数学女孩3 哥德尔不完备定理 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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[日] 结城浩 著，丁灵 译

图书标签:

• 数学
• 逻辑学
• 哥德尔不完备定理
• 哲学
• 科普
• 数理逻辑
• 形式系统
• 递归论
• 数学哲学
• 理论

出版社： 人民邮电出版社

ISBN：9787115469915

版次：01

商品编码：12251053

包装：平装

丛书名： 图灵新知

开本：大32开

出版时间：2017-11-01

页数：406

正文语种：中文

编辑推荐

《数学女孩》系列第三弹！
日本数学会强力推荐 绝赞的数学科普书
原版全系列累计销量突破40万册！
在动人的故事中走近数学，在青春的浪漫中理解数学

如果你还没有明白，那么就算全世界的人都说“明白了，很简单啊”，你仍然要鼓起勇气说“不，我还不明白”。这一点很重要。
——结城浩

内容简介

《数学女孩》系列以小说的形式展开，重点描述一群年轻人探寻数学中的美。内容由浅入深，数学讲解部分十分精妙，被称为“绝赞的数学科普书”。
《数学女孩3：哥德尔不完备定理》有许多巧思。每一章针对不同议题进行解说，再于最后一章切入正题——哥德尔不完备定理。作者巧妙地以每一章的概念作为拼图，拼出与塔斯基的形式语言的真理论、图灵机和判定问题一道被誉为“现代逻辑科学在哲学方面的三大成果”的哥德尔不完备定理的大概证明。整本书一气呵成，非常适合对数学感兴趣的初高中生以及成人阅读。

作者简介

结城浩
生于1963年。日本知名技术作家和程序员。在编程语言、设计模式、数学、加密技术等领域，编写了很多深受欢迎的入门书。代表作有《数学女孩》系列、《程序员的数学》、《图解密码技术》等。
作者主页：http://www.hyuki.com

