拟线性椭圆型方程的现代变分方法 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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沈尧天 王友军 李周欣 著

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• 偏微分方程
• 变分方法
• 椭圆型方程
• 拟线性方程
• 泛函分析
• 数学分析
• PDE
• 现代分析
• 数值分析
• 优化理论

店铺： 唐人文化图书专营店

出版社： 高等教育出版社

ISBN：9787040476743

商品编码：13819568309

包装：平装

出版时间：2017-06-01

内容简介

      现代变分方法是非线性泛函分析的重要分支。本书主要介绍现代变分理论，特别是临界点理论在研究拟线性椭圆型方程解的存在性和多解性方面的应用，书中包含了不少新近发表的结果。 *章介绍了用经典变分法讨论拟线性椭圆型方程极小解存在，并介绍了Sobolev空间中的Pohozaev恒等式，且用它讨论了解的不存在性的研究。第二章介绍了光滑泛函临界点理论并讨论了可控增长次临界指数拟线性椭圆型方程的多重解，第三章结合集中紧原理讨论了临界指数拟线性椭圆型方程多重解。第四章介绍了非光滑泛函临界点理论，并证明了自然增长拟线性椭圆型方程多重解的存在性。第五章研究了能量泛函为非正规非光滑泛函的一般拟线性Schrödinger方程，通过引进新的变换化为光滑泛函的半线性方程，证明了正解的存在性。

本书可作为数学和应用数学专业研究生教材，可供非线性椭圆型方程、非线性泛函分析、非线性Schrödinger方程方向的数学与物理研究人员参考。

• 介绍了光滑泛函临界点理论并研究了可控增长拟线性椭圆型方程解的存在性。
• 介绍了非光滑泛函临界点理论并研究了自然增长拟线性椭圆型方程解的存在性。
• 研究了一般的拟线性Schrödinger方程正解的存在性。

作者简介 沈尧天，华南理工大学应用数学系教授，博士生导师。多年从事非线性椭圆型偏微分方程、变分学、调和映射等方面的研究。已在《中国科学》、《科学通报》、《数学学报》和Journal of Differential Equations, Communications in Partial Differential Equations等期刊上发表论文百余篇，其中四十余篇被SCI收录。曾获国家教委科技进步二等奖（**完成人）、广东省自然科学二等奖（第*完成人），现主持国家自然科学基金项目。

