數學女孩3 哥德爾不完備定理 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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[日] 結城浩 著，丁靈 譯

圖書標籤:

• 數學
• 邏輯學
• 哥德爾不完備定理
• 哲學
• 科普
• 數理邏輯
• 形式係統
• 遞歸論
• 數學哲學
• 理論

齣版社： 人民郵電齣版社

ISBN：9787115469915

版次：01

商品編碼：12251053

包裝：平裝

叢書名： 圖靈新知

開本：大32開

齣版時間：2017-11-01

頁數：406

正文語種：中文

編輯推薦

《數學女孩》係列第三彈！
日本數學會強力推薦 絕贊的數學科普書
原版全係列纍計銷量突破40萬冊！
在動人的故事中走近數學，在青春的浪漫中理解數學

如果你還沒有明白，那麼就算全世界的人都說“明白瞭，很簡單啊”，你仍然要鼓起勇氣說“不，我還不明白”。這一點很重要。
——結城浩

內容簡介

《數學女孩》係列以小說的形式展開，重點描述一群年輕人探尋數學中的美。內容由淺入深，數學講解部分十分精妙，被稱為“絕贊的數學科普書”。
《數學女孩3：哥德爾不完備定理》有許多巧思。每一章針對不同議題進行解說，再於最後一章切入正題——哥德爾不完備定理。作者巧妙地以每一章的概念作為拼圖，拼齣與塔斯基的形式語言的真理論、圖靈機和判定問題一道被譽為“現代邏輯科學在哲學方麵的三大成果”的哥德爾不完備定理的大概證明。整本書一氣嗬成，非常適閤對數學感興趣的初高中生以及成人閱讀。

作者簡介

結城浩
生於1963年。日本知名技術作傢和程序員。在編程語言、設計模式、數學、加密技術等領域，編寫瞭很多深受歡迎的入門書。代錶作有《數學女孩》係列、《程序員的數學》、《圖解密碼技術》等。
作者主頁：http://www.hyuki.com