目录

序言
第1章　镜子的独白　1
1．1　谁是老实人．1
1．1．1　镜子呀镜子．1
1．1．2　谁是老实人．3
1．1．3　相同的回答．7
1．1．4　回答是沉默．8
1．2　逻辑谜题．9
1．2．1　爱丽丝、博丽丝和克丽丝．9
1．2．2　用表格来想　10
1．2．3　出题者的心思　14
1．3　帽子是什么颜色　15
1．3．1　不知道　15
1．3．2　对出题者的验证　18
1．3．3　镜子的独白　19
第2章　皮亚诺算术　23
2．1　泰朵拉　23
2．1．1　皮亚诺公理　23
2．1．2　无数个愿望　27
2．1．3　皮亚诺公理．PA1．28
2．1．4　皮亚诺公理．PA2．29
2．1．5　养大　32
2．1．6　皮亚诺公理 PA3．34
2．1．7　小的？　35
2．1．8　皮亚诺公理．PA4．36
2．2　米尔嘉　39
2．2．1　皮亚诺公理 PA5．42
2．2．2　数学归纳法　43
2．3　在无数脚步之中　49
2．3．1　有限？无限？　49
2．3．2　动态？静态？　50
2．4　尤里　52
2．4．1　加法运算？　52
2．4．2　公理呢？　53
第3章　伽利略的犹豫　57
3．1　集合　57
3．1．1　美人的集合　57
3．1．2　外延表示法　58
3．1．3　餐桌　60
3．1．4　空集　61
3．1．5　集合的集合　62
3．1．6　公共部分　64
3．1．7　并集　67
3．1．8　包含关系　68
3．1．9　为什么要研究集合　71
3．2　逻辑　72
3．2．1　内涵表示法　72
3．2．2　罗素悖论　74
3．2．3　集合运算和逻辑运算　77
3．3　无限　79
3．3．1　双射鸟笼　79
3．3．2　伽利略的犹豫　83
3．4　表示　86
3．4．1　归途　86
3．4．2　书店　87
3．5　沉默　88
第4章　无限接近的目的地　91
4．1　家中　91
4．1．1　尤里　91
4．1．2　男生的“证明”　92
4．1．3　尤里的“证明”　93
4．1．4　尤里的“疑惑”　96
4．1．5　我的讲解　97
4．2　超市　99
4．3　音乐教室　104
4．3．1　字母的导入　104
4．3．2　极限　106
4．3．3　凭声音决定音乐　108
4．3．4　极限的计算　111
4．4　归途　119
第5章　莱布尼茨之梦　123
5．1　若尤里，则非泰朵拉　123
5．1．1　“若……则……”的含义　123
5．1．2　莱布尼茨之梦　126
5．1．3　理性的界限？　128
5．2　若泰朵拉，则非尤里　129
5．2．1　备战高考　129
5．2．2　上课　131
5．3　若米尔嘉，则米尔嘉　133
5．3．1　教室　133
5．3．2　形式系统　135
5．3．3　逻辑公式　137
5．3．4　“若……则……”的形式　140
5．3．5　公理　142
5．3．6　证明论　143
5．3．7　推理规则　145
5．3．8　证明和定理　147
5．4　不是我，还是我　149
5．4．1　家中　149
5．4．2　形式的形式　150
5．4．3　含义的含义　152
5．4．4　若“若……则……”，则……　153
5．4．5　邀约　157
第6章　��-δ语言　159
6．1　数列的极限　159
6．1．1　从图书室出发　159
6．1．2　到达阶梯教室　160
6．1．3　理解复杂式子的方法　164
6．1．4　看“绝对值”　166
6．1．5　看“若……则……”　169
6．1．6　看“所有”和“某个”　170
6．2　函数的极限　174
6．2．1　��-δ　174
6．2．2　��-δ的含义　177
6．3　摸底考试　178
6．3．1　上榜　178
6．3．2　静寂的声音、沉默的声音　179
6．4　“连续”的定义　181
6．4．1　图书室　181
6．4．2　在所有点处都不连续　184
6．4．3　是否存在在一点处连续的函数　186
6．4．4　逃出无限的迷宫　187
6．4．5　在一点处连续的函数！　188
6．4．6　诉衷肠　192
第7章　对角论证法　197
7．1　数列的数列　197
7．1．1　可数集　197
7．1．2　对角论证法　201
