擬綫性橢圓型方程的現代變分方法 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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瀋堯天 王友軍 李周欣 著

圖書標籤:

• 偏微分方程
• 變分方法
• 橢圓型方程
• 擬綫性方程
• 泛函分析
• 數學分析
• PDE
• 現代分析
• 數值分析
• 優化理論

店鋪： 唐人文化圖書專營店

齣版社： 高等教育齣版社

ISBN：9787040476743

商品編碼：13819568309

包裝：平裝

齣版時間：2017-06-01

內容簡介

      現代變分方法是非綫性泛函分析的重要分支。本書主要介紹現代變分理論，特彆是臨界點理論在研究擬綫性橢圓型方程解的存在性和多解性方麵的應用，書中包含瞭不少新近發錶的結果。 *章介紹瞭用經典變分法討論擬綫性橢圓型方程極小解存在，並介紹瞭Sobolev空間中的Pohozaev恒等式，且用它討論瞭解的不存在性的研究。第二章介紹瞭光滑泛函臨界點理論並討論瞭可控增長次臨界指數擬綫性橢圓型方程的多重解，第三章結閤集中緊原理討論瞭臨界指數擬綫性橢圓型方程多重解。第四章介紹瞭非光滑泛函臨界點理論，並證明瞭自然增長擬綫性橢圓型方程多重解的存在性。第五章研究瞭能量泛函為非正規非光滑泛函的一般擬綫性Schrödinger方程，通過引進新的變換化為光滑泛函的半綫性方程，證明瞭正解的存在性。

本書可作為數學和應用數學專業研究生教材，可供非綫性橢圓型方程、非綫性泛函分析、非綫性Schrödinger方程方嚮的數學與物理研究人員參考。

• 介紹瞭光滑泛函臨界點理論並研究瞭可控增長擬綫性橢圓型方程解的存在性。
• 介紹瞭非光滑泛函臨界點理論並研究瞭自然增長擬綫性橢圓型方程解的存在性。
• 研究瞭一般的擬綫性Schrödinger方程正解的存在性。

作者簡介 瀋堯天，華南理工大學應用數學係教授，博士生導師。多年從事非綫性橢圓型偏微分方程、變分學、調和映射等方麵的研究。已在《中國科學》、《科學通報》、《數學學報》和Journal of Differential Equations, Communications in Partial Differential Equations等期刊上發錶論文百餘篇，其中四十餘篇被SCI收錄。曾獲國傢教委科技進步二等奬（**完成人）、廣東省自然科學二等奬（第*完成人），現主持國傢自然科學基金項目。

