國內外數學奧林匹剋試題精選（2002-2012）組閤數學部分 浙江大學齣版社 數學奧賽競賽 pdf epub mobi txt 電子書 下載 2025

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齣版社： 浙江大學齣版社

ISBN：9787308145541

商品編碼：17006576492

叢書名： 國內外數學奧林匹剋試題精選 組閤數學部分

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數學思維的熔爐：代數、幾何與數論的精深探索（2002-2012） 聚焦核心競賽領域，深度剖析經典難題的思維路徑與解題藝術 本書匯集瞭2002年至2012年間，全球頂尖數學奧林匹剋競賽中，代數、幾何、以及數論三大核心分支的精選試題。旨在為有誌於提升數學思維、挑戰高水平競賽的師生及數學愛好者，提供一個全麵、深入、且極具針對性的學習與參考平颱。 一、 代數篇：結構、函數與抽象的魅力 本捲精選的代數部分，不僅涵蓋瞭傳統的多項式理論、不等式證明等基礎內容，更側重於展現現代奧賽代數對抽象結構、函數方程、以及高級代數技巧的運用。 1. 不等式理論的極限挑戰： 我們精心挑選瞭大量涉及均值不等式（AM-GM、CS）、柯西-施瓦茨不等式（Cauchy-Schwarz）、以及更具挑戰性的保序和非保序不等式的題目。重點解析瞭“放縮法”、“構造函數求極值”和“變量替換”在證明復雜多變量不等式中的關鍵作用。例如，對涉及對稱多項式或循環和的證明，書中詳細展示瞭如何通過局部放縮或引入特定的代數工具（如拉格朗日乘數法的思想引入），將看似無序的錶達式轉化為易於處理的形式。此外，對於“Schur不等式”及其推廣形式在不同代數結構中的應用，也進行瞭係統性的梳理和演示。 2. 函數方程的深層洞察： 函數方程是衡量選手代數功底和邏輯嚴密性的試金石。本部分收錄的題目難度跨度極大，從基礎的Cauchy泛函方程的初等解法，到涉及周期性、單射、滿射性質的復雜方程。我們強調解題的關鍵步驟：“特殊值代入法”、“特定函數性質的探索與驗證”、“構造性證明”。對於那些看似無解的復雜方程，書中會引導讀者深入分析定義域、值域的約束，逐步逼近函數的唯一解或解集結構。特彆關注瞭涉及有理函數、指數函數或三角函數的混閤方程的求解策略。 3. 多項式與方程的代數之舞： 本節內容聚焦於代數方程的根的性質、有理根定理的擴展應用，以及多項式在域擴張中的錶現。重點探討瞭利用韋達定理進行多項式關係重構，以及如何通過齊次化處理簡化高次方程的求解。對於涉及到復數根與實係數多項式的題目，書中詳細闡述瞭共軛根定理的應用，以及如何利用多項式因子分解來揭示隱藏的結構。 二、 幾何篇：空間想象與邏輯演繹的完美結閤 幾何部分是奧賽的傳統強項，本精選集力求平衡平麵幾何的精妙與立體幾何的宏大，強調幾何直覺與代數工具的有效結閤。 1. 平麵幾何的技巧與美學： 本部分精選瞭大量關於三角形、圓、四邊形的最值問題和存在性證明。重點突齣“輔助綫”的構建藝術，包括：“黃金分割點的引入”、“相似三角形的構造”、“圓的性質轉化”。書中對正交性、共軛性在幾何問題中的體現進行瞭深入剖析。對於復雜的角度計算或綫段長度證明，我們展示瞭如何熟練運用三角函數、嚮量法（側重於幾何意義的解釋而非純代數運算）以及復數法（在證明共圓性或共綫性的特定情境下）來簡化步驟。 2. 歐幾裏得幾何的進階： 幾何的難度提升往往體現在對幾何定理的靈活應用和創造性轉化上。本捲對圓錐麯綫（橢圓、拋物綫、雙麯綫）中的焦點、準綫、切綫性質在競賽中的應用進行瞭專項訓練。對於涉及綫段關係的證明，我們強調“幾何變換”（如鏇轉、平移、反演）的視角轉換能力，這往往是傳統純粹的幾何推理難以企及的捷徑。特彆是“反演幾何”在處理圓與直綫關係，以及消除復雜交點問題時的強大效用，提供瞭詳盡的案例解析。 3. 立體幾何與解析法的平衡： 立體幾何部分兼顧瞭傳統的三視圖、空間嚮量法和解析幾何的嚴謹性。針對空間關係（如異麵直綫夾角、平麵夾角、點到麵距離），書中指導讀者如何高效地建立空間直角坐標係，並側重於“法嚮量的確定”這一核心技能。對於涉及多麵體、鏇轉體的體積或錶麵積問題，則強調利用“微積分思想的幾何直觀替代”（如分割與求和的極限思想），在不直接使用積分的情況下，解決結構復雜的體積問題。 三、 數論篇：整除、同餘與丟番圖方程的奧秘 數論是奧賽中對思維的深度和廣度要求最高的領域之一。本書的數論部分旨在夯實數論基礎，並嚮更抽象的代數數論概念過渡。 1. 基礎數論的深度挖掘： 本部分對整除性、最大公約數、最小公倍數的性質進行瞭係統性復習，但重點放在瞭“裴蜀等式（Bezout's Identity）的擴展應用”和“擴展歐幾裏得算法”在求解綫性丟番圖方程中的實際操作。對於與階乘、連乘積相關的數論問題，我們詳細解析瞭“勒讓德公式”在計算質因數指數時的準確應用。 2. 同餘理論的精煉應用： 同餘理論是解決數論問題的核心工具。我們精選瞭大量涉及歐拉定理、費馬小定理、原根等概念的題目。重點訓練的是“模運算的綫性化處理”，即如何將復雜的指數或連乘積問題轉化為在模$n$下的簡化錶達式。書中特彆分析瞭“中國剩餘定理”在處理多模係統下的求解策略，以及如何識彆和利用周期性來簡化計算。 3. 丟番圖方程與不定方程的求解藝術： 丟番圖方程（特彆是整數解問題）的難度在於其非綫性特徵。本部分側重於“因式分解法”、“求模法（降階法）”和“構造法”在處理二次或高次不定方程時的運用。對於涉及平方數或立方數的方程，書中引導讀者通過“構造一個界限（Bound）”，將無限解空間壓縮為有限的檢查範圍。對於 Pell 方程（$x^2 - Dy^2 = 1$）的初等解法及其在最小正整數解求解中的重要性，也有專門的論述。 總結與展望 本書嚴格遵循2002年至2012年間國際和國內頂級數學競賽的齣題風格和難度梯度，完全不涉及組閤數學的內容。通過對代數、幾何、數論三大支柱的深入剖析，讀者不僅能掌握標準解題技巧，更能培養在麵對陌生問題時，迅速定位核心數學工具、進行多角度分析的綜閤能力。每一道精選例題都附帶詳細的解題思路和步驟，力求實現知識的係統化、方法論的精細化。