目錄

序言
第1章　鏡子的獨白　1
1．1　誰是老實人．1
1．1．1　鏡子呀鏡子．1
1．1．2　誰是老實人．3
1．1．3　相同的迴答．7
1．1．4　迴答是沉默．8
1．2　邏輯謎題．9
1．2．1　愛麗絲、博麗絲和剋麗絲．9
1．2．2　用錶格來想　10
1．2．3　齣題者的心思　14
1．3　帽子是什麼顔色　15
1．3．1　不知道　15
1．3．2　對齣題者的驗證　18
1．3．3　鏡子的獨白　19
第2章　皮亞諾算術　23
2．1　泰朵拉　23
2．1．1　皮亞諾公理　23
2．1．2　無數個願望　27
2．1．3　皮亞諾公理．PA1．28
2．1．4　皮亞諾公理．PA2．29
2．1．5　養大　32
2．1．6　皮亞諾公理 PA3．34
2．1．7　小的？　35
2．1．8　皮亞諾公理．PA4．36
2．2　米爾嘉　39
2．2．1　皮亞諾公理 PA5．42
2．2．2　數學歸納法　43
2．3　在無數腳步之中　49
2．3．1　有限？無限？　49
2．3．2　動態？靜態？　50
2．4　尤裏　52
2．4．1　加法運算？　52
2．4．2　公理呢？　53
第3章　伽利略的猶豫　57
3．1　集閤　57
3．1．1　美人的集閤　57
3．1．2　外延錶示法　58
3．1．3　餐桌　60
3．1．4　空集　61
3．1．5　集閤的集閤　62
3．1．6　公共部分　64
3．1．7　並集　67
3．1．8　包含關係　68
3．1．9　為什麼要研究集閤　71
3．2　邏輯　72
3．2．1　內涵錶示法　72
3．2．2　羅素悖論　74
3．2．3　集閤運算和邏輯運算　77
3．3　無限　79
3．3．1　雙射鳥籠　79
3．3．2　伽利略的猶豫　83
3．4　錶示　86
3．4．1　歸途　86
3．4．2　書店　87
3．5　沉默　88
第4章　無限接近的目的地　91
4．1　傢中　91
4．1．1　尤裏　91
4．1．2　男生的“證明”　92
4．1．3　尤裏的“證明”　93
4．1．4　尤裏的“疑惑”　96
4．1．5　我的講解　97
4．2　超市　99
4．3　音樂教室　104
4．3．1　字母的導入　104
4．3．2　極限　106
4．3．3　憑聲音決定音樂　108
4．3．4　極限的計算　111
4．4　歸途　119
第5章　萊布尼茨之夢　123
5．1　若尤裏，則非泰朵拉　123
5．1．1　“若……則……”的含義　123
5．1．2　萊布尼茨之夢　126
5．1．3　理性的界限？　128
5．2　若泰朵拉，則非尤裏　129
5．2．1　備戰高考　129
5．2．2　上課　131
5．3　若米爾嘉，則米爾嘉　133
5．3．1　教室　133
5．3．2　形式係統　135
5．3．3　邏輯公式　137
5．3．4　“若……則……”的形式　140
5．3．5　公理　142
5．3．6　證明論　143
5．3．7　推理規則　145
5．3．8　證明和定理　147
5．4　不是我，還是我　149
5．4．1　傢中　149
5．4．2　形式的形式　150
5．4．3　含義的含義　152
5．4．4　若“若……則……”，則……　153
5．4．5　邀約　157
第6章　��-δ語言　159
6．1　數列的極限　159
6．1．1　從圖書室齣發　159
6．1．2　到達階梯教室　160
6．1．3　理解復雜式子的方法　164
6．1．4　看“絕對值”　166
6．1．5　看“若……則……”　169
6．1．6　看“所有”和“某個”　170
6．2　函數的極限　174
6．2．1　��-δ　174
6．2．2　��-δ的含義　177
6．3　摸底考試　178
6．3．1　上榜　178
6．3．2　靜寂的聲音、沉默的聲音　179
6．4　“連續”的定義　181
6．4．1　圖書室　181
6．4．2　在所有點處都不連續　184
6．4．3　是否存在在一點處連續的函數　186
6．4．4　逃齣無限的迷宮　187
6．4．5　在一點處連續的函數！　188
6．4．6　訴衷腸　192
第7章　對角論證法　197
7．1　數列的數列　197
7．1．1　可數集　197
7．1．2　對角論證法　201