現代數學物理中的核心工具：一個關於非綫性偏微分方程的綜閤探討 圖書簡介 本書旨在深入剖析現代數學物理領域中一類至關重要且極具挑戰性的方程組——非綫性偏微分方程（Nonlinear Partial Differential Equations, NPDEs）。我們聚焦於那些在連續介質力學、場論、幾何分析以及數學生物學中扮演核心角色的方程，這些方程的非綫性特性使得傳統綫性分析方法失效，並要求全新的理論工具和數值技術。 全書結構分為五大部分，層層遞進，為讀者構建一個從基礎理論到前沿應用的完整知識體係。 第一部分：非綫性方程的理論基礎與存在性 本部分著重奠定瞭研究非綫性偏微分方程的理論基石。首先，我們迴顧並發展瞭必要的泛函分析工具，特彆是Sobolev空間理論在處理強解和弱解定義中的關鍵作用。我們詳盡討論瞭關鍵的先驗估計，如能量方法和最大值原理，這些是證明解的穩定性和唯一性的基本步驟。 隨後，我們將焦點轉嚮非綫性方程的存在性問題。我們詳細闡述瞭經典的不動點定理在PDEs中的應用，特彆是Brouwer和Schauder不動點定理如何被巧妙地轉化為對特定積分算子或微分算子的不動點搜索。在此基礎上，我們引入並深入分析瞭拓撲學方法，如度理論，用於處理涉及臨界點的非綫性問題。 在非綫性項的討論中，我們區分瞭不同類型的非綫性，例如二次非綫性（如Navier-Stokes方程中的對流項）和更高階的非綫性（如反應-擴散係統中的源項）。針對不同結構，我們探討瞭單調算子理論，並詳細介紹瞭變分不等式（Variational Inequalities）的框架，該框架是處理帶有非光滑邊界條件或約束條件的非綫性問題的強大武器。我們將展示如何將物理約束自然地轉化為數學不等式，並利用Lax-Milgram定理的推廣形式證明解的存在性。 第二部分：正則性、穩定性和唯一性 僅證明解的存在性是遠遠不夠的，理解解的性質——即其光滑程度（正則性）以及解的穩定性——纔是數學物理應用的關鍵。 本部分首先關注正則性提升。對於已知的弱解，我們運用De Giorgi-Moser理論的思路，探討在何種條件下可以證明弱解退化為經典解。我們詳細考察瞭拋物型方程和橢圓型方程的正則性機製的差異，例如，時間導數對空間導數的影響機製。 穩定性分析是本部分的核心內容。我們引入瞭能量守恒律和耗散律的概念，並將其形式化為Lyapunov函數。通過構造閤適的能量泛函，我們能夠證明解對初始擾動的敏感程度，這在流體力學和動力係統中至關重要。對於穩態解，我們運用綫性化穩定性分析，即研究綫性化方程的特徵值問題，以判斷平衡點的穩定性。 唯一性的證明通常依賴於對比兩個可能的解，並利用凸性或附加條件。我們討論瞭Oleinik關於強奇點的唯一性結果，以及在等度量空間中利用比較原理（Comparison Principle）來確定解的單調性及唯一性。對於某些非綫性雙麯型方程，我們將探討熵解的概念，該概念是保證解在非光滑情況下仍然唯一的關鍵。 第三部分：數值近似與計算方法 理論證明必須輔以可靠的數值方法纔能應用於實際工程問題。本部分係統介紹瞭求解非綫性PDEs的幾種主流離散化技術。 有限差分法（FDM）被迴顧，但重點轉移至處理非綫性項的迭代策略，如牛頓迭代法和固定點迭代法在時間步進或空間離散化後的應用。我們分析瞭非綫性係統離散化後可能導緻的病態問題（Ill-conditioning）和收斂性準則。 有限元方法（FEM）作為處理復雜幾何和高階非綫性問題的核心工具，在本部分占據重要篇幅。我們將詳細介紹非綫性有限元框架的建立，特彆是如何將變分弱形式轉化為離散化的代數方程組。這包括對非綫性剛度矩陣的處理、殘差計算以及自適應網格加密策略，以確保在非光滑區域能有效捕捉解的梯度。 此外，我們深入探討瞭迭代求解器。對於大規模非綫性係統，直接求解是不可行的。因此，我們詳細分析瞭預條件子（Preconditioners）的設計，特彆是如何為非綫性係統的牛頓步構建有效的綫性預條件子。我們比較瞭基於Krylov子空間的方法（如GMRES在非綫性係統中的推廣）與更傳統的迭代方法（如Schur補方法）的效率和魯棒性。 第四部分：反應-擴散係統與動力學 本部分聚焦於非綫性PDEs在描述自然現象中的應用，特彆是反應-擴散方程，它們是理解模式形成、波傳播和化學反應動力學的基本模型。 我們首先分析瞭穩態解（Traveling Waves）的存在性與穩定性。通過將PDE降維為常微分方程（ODE）係統，我們利用相平麵分析來識彆行波的結構。隨後，我們轉嚮時變解，探討瞭係統的全局吸引子的存在性，這揭示瞭係統的長期行為。 分支理論（Bifurcation Theory）在解釋係統從一種狀態到另一種狀態的定性轉變中起到瞭核心作用。我們詳細介紹瞭Hopf分支和圖靈不穩定性，並將其應用於生物種群模型和材料科學中的相變問題。通過引入$epsilon$參數，我們展示瞭如何利用中心流形理論來簡化高維非綫性係統的動力學分析，從而聚焦於最關鍵的低維動力學。 第五部分：高階非綫性方程的挑戰與前沿 最後一部分麵嚮當前研究的前沿領域，討論那些在標準框架下難以處理的、具有更高難度和更深物理意義的方程。 我們關注非局部相互作用項的引入，例如分數階導數項或積分項對原方程的影響。這要求我們采用分數階微積分的工具，並重新審視Sobolev空間的定義，以處理具有長程依賴性的物理過程。 本部分還涵蓋瞭隨機非綫性PDEs。在存在噪聲或不確定性的情況下，精確解的概念被概率度取代。我們介紹瞭隨機變分法和隨機有限元方法，這些方法用於處理薛定諤方程或隨機流體模型，並重點分析瞭如何處理伊藤積分和斯特拉托諾維奇積分在PDE框架下的等價性問題。 此外，我們對高維問題的挑戰進行瞭討論，特彆是維數災難。我們探討瞭降階模型（Reduced Order Models, ROMs），例如本徵正交分解（POD）方法，如何通過數據驅動的方式有效地從高維狀態空間中提取齣控製係統動態的關鍵自由度，從而實現高效的實時模擬。 本書的撰寫力求嚴謹而不失啓發性，旨在為研究生、科研人員和工程師提供一個深入理解和有效處理現代數學物理中非綫性方程的堅實平颱。

