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适读人群 ：数学模型与数学建模可作为高等学校数学与应用数学专业、信息与计算科学专业、统计学专业、系统工程专业、工商管理等专业的本科生或研究生的教材 也可作为工程技术人员、管理人员和相关学者的参考书。《数学模型与数学建模》内容适合数学与应用数学专业的特点和要求，同时兼顾信息与计算科学专业、统计学专业、系统工程、管理科学与工程、工商管理等专业的要求，可作为相关专业的本科生和研究生的教材，也可作为工程技术人员、管理干部和相关学者的参考书。
内容简介
数学模型与数学建模的内容包括数学建模常用软件介绍, 代数模型, 微分与差分方程模型, 数学规划, 概率统计方法模型, 图论模型, 预测和决策模型, 全国大学生数学建模真题. 数学模型与数学建模注重阐述各类数学模型的基本原理和方法, 使之具有一定的系统性和新颖性; 同时也介绍了求解数学模型的MATLAB软件、LINGO 软件和R 软件. 为了便于读者理解和掌握数学模型与数学建模的内容, 数学模型与数学建模给出了部分案例的模型及其求解程序代码, 并配有适量的习题.目录
前言第 1章绪论 11.
1数学模型的概念及其特点 1
1.
2数学模型的分类 2
1.
3数学建模的基本步骤和方法 4
1.4数学建模和竞赛及其对大学生创新能力培养的作用 5
第 2章数学建模常用软件 7
2.1
MATLAB软件介绍 7
2.1.1
MATLAB软件的常用命令 7
2.1.2
MATLAB常用数据类型 9
2.1.3
MATLAB的矩阵运算 10
2.1.4
MATLAB的图形绘制 12
2.1.5
MATLAB基本程序设计 . 13
2.2
LINGO软件介绍 15
2.2.1
LINGO软件的安装 15
2.2.2
LINGO软件的基本操作 16
2.2.3
LINGO语言程序设计 20
2.3
R软件 .25
2.3.1
R软件的下载安装与基本操作 26
2.
3.2数字与向量运算 28
2.
3.3多维数组和矩阵 29
2.
3.4列表与数据框 30
2.
3.5读、写数据文件 32
2.3.6控制流
35
2.3.7编写自己的函数 36习题 38第 3章代数模型 . 42
3.1投入产出模型 42
3.1.1投入产出模型简介 . 42
3.1.2投入产出模型的产品分配方程 42
3.1.3投入产出模型的产值构成方程 43
3.1.4列昂捷夫矩阵的存在性 44
3.1.5列昂捷夫矩阵的近似估计 44
3.1.6投入产出模型的应用 45
3.2马尔可夫预测模型 . 46
3.3层次分析法 52
3.3.1层次分析法的基本原理 52
3.3.2层次分析法的基本步骤 58
3.3.3单一准则下互反判断矩阵排序向量的实用算法 59
3.3.4群决策排序向量简洁算法 61习题 63第 4章微分与差分方程模型 . 66
4.1常微分方程模型 66
4.1.1饮酒驾车模型 66
4.1.2交通信号灯黄灯管制模型 71
4.2常微分方程组模型 . 75
4.2.1传染病模型 . 75
4.2.2种群增长模型 83
4.2.3无干扰的男生追女生模型 92
4.3偏微分方程模型 95
4.4差分方程模型 99
4.4.1差分方程及其平衡点的稳定性 99
4.4.2个人住房贷款模型 102
4.4.3蛛网模型 106习题 111第 5章数学规划 113
5.1线性规划 113
5.1.1线性规划问题的数学模型及其标准形式 113
5.1.2线性规划问题的 LINGO软件和 MATLAB软件求解 116
5.1.3线性规划应用案例 118
5.2非线性规划 . 122
5.2.1非线性规划问题的数学模型和基本概念 123
5.2.2凸函数 124
5.2.3凸规划及其性质 125
5.2.4含不等式约束的非线性规划问题的最优性条件 126
5.2.5应用 LINGO, MATLAB软件求解非线性规划 127
5.3整数规划 128
5.3.1整数规划的例子和数学模型的一般形式 128
5.3.2整数线性规划解的特点 131
5.3.3割平面方法和分支定界方法 131
5.3.4指派问题的数学模型 .132
5.3.5应用 LINGO软件求解整数规划 133
5.4多目标规划 . 134习题 137第 6章概率统计方法模型 140
6.1概率模型与 Monte CArlo模拟 140
6.1.1概率模型 140
6.1.2 Monte CArlo模拟 143
6.2报童问题与随机库存模型 147
6.2.1报童问题 147
6.2.2随机库存模型 . 148
6.3线性回归模型 150
6.3.1多元线性回归模型 150
6.3.2逐步回归模型 . 155
6.4非线性回归模型 158
6.5方差分析模型 162
6.5.1样本分布的正态性检验 162
6.6主成分分析和因子分子模型 168
6.6.1主成分分析 168
6.6.2因子分析 173
6.7聚类分析 175