7．1．3　挑戰：給實數編號　209
7．1．4　挑戰：有理數和對角論證法　213
7．2　形式係統的形式係統　215
7．2．1　相容性和完備性　215
7．2．2　哥德爾不完備定理　222
7．2．3　算術　224
7．2．4　形式係統的形式係統　225
7．2．5　詞匯的整理　229
7．2．6　數項　229
7．2．7　對角化　230
7．2．8　數學的定理　232
7．3　失物的失物　233
第8章　兩份孤獨所衍生的産物　239
8．1　重疊的對　239
8．1．1　泰朵拉的發現　239
8．1．2　我的發現　245
8．1．3　誰都沒發現的事實　246
8．2　傢中　247
8．2．1　自己的數學　247
8．2．2　錶現的壓縮　247
8．2．3　加法運算的定義　251
8．2．4　教師的存在　254
8．3　等價關係　255
8．3．1　畢業典禮　255
8．3．2　對衍生的産物　257
8．3．3　從自然數到整數　258
8．3．4　圖　259
8．3．5　等價關係　264
8．3．6　商集　268
8．4　餐廳　272
8．4．1　兩個人的晚飯　272
8．4．2　一對翅膀　272
8．4．3　無力考試　275
第9章　令人迷惑的螺鏇樓梯　277
9．1　π弧度　277
9．1．1　不高興的尤裏　277
9．1．2　三角函數　279
9．1．3　sin45°　282
9．1．4　sin60°　286
9．1．5　正弦麯綫　290
9．2　π弧度　294
9．2．1　弧度　294
9．2．2　教人　296
9．3　π弧度　297
9．3．1　停課　297
9．3．2　餘數　298
9．3．3　燈塔　300
9．3．4　海邊　303
9．3．5　消毒　304
第10章　哥德爾不完備定理　307
10．1　雙倉圖書館　307
10．1．1　入口　307
10．1．2　氯　308
10．2　希爾伯特計劃　310
10．2．1　希爾伯特　310
10．2．2　猜謎　312
10．3　哥德爾不完備定理　316
10．3．1　哥德爾　316
10．3．2　討論　318
10．3．3　證明的概要　320
10．4　春天—形式係統 P．320
10．4．1　基本符號　320
10．4．2　數項和符號　322
10．4．3　邏輯公式　323
10．4．4　公理　324
10．4．5　推理規則　327
10．5　午飯時間　328
10．5．1　元數學　328
10．5．2　用數學研究數學　329
10．5．3　蘇醒　329
10．6　夏天—哥德爾數　331
10．6．1　基本符號的哥德爾數　331
10．6．2　序列的哥德爾數　332
10．7　鞦天—原始遞歸性　335
10．7．1　原始遞歸函數　335
10．7．2　原始遞歸函數（謂詞）的性質　338
10．7．3　錶現定理　340
10．8　鼕天—通往可證明性的漫長之旅　343
10．8．1　整理行裝　343
10．8．2　數論　344
10．8．3　序列　346
10．8．4　變量·符號·邏輯公式　348
10．8．5　公理、定理、形式證明　358
10．9　新春—不可判定語句　362
10．9．1　“季節”的確認　362
10．9．2　種子—從含義的世界到形式的世界　364
10．9．3　綠芽—p的定義　366
10．9．4　枝杈—r的定義　367
10．9．5　葉子—從 A1往下走　368
10．9．6　蓓蕾—從 B1開始往下走　369
10．9．7　不可判定語句的定義　369
10．9．8　梅花—．IsProvable(g)．370
10．9．9　桃花—．IsProvable(not(g))的證明　372
10．9．10　櫻花—證明形式係統 P是不完備的　374
10．10　不完備定理的意義　376
10．10．1　“‘我’是無法證明的”　376
10．10．2　第二不完備定理的證明之概要　380
10．10．3　不完備定理衍生的産物　383
10．10．4　數學的界限？　384
10．11　帶上夢想　386
10．11．1　並非結束　386
10．11．2　屬於我　387
尾　聲　391
後　記　395
參考文獻和導讀　399

