 极限的运算法则与性质 (Limit Laws and Properties): 讲解了极限的代数运算规则，包括和、差、积、商的极限法则，以及常数倍法则。深入分析了极限的比较性质，例如“夹逼定理”（Squeeze Theorem/Sandwich Theorem），该定理在处理复杂函数（如涉及三角函数或阶乘的极限）时极为有效。 7. 趋于无穷的极限与渐近线 (Limits at Infinity and Asymptotes): 讨论了函数在 $x o pminfty$ 时的行为，这直接关联到水平渐近线（Horizontal Asymptotes）的确定。同时，引入了“无穷极限”（Infinite Limits），探讨函数在某一点垂直趋于无穷的情况，从而完整地构建了识别所有三种基本渐近线的方法。 8. 连续性 (Continuity): 基于极限的定义，本章给出了函数在一点连续和在区间上连续的严格定义。分析了不连续点的类型（可去、跳跃、无穷不连续点）。随后，阐述了连续函数的四大核心定理，特别是介值定理（Intermediate Value Theorem, IVT）和最值定理（Extreme Value Theorem, EVT），这些定理在后续的优化问题中具有基础性作用。 --- 第三部分：导数的概念与计算 (The Derivative: Concept and Computation) 导数是描述瞬时变化率的强大工具，本部分将概念转化为实用的计算方法。 9. 导数的定义与几何意义 (The Definition and Geometric Meaning of the Derivative): 导数被定义为切线斜率（Slope of the Tangent Line）和瞬时变化率（Instantaneous Rate of Change）。详细推导了导数的极限定义，即差商的极限。讨论了可导性（Differentiability）与连续性的关系（可导必连续，反之不然）。引入了基本初等函数的导数公式，包括幂函数、指数函数和对数函数的求导。 10. 导数的运算法则 (Differentiation Rules): 这是实现高效计算的关键。系统地推导并应用了： 和、差、常数倍法则。 乘积法则（Product Rule）和商法则（Quotient Rule）。 链式法则（The Chain Rule）：作为复合函数求导的核心工具，本书用多层示例来确保读者彻底掌握。 11. 隐函数求导与相关变化率 (Implicit Differentiation and Related Rates): 讲解了如何对未明确解出 $y$ 的方程（隐函数）求导，这在几何和物理问题中极为常见。随后，通过大量涉及时间变化的实际问题（如水箱注水、运动物体轨迹等），演示如何应用导数概念解决“相关变化率”问题。 12. 高阶导数与隐式函数求导 (Higher-Order Derivatives and Implicit Function Differentiation): 引入二阶、三阶导数的概念及其物理意义（如加速度、曲率）。对隐函数求导的技巧进行进一步的巩固，为后续的曲线描绘做好准备。 --- 第四部分：导数的应用 (Applications of the Derivative) 导数的力量在于其解决现实世界中优化、近似和形状分析的能力。 13. 极值与中值定理 (Extrema and Mean Value Theorem): 识别函数的局部最大值和最小值（Local Extrema），并确定临界点（Critical Points）。介绍了费马定理（Fermat's Theorem）和罗尔定理（Rolle's Theorem）。核心是均值定理（Mean Value Theorem, MVT），并阐释了它在证明函数性质中的核心地位。 14. 导数在函数分析中的应用 (The Derivative in Function Analysis): 利用一阶导数分析函数的增减性（Increasing/Decreasing）和局部极值（通过一阶导数检验）。引入二阶导数分析函数的凹凸性（Concavity）和拐点（Inflection Points，通过二阶导数检验）。通过综合分析，读者学会绘制复杂函数的精确图像。 15. 洛必达法则 (L'Hôpital's Rule): 专门用于处理 $0/0$ 或 $infty/infty$ 型未定式极限的强大工具。详细介绍了该法则的应用条件及其在求解各种其他未定式（如 $0 cdot infty$, $infty^0$）时的转换技巧。 16. 优化问题 (Optimization Problems): 本章是导数应用的高潮。通过结构化的步骤指导读者解决最大化/最小化问题，包括最大化面积、最小化成本、求解最大反应速率等实际工程与经济问题。 17. 牛顿法与线性近似 (Newton's Method and Linear Approximation): 介绍如何利用导数进行局部线性近似（Tangent Line Approximation），这是数值分析的基础。重点阐述牛顿法（Newton's Method），一种高效的迭代算法，用于寻找方程的近似根。 --- 第五部分：积分的初步 (Introduction to Integration) 本部分将视角从变化率反转，探讨累积和面积的概念，引出定积分。 18. 反导数与不定积分 (Antiderivatives and Indefinite Integrals): 定义反导数（Antiderivative）的概念，并系统列出基本函数的反导数公式。引入不定积分符号 $int f(x) dx$ 和积分常数 $C$ 的重要性。 19. 定积分与黎曼和 (Definite Integrals and Riemann Sums): 从计算曲线下面积的几何问题出发，引入黎曼和（Riemann Sum）的概念，作为定积分的严格定义基础。讨论了上和与下和，并分析了积分的存在性条件。 20. 微积分基本定理 (The Fundamental Theorem of Calculus, FTC): 这是微积分的伟大统一。详细区分并阐述FTC的第一部分（微分与积分的互逆性）和第二部分（计算定积分的实用方法）。本书将重点展示如何使用反导数来高效计算定积分，从而连接了变化率（导数）和累积量（积分）之间的深刻关系。 --- 总结： 《高等数学基础1（英文版）》结构清晰，内容严谨，不仅教授了学生如何“做”数学（计算技巧），更重要的是引导学生理解“为什么”——为什么极限是必需的，为什么导数具有这种性质，以及微积分如何统一了看似不相关的微分与积分两大分支。本书的全面性和深度，确保了读者在进入更高级的数学和科学领域时，拥有坚实、可靠的数学基础。

