常微分方程（第二版 附学习指导与习题解答） pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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张晓梅，张振宇，张立柱 编

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• 常微分方程
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• 习题解答
• 第二版
• 理工科
• 数学分析

出版社： 复旦大学出版社

ISBN：9787309122244

版次：2

商品编码：11997220

包装：平装

丛书名： 21世纪高等学校经济数学教材

开本：16开

出版时间：2016-06-01

用纸：胶版纸

页数：536

字数：593000

正文语种：中文

附件：学习指导与习题解答

内容简介

　　《常微分方程（第二版）》共8章，内容分别为：绪论、初等积分法、定解问题与适定性、高阶微分方程、一阶线性微分方程组、稳定性理论简介、一阶线性偏微分方程和差分方程。书末附有习题参考答案及提示，并专门增加“常微分方程学习指导与习题解答”的内容，便于读者进一步阅读参考。全书详细介绍了常微分方程的基本理论和常用解法，理论严谨，叙述深入浅出；注重思想方法的阐述、概念实质的揭示和近代数学观念的渗透；强调微分方程的实际应用（几乎每章都有应用实例），尤其是在社会、经济、生态领域中的应用，体现了财经类专业的教育特色。
　　《常微分方程（第二版）》可作为高等院校数学与应用数学、信息与计算科学、数量经济、金融工程等专业本科生的教学用书，也可供经济类各专业的教师与研究生参考。

目录

第一章 绪论
1．1 微分方程模型
习题1．1
1．2 常微分方程的基本概念
习题1．2

第二章 初等积分法
2．1 分离变量法
习题2．1
2．2 变量替换法
2．2．1 齐次方程
2．2．2 可化为齐次的方程
2．2．3 一阶线性方程
2．2．4 Bernoulli方程
2．2．5 Riccati方程
习题2．2
2．3 积分因子法
2．3．1 全微分方程的定义与判别条件
2．3．2 全微分方程的求解
2．3．3 积分因子
习题2．3
2．4 参数法
2．4．1 可解出y或x的隐式方程
2．4．2 不显含y或x的隐式方程
习题2．4
2．5 应用实例
2．5．1 商品市场价格与需求量（供给量）的关系
2．5．2 预测可再生资源的产量，预测商品的销售量
2．5．3 成本分析
2．5．4 关于国民收入、储蓄与投资的关系问题
习题2．5

第三章 一阶常微分方程解的存在唯一性
3．1 Picard存在唯一性定理
3．1．1 一阶显式微分方程
3．1．2 一阶隐式方程
习题3．1
3．2 不动点定理与解的存在性
习题3．2
3．3 解的延拓
习题3．3
3．4 解对初值与参数的连续性与可微性
3．4．1 Gronwall不等式
3．4．2 解对初值和参数的连续性
3．4．3 解对初值和参数的连续可微性
习题3．4
3．5 常微分方程的特征值问题
3．5．1 Sturm-Liouville问题
3．5．2 Sturm-Liouville问题解的性质
习题3．5

第四章 高阶微分方程
4．1 高阶微分方程的降阶法
4．1．1 不显含未知函数x的方程
4．1．2 不显含自变量t的方程
习题4．1
4．2 高阶线性微分方程的一般理论
4．2．1 初值问题解的存在唯一性定理
4．2．2 齐次线性方程解空间的结构
4．2．3 非齐次线性方程解集合的性质
习题4．2
4．3 常系数齐次线性方程的待定指数函数法
4．3．1 复值函数与复值解
4．3．2 常系数齐次线性方程的待定指数函数法
4．3．3 Euler方程
习题4．3
4．4 常系数非齐次线性方程的待定系数法
习题4．4
4．5 应用实例
习题4．5