现代数学物理中的核心工具：一个关于非线性偏微分方程的综合探讨 图书简介 本书旨在深入剖析现代数学物理领域中一类至关重要且极具挑战性的方程组——非线性偏微分方程（Nonlinear Partial Differential Equations, NPDEs）。我们聚焦于那些在连续介质力学、场论、几何分析以及数学生物学中扮演核心角色的方程，这些方程的非线性特性使得传统线性分析方法失效，并要求全新的理论工具和数值技术。 全书结构分为五大部分，层层递进，为读者构建一个从基础理论到前沿应用的完整知识体系。 第一部分：非线性方程的理论基础与存在性 本部分着重奠定了研究非线性偏微分方程的理论基石。首先，我们回顾并发展了必要的泛函分析工具，特别是Sobolev空间理论在处理强解和弱解定义中的关键作用。我们详尽讨论了关键的先验估计，如能量方法和最大值原理，这些是证明解的稳定性和唯一性的基本步骤。 随后，我们将焦点转向非线性方程的存在性问题。我们详细阐述了经典的不动点定理在PDEs中的应用，特别是Brouwer和Schauder不动点定理如何被巧妙地转化为对特定积分算子或微分算子的不动点搜索。在此基础上，我们引入并深入分析了拓扑学方法，如度理论，用于处理涉及临界点的非线性问题。 在非线性项的讨论中，我们区分了不同类型的非线性，例如二次非线性（如Navier-Stokes方程中的对流项）和更高阶的非线性（如反应-扩散系统中的源项）。针对不同结构，我们探讨了单调算子理论，并详细介绍了变分不等式（Variational Inequalities）的框架，该框架是处理带有非光滑边界条件或约束条件的非线性问题的强大武器。我们将展示如何将物理约束自然地转化为数学不等式，并利用Lax-Milgram定理的推广形式证明解的存在性。 第二部分：正则性、稳定性和唯一性 仅证明解的存在性是远远不够的，理解解的性质——即其光滑程度（正则性）以及解的稳定性——才是数学物理应用的关键。 本部分首先关注正则性提升。对于已知的弱解，我们运用De Giorgi-Moser理论的思路，探讨在何种条件下可以证明弱解退化为经典解。我们详细考察了抛物型方程和椭圆型方程的正则性机制的差异，例如，时间导数对空间导数的影响机制。 稳定性分析是本部分的核心内容。我们引入了能量守恒律和耗散律的概念，并将其形式化为Lyapunov函数。通过构造合适的能量泛函，我们能够证明解对初始扰动的敏感程度，这在流体力学和动力系统中至关重要。对于稳态解，我们运用线性化稳定性分析，即研究线性化方程的特征值问题，以判断平衡点的稳定性。 唯一性的证明通常依赖于对比两个可能的解，并利用凸性或附加条件。我们讨论了Oleinik关于强奇点的唯一性结果，以及在等度量空间中利用比较原理（Comparison Principle）来确定解的单调性及唯一性。对于某些非线性双曲型方程，我们将探讨熵解的概念，该概念是保证解在非光滑情况下仍然唯一的关键。 第三部分：数值近似与计算方法 理论证明必须辅以可靠的数值方法才能应用于实际工程问题。本部分系统介绍了求解非线性PDEs的几种主流离散化技术。 有限差分法（FDM）被回顾，但重点转移至处理非线性项的迭代策略，如牛顿迭代法和固定点迭代法在时间步进或空间离散化后的应用。我们分析了非线性系统离散化后可能导致的病态问题（Ill-conditioning）和收敛性准则。 有限元方法（FEM）作为处理复杂几何和高阶非线性问题的核心工具，在本部分占据重要篇幅。我们将详细介绍非线性有限元框架的建立，特别是如何将变分弱形式转化为离散化的代数方程组。这包括对非线性刚度矩阵的处理、残差计算以及自适应网格加密策略，以确保在非光滑区域能有效捕捉解的梯度。 此外，我们深入探讨了迭代求解器。对于大规模非线性系统，直接求解是不可行的。因此，我们详细分析了预条件子（Preconditioners）的设计，特别是如何为非线性系统的牛顿步构建有效的线性预条件子。我们比较了基于Krylov子空间的方法（如GMRES在非线性系统中的推广）与更传统的迭代方法（如Schur补方法）的效率和鲁棒性。 第四部分：反应-扩散系统与动力学 本部分聚焦于非线性PDEs在描述自然现象中的应用，特别是反应-扩散方程，它们是理解模式形成、波传播和化学反应动力学的基本模型。 我们首先分析了稳态解（Traveling Waves）的存在性与稳定性。通过将PDE降维为常微分方程（ODE）系统，我们利用相平面分析来识别行波的结构。随后，我们转向时变解，探讨了系统的全局吸引子的存在性，这揭示了系统的长期行为。 分支理论（Bifurcation Theory）在解释系统从一种状态到另一种状态的定性转变中起到了核心作用。我们详细介绍了Hopf分支和图灵不稳定性，并将其应用于生物种群模型和材料科学中的相变问题。通过引入$epsilon$参数，我们展示了如何利用中心流形理论来简化高维非线性系统的动力学分析，从而聚焦于最关键的低维动力学。 第五部分：高阶非线性方程的挑战与前沿 最后一部分面向当前研究的前沿领域，讨论那些在标准框架下难以处理的、具有更高难度和更深物理意义的方程。 我们关注非局部相互作用项的引入，例如分数阶导数项或积分项对原方程的影响。这要求我们采用分数阶微积分的工具，并重新审视Sobolev空间的定义，以处理具有长程依赖性的物理过程。 本部分还涵盖了随机非线性PDEs。在存在噪声或不确定性的情况下，精确解的概念被概率度取代。我们介绍了随机变分法和随机有限元方法，这些方法用于处理薛定谔方程或随机流体模型，并重点分析了如何处理伊藤积分和斯特拉托诺维奇积分在PDE框架下的等价性问题。 此外，我们对高维问题的挑战进行了讨论，特别是维数灾难。我们探讨了降阶模型（Reduced Order Models, ROMs），例如本征正交分解（POD）方法，如何通过数据驱动的方式有效地从高维状态空间中提取出控制系统动态的关键自由度，从而实现高效的实时模拟。 本书的撰写力求严谨而不失启发性，旨在为研究生、科研人员和工程师提供一个深入理解和有效处理现代数学物理中非线性方程的坚实平台。