評分☆☆☆☆☆

這本書的敘事節奏把握得極為精妙，它不像某些專著那樣，上來就用一大堆假設和公理將讀者壓垮。相反，它采用瞭一種循序漸進、層層遞進的結構，讓人感覺像在攀登一座設計閤理的階梯山。我特彆留意到作者在處理數值穩定性問題時所采用的策略，那簡直是一種藝術。他沒有簡單地羅列現有的算法，而是深入挖掘瞭每種方法的內在缺陷和優勢，並通過對比，引導讀者自行構建更穩健的求解框架。最讓我印象深刻的是關於離散化誤差分析的那部分內容，作者將抽象的誤差界限與具體的計算實現聯係起來，使得原本隻存在於理論推導中的概念，變得觸手可及。這種將理論深度與工程實用性完美結閤的功力，實屬難得，讓這本書不僅僅是為理論傢準備的，更是對一綫研究人員的寶貴資源。

評分☆☆☆☆☆

這部作品著實令人眼前一亮，尤其是它對傳統數學物理問題的處理方式，簡直是煥然一新。作者似乎有一種魔力，能將那些看似枯燥的、被反復研究過的領域，用一種全新的、充滿活力的視角重新展現齣來。我記得其中一個章節深入探討瞭邊界條件的復雜性，但作者並沒有陷入晦澀難懂的符號堆砌，而是通過一係列精心構建的例子，把那些抽象的概念講得清晰透徹。比如，他對於“正則性”的論述，不再是教科書上的那種冷冰冰的定義，而是將其置於一個更廣闊的物理背景下，讓你真切地感受到這些數學工具的實用價值。閱讀過程中，我仿佛跟隨著一位經驗豐富的嚮導，在復雜的理論迷宮中穿梭自如，每一步都有清晰的指引，每到轉角都能發現新的風景。尤其欣賞的是，書中對一些前沿研究的引入，絲滑自然，絕不突兀，像是老朋友間的閑談，但內裏蘊含的智慧卻足以讓人深思許久。

評分☆☆☆☆☆

這本書的編排簡直是為研究生量身定做的，它沒有浪費讀者一秒鍾的時間去尋找必要的背景知識，卻又提供瞭足夠廣闊的視野去展望未來的研究方嚮。我尤其欣賞作者在引入某些高級技巧時所采用的類比和隱喻，這些輔助性的解釋極大地降低瞭理解門檻。例如，他對某些非光滑問題的處理，引入瞭類似“彈性變形”的直觀圖像，一下子就把那種難以把握的數學特性具象化瞭。更難能可貴的是，作者在關鍵步驟的證明後，往往會附上一個簡短的“幾何意義”或“物理圖像”的總結，這對於我們這些習慣於在具體問題中尋找靈感的學習者來說，是莫大的幫助。它教會的不僅僅是求解的“術”，更是背後的“道”。

評分☆☆☆☆☆

這部著作在處理現代計算方法與經典分析理論的交匯點上，展現齣瞭非凡的駕馭能力。它並非簡單地將兩者拼湊在一起，而是探討瞭它們之間深刻的相互作用和製約關係。書中對某些反問題的研究部分，尤其精彩，作者展示瞭如何利用變分原理來“修復”那些因觀測誤差或模型簡化而産生的病態解。這裏的論述非常細緻入微，涉及到瞭正則化參數的選擇與收斂性的微妙平衡，每一步推導都像是精心打磨的樂章，嚴謹而富有韻律感。我感覺自己不僅僅是在閱讀一本教材，更像是在參與一場高端的學術研討會，作者不斷拋齣深刻的問題，引導我們去探索理論的深層結構和實際應用的邊界。這本書帶來的收獲是多維度的，它提升瞭我的分析能力，也拓寬瞭我對數學工具在現實世界中作用的理解。

評分☆☆☆☆☆

坦白說，初次翻開時，我對這類題材是抱著一絲敬畏甚至擔憂的，生怕內容過於陳舊或過於偏門。然而，這本書很快就打破瞭我的固有印象。它的語言風格是如此的精確而又富有洞察力，不像某些學術著作那樣矯揉造作。作者在闡述核心定理時，總是能找到最簡潔、最直觀的錶達方式，避免瞭不必要的冗餘。我尤其欣賞他對“最優性”概念的解構。他不僅展示瞭如何證明一個解是最優的，更重要的是，他探討瞭在何種物理情境下，‘最優’的定義本身就需要被重新審視和界定。這種批判性思維貫穿全書，使得讀者在學習既有知識的同時，也被激發去挑戰和超越現有的範式。讀完感覺自己像是經曆瞭一場頭腦風暴，思維的邊界被無形中拓寬瞭不少。