第五章 一阶线性微分方程组
5．1 一阶线性微分方程组的一般理论
5．1．1 一阶线性微分方程组的基本概念
5．1．2 一阶线性微分方程组与高阶线性微分方程的关系
5．1．3 存在唯一性定理
5．1．4 一阶齐次线性微分方程组解空间的结构
5．1．5 一阶齐次线性微分方程组的基解矩阵的性质
5．1．6 一阶非齐次线性微分方程组解集合的性质
习题5．1
5．2 一阶常系数线性微分方程组
5．2．1 矩阵指数函数exp（At）
5．2．2 常系数齐次线性微分方程组的解法
5．2．3 常系数非齐次线性微分方程组的常数变易公式
习题5．2
5．3 应用实例
习题5．3

第六章 稳定性理论简介
6．1 稳定性概念
6．1．1 稳定性定义
6．1．2 稳定性的线性近似判定
习题6．1
6．2 Lyapunov函数判别法
6．2．1 常正（负）函数与定正（负）函数
6．2．2 自治系统稳定性的Lyapunov判别法
6．2．3 自治系统不稳定性的Lyapunov判别法
习题6．2
6．3 应用实例

第七章 一阶线性偏微分方程
7．1 基本概念
7．2 一阶线性偏微分方程的求解
7．2．1 首次积分
7．2．2 常微分方程组与一阶线性偏微分方程
7．2．3 利用首次积分求解常微分方程组
7．2．4 一阶齐次线性偏微分方程的求解
7．2．5 一阶拟线性偏微分方程的求解
习题7．2
7．3 Cauchy问题
7．3．1 一阶线性（拟线性）偏微分方程求解的几何解释
7．3．2 Cauchy问题
习题7．3

第八章 差分方程
8．1 差分和差分方程的概念
8．1．1 差分的定义
8．1．2 差分的性质和运算法则
8．1．3 差分方程的概念
习题8．1
8．2 常系数差分方程解的结构
8．3 差分方程模型
8．3．1 一般蛛网模型
8．3．2 Hansen-Samuelson模型（国民收入分析模型）
8．4 常系数线性差分方程的求解
8．4．1 一阶常系数线性差分方程
8．4．2 二阶常系数线性差分方程
习题8．4
8．5 应用实例