7．1．3　挑战：给实数编号　209
7．1．4　挑战：有理数和对角论证法　213
7．2　形式系统的形式系统　215
7．2．1　相容性和完备性　215
7．2．2　哥德尔不完备定理　222
7．2．3　算术　224
7．2．4　形式系统的形式系统　225
7．2．5　词汇的整理　229
7．2．6　数项　229
7．2．7　对角化　230
7．2．8　数学的定理　232
7．3　失物的失物　233
第8章　两份孤独所衍生的产物　239
8．1　重叠的对　239
8．1．1　泰朵拉的发现　239
8．1．2　我的发现　245
8．1．3　谁都没发现的事实　246
8．2　家中　247
8．2．1　自己的数学　247
8．2．2　表现的压缩　247
8．2．3　加法运算的定义　251
8．2．4　教师的存在　254
8．3　等价关系　255
8．3．1　毕业典礼　255
8．3．2　对衍生的产物　257
8．3．3　从自然数到整数　258
8．3．4　图　259
8．3．5　等价关系　264
8．3．6　商集　268
8．4　餐厅　272
8．4．1　两个人的晚饭　272
8．4．2　一对翅膀　272
8．4．3　无力考试　275
第9章　令人迷惑的螺旋楼梯　277
9．1　π弧度　277
9．1．1　不高兴的尤里　277
9．1．2　三角函数　279
9．1．3　sin45°　282
9．1．4　sin60°　286
9．1．5　正弦曲线　290
9．2　π弧度　294
9．2．1　弧度　294
9．2．2　教人　296
9．3　π弧度　297
9．3．1　停课　297
9．3．2　余数　298
9．3．3　灯塔　300
9．3．4　海边　303
9．3．5　消毒　304
第10章　哥德尔不完备定理　307
10．1　双仓图书馆　307
10．1．1　入口　307
10．1．2　氯　308
10．2　希尔伯特计划　310
10．2．1　希尔伯特　310
10．2．2　猜谜　312
10．3　哥德尔不完备定理　316
10．3．1　哥德尔　316
10．3．2　讨论　318
10．3．3　证明的概要　320
10．4　春天—形式系统 P．320
10．4．1　基本符号　320
10．4．2　数项和符号　322
10．4．3　逻辑公式　323
10．4．4　公理　324
10．4．5　推理规则　327
10．5　午饭时间　328
10．5．1　元数学　328
10．5．2　用数学研究数学　329
10．5．3　苏醒　329
10．6　夏天—哥德尔数　331
10．6．1　基本符号的哥德尔数　331
10．6．2　序列的哥德尔数　332
10．7　秋天—原始递归性　335
10．7．1　原始递归函数　335
10．7．2　原始递归函数（谓词）的性质　338
10．7．3　表现定理　340
10．8　冬天—通往可证明性的漫长之旅　343
10．8．1　整理行装　343
10．8．2　数论　344
10．8．3　序列　346
10．8．4　变量·符号·逻辑公式　348
10．8．5　公理、定理、形式证明　358
10．9　新春—不可判定语句　362
10．9．1　“季节”的确认　362
10．9．2　种子—从含义的世界到形式的世界　364
10．9．3　绿芽—p的定义　366
10．9．4　枝杈—r的定义　367
10．9．5　叶子—从 A1往下走　368
10．9．6　蓓蕾—从 B1开始往下走　369
10．9．7　不可判定语句的定义　369
10．9．8　梅花—．IsProvable(g)．370
10．9．9　桃花—．IsProvable(not(g))的证明　372
10．9．10　樱花—证明形式系统 P是不完备的　374
10．10　不完备定理的意义　376
10．10．1　“‘我’是无法证明的”　376
10．10．2　第二不完备定理的证明之概要　380
10．10．3　不完备定理衍生的产物　383
10．10．4　数学的界限？　384
10．11　带上梦想　386
10．11．1　并非结束　386
10．11．2　属于我　387
尾　声　391
后　记　395
参考文献和导读　399