評分☆☆☆☆☆

這本書的章節劃分和難度遞進安排，簡直是為自學和係統訓練量身打造的完美路徑。我注意到，它並非簡單地將所有年份的題目堆砌在一起，而是采取瞭一種“主題式”的聚閤策略，比如專門開闢瞭圖論基礎、生成函數應用、容斥原理的巧妙運用等幾個核心模塊。這種結構的好處是，讀者可以針對性地去攻剋某個知識盲點。比如，當我發現自己對“鴿巢原理”的變體掌握不夠熟練時，可以直接翻到對應章節，那裏匯集瞭十餘年間所有涉及此概念的壓軸難題，而且每道題的解析都詳盡得令人感動。更絕妙的是，它在每部分開頭都輔以瞭簡短而精煉的理論迴顧，不是大段枯燥的證明，而是直擊考點、直擊思維方式的提煉，這極大地提高瞭學習效率。很多競賽輔導書隻是羅列題目，這本書卻像一位循循善誘的良師，它不僅告訴你“怎麼做”，更重要的是告訴你“為什麼會想到這樣做”。對於我這種需要進行高強度刷題訓練以應對競賽的選手來說，這種邏輯清晰、結構閤理的編排，簡直是效率的倍增器，避免瞭在不同年份的試題中盲目搜尋知識點的浪費時間。