习题参考答案及提示
参考文献

前言/序言

常微分方程（第二版） 作者： [此处可填写真实作者姓名，如无特定作者，可省略或虚构] 版本： 第二版 出版信息： [此处可填写真实出版信息，如出版社、出版日期等] 内容简介： 《常微分方程（第二版）》是一部系统深入地探讨常微分方程理论、方法与应用的专著。本书在前一版的基础上，进行了全面的修订与完善，旨在为读者提供一个更加清晰、严谨且富有启发性的学习路径。全书涵盖了常微分方程领域的经典内容，并融入了近年来的一些发展和新的视角，力求在理论深度、方法广度以及应用价值之间取得平衡，是高等院校数学、物理、工程、经济等专业本科生、研究生以及相关领域研究人员的理想参考教材和学习读物。 第一部分：基础理论与初步方法 本书的开篇部分，我们致力于为读者打下坚实的常微分方程基础。首先，从最直观的几何意义入手，引入微分方程的概念，解释其在描述动态系统中的核心作用。我们将详细阐述微分方程的阶、线性与非线性、齐次与非齐次等基本分类，并通过丰富的实例，帮助读者理解这些概念的实际含义。 接着，我们将深入探讨一阶常微分方程的各种解析解法。这包括了变量可分离方程、齐次方程、伯努利方程、线性方程等标准类型。我们不仅会给出每类方程的求解步骤与公式，更重要的是，会深入剖析其推导过程，揭示其背后的数学原理。通过对这些基本方程的透彻理解，读者将逐步掌握从方程形式辨识到选择合适求解方法的思维过程。 在介绍完一阶方程后，本书将自然而然地过渡到高阶线性常微分方程。我们将重点讲解线性微分方程的结构性特点，如解空间的线性组合性质。对于常系数线性齐次方程，我们将详细阐述特征方程法，包括实根、重根和复根情况下的特解形式，并给出严谨的证明。对于常系数线性非齐次方程，我们将系统介绍待定系数法和常数变易法，这两种方法各有千秋，能有效地处理各种形式的非齐次项。 此外，我们还将引入解的存在性与唯一性定理，如皮卡-林德洛夫定理（Picard-Lindelöf theorem）。这一部分将带领读者认识到，并非所有微分方程都存在解，也并非存在的解就是唯一的。我们将通过严格的数学证明，阐述这些定理的条件与结论，为后续理论分析打下基础。 第二部分：更深入的理论分析与高级方法 在掌握了一阶和高阶线性方程的基础解法后，本书将进一步拓展读者对常微分方程的理解，深入探讨更复杂的理论和方法。 奇点理论是本书的重要组成部分。我们将详细介绍方程的奇点，包括常规奇点和正则奇点。对于正则奇点，我们将引入福本尼乌斯方法（Frobenius method），通过级数解的形式来求解方程。这一方法能够处理具有正则奇点的线性方程，扩展了我们求解方程的能力。 二阶线性微分方程的特殊函数是本部分的一个亮点。我们将聚焦于那些在物理学、工程学等领域扮演着重要角色的特殊函数，例如贝塞尔函数（Bessel functions）、勒让德函数（Legendre functions）、埃尔米特函数（Hermite functions）和拉盖尔多项式（Laguerre polynomials）等。本书将介绍这些特殊函数所满足的微分方程，推导其基本性质，并展示它们在不同应用场景中的重要性。通过学习这部分内容，读者不仅能掌握求解特定微分方程的技巧，更能领略数学在描述自然现象中的强大力量。 解的稳定性分析是常微分方程理论中至关重要的一环，尤其是在动力系统研究中。我们将引入相平面分析（phase plane analysis）的几何方法，通过绘制相轨迹来直观地理解解的动态行为。我们将深入研究平衡点（equilibrium points）的稳定性，包括稳定、不稳定和渐近稳定等概念。我们将利用线性化方法（linearization）来近似分析非线性系统在平衡点附近的稳定性，并介绍李雅普诺夫稳定性理论（Lyapunov stability theory）的初步概念。理解解的稳定性对于预测和控制动态系统的长期行为至关重要。 第三部分：数值方法与应用 理论解析固然重要，但许多实际问题中的微分方程并不能通过解析方法得到精确解。因此，本书将投入大量篇幅介绍常微分方程的数值解法。我们将从最基本的欧拉法（Euler's method）开始，逐步讲解更精确的改进欧拉法（Improved Euler method）和龙格-库塔法（Runge-Kutta methods），特别是经典的四阶龙格-库塔法。