评分☆☆☆☆☆

作为一名已经离开校园多年的职场人士，近期因为工作需要重新拾起高等数学。选择这本《Calculus Fundamentals 1》英文版，主要是被其“基础”二字所吸引，希望能找到一本能够帮助我快速回顾和巩固基础知识的教材。这本书的表现超出了我的期望。它的叙述方式非常直接和简洁，避免了过多的理论铺垫和不必要的数学术语堆砌，这一点对于我这样希望“学以致用”的读者来说尤为重要。书中提供的例题都是非常典型的、贴近实际应用场景的，比如在讲解应用题时，它会详细分析如何将实际问题转化为数学模型，并给出详细的解题步骤。这让我能够清晰地看到高等数学在现实世界中的价值，也更容易激发学习的动力。我特别欣赏书中对一些易混淆概念的区分和辨析，比如对函数定义域和值域的详细阐述，以及对连续性和可导性的深入探讨。这些都是我之前学习时容易忽略但又至关重要的基础。总的来说，这本书是一本非常实用的“工具书”，它帮助我以最快的速度找到了学习的切入点，让我能够有效地应对工作中的挑战。

评分☆☆☆☆☆

我是一名对数学充满好奇，但又经常被高等数学的抽象概念所困扰的研究生。接触到这本《Calculus Fundamentals 1》英文版纯属偶然，但它带来的惊喜却远远超出了我的预期。首先，它的理论深度和广度都相当可观，但并非那种高高在上、晦涩难懂的学术论文风格。相反，作者在阐述复杂的定理和证明时，始终保持着一种清晰的逻辑线条和严谨的论证过程，让我能够感受到数学的逻辑之美。让我印象深刻的是，书中对于导数和积分的联系的讲解，不是简单地罗列基本定理，而是深入剖析了它们之间的内在关系，以及它们在解决实际问题中的重要性，比如在物理学和工程学中的应用，这极大地拓宽了我的视野。此外，这本书的语言风格非常具有启发性，充满了一种探索精神，仿佛作者在引领读者一起探索数学的未知领域。我尤其喜欢书中偶尔出现的数学史小故事，它们不仅丰富了教材的内容，也让我看到了数学发展背后的人文情怀。虽然这本书的难度确实不低，但对于我这样希望深入理解高等数学核心概念的研究者来说，它无疑是一本宝贵的参考资料，能够帮助我打下坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