《數學女孩3：哥德爾不完備定理》是一本旨在帶領讀者深入探索數學世界奧秘的書籍。它不僅僅是一本關於數學理論的科普讀物，更是一次引人入勝的思維冒險，通過生動有趣的情節和角色互動，將深邃抽象的數學概念以一種易於理解的方式呈現齣來。本書的主題聚焦於邏輯學的核心——哥德爾不完備定理，這一理論徹底改變瞭我們對數學確定性、完備性和一緻性的認知，並在哲學、計算機科學等領域産生瞭深遠影響。 本書的獨特之處在於，它巧妙地將嚴謹的數學理論融入到一個富有想象力的故事框架中。讀者將跟隨兩位充滿好奇心的“數學女孩”——米婭和莉娜，以及她們的數學老師——睿智而富有啓發性的“亞裏士多德”老師，一同踏上求知之旅。她們對數學的疑問與探索，構成瞭本書的情節主綫。故事的展開並非枯燥的理論堆砌，而是通過她們在課堂上、課後討論中，乃至在腦海中的想象世界裏，層層遞進地揭示哥德爾不完備定理的精髓。 哥德爾不完備定理，簡而言之，揭示瞭任何一個足夠強大、能夠包含基本算術的公理化形式係統中，都存在著無法被證明也無法被證僞的命題，並且這個係統本身也無法證明自身的無矛盾性。這個看似晦澀的定理，卻蘊含著對邏輯、真理以及人類思維局限性的深刻洞見。在本書中，作者並沒有直接拋齣定理的嚴謹數學證明，而是通過精心設計的對話和類比，讓讀者逐步體會到定理的意涵。 故事的開端，可能從一個看似簡單的數學問題齣發，例如關於數的性質，或者邏輯推理的規則。米婭和莉娜，作為不同性格但同樣充滿熱情的學生，她們會提齣各種各樣的問題，有時是天真爛漫的童趣，有時是充滿哲思的追問。亞裏士多德老師則會耐心解答，引導她們思考，並適時地引入與哥德爾不完備定理相關的概念。 例如，為瞭理解“完備性”這個概念，老師可能會引導她們討論一個簡單的邏輯遊戲，在這個遊戲中，所有的規則都明確無誤，並且任何一個陳述都可以被判定為真或假。接著，老師會引申到數學係統，提齣一個問題：是否存在一個數學係統，能夠包含所有的數學真理，並且所有這些真理都可以被證明？這便是“完備性”的理想狀態。 然後，為瞭理解“一緻性”，老師會討論在一個係統中，是否會同時齣現一個命題及其否定都可以被證明的情況。一個不一緻的係統是危險的，因為它會“證明一切”，從而失去任何意義。因此，數學傢們一直努力構建一緻的數學係統。 在引入哥德爾不完備定理之前，本書可能會花費大量篇幅鋪墊相關的邏輯學基礎。這包括對形式語言、公理、推理規則、證明等基本概念的講解。通過對這些基礎知識的掌握，讀者纔能更好地理解哥德爾定理的深層含義。這些講解會以對話、例證，甚至是一些小謎題的形式齣現，讓學習過程充滿樂趣。 比如，在講解“形式語言”時，亞裏士多德老師可能會讓米婭和莉娜設計一種簡單的符號語言，用來描述特定的事物，並規定這些符號的組閤規則。這種練習能夠讓讀者體會到形式化建模的重要性。 在講解“公理”時，老師可能會從一些生活中顯而易見的真理齣發，例如“事物不能同時存在和不存在”。這些“不證自明”的命題，在數學中就稱為公理，是構建整個數學大廈的基石。 隨著故事的深入，亞裏士多德老師會逐漸引入“自我指涉”的概念，這是哥德爾不完備定理證明的關鍵。可能會通過一些經典的邏輯悖論，例如“說謊者悖論”（“這句話是假的”），來讓讀者體會到自我指涉可能帶來的邏輯睏境。 然後，哥德爾巧妙地運用數論中的“哥德爾數”將邏輯命題轉化為數字，使得關於數學係統的論斷可以被錶達為數學命題。這個過程是本書中最具挑戰性但也最令人驚嘆的部分。作者會通過生動的比喻和循序漸進的解釋，試圖讓讀者理解如何將一個關於“可證明性”的邏輯命題，轉化為一個關於“可整除性”的數論命題。 例如，亞裏士多德老師可能會構建一個簡單的編碼係統，讓每一個符號、每一個邏輯連接詞、每一個變量，都被賦予一個獨特的數字。然後，一條數學語句，例如“P ⇒ Q”（如果P，那麼Q），可以通過將組成它的符號和它們的順序進行編碼，變成一個巨大的數字。而一個證明，則可以被看作是一係列的數字，它們按照特定的規則相互關聯，最終導齣一個結論。 通過這種編碼，哥德爾證明瞭，如果一個數學係統是無矛盾的，那麼就可以構造一個關於該係統的命題，這個命題就等同於“該係統無法證明我”。這個命題本身是真理，但是在這個係統內部卻無法被證明。這就是“第一不完備定理”。 接著，哥德爾還證明瞭，一個足夠強大且無矛盾的數學係統，無法證明其自身的無矛盾性。這意味著，我們無法在係統內部完全確信它的可靠性，需要藉助更強大的外部係統來證明。這就是“第二不完備定理”。 本書將通過米婭和莉娜對這些概念的睏惑、頓悟，以及她們之間的討論，來展現這些抽象的證明過程。她們可能會對“真理”的定義産生新的思考，對“可計算性”和“可判定性”産生好奇。她們的對話會充滿孩童的純真和嚴謹的邏輯碰撞，讓讀者在輕鬆的氛圍中，逐步理解這些深刻的數學思想。 例如，當米婭對“無法被證明”感到沮喪時，亞裏士多德老師可能會引導她思考，是否所有真理都必須被證明。或者，當莉娜對“係統無法證明自身無矛盾”感到不安時，老師可能會用一個類比，例如一個樂隊無法自己給自己頒發“沒有走音”的奬項。 本書的敘事結構也將注重情節的起伏和人物的成長。米婭可能代錶著那種直覺更強、更善於聯想的學生，而莉娜則可能更傾嚮於邏輯嚴謹、步步為營的思考方式。她們各自的理解角度，會共同構成對哥德爾不完備定理更全麵的認識。 亞裏士多德老師的角色不僅僅是知識的傳授者，更是引導者和啓發者。他會提齣引導性的問題，激發學生們的思考，鼓勵她們勇於質疑，並最終形成自己的理解。他可能還會分享一些關於數學史的故事，講述哥德爾本人的人生經曆，以及他的發現如何對數學和哲學界産生瞭革命性的影響。 本書的語言風格也會力求清新自然，避免使用過於專業和晦澀的術語，即使 unavoidable，也會給齣清晰易懂的解釋。通過生動的比喻、形象的描繪，以及大量有趣的數學小例子，讓讀者在閱讀過程中感受到數學的魅力，而不是被其難度所嚇倒。 《數學女孩3：哥德爾不完備定理》並非一本提供最終答案的書，而是一本激發讀者深入思考的書。它旨在告訴讀者，即使在邏輯嚴謹的數學世界裏，也存在著不可逾越的界限，而認識到這些界限，本身就是一種深刻的智慧。它會鼓勵讀者去探索未知的領域，去擁抱數學中的不確定性，並從中發現新的樂趣和意義。 最終，本書會讓讀者認識到，哥德爾不完備定理不僅僅是一個抽象的數學定理，它觸及瞭人類認識能力的本質，關於我們能否構建一個完美無缺、包羅萬象的知識體係的哲學命題。通過與米婭、莉娜和亞裏士多德老師的共同經曆，讀者將不僅僅是學會瞭“哥德爾不完備定理”是什麼，更重要的是，理解瞭它為什麼重要，以及它對我們理解世界和自身思維的深刻啓示。這是一場智慧的盛宴，一場關於真理、邏輯與限製的探索之旅。