6.7.1距离 176
6.7.2谱系聚类法 177习题 180
第 7章图论模型 186
7.1基本概念 186
7.1.1图及其分类 186
7.1.2顶点的次 188
7.1.3子图 189
7.1.4连通图 189
7.1.5网络 190
7.1.6图的矩阵表示 . 191
7.2最短路模型 . 192
7.2.1 DijkstrA算法模型 192
7.2.2 Floyd算法模型 195
7.2.3 0-1规划模型 197
7.3网络流模型 . 198
7.3.1最大流模型 198
7.3.2最小费用最大流模型 .207
7.4最优连线模型与最优环游模型 212
7.4.1最小生成树模型 213
7.4.2旅行商模型 217习题 222第 8章预测和决策模型 224
8.1常用的单项预测模型 224
8.1.1时间序列预测模型 224
8.1.2回归分析预测模型 226
8.1.3灰色系统预测模型 228
8.2组合预测模型 230
8.2.1非最优的组合预测模型 230
8.2.2最优线性组合预测模型的建立 233
8.2.3最优组合预测模型的实例分析 234
8.3不确定型决策 236
8.4风险型决策 . 238
8.4.1最大可能法 238
8.4.2最大期望收益值准则 .238
8.4.3具有样本情报的决策分析 (贝叶斯决策 ) 239
8.5多属性决策模型 242
8.5.1多属性决策方法 242
8.5.2基于 OWA算子的多属性决策模型 243
8.5.3基于 OWA算子的多属性决策方法 244
8.6对策论模型 . 245
8.6.1矩阵对策的数学模型 .246
8.6.2矩阵对策的混合策略 .248
8.6.3非合作的对策模型 249
8.6.4合作 n人对策 252
习题 254
第 9章全国大学生数学建模竞赛真题 256
9.1高等教育学费标准探讨 . 256
9.1.1问题提出与分析 256
9.1.2若干模型假设 . 257
9.1.3模型符号说明 . 257
9.1.4基于描述性统计量的我国高等教育学费的现状分析 258
9.1.5高等教育学费标准确定的三种主要模型 259
9.1.6高等教育学费标准确定的三种主要模型的实证分析 264
9.1.7模型的优缺点分析 267
9.1.8高等教育学费的若干政策建议 267
9.2公交查询系统的最佳乘车方案研究与设计 269
9.2.1问题分析 270
9.2.2模型假设 270
9.2.3符号说明 270
9.2.4公汽站点之间线路选择模型 271
9.2.5同时考虑公汽与地铁最佳线路选择模型 280
9.2.6已知站点间步行时间的线路选择模型 . 289
9.3 DVD租赁优化方案 293
9.3.1问题的重述 294
9.3.2模型假设及符号说明 .294
9.3.3模型的建立及求解 295
9.3.4结果分析 304
9.3.5模型的优缺点 . 304参考文献 306
精彩书摘
1.1数学模型的概念及其特点数学模型的历史可以追溯到人类开始应用数学的时代 .自从人类使用数字开始 ,人们就不断地建立各种数学模型 ,以解决各种各样的实际问题 .在科学技术迅速发展的今天 ,随着各类实际问题的需要 ,数学模型越来越多地出现在人们的生产和生活中 ,如企业管理者、电气工程师、气象工作者、生物医学专家等 ,他们经常需要利用数学的工具去解决企业管理、人工智能、天气预报、药物疗效分析等各行各业的专业性问题.用数学工具处理实际问题的方法就是在合理假设的基础上 ,通过建立相关的数学模型 ,来实现对实际问题的求解 .因此 ,建立数学模型是实际问题与数学工具之间联系的一座不可或缺的桥梁 .
我们通过历史上著名的哥尼斯堡七桥问题为例 ,了解如何从实际问题提取和抽象出恰当的数学模型 ,来实现对实际问题的求解 .在哥尼斯堡的一个公园里 ,有七座桥将普雷格尔河中两个岛及岛与河岸连接起来 .当时产生了这样一个问题 ,即某人是否可能从这四块陆地中任何一块出发 ,恰好通过每座桥一次 ,再回到起点？
伟大的瑞士数学家欧拉 (LeonhArd Euler)1736年发表论文完满回答了这一问题 ,并将问题一般化为 “任意河道图和任意多座桥 ,能否一条路线通过每座桥恰好一次？ ”.欧拉在论文中将陆地抽象成点 ,桥抽象成线 .4块陆地区域及 7座桥被简化和抽象成 4个点 (A, B, C,D)及连接这 4个点的 7条线 .这样就将问题转化成了图论中的一笔画问题 ,即能否找到一个恰好包含了所有的线 (或边 ),并且没有重复的路径 .在图论中定义 ,凡是经过一点的关联线 (或边 )条数为奇数 ,则称该点为奇点 ;凡是经过一点
的关联线 (或边 )条数为偶数 ,则称该点为偶点 .欧拉在论文中做了如下论证：
(1)
若图中奇点只有一个或超过两个以上 ,不能实现一笔画 ;
(2)
若图中奇点仅有两个 ,则由任一奇点出发 ,可实现一笔画而停在另一奇点上 ;
(3)
若图中每个点都是偶点 ,则从任一点出发 ,可实现一笔画而回到出发点 .