《数学女孩3：哥德尔不完备定理》是一本旨在带领读者深入探索数学世界奥秘的书籍。它不仅仅是一本关于数学理论的科普读物，更是一次引人入胜的思维冒险，通过生动有趣的情节和角色互动，将深邃抽象的数学概念以一种易于理解的方式呈现出来。本书的主题聚焦于逻辑学的核心——哥德尔不完备定理，这一理论彻底改变了我们对数学确定性、完备性和一致性的认知，并在哲学、计算机科学等领域产生了深远影响。 本书的独特之处在于，它巧妙地将严谨的数学理论融入到一个富有想象力的故事框架中。读者将跟随两位充满好奇心的“数学女孩”——米娅和莉娜，以及她们的数学老师——睿智而富有启发性的“亚里士多德”老师，一同踏上求知之旅。她们对数学的疑问与探索，构成了本书的情节主线。故事的展开并非枯燥的理论堆砌，而是通过她们在课堂上、课后讨论中，乃至在脑海中的想象世界里，层层递进地揭示哥德尔不完备定理的精髓。 哥德尔不完备定理，简而言之，揭示了任何一个足够强大、能够包含基本算术的公理化形式系统中，都存在着无法被证明也无法被证伪的命题，并且这个系统本身也无法证明自身的无矛盾性。这个看似晦涩的定理，却蕴含着对逻辑、真理以及人类思维局限性的深刻洞见。在本书中，作者并没有直接抛出定理的严谨数学证明，而是通过精心设计的对话和类比，让读者逐步体会到定理的意涵。 故事的开端，可能从一个看似简单的数学问题出发，例如关于数的性质，或者逻辑推理的规则。米娅和莉娜，作为不同性格但同样充满热情的学生，她们会提出各种各样的问题，有时是天真烂漫的童趣，有时是充满哲思的追问。亚里士多德老师则会耐心解答，引导她们思考，并适时地引入与哥德尔不完备定理相关的概念。 例如，为了理解“完备性”这个概念，老师可能会引导她们讨论一个简单的逻辑游戏，在这个游戏中，所有的规则都明确无误，并且任何一个陈述都可以被判定为真或假。接着，老师会引申到数学系统，提出一个问题：是否存在一个数学系统，能够包含所有的数学真理，并且所有这些真理都可以被证明？这便是“完备性”的理想状态。 然后，为了理解“一致性”，老师会讨论在一个系统中，是否会同时出现一个命题及其否定都可以被证明的情况。一个不一致的系统是危险的，因为它会“证明一切”，从而失去任何意义。因此，数学家们一直努力构建一致的数学系统。 在引入哥德尔不完备定理之前，本书可能会花费大量篇幅铺垫相关的逻辑学基础。这包括对形式语言、公理、推理规则、证明等基本概念的讲解。通过对这些基础知识的掌握，读者才能更好地理解哥德尔定理的深层含义。这些讲解会以对话、例证，甚至是一些小谜题的形式出现，让学习过程充满乐趣。 比如，在讲解“形式语言”时，亚里士多德老师可能会让米娅和莉娜设计一种简单的符号语言，用来描述特定的事物，并规定这些符号的组合规则。这种练习能够让读者体会到形式化建模的重要性。 在讲解“公理”时，老师可能会从一些生活中显而易见的真理出发，例如“事物不能同时存在和不存在”。这些“不证自明”的命题，在数学中就称为公理，是构建整个数学大厦的基石。 随着故事的深入，亚里士多德老师会逐渐引入“自我指涉”的概念，这是哥德尔不完备定理证明的关键。可能会通过一些经典的逻辑悖论，例如“说谎者悖论”（“这句话是假的”），来让读者体会到自我指涉可能带来的逻辑困境。 然后，哥德尔巧妙地运用数论中的“哥德尔数”将逻辑命题转化为数字，使得关于数学系统的论断可以被表达为数学命题。这个过程是本书中最具挑战性但也最令人惊叹的部分。作者会通过生动的比喻和循序渐进的解释，试图让读者理解如何将一个关于“可证明性”的逻辑命题，转化为一个关于“可整除性”的数论命题。 例如，亚里士多德老师可能会构建一个简单的编码系统，让每一个符号、每一个逻辑连接词、每一个变量，都被赋予一个独特的数字。然后，一条数学语句，例如“P ⇒ Q”（如果P，那么Q），可以通过将组成它的符号和它们的顺序进行编码，变成一个巨大的数字。而一个证明，则可以被看作是一系列的数字，它们按照特定的规则相互关联，最终导出一个结论。 通过这种编码，哥德尔证明了，如果一个数学系统是无矛盾的，那么就可以构造一个关于该系统的命题，这个命题就等同于“该系统无法证明我”。这个命题本身是真理，但是在这个系统内部却无法被证明。这就是“第一不完备定理”。 接着，哥德尔还证明了，一个足够强大且无矛盾的数学系统，无法证明其自身的无矛盾性。这意味着，我们无法在系统内部完全确信它的可靠性，需要借助更强大的外部系统来证明。这就是“第二不完备定理”。 本书将通过米娅和莉娜对这些概念的困惑、顿悟，以及她们之间的讨论，来展现这些抽象的证明过程。她们可能会对“真理”的定义产生新的思考，对“可计算性”和“可判定性”产生好奇。她们的对话会充满孩童的纯真和严谨的逻辑碰撞，让读者在轻松的氛围中，逐步理解这些深刻的数学思想。 例如，当米娅对“无法被证明”感到沮丧时，亚里士多德老师可能会引导她思考，是否所有真理都必须被证明。或者，当莉娜对“系统无法证明自身无矛盾”感到不安时，老师可能会用一个类比，例如一个乐队无法自己给自己颁发“没有走音”的奖项。 本书的叙事结构也将注重情节的起伏和人物的成长。米娅可能代表着那种直觉更强、更善于联想的学生，而莉娜则可能更倾向于逻辑严谨、步步为营的思考方式。她们各自的理解角度，会共同构成对哥德尔不完备定理更全面的认识。 亚里士多德老师的角色不仅仅是知识的传授者，更是引导者和启发者。他会提出引导性的问题，激发学生们的思考，鼓励她们勇于质疑，并最终形成自己的理解。他可能还会分享一些关于数学史的故事，讲述哥德尔本人的人生经历，以及他的发现如何对数学和哲学界产生了革命性的影响。 本书的语言风格也会力求清新自然，避免使用过于专业和晦涩的术语，即使 unavoidable，也会给出清晰易懂的解释。通过生动的比喻、形象的描绘，以及大量有趣的数学小例子，让读者在阅读过程中感受到数学的魅力，而不是被其难度所吓倒。 《数学女孩3：哥德尔不完备定理》并非一本提供最终答案的书，而是一本激发读者深入思考的书。它旨在告诉读者，即使在逻辑严谨的数学世界里，也存在着不可逾越的界限，而认识到这些界限，本身就是一种深刻的智慧。它会鼓励读者去探索未知的领域，去拥抱数学中的不确定性，并从中发现新的乐趣和意义。 最终，本书会让读者认识到，哥德尔不完备定理不仅仅是一个抽象的数学定理，它触及了人类认识能力的本质，关于我们能否构建一个完美无缺、包罗万象的知识体系的哲学命题。通过与米娅、莉娜和亚里士多德老师的共同经历，读者将不仅仅是学会了“哥德尔不完备定理”是什么，更重要的是，理解了它为什么重要，以及它对我们理解世界和自身思维的深刻启示。这是一场智慧的盛宴，一场关于真理、逻辑与限制的探索之旅。