評分☆☆☆☆☆

從寫作風格上來說，這本書的語言質感極其細膩考究，顯示齣作者深厚的文學功底。它既有嚴謹的學術探討的精確性，又不失文學作品的韻味和感染力。尤其是在描述那些抽象的、難以言喻的數學思想時，作者總能找到最貼切的比喻和最富有張力的措辭，使得那些冷峻的邏輯推理瞬間變得鮮活起來。我尤其喜歡書中那些不經意的幽默感，它巧妙地緩和瞭深度討論帶來的認知壓力，讓閱讀體驗保持在高昂的興奮度。很多段落我都會忍不住反復誦讀，不僅是為瞭理解其深意，更是為瞭品味其中精妙的文字構造。這本書證明瞭，即便是關於最嚴肅的主題，也可以用最優雅、最富有人情味的方式來錶達。

評分☆☆☆☆☆

對我而言，這本書更像是一次精神上的長途跋涉，每讀完一個部分，都感覺自己的心智被重新鍛造瞭一番。它成功地將復雜的、高階的思維活動，轉化為瞭一種充滿探索樂趣的智力冒險。這種冒險的價值在於，它不僅提供瞭關於特定領域的知識，更重要的是，它提升瞭讀者處理復雜信息和進行抽象思考的能力。讀完閤上書本的那一刻，雖然暫時離開瞭那個精妙構建的數學世界，但那種被拓寬的視野和被激活的求知欲，卻久久沒有散去。我開始以一種全新的眼光去看待生活中的各種邏輯鏈條和看似隨機的事件，這本書的“後勁”實在太大瞭。它不是那種讀完就束之高閣的消遣讀物，而是值得反復咀嚼、時常迴味的智慧結晶。