根据上述三条结论 ,图哥尼斯堡七桥问题所抽象出的图中的四个点均为奇点 ,因此不能实现一笔画 .也就是说 ,没有一条线路能经过每座桥恰好一次 .进而我们可以根据上述三条结论判断任意一个网络图能否实现一笔画 .
所谓数学模型 ,是指针对或参照现实世界中某类事物系统的主要特征、主要关系 ,经过简化与抽象 ,用形式化的数学语言概括或近似地加以表述的一种数学结构 .一般表现为数理逻辑的逻辑表达式、各种数学方程 (如代数方程、微分方程、积分方程等 )及反映量与量之间相互关系的图形、表格等形式 .它或者能解释特定现象的现实状态 ,或者能预测对象的未来状态 ,或者能提供处理对象的最优决策与控制 .
一般地 ,好的数学模型应具备可靠性和可解性 (也叫适用性 )两个方面的特点 .可靠性是指在允许的误差范围内 ,能反映出该系统有关特性的内在联系 ;可解性是指易于数学处理与计算 .数学模型方法将复杂的研究对象简单化、抽象化 ,撇开对象的一些具体特征 ,减少其参数 ,只抽取其主要量、量的变化及量与量之间的相互关系 ,在 “纯粹 ”的形态上进行研究 ,突出主要矛盾 ,忽略次要矛盾 ,用数学语言刻画出客观对象量的规律性 ,简洁明了地描述现实原型 ,揭示出其本质的规律 ,并在对模型修正、求解的基础上使原问题得以解决 .
因而 ,数学模型是对现实原形的一种理想化处理 ,是一个科学的抽象过程 ,因而具有高度的抽象性与形式化特征 .这一特征使其成为一种经典的方法工具 ,并随着科学技术的数学化趋势 ,大大超越了数学范畴 ,广泛地应用于自然科学、工程技术和社会科学的一切领域 .它将现实问题归结为相应的数学问题 ,并在此基础上利用数学的概念、方法和理论进行深入的分析和研究 ,一方面它从定性或定量的角度来刻画实际问题 ,并为解决现实问题提供精确的数据或可靠的指导 ,另一方面它是研究和掌握系统运动规律的有力工具 ,是分析、设计、预报或预测、控制实际系统的基础 .
1.2数学模型的分类
数学模型可以根据不同的方式分类 ,下面介绍一些分类方法 .
(1)
根据数学模型的应用领域 ,可分为人口模型、生物数学模型、医学数学模型、经济数学模型、生态模型、交通模型、数量经济学模型、数量社会学模型等 .
(2)
根据建立数学模型的方法 ,可分为初等模型、微分方程模型、图论模型、规划模型、概率统计模型、几何模型等 .
(3)根据人们对事物发展过程的了解程度 ,分为白箱模型、灰箱模型和黑箱模型 .
白箱模型是指那些内部规律比较清楚的模型 ,如力学、热学、电学以及相关的工程技术问题 ;灰箱模型是指那些内部规律尚不十分清楚 ,在建立和改善模型方面都还不同程度地有许多工作要做的问题 ,如气象学、生态学、经济学等领域的模型 ;所谓的黑箱模型 ,是指一些其内部规律还很少为人们所知的现象 ,如生命科学等方面的问题 ,由于因素众多、关系复杂 ,也可简化为灰箱模型来研究 .
(4)
根据实际问题是否考虑不确定因素的影响 ,可分为确定性模型、随机性模型和模糊性模型等 .
(5)
根据模型是否考虑时间因素的动态变化 ,可分为静态模型和动态模型 .
(6)
根据模型中变量取值的性质 ,可以分为离散型模型和连续性模型 .
(7)
根据模型中参数的确定性情况 ,分为参数与非参数模型 .一般地 ,用代数方程、微分方程、微分方程组以及传递函数等描述的模型都是参数模型 ,建立参数模型就在于确定已知模型结构中的各个参数 ,通常通过理论分析总是得出参数模型 .非参数模型是直接或间接地从实际系统的实验分析中得到的响应 ,如通过实验记录到的系统脉冲响应或阶跃响应就是非参数模型 .运用各种系统辨识的方法 ,可由非参数模型得到参数模型 .如果实验前可以决定系统的结构 ,则通过实验辨识可以直接得到参数模型 .