评分☆☆☆☆☆

这本书的编排简直是为研究生量身定做的，它没有浪费读者一秒钟的时间去寻找必要的背景知识，却又提供了足够广阔的视野去展望未来的研究方向。我尤其欣赏作者在引入某些高级技巧时所采用的类比和隐喻，这些辅助性的解释极大地降低了理解门槛。例如，他对某些非光滑问题的处理，引入了类似“弹性变形”的直观图像，一下子就把那种难以把握的数学特性具象化了。更难能可贵的是，作者在关键步骤的证明后，往往会附上一个简短的“几何意义”或“物理图像”的总结，这对于我们这些习惯于在具体问题中寻找灵感的学习者来说，是莫大的帮助。它教会的不仅仅是求解的“术”，更是背后的“道”。

评分☆☆☆☆☆

这部著作在处理现代计算方法与经典分析理论的交汇点上，展现出了非凡的驾驭能力。它并非简单地将两者拼凑在一起，而是探讨了它们之间深刻的相互作用和制约关系。书中对某些反问题的研究部分，尤其精彩，作者展示了如何利用变分原理来“修复”那些因观测误差或模型简化而产生的病态解。这里的论述非常细致入微，涉及到了正则化参数的选择与收敛性的微妙平衡，每一步推导都像是精心打磨的乐章，严谨而富有韵律感。我感觉自己不仅仅是在阅读一本教材，更像是在参与一场高端的学术研讨会，作者不断抛出深刻的问题，引导我们去探索理论的深层结构和实际应用的边界。这本书带来的收获是多维度的，它提升了我的分析能力，也拓宽了我对数学工具在现实世界中作用的理解。

评分☆☆☆☆☆

这本书的叙事节奏把握得极为精妙，它不像某些专著那样，上来就用一大堆假设和公理将读者压垮。相反，它采用了一种循序渐进、层层递进的结构，让人感觉像在攀登一座设计合理的阶梯山。我特别留意到作者在处理数值稳定性问题时所采用的策略，那简直是一种艺术。他没有简单地罗列现有的算法，而是深入挖掘了每种方法的内在缺陷和优势，并通过对比，引导读者自行构建更稳健的求解框架。最让我印象深刻的是关于离散化误差分析的那部分内容，作者将抽象的误差界限与具体的计算实现联系起来，使得原本只存在于理论推导中的概念，变得触手可及。这种将理论深度与工程实用性完美结合的功力，实属难得，让这本书不仅仅是为理论家准备的，更是对一线研究人员的宝贵资源。

评分☆☆☆☆☆

这部作品着实令人眼前一亮，尤其是它对传统数学物理问题的处理方式，简直是焕然一新。作者似乎有一种魔力，能将那些看似枯燥的、被反复研究过的领域，用一种全新的、充满活力的视角重新展现出来。我记得其中一个章节深入探讨了边界条件的复杂性，但作者并没有陷入晦涩难懂的符号堆砌，而是通过一系列精心构建的例子，把那些抽象的概念讲得清晰透彻。比如，他对于“正则性”的论述，不再是教科书上的那种冷冰冰的定义，而是将其置于一个更广阔的物理背景下，让你真切地感受到这些数学工具的实用价值。阅读过程中，我仿佛跟随着一位经验丰富的向导，在复杂的理论迷宫中穿梭自如，每一步都有清晰的指引，每到转角都能发现新的风景。尤其欣赏的是，书中对一些前沿研究的引入，丝滑自然，绝不突兀，像是老朋友间的闲谈，但内里蕴含的智慧却足以让人深思许久。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，初次翻开时，我对这类题材是抱着一丝敬畏甚至担忧的，生怕内容过于陈旧或过于偏门。然而，这本书很快就打破了我的固有印象。它的语言风格是如此的精确而又富有洞察力，不像某些学术著作那样矫揉造作。作者在阐述核心定理时，总是能找到最简洁、最直观的表达方式，避免了不必要的冗余。我尤其欣赏他对“最优性”概念的解构。他不仅展示了如何证明一个解是最优的，更重要的是，他探讨了在何种物理情境下，‘最优’的定义本身就需要被重新审视和界定。这种批判性思维贯穿全书，使得读者在学习既有知识的同时，也被激发去挑战和超越现有的范式。读完感觉自己像是经历了一场头脑风暴，思维的边界被无形中拓宽了不少。