評分☆☆☆☆☆

這本書的結構安排堪稱教科書級彆的典範，邏輯嚴密得令人拍案叫絕。每一個章節的過渡都處理得極其自然流暢，仿佛河流匯入大海般渾然天成。作者顯然在內容編排上花費瞭巨大的心血，使得原本可能枯燥的理論體係變得層層遞進，引人入勝。我特彆欣賞作者在關鍵概念引入時所采用的鋪墊手法，總是在讀者感到一絲疑惑的臨界點，適時地給齣最恰當的解釋和類比。這種行文節奏的掌控力，讓閱讀過程充滿瞭張力與滿足感。它不像某些學術著作那樣生硬地堆砌概念，而是將理論的構建過程清晰地展示齣來，讓讀者能夠真切地感受到“知識是如何誕生”的奇妙過程。那種撥雲見日、豁然開朗的瞬間，是閱讀任何其他書籍都難以比擬的。

評分☆☆☆☆☆

這本書的封麵設計簡直是一場視覺盛宴，將抽象的數學概念與富有想象力的插畫完美結閤，讓人一拿到手就忍不住想要深入探索其中的奧秘。初讀之下，我立刻被那種娓娓道來的敘事方式所吸引。作者仿佛是一位和藹的引路人，帶著我們一步步穿越迷霧，領略那些原本看似高不可攀的數學真理。文字流暢而富有畫麵感，即便是那些復雜的邏輯推演，也被巧妙地轉化為生動的場景和對話，讓讀者在輕鬆愉快的氛圍中領悟深刻的哲理。它不僅僅是在講解知識，更像是在講述一個關於探索、關於真理、關於人類智慧的動人故事。那些數學公式不再是冰冷的符號，而是承載著思想火花的精妙構築。讀完第一章，我感覺自己仿佛與書中的角色一同經曆瞭某種頓悟，對數學世界産生瞭全新的敬畏與熱愛。這種體驗是如此獨特而美妙，讓人迫不及待地想知道接下來會遇到怎樣的驚喜。

評分☆☆☆☆☆

我發現這本書最迷人之處在於它深植於哲學層麵的思考。它超越瞭單純的數學演算，直抵認知的邊界和人類思維的極限。閱讀過程中，我時常會停下來，沉思書中所提齣的那些關於“確定性”與“可能性”的本質叩問。作者用近乎詩意的語言探討著邏輯的邊界，讓人開始重新審視我們所依賴的知識體係是否真的堅不可摧。這種對根基的拷問，極大地拓寬瞭我的思維維度。它迫使我跳齣具體的計算，去思考“什麼是‘已知’，什麼是‘未知’”。這種對世界觀的重塑，遠比記住幾個公式來得更有價值。這本書無疑是為那些渴望深度思考的讀者準備的，它提供的不僅僅是知識，更是一種全新的、批判性的視角去看待我們周圍的一切。

評分☆☆☆☆☆

終於三本都到手啦

評分☆☆☆☆☆

買瞭一套迴來看，很好

評分☆☆☆☆☆

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評分☆☆☆☆☆

這是一本非常好的書，很容易就能明白復雜的數學

評分☆☆☆☆☆

愛你所愛，行你所行，聽從你心，無問西東。

評分☆☆☆☆☆

超值超值超值超值，推薦推薦

評分☆☆☆☆☆

非常滿意的一次購物

評分☆☆☆☆☆

這本開頭太簡單瞭，基礎概念鋪墊地太長瞭，這本書比較慢熱，當然是為瞭照顧沒有係統學習過數學的中學生，可以理解。我個人非常推薦給高中學生看，如果真正喜歡數學的話，不要因為專注備戰高考而錯過對數學的美的一種欣賞。

評分☆☆☆☆☆

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