(8)
根据变量之间的关系 ,可分为线性和非线性模型 .一般地 ,线性模型中各量之间的关系是线性的 ,可以应用叠加原理 ,即几个不同的输入量同时作用于系统的响应 ,等于几个输入量单独作用的响应之和 .非线性模型中各量之间的关系不是线性的 ,不满足叠加原理 .
(9)
按照人们对原型的认识过程 ,可分为描述性的数学模型和解释性的数学模型 .描述性的模型是从特殊到一般 ,它是从分析具体客观事物及其状态开始 ,最终得到一个数学模型 .客观事物之间量的关系通过数学模型被概括在一个具体的抽象的数学结构之中 .解释性的模型是由一般到特殊 ,它是从一般的公理系统出发 ,借助于数学客体 ,对公理系统给出正确解释的一种数学模型 .
(10)
根据建模的目的 ,可分为预测模型、决策模型、控制模型、优化模型、描述模型等 .
在实际建立模型时 ,模型的数学特征和使用的数学方法应该是我们重点考虑的对象,同时这也依赖于建模的目的 .例如 ,微分方程模型可用于不同领域中的实际问题 ,应注意对不同问题建模时的数学抽象过程 ,数学技巧的应用 ,以及彼此之间的联系或差异 .一般情况下 ,确定性的、静态的、线性模型易于处理 ,而实际的问题大多数是随机性的、动态的、非线性的 .通常建模时 ,利用初步近似的方法 ,尽可能采用简单的手段来建立数学模型 .同时连续变量离散化 ,离散变量作为连续变量来近似处理等也是常用的手段 .另外 ,人们对同一事物 ,由于对问题的了解程度或建模目的不同 ,常常可以建立完全不同类型的数学模型 .
1.3数学建模的基本步骤和方法
将数学方法运用到实际问题 ,都需要把该问题的内在规律 ,用数字、图表、公式或符号表示出来 ,经过数学的处理和分析 ,得出供人们分析、预报、决策或控制的结果,这个过程就是数学建模的过程 .也就是说 ,实际问题往往是很复杂的 ,其影响因素也总是很多 ,如果想把问题的全部影响因素都反映到模型中来 ,这样的模型很难建立也并不可取 .但如果考虑数学模型处理方法的难易程度 ,当然模型越简单越好 ,但过于简单的模型又难于反映系统的主要特性 .因此 ,通常所建立的模型往往是这两种互相矛盾要求的折中处理 .
由于客观问题的复杂性 ,建立数学模型的方法也千变万化 ,可以说建模的过程是一门艺术 .建立数学模型一般要经过明确实际问题、问题分析、合理假设、模型建立、模型求解、模型分析与检验、模型解释和应用等几个步骤 .
(1)明确实际问题
.数学建模所面对的实际问题常常是各领域的实际问题 ,这些问题本身往往是一个复杂的系统 ,建模的目的可能是要解决问题的某个方面 ,因此 ,建立数学模型的首要任务是辨明问题 ,分析条件及相关问题 ,通常一开始尽可能简化 ,使问题简单 ,而后再根据目的和要求逐步完善 .
(2)问题分析
.问题分析就是要充分了解问题的实际背景 ,明确建模的目的 ,尽可能弄清楚对象的特征 ,搜集需要的各种信息资料和数据 ,并初步确定用哪一类数学模型 .
(3)合理假设
.合理假设就是根据对象的特征和建模的目的对问题进行必要的合理的简化 ,用精确的语言做出假设 ,可以说是建模的关键步骤 .一个实际问题不经过简化和假设就很难翻译成数学问题 .合理的假设在建模中的作用除了简化问题外 ,还可以对模型的使用范围加以明确的限定 .模型的成功与否很大程度上取决于假设是否恰当 ,假设做的合理就是要把建模对象所涉及的次要因素忽略掉 ,不然所得模型会因为结构太复杂而失去可解性 ,但不能把实质相关的因素忽略掉 ,不然 ,所得模型因为不能足够正确反映实际情况而失去可靠性 .合理假设需要注意以下几点原则： 1目的性原则：从原型中简化掉那些与建模目的无关的或关系不大的因素 ; 2简明性原则：所给出的假设条件要简单、准确 ,有利于构造模型 ; 3真实性原则：假设的条款要符合情理 ,简化带来的误差应满足实际问题所允许的误差范围 ; 4全面性原则：在对事物原型本身做出假设的同时 ,还要给出原型所处的环境条件 .