评分☆☆☆☆☆

从写作风格上来说，这本书的语言质感极其细腻考究，显示出作者深厚的文学功底。它既有严谨的学术探讨的精确性，又不失文学作品的韵味和感染力。尤其是在描述那些抽象的、难以言喻的数学思想时，作者总能找到最贴切的比喻和最富有张力的措辞，使得那些冷峻的逻辑推理瞬间变得鲜活起来。我尤其喜欢书中那些不经意的幽默感，它巧妙地缓和了深度讨论带来的认知压力，让阅读体验保持在高昂的兴奋度。很多段落我都会忍不住反复诵读，不仅是为了理解其深意，更是为了品味其中精妙的文字构造。这本书证明了，即便是关于最严肃的主题，也可以用最优雅、最富有人情味的方式来表达。

评分☆☆☆☆☆

我发现这本书最迷人之处在于它深植于哲学层面的思考。它超越了单纯的数学演算，直抵认知的边界和人类思维的极限。阅读过程中，我时常会停下来，沉思书中所提出的那些关于“确定性”与“可能性”的本质叩问。作者用近乎诗意的语言探讨着逻辑的边界，让人开始重新审视我们所依赖的知识体系是否真的坚不可摧。这种对根基的拷问，极大地拓宽了我的思维维度。它迫使我跳出具体的计算，去思考“什么是‘已知’，什么是‘未知’”。这种对世界观的重塑，远比记住几个公式来得更有价值。这本书无疑是为那些渴望深度思考的读者准备的，它提供的不仅仅是知识，更是一种全新的、批判性的视角去看待我们周围的一切。

评分☆☆☆☆☆

这本书的结构安排堪称教科书级别的典范，逻辑严密得令人拍案叫绝。每一个章节的过渡都处理得极其自然流畅，仿佛河流汇入大海般浑然天成。作者显然在内容编排上花费了巨大的心血，使得原本可能枯燥的理论体系变得层层递进，引人入胜。我特别欣赏作者在关键概念引入时所采用的铺垫手法，总是在读者感到一丝疑惑的临界点，适时地给出最恰当的解释和类比。这种行文节奏的掌控力，让阅读过程充满了张力与满足感。它不像某些学术著作那样生硬地堆砌概念，而是将理论的构建过程清晰地展示出来，让读者能够真切地感受到“知识是如何诞生”的奇妙过程。那种拨云见日、豁然开朗的瞬间，是阅读任何其他书籍都难以比拟的。

评分☆☆☆☆☆

对我而言，这本书更像是一次精神上的长途跋涉，每读完一个部分，都感觉自己的心智被重新锻造了一番。它成功地将复杂的、高阶的思维活动，转化为了一种充满探索乐趣的智力冒险。这种冒险的价值在于，它不仅提供了关于特定领域的知识，更重要的是，它提升了读者处理复杂信息和进行抽象思考的能力。读完合上书本的那一刻，虽然暂时离开了那个精妙构建的数学世界，但那种被拓宽的视野和被激活的求知欲，却久久没有散去。我开始以一种全新的眼光去看待生活中的各种逻辑链条和看似随机的事件，这本书的“后劲”实在太大了。它不是那种读完就束之高阁的消遣读物，而是值得反复咀嚼、时常回味的智慧结晶。

评分☆☆☆☆☆

这本书的封面设计简直是一场视觉盛宴，将抽象的数学概念与富有想象力的插画完美结合，让人一拿到手就忍不住想要深入探索其中的奥秘。初读之下，我立刻被那种娓娓道来的叙事方式所吸引。作者仿佛是一位和蔼的引路人，带着我们一步步穿越迷雾，领略那些原本看似高不可攀的数学真理。文字流畅而富有画面感，即便是那些复杂的逻辑推演，也被巧妙地转化为生动的场景和对话，让读者在轻松愉快的氛围中领悟深刻的哲理。它不仅仅是在讲解知识，更像是在讲述一个关于探索、关于真理、关于人类智慧的动人故事。那些数学公式不再是冰冷的符号，而是承载着思想火花的精妙构筑。读完第一章，我感觉自己仿佛与书中的角色一同经历了某种顿悟，对数学世界产生了全新的敬畏与热爱。这种体验是如此独特而美妙，让人迫不及待地想知道接下来会遇到怎样的惊喜。

评分☆☆☆☆☆

京东的东西物美价廉，不错不错，快递也不得快！现在家里的东西基本都在京东买，正品便捷！家人都很放心！太实惠了！ 太好了

评分☆☆☆☆☆

不错

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正版，内容值得一看。

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简单，通俗易懂

评分☆☆☆☆☆

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评分☆☆☆☆☆

一次买全套，还没看，先好评

评分☆☆☆☆☆

东西挺好，质量不错，用起来方便

评分☆☆☆☆☆

好书，值得，推荐购买的书。