我是一个数学爱好者，平时喜欢阅读一些与数学相关的书籍，偶然间发现了这本《Calculus Fundamentals 1》英文版，便购入阅读。这本书给我带来了全新的视角和深刻的启发。它不仅仅是一本教科书，更像是一次数学思想的探索之旅。作者在讲解每一个概念时，都不仅仅停留在公式和定理的层面，而是深入挖掘了这些概念背后的数学思想和哲学含义。例如，在讲解积分的概念时，书中不仅给出了黎曼积分的定义，还探讨了积分在累积、面积计算以及概率统计等领域的深远意义，这让我对积分有了更深层次的理解。此外，这本书的写作风格非常独特，它融合了严谨的数学论证和富有洞察力的思考，既有学术的深度，又不失文学的韵味。我特别喜欢书中关于数学归纳法和数学证明的章节，它让我看到了数学的逻辑之美和证明的艺术。这本书也引发了我对数学与其他学科交叉应用的思考，比如在计算机科学和经济学中，微积分是如何扮演重要角色的。总而言之，这本《Calculus Fundamentals 1》英文版是一本能够引发读者深度思考的书籍，它不仅能够帮助我巩固数学知识，更能激发我对数学的更深层次的热爱和探索欲。

评分☆☆☆☆☆

说实话，我本来是对这本《Calculus Fundamentals 1》英文版没有抱太大期望的，因为我一直觉得数学类书籍，尤其是英文原版的，要么过于理论化，要么就是过于简化，很难找到一个平衡点。但是，这本书彻底改变了我的看法。它的内容非常全面，覆盖了高等数学基础课程的所有核心知识点，并且在讲解的深度上也做得相当到位。我尤其喜欢书中对每一个概念的逻辑推导过程，不是那种“直接给出结论”的写法，而是循序渐进地展示了数学家们是如何一步步构建出这些理论的，这让我感受到了数学的严谨性和创造力。同时，这本书的语言风格非常流畅，即使是复杂的数学证明，在作者的笔下也变得清晰易懂，不会让人产生望而却步的感觉。我还注意到，书中在讲解过程中，穿插了大量的图表和几何解释，这对于理解抽象的数学概念非常有帮助，尤其是那些与空间和变化相关的概念。而且，这本书的习题集非常丰富，涵盖了不同难度和类型的题目，对于巩固和深化理解非常有价值。总的来说，这是一本集深度、广度、易读性和实践性于一体的优秀教材，强烈推荐给所有想要系统学习高等数学的学生。

评分☆☆☆☆☆

这本《Calculus Fundamentals 1》（高等数学基础1英文版）真的让我眼前一亮。作为一名刚开始接触微积分的学生，我一直担心会因为语言的障碍而跟不上，但这本书的翻译质量非常高，术语解释清晰，例题讲解也循序渐进，非常适合自学。我特别喜欢书中对每一个概念的引入方式，不会上来就抛出一堆公式，而是从直观的几何意义或者实际应用入手，比如一开始讲解极限时，作者就用了一个非常形象的“逼近”的比喻，让我一下子就明白了极限的精髓。而且，这本书的排版也非常舒服，图示清晰，重点标记明确，不像我之前看的很多教材那么拥挤和枯燥。每一章的习题设计也很有梯度，从基础巩固到拔高训练，让我能够一步步地掌握知识点。我尤其欣赏的是，书中提供的答案解析非常详尽，即使我做错了，也能通过解析理解错在哪里，而不是简单地给出一个错误答案。这对于提高解题能力和培养独立思考能力非常有帮助。我真的推荐所有和我一样对微积分感到迷茫的学生选择这本书，它会让你发现微积分并非那么难以理解，甚至可以变得有趣起来。

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买书上瘾了，呵呵。买书上瘾了，呵呵。

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送给朋友的，感觉还好

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