(4)模型的建立
.根据已有假设 ,利用适当的数学工具刻画各变量之间的相互关系,建立相应的数学结构 ,可以是公式、表格、图形等 .在建模时采用什么数学工具根据问题的特征、建模的目的要求而定 .在建模的时候 ,要充分利用现有的学术前沿的成果和方法 ,从理想化的、简单的模型逐步过渡到实际的、复杂的模型 ,这是一种十分有效的途径 .在构造模型时究竟采用什么方法构造模型 ,要根据实际问题的性质和
建模假设所给出的建模信息而定 .随着计算机的发展 ,计算机模拟促进了数学建模的发展 ,也成为一种构造模型的基本方法 .在构造模型时 ,各种方法取长补短、交叉使用,达到建模的目的 .
(5)模型求解
.根据采用的数学工具 ,对模型求解 ,包括解方程、图解、定理证明、逻辑推理、数值计算等 ,特别是编写计算机程序或运用与算法相适应的软件包 ,并借助计算机完成对模型的求解 .在建模过程中 ,不同数学模型的求解一般涉及不同的数学分支的专门知识 .不同数学模型的难易程度不同 ,一般情况下对比较简单问题的求解,应力求使解的适用范围尽可能广 ,从而使模型具有更大的普遍性 .面对比较复杂的问题 ,应先考虑用特殊的方法将它解出 ,再考虑模型的普遍性 .例如 ,有些问题是不能求出解析解的 ,只能用数值方法求解 .
(6)
模型分析与检验 .根据建模的目的要求 ,对模型求解的数字结果、变量之间的依赖关系、解的稳定性进行分析 ,进行系统参数的灵敏度分析 ,以及误差来源的分析 .将模型结果返回客观实际中 ,对模型进行检验 ,用实际现象、数据等检验模型的合理性、精确性和适用性 .通过分析和检验 ,看它是否符合客观实际 ,若不符合就修改或增减假设条款 ,重新建模 ,循环往复以致不断完善 ,直至获得满意结果 .
(7)
模型解释与应用 .数学建模全过程的最后阶段是用普通的语言把模型的解答翻译或归纳出来 .我们建模的目的是为了去解决某个实际问题 ,所以那些使用我们模型的人理解结论是十分重要的 .有时候 ,我们需要把模型的结论写成论文和报告的形式,便于不同的读者去理解 .模型的应用是数学建模的宗旨 ,也是对模型最客观、最公正的检验 .因此 ,一个成功的数学模型 ,应根据建模的目的 ,将其用于分析、研究和解决实际问题 ,充分发挥数学模型在生产和科研中的特殊作用 .
1.4数学建模和竞赛及其对大学生创新能力培养的作用
社会进步依赖于科学的创新 ,而数学对于科学的发展具有根本的意义 .在今天 ,数学已成为高科技的基础 ,并且在一定意义上 ,可以说是现代文明的标志 .因此 ,数学建模竞赛活动适应高质量的数学教育形势应运而生 ,它在大学生的素质教育中起着越来越重要的作用 .
数学建模活动 1985年起源于美国的一年一度的大学生数学建模竞赛 .我国自 1992年开始举办全国大学生数学建模竞赛 ,旨在鼓励大学生运用所学知识 ,借助计算机解决实际问题 ,促进高素质应用型人才的培养 .
数学建模竞赛以队为参赛单位 ,每个参赛队由 3人组成 ,每次竞赛每个参赛队只需任选一题 .考题都是有实际背景的错综复杂的问题 ,它没有固定范围 ,可以涉及不同的学科领域 .数学建模就是对这些复杂的问题进行必要的简化和假设 ,通过调查收集数据资料 ,抓住问题的本质 ,利用数学的语言进行抽象和概括 ,将实际问题转化为
数学问题 ,建立合适的数学模型来反映实际问题的数量关系 ,最后利用计算机手段得到近似解 ,并对结果进行解释和验证 .全国数学建模竞赛时间一般为三天三夜 ,在这三昼夜的时间内 ,参赛者要以论文的形式提交解决方案 ,包括问题的重新叙述、问题的假设 ,模型的设计及求解、灵敏度分析、模型的优缺点的讨论等 .参赛者可以使用包括计算机网络、统计计算或优化计算软件包、教科书、学术杂志和手册之类的外部资源 .由此可见 ,数学建模是一种联系数学与实际问题的桥梁 .它突出了实践活动的重要特点 ,强调人才的培养应从侧重知识教育转向侧重能力培养 .
数学建模竞赛活动的发展与壮大及教学实践证明 ,数学建模的教学及竞赛是实施素质教育的有效途径 ,它既增强了学生的数学应用意识 ,又提高了大学生运用数学知识和计算机技术分析和解决实际问题的能力 .开展数学建模教学与竞赛对大学生能力的培养是全面的 .这表现在创新精神和创新能力的培养 ,查阅文献资料、分析综合、抽象概括能力的培养 ,应用能力的培养 ,运用数学工具和计算机以及实践能力的培养等方面 .