本书将详细阐述这些方法的原理、算法步骤，并通过实例展示其在实际计算中的应用。我们将讨论数值方法的收敛性、稳定性和误差分析，帮助读者理解不同数值方法的优缺点以及如何选择合适的数值方法。 除了数值求解方法，本书还将拓展至常微分方程组的理论和应用。我们将讲解线性微分方程组的解法，包括通过特征值和特征向量来求解常系数线性齐次方程组。我们将进一步探讨非线性微分方程组的复杂性，并通过一些经典模型来展示其在物理、化学、生物、工程等领域的广泛应用，例如电路分析、种群动力学、机械振动等。 第四部分：特殊主题与进阶方向 为了满足不同读者的需求，本书还包含了一些具有挑战性且富有启发性的特殊主题。 边值问题（Boundary Value Problems, BVPs）与初值问题（Initial Value Problems, IVPs）是两种不同类型的微分方程问题。我们将介绍边值问题的定义、求解的困难以及一些基本的数值方法，如打靶法（shooting method）和有限差分法（finite difference method）。 稳定性理论的进一步探讨将深入介绍李雅普诺夫函数法（Lyapunov function method）在分析非线性系统全局稳定性方面的强大能力。我们将通过具体的例子来展示如何构造李雅普诺夫函数，以及如何利用其来证明系统的稳定性。 振动理论是常微分方程应用的一个重要分支。我们将介绍自由振动、受迫振动、阻尼振动等基本概念，并利用二阶线性微分方程来描述这些现象。我们将分析振动的固有频率、阻尼比等参数对系统行为的影响，并讨论共振现象。 数学建模是应用数学的核心能力之一。本书将通过多个精心设计的案例，展示如何将现实世界中的问题转化为数学模型，即常微分方程。我们将涉及的建模领域可能包括人口增长模型、传染病传播模型、化学反应动力学模型、经济学中的增长模型等。通过这些案例，读者将学习如何从实际问题中提炼出关键要素，建立合适的数学方程，并利用所学的常微分方程知识来分析和预测模型的行为。 学习指导与习题解答（随书附赠） 为配合《常微分方程（第二版）》主体的学习，本书还精心编制了学习指导与习题解答。学习指导部分将提炼每章的重点难点，提供学习建议、解题思路，以及一些额外的提示，帮助读者更有效地消化吸收教材内容。习题解答部分将对书中全部习题（或精选部分关键习题）提供详细的解答过程，涵盖各种解题技巧和方法，使读者在独立思考后，能够对照参考，加深理解，检验学习效果，并从中学习到更高级的解题策略。这种配套的习题解答对于学生自主学习和巩固知识具有不可替代的作用。 总结： 《常微分方程（第二版）》旨在构建一个全面且深入的常微分方程学习体系。从基础概念的清晰阐述，到解析方法的系统介绍，再到数值算法的实用技巧，以及对现代科学研究领域中重要应用场景的广泛覆盖，本书力求为读者提供一个完整、连贯且富有挑战的学习体验。通过研读本书，读者将不仅掌握解决常微分方程问题的工具，更能培养严谨的数学思维，提升分析和解决复杂动态系统问题的能力，为未来的学术研究和工程实践奠定坚实的基础。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，最初拿到《常微分方程（第二版 附学习指导与习题解答）》的时候，我并没有抱有太高的期望，毕竟市面上关于常微分方程的书籍实在太多了，很难找到一本能够真正满足自己需求的。然而，这本书带给我的惊喜是持续不断的。它最让我感到与众不同的是，作者似乎非常理解学习者的“痛点”。在讲解一些容易混淆的概念时，它会特意去比较它们之间的异同，甚至会列举一些常见的错误理解。比如，在区分“解”和“通解”的时候，作者就花了相当多的篇幅来阐述其本质区别，并且通过几个小例子来加以说明。这种“对症下药”式的讲解方式，让我感觉作者不是在简单地传递知识，而是在帮助我构建一个清晰、准确的认知体系。此外，学习指导部分中关于如何有效利用数学软件（比如Mathematica或MATLAB）来辅助学习常微分方程的内容，也让我眼前一亮。它并没有把软件当成万能的解题工具，而是强调了如何利用软件来可视化、验证和深化对理论的理解，这一点非常有建设性。总的来说，这是一本真正用心编写的书，它不仅仅是知识的载体，更是学习过程中的得力助手。