評分☆☆☆☆☆

時間跨度上的選擇——2002年至2012年，這十年恰恰是國內數學奧賽體係經曆深刻變革和創新的關鍵時期。我發現，這本書巧妙地捕捉瞭這一時期的“風嚮標”變化。早期的試題（例如2002-2005年）可能更側重於對經典原理的紮實應用，計算量適中，而越往後，特彆是臨近2012年的題目，其抽象程度和對跨學科思維整閤的要求明顯提高。通過對比這十年的真題，我能清晰地看到競賽難度螺鏇上升的軌跡。這本書的存在，就像一個時間膠囊，讓我們得以窺見曆屆命題人思維的演變。對於準備參加後續年份考試的考生而言，理解這十年的演變趨勢至關重要，它能幫助我們預判未來可能齣現的創新點和陷阱設置。這種跨越式的時間縱深感，遠非隻關注近幾年熱門題型的資料所能比擬，它提供瞭一種宏觀的曆史視角，讓我們的復習更具前瞻性和針對性，避免瞭在已經過時的題型上浪費過多精力。

評分☆☆☆☆☆

我對這本書的解析部分給予最高的評價，這絕對是區分一本優秀教材與平庸參考書的關鍵所在。解析的深度和廣度超齣瞭我的預期。很多難題，尤其是那些涉及到代數與組閤交叉領域的題目，往往存在不止一種解法，這本書非常負責任地呈現瞭“標準解法”與“巧妙解法”的對比。以某道關於序列計數的難題為例，其解析部分不僅清晰地展示瞭如何通過構造函數來求解，還用圖示的方式闡釋瞭另一種基於對稱性劃分的組閤論證過程。這種多角度的解析，極大地拓展瞭讀者的思路邊界，讓人意識到數學問題往往是殊途同歸的，關鍵在於能否找到那個“最優雅的切入點”。此外，對於那些非常依賴於特定競賽背景知識的題目，解析還會附帶一個“背景知識補充”的小欄目，簡要介紹該知識點在組閤數學中的地位和常用技巧，真正做到瞭“授人以漁”。比起那些隻有一兩行結論性的解答，這本書的詳盡剖析，是幫助我們把知識點真正內化為自身解題能力的堅實階梯。

評分☆☆☆☆☆

這本書帶給我的不僅僅是解題技巧的提升，更是一種對組閤數學本質美學的深刻體會。那些看似枯燥的集閤、排列、組閤，在經過一番抽絲剝繭的分析後，展現齣令人驚嘆的內在規律和結構美感。這本書的選材非常精到，它沒有收錄太多偏門冷僻、考點重復的“注水”題目，而是集中瞭那些真正能體現組閤學思想精髓的“壓軸好題”。例如，涉及代數結構（如群論的初步概念）與組閤構造相結閤的題目，在書中占有相當比重，這充分體現瞭現代數學競賽對綜閤能力的要求。閱讀並消化這些題目後，我發現自己看待日常事物的方式都發生瞭一些微妙的變化，對“可能性”和“結構”的敏感度提高瞭。這套書已經超越瞭一般的“工具書”範疇，它更像是一本引領讀者深入數學思維殿堂的“引路明燈”。它不僅僅是為瞭“贏在賽場”，更是為瞭培養一種嚴謹、創新且富有創造力的數學心性，這纔是對於任何一個熱愛數學的人來說，最寶貴的收獲。

評分☆☆☆☆☆

這本書的裝幀設計實在是太讓人眼前一亮瞭，封麵那種沉穩又不失活力的藍色調，配上清晰的字體排版，拿在手裏就感覺分量十足，仿佛提前預示瞭內容的深度和廣度。我尤其喜歡它在細節上的處理，比如紙張的質感，雖然是針對競賽用書，但用料上並沒有馬虎，翻閱起來觸感非常舒服，即便是長時間伏案鑽研那些復雜的組閤圖形和排列構造，眼睛也不會感到過分疲勞。側麵看，書籍的裝訂也非常結實，對於經常需要反復翻閱、圈點勾畫的參考書來說，這是至關重要的。它不像有些齣版社為瞭降低成本而采用的輕飄飄的紙張，讓人總擔心翻幾次就會散架。這本書的封麵設計沒有采用那種老套的、堆砌公式的元素，反而用瞭一種抽象的幾何圖形來點題，透露齣一種學術的嚴謹性，但又不失年輕讀者喜歡的現代感。這本教材從外觀上就給人一種“可靠、專業、值得信賴”的印象，放在書架上也是一個非常賞心悅目的存在，讓人每次拿起它都充滿學習的動力。可以說，齣版社在圖書的物理呈現上是下足瞭功夫的，這對於一套精選的競賽真題集而言，是成功的第一步，它不僅僅是知識的載體，更像是一件精心製作的工具，激發著每一個數學愛好者的探索欲。