数学建模有利于培养学生创新精神和创造能力 .数学建模的问题具有一定的开放性 ,没有一定的规矩可循 ,没有事先设定的标准答案或答案不是唯一的 ,具有较大的灵活性 .因此需要突破传统的思维模式 ,面对复杂问题发挥学生的创新精神和创造力、想象力、洞察力以及解决问题的逻辑推理和量化分析能力 ,善于从实际问题提供的原形中抓住其数学本质 ,建立新颖的数学模型 .
数学建模有利于培养学生双向翻译能力 .它要求学生运用学过的数学知识 ,把实际问题翻译成数学模型 ,又将数学模型的结果用浅显易懂的语言翻译出来 .
数学建模有利于培养学生获取文献资料信息的能力 .在信息社会中 ,信息和知识以前所未有的速度传播和扩散 ,这就要求学生具有良好的获取文献资料信息的能力 ,以便适应现代社会技术创新和知识更新的需要 .数学建模问题有强烈实际背景 ,涉及不同的学科领域 ,问题错综复杂 .这就促使学生围绕实际问题广泛查阅资料 ,获取自己有用的材料 ,这大大锻炼和提高了学生自觉使用资料的能力 .
数学建模有利于培养学生利用计算机及相应软件的能力 .数学建模需要对复杂的实际问题和烦琐的数据进行处理 .目前计算机和相应的各种软件包 ,不仅能够节省时间 ,得到直观形象的结果 ,有利于深入讨论 ,而且能够促使学生养成自觉应用最新科技成果的良好习惯 .许多很好的计算软件为求解模型或仿真模型提供了便利的平台.数学建模对提高学生使用计算机的能力是极其重要的 .
前言/序言
用户评价
《数学模型与数学建模》这本书，为我提供了一种全新的“看世界”的视角。我以前总觉得，数学就是考试、就是计算，但这本书让我看到了数学更广阔的应用前景。我特别喜欢书中对“模拟”的讲解。它让我看到了如何用数学模型来模拟现实世界中发生的各种现象，从而更好地理解和预测它们。比如，书中关于“气候变化模型”的介绍，让我看到了科学家们如何利用复杂的数学模型来预测未来气候的变化趋势，并为应对气候变化提供科学依据。这让我觉得，数学不仅仅是解决问题，更能为人类的未来提供重要的指引。而且，书中还涉及到了“博弈论”的应用，它让我看到了数学如何帮助我们理解人与人之间的互动和决策过程，从而在竞争与合作中找到最优策略。我感觉这本书不仅仅是在介绍数学模型，更是在培养一种“应用数学”的能力。它让我学会如何将抽象的数学知识，转化为解决现实世界问题的有力武器。读完这本书，我感觉自己不仅仅是在学习，更是在“赋能”。
评分这本《数学模型与数学建模》的叙述方式简直太绝了！我一直以为数学建模这种东西离我遥不可及，是那种只有专业人士才能涉足的高深领域。但这本书完全颠覆了我的认知。它用一种非常接地气的方式，把原本可能显得晦涩难懂的理论，拆解成了一块块容易消化的“积木”。我尤其欣赏作者在讲解每一个模型时，都会先抛出一个引人入胜的现实问题。比如，在介绍传染病传播模型时，作者不是直接给出公式，而是先描述了某次疫情的爆发及其带来的影响，然后层层递进地引出我们需要建立一个模型来理解和控制这种传播。这种“问题驱动”的学习方式，让我能很快地进入状态，理解模型背后的逻辑和价值。而且，书中还穿插了大量的图表和示意图，这些视觉化的元素极大地帮助了我理解抽象的概念。我是一个视觉型学习者，这些图表对我来说简直是福音，它们就像是作者为我量身定制的“翻译器”，把那些复杂的数学符号和原理转化成了直观易懂的画面。我还在书里看到了很多关于优化问题的讨论，比如如何用最少的资源达到最大的效益，这让我联想到了很多实际工作中的场景。这本书让我意识到，数学建模不仅仅是一种学术研究，它在经济、工程、管理等各个领域都有着极其广泛的应用，简直是解决现实世界难题的“万能钥匙”。我以前觉得数学就是考试，现在才明白，数学其实是一种解决问题的艺术。