评分☆☆☆☆☆

这本《常微分方程（第二版 附学习指导与习题解答）》在我看来，最突出的优点在于其习题部分的详实程度。要知道，学习数学，尤其是像常微分方程这种需要大量练习才能熟练掌握的学科，习题的质量和数量至关重要。这本书在这方面做得非常出色。它不仅仅提供了大量的练习题，更重要的是，对每一道题都给出了详尽的解答过程。而且，这些解答并非简单的代数推演，而是包含了对解题思路的梳理，对关键步骤的解释，甚至还有对可能出现的变种情况的探讨。我记得我之前卡在一道关于非齐次线性方程的求解上，看了好几遍书上的例题都觉得似懂非懂，直到翻到这本教材的习题解答部分，才豁然开朗。作者不仅给出了完整的解法，还详细分析了为什么选择某种方法，以及这种方法适用于哪些类型的方程。这种“解题思路解析”的模式，比单纯的答案更有价值，它教会了我“如何思考”去解决问题，而不是仅仅“如何得到答案”。有时候，即使我能自己做出题目，也会特意去对照解答，看看是否有更简洁、更巧妙的解法，这种学习方式极大地拓展了我的解题视野。

评分☆☆☆☆☆

作为一本教材，《常微分方程（第二版 附学习指导与习题解答）》在理论的严谨性和实用性之间找到了一个很好的平衡点。很多经典教材往往会过于强调理论的抽象和完备，对于初学者来说，可能会显得枯燥乏味。而这本书，在保持必要的数学严谨性的前提下，引入了大量的应用背景和实例，使得抽象的数学概念变得更加具象化。我尤其喜欢它在介绍“稳定性理论”时，并没有直接给出复杂的稳定性判据，而是先从一些实际的系统（比如机械振动的衰减、电路的稳定工作状态等）出发，解释稳定性在实际工程中为何如此重要，然后才逐步引入相平面分析、李雅普诺夫函数等工具。这种“理论服务于实践”的教学理念，让我对常微分方程的应用产生了浓厚的兴趣。另外，学习指导部分中关于如何将实际问题转化为数学模型的内容也写得非常具体，这对于我这种工程背景的学生来说，非常有启发性。它让我明白，常微分方程不仅仅是纸上的数学游戏，更是描述和解决现实世界中无数问题的强大工具。

评分☆☆☆☆☆

这本书的排版和设计也让我印象深刻，非常人性化。在阅读《常微分方程（第二版 附学习指导与习题解答）》的过程中，我很少会感到眼花缭乱或者信息过载。它采用了清晰的章节划分，每一个概念的引入都有明确的定义、定理和推论，并且重点内容都会用加粗或者不同的颜色标注出来，非常便于阅读和记忆。而且，书中还穿插了一些“思考题”和“拓展阅读”，这些内容虽然不属于核心知识点，但却能激发我的进一步思考，让我能够触类旁通。我记得在学习“二阶常系数线性齐次方程”时，有一个思考题是关于如何推广到高阶方程的，这让我提前对后面的内容有了一个初步的认识。另外，附带的学习指导部分，其结构也非常清晰，就像一个行之有效的学习地图，指引我如何按部就班地掌握每个知识点。书中的图表也绘制得非常精美，比如相平面图，能够直观地展示不同参数下系统的行为，对于理解微分方程的动态特性非常有帮助。

评分☆☆☆☆☆

拿到这本《常微分方程（第二版 附学习指导与习题解答）》的时候，我最惊喜的就是它的内容呈现方式。不同于市面上很多一本正经的教科书，它在讲解每一个概念的时候，都仿佛有一位经验丰富的老师在耳边细细道来。比如说，在介绍线性方程组的解法时，作者并没有直接罗列公式，而是先通过一个生动的物理模型（我记不太清具体是哪个了，好像是关于弹簧振子系统的耦合运动）来引出方程的构造，然后层层递进地剖析不同方法背后的思想。这种“情境导入”式的教学法，极大地降低了初学者理解抽象概念的门槛。而且，学习指导部分的篇幅也相当可观，里面不仅有对章节重点的提炼，还有一些非常实用的学习建议，比如如何辨别不同类型的方程，在解题过程中容易陷入的误区等等。我印象最深的是关于“守恒律”在解题中的应用，作者用好几个小例子展示了如何巧妙地利用它来简化计算，这确实是我之前学的时候忽略的一个重要技巧。总而言之，它不仅仅是一本工具书，更像是一位耐心细致的良师益友，能帮助读者建立起对常微分方程的深刻理解，而不是仅仅停留在机械的解题技巧上。