评分《数学模型与数学建模》这本书，让我深刻体会到了数学的生命力。我一直觉得数学就是教科书上的那些公式，做完习题就束之高阁了，没什么实际意义。但这本书让我看到了数学的另一面，它能够如此灵活地应用于我们身边的各种问题。我特别喜欢书中对“建模思想”的强调。作者反复提及，数学建模的核心并非死记硬背公式，而是培养一种抽象思维、逻辑推理和创新能力。他通过各种案例，展示了如何从千变万化的现实世界中，提炼出问题的本质，并用数学语言将其精确地表达出来。这种能力，感觉比掌握几个特定的模型更重要。书中关于“黑箱模型”和“白箱模型”的讨论，也给我留下了深刻的印象。它让我明白了，不同的建模方法有各自的优缺点，选择哪种方法取决于具体的问题和可用的数据。这让我不再是孤立地看待某个模型，而是能从更宏观的角度去理解模型的设计哲学。我还在书中看到了一些关于“不确定性”的数学处理方法，这让我觉得数学并非只能处理精确的问题，它同样能为我们应对模糊和随机的现实提供有力的工具。这本书不仅仅是一本技术手册，更像是一次思维的启迪，它让我看到了数学在驱动创新和解决复杂挑战方面的巨大潜力。我感觉自己不仅仅是在学习数学，更是在学习一种思考世界、改造世界的方式。
评分《数学模型与数学建模》这本书，给我最直观的感受就是“学以致用”。我一直对数学模型这个概念感到好奇，但总觉得它离我的日常学习和生活太遥远。然而，这本书的出现，彻底改变了我的看法。作者在书中列举了大量贴近现实的案例，从优化生产流程到预测天气变化，再到分析社会现象，几乎涵盖了我们生活的方方面面。我印象最深刻的是书中关于“排队论”的讲解。它把看似平常的银行排队、电话咨询等场景，用数学模型进行了精确的描述，并给出了如何减少等待时间、提高服务效率的建议。这让我意识到，原来我们习以为常的许多问题，都可以用数学的方法来找到更优的解决方案。而且，书中还花了相当大的篇幅来讲解“模型验证”和“模型改进”的过程。作者并没有把模型当作一成不变的真理，而是强调了根据实际情况不断调整和优化模型的重要性。这一点让我觉得非常实用，因为现实世界是不断变化的，僵化的模型很快就会失去效用。我感觉这本书不仅仅是在传授数学知识，更是在培养一种解决问题的“思维模式”，让我学会用更理性、更科学的方式去面对生活中的各种挑战。
评分我必须说，《数学模型与数学建模》这本书，为我打开了一扇通往“数字世界”的大门。在此之前，我总觉得数学离我的生活太远，直到我读了这本书，才发现原来数字和公式能够如此巧妙地勾勒出我们周围的世界。我尤其喜欢作者在解释模型时所使用的类比和生活化的例子。比如，在讲到微分方程的时候，作者没有上来就抛出艰深的数学符号，而是用一个“水位不断下降的水池”来比喻，让我瞬间就理解了微分方程描述的是一个变化率的问题。这种“由浅入深，循序渐进”的讲解方式，让我这种数学基础不算特别扎实的读者，也能毫不费力地跟上节奏。书中对不同类型模型的分类和比较，也让我受益匪浅。我不再是零散地学习一些模型，而是能够系统地理解它们之间的联系和区别，知道在什么情况下应该选择哪种模型。我印象最深刻的是关于“预测模型”的应用，书中详细介绍了如何利用历史数据来预测未来的趋势，这让我看到了数学在商业决策、市场分析甚至个人规划方面的巨大价值。这本书让我觉得，数学不再是冰冷的符号，而是充满了智慧和力量的语言，它能够帮助我们理解过去，把握现在，并更好地规划未来。我感觉这本书不仅仅是在教我数学知识，更是在培养我一种用数学的眼光去审视和解决问题的能力。
评分这本《数学模型与数学建模》的魅力在于它对“现实情境”的极致还原。作者并没有把这本书写成一本枯燥的数学教材，而是将一个个生动鲜活的现实问题，作为切入点，引导读者一步步构建数学模型。我尤其赞赏书中对“模型假设”的强调。作者反复指出，任何模型都建立在一系列的假设之上，而这些假设的合理性直接关系到模型的有效性。他通过大量的案例，展示了如何在不同的情境下，做出恰当的假设，以及这些假设如何影响模型的最终结果。我最喜欢的一章是关于“系统动力学模型”的介绍，它让我看到如何用一种全局的视角来理解复杂的系统，比如生态系统、经济系统等。通过这种模型，我能更清晰地看到各个要素之间的相互作用和反馈机制，从而更好地理解系统的行为。而且，书中还涉及到了“蒙特卡洛模拟”等一些非常有趣的随机建模方法，这让我意识到，即使面对不确定性，数学依然能够提供有力的分析工具。我感觉这本书不仅仅是在教我“怎么做”，更是在教我“为什么这么做”。它让我理解了模型的背后逻辑，以及如何批判性地评估一个模型的适用性。读完这本书，我感觉自己对世界有了更深层次的理解，仿佛能看到隐藏在表象之下的数学脉络。
评分我一直对那些能够“解释世界”的工具充满敬畏，而《数学模型与数学建模》这本书，恰恰就提供了一套这样强大的工具。它不仅仅是关于数学的，更是关于如何用数学的语言来“读懂”世界。我喜欢书中那种“探险”般的叙事风格，作者就像一位经验丰富的向导，带领我们在数学模型的世界里进行一次又一次的探索。我特别欣赏作者在讲解每一个模型时，都会先深入地剖析现实问题本身的复杂性。他不会急于给出公式，而是会花时间让我们理解问题的根源、关键要素以及它们之间的相互关系。然后，再一步步引导我们如何将这些要素转化为数学上的变量和方程。我记得书中有一个关于“资源分配”的例子，作者通过分析一个小型企业的困境，展示了如何用线性规划来找到最优的资源配置方案。这个案例让我看到，数学不仅仅是纯理论的，它能够实实在在地帮助企业做出更明智的决策，提高效益。而且，这本书还涉及到了“仿真模型”的应用，这让我看到了数学在模拟复杂系统行为方面的强大能力。我感觉这本书让我不再是单纯地“学习”数学，而是真正地“运用”数学，用它来理解和改变我们所处的现实世界。
评分这本书真是让我眼前一亮！我一直对数学这门学科充满好奇，但总觉得它有些抽象，难以捉摸。直到我翻开了《数学模型与数学建模》，才发现原来数学并非只是冰冷的公式和定理，它更是一种解决问题的强大工具，一种理解世界的独特视角。书中的案例分析部分尤其令我印象深刻。它不仅仅是简单地罗列模型，而是深入浅出地讲解了如何从现实问题中抽象出数学模型，再如何运用模型来分析和预测。例如，书中关于交通流量的建模，就生动地展示了如何将复杂的城市交通系统用一组方程来描述，进而为缓解交通拥堵提供科学依据。读完这部分，我仿佛打开了一个全新的世界，原来我们身边那些看似杂乱无章的现象，背后都隐藏着可以通过数学来揭示的规律。作者的语言流畅自然，丝毫没有枯燥乏味的感觉，反倒像是一位经验丰富的向导，一步步地引领我探索数学建模的奥秘。即使是初学者，也能在作者的引导下，逐渐理解那些复杂的概念，并尝试着去运用它们。我尤其喜欢书中对于模型选择和模型优化的讨论，这部分让我认识到，建立一个完美的数学模型并非易事，需要反复的尝试、验证和改进，这是一个不断逼近真理的过程，充满了智慧的火花。这本书不仅拓展了我的知识边界，更重要的是，它激发了我用数学思维去观察和解决问题的热情，让我觉得学习数学不再是一种负担，而是一种乐趣，一种能够赋能于我的强大能力。我迫不及待地想要将书中所学应用到我自己的学习和生活中，去发现和解决更多有趣的问题。
评分《数学模型与数学建模》这本书，带给我最深刻的感受就是“严谨中的灵活”。作者在讲解数学模型时，既强调了数学的严谨性，又展现了模型在不同场景下的灵活性。我特别喜欢书中对“模型简化”的讨论。作者指出，现实世界往往是极其复杂的，而数学模型需要对现实进行一定程度的简化，才能使其具有可操作性。但他同时也强调，这种简化必须是基于对问题的深刻理解，并且不能丢失问题的本质。我印象最深刻的是书中关于“时间序列分析”的部分。它让我看到了如何利用历史数据来捕捉时间上的规律，并对未来进行预测。这对于很多需要进行长期规划的领域，比如金融、经济，都具有非常重要的意义。而且，书中还介绍了如何利用“机器学习”的思想来构建一些更为复杂的模型，这让我看到了数学与人工智能结合的巨大潜力。我感觉这本书不仅仅是在介绍模型，更是在传授一种“建模哲学”。它让我明白了，建模的过程是一个不断权衡、取舍和优化的过程，需要深厚的数学功底，更需要丰富的实践经验和敏锐的洞察力。
评分我一直认为，数学是一门“严谨”的学科，直到我读了《数学模型与数学建模》，才发现原来数学也可以如此“生动”和“有趣”。作者用一种非常巧妙的方式，将复杂的数学模型融入到生动的故事和案例中。我尤其喜欢书中关于“决策模型”的讲解。它让我看到了数学如何帮助我们在面对复杂选择时，做出更理性的判断。比如，书中分析了一个投资组合的选择问题，通过建立数学模型，帮助投资者量化风险，并找到最佳的投资策略。这让我觉得，数学不再是遥不可及的理论，而是能够实实在在地指导我们做出更好的决策。而且，书中还涉及到了“网络模型”的应用，它让我看到了数学如何帮助我们理解和分析各种网络结构，比如社交网络、交通网络等。这让我对我们所处的世界有了更宏观的认识。我感觉这本书不仅仅是在教授数学知识，更是在培养一种“数学思维”，让我学会用更系统、更理性的方式去分析和解决问题。读完这本书，我感觉自己不仅仅是在学习，更是在“成长”。
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