国内外数学奥林匹克试题精 数论部分(2002-2012) 浙江大学出版社 高中数学竞赛奥 pdf epub mobi txt 电子书 下载 2025

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店铺： 海源阁图书专营店

出版社： 浙江大学出版社

ISBN：9787308145534

商品编码：26282575927

丛书名： 国内外数学奥林匹克试题精选

数学竞赛深度解析：从基础到前沿的全面进阶指南 一部专为志在突破数学奥林匹克竞赛边界的学子和教师精心编撰的权威著作。 本书并非聚焦于某一特定时间段或某一特定区域的试题汇编，而是一部旨在构建全面、深入、系统化的数学竞赛知识体系的工具书。它致力于为读者提供一个超越具体考题、直达数学思想深处的学习路径，涵盖了高中阶段数学竞赛中最为核心和最具挑战性的四大支柱领域：代数、几何、组合数学与数论。 第一部分：代数——结构、变换与方程的艺术 代数部分将带领读者深入探索超越传统教科书范畴的数学结构。重点不再是简单的代数运算，而是函数方程、不等式理论、多项式与有理函数的深层性质。 1.1 不等式：超越平均数与柯西 本章细致梳理了数学竞赛中最常见的、也最具技巧性的不等式证明方法。内容涵盖： 经典不等式家族的拓展： 深入探讨均值不等式（AM-GM, RMS, HM）在高维空间和加权情境下的推广形式，以及它们在优化问题中的应用。 排序不等式 (Rearrangement Inequality) 的精妙应用： 讲解如何利用该不等式解决涉及变量排序的复杂比较问题，并辅以大量构造性证明实例。 基础分析工具的引入： 介绍Jensen不等式在凸凹函数背景下的应用，以及如何利用Majorization (优序化) 思想来简化复杂函数的比较。 特殊方法论： 详细阐述Schur不等式的构造与变形，以及如何运用变量替换与参数化技巧，将棘手的不等式问题转化为易于处理的单变量分析。 1.2 函数方程：探索未知函数的本质 函数方程的解题是考察逻辑严谨性和灵活性思维的试金石。本部分着重培养读者从局部性质推导全局结构的能力。 代入法与特殊值的检验： 不仅仅是代入 $x=0, 1, -1$，更深入到特定周期或不动点处进行分析。 对称性与奇偶性的利用： 探讨如何利用函数的对称性（如中心对称、轴对称）来锁定解的形式。 Cauchy 泛函方程的变种与推广： 系统梳理连续性、单调性、有界性等条件如何限制泛函方程的解空间，并引入Jensen泛函方程等更高级形式。 构造性解法： 对于不存在初等解的方程，展示如何通过构造辅助函数或利用极限逼近来证明解的存在性或唯一性。 1.3 多项式理论与代数技巧 本节聚焦于多项式的根的性质及其在竞赛中的应用。 Vieta 定理的拓展： 讨论根与系数关系在高次多项式中的复杂应用，以及如何利用对称多项式进行简化。 多项式的整除性与有理根定理： 严格证明和应用有理根定理，并将其与整系数多项式的因子分解相结合。 代数数与域扩张的初步概念： 介绍竞赛中可能遇到的关于代数数的基本性质，例如最小多项式的概念，为更深层次的代数学习打下基础。 第二部分：几何——空间想象与逻辑的交织 几何部分旨在强化读者的空间直觉，并熟练运用代数工具解决几何问题。 2.1 平面几何：从欧氏到非欧的过渡 本章强调传统欧氏几何中的高级技巧，并适度引入分析工具。 圆幂定理的深度挖掘： 不仅限于基础的相交弦定理，更着重于圆幂在证明共线、共圆中的“幕后作用”。 三角函数法的全面应用： 详细讲解正弦定理、余弦定理在非标准三角形和多边形中的灵活运用，特别是如何通过构造角度关系简化复杂的长度计算。 几何变换的威力： 深入剖析旋转、平移、反射、缩放等变换在简化图形结构、建立线段关系中的强大作用。重点讲解“不动点”和“相似变换”在构造性证明中的地位。 向量与坐标法的融合： 展示如何利用向量的内积和外积（叉积）来清晰地表达垂直关系、面积和角度，实现几何问题的代数化求解。 2.2 解析几何与立体几何的结合 本部分是连接代数与几何的关键桥梁。 圆锥曲线的高阶性质： 探讨椭圆、抛物线、双曲线的切线、极点、极线等高级概念，以及它们在确定焦点、准线位置时的应用。 三维空间中的向量运算： 详细解析空间中直线、平面的方程表示，利用混合积计算四面体的体积，并掌握空间中点到平面、线到线的距离计算的几何意义。 立体几何中的视角转换： 讲解如何通过建立恰当的直角坐标系（如利用三垂线定理的思想），简化三维图形的相对位置关系。 第三部分：组合数学——计数、构造与图论的精妙世界 组合数学是考察离散数学思维的领域，要求读者具备严谨的计数框架和模型构建能力。 3.1 离散计数的核心技巧 本章系统梳理了竞赛中所有主要的计数方法及其适用场景。 容斥原理 (Inclusion-Exclusion Principle)： 深入讲解其原理的推导，并提供多个复杂的“至少/恰好”类型问题的求解范例，强调如何正确定义“属性集”。 鸽巢原理的推广： 不仅限于基础的 $n+1$ 鸽子入 $n$ 笼，更深入探讨加权鸽巢原理在证明存在性问题中的应用。 生成函数 (Generating Functions)： 讲解如何利用生成函数来解决复杂的递推关系和组合求和问题。侧重于如何从实际问题中抽象出正确的生成函数表达式，并进行截断或求和。 组合恒等式与双边计数法： 训练读者通过不同的角度对同一对象进行计数，从而发现隐藏的数学恒等式。 3.2 图论基础与应用 图论在现代数学竞赛中占据越来越重要的地位，本节提供了必要的理论基础和解题范式。 基础概念的精确理解： 深入剖析连通性、通路、回路、染色、匹配等核心概念。 欧拉路径与哈密顿路径问题： 详细分析其存在的充要条件，并将其应用于路线规划和遍历问题。 树的性质与计数： 重点讲解Cayley 公式（生成带标号树的公式）的意义，并讨论 Prufer 序列在树的结构分析中的作用。 图的染色与着色问题： 介绍 Kuratowski 定理的思想，以及如何利用二分图的概念来简化匹配和覆盖问题。 第四部分：数论——整数的内在规律与模运算的威力 虽然本书不侧重于某一特定年份的数论试题，但本书的数论部分旨在全面覆盖所有高中奥赛中涉及到的数论核心工具和思想。 4.1 基础整数性质与初等数论 最大公约数与最小公倍数： 深入探讨 Bézout 恒等式及其在不定方程求解中的应用。 整数的唯一分解定理： 讲解该定理的深层含义，并利用它来分析与因子、约数个数相关的计数问题。 线性同余方程组与中国剩余定理 (CRT)： 详细演示 CRT 的构造性证明过程，并将其应用于周期性问题的求解。 4.2 模运算的高级技巧 模运算是解决数论问题的核心武器。 费马小定理与欧拉定理： 详细阐述这两个定理的推导过程及其在简化大数幂次模运算中的应用。介绍 Carmichael 函数在进一步简化指数时的作用。 原根与离散对数问题的初步认识： 介绍模 $n$ 意义下的“指数”概念，理解原根存在的条件，并将其应用于周期性序列的分析。 勒让德符号与二次互反律（选讲）： 针对高水平竞赛的要求，介绍二次剩余的概念，并讲解二次互反律在判断一个数是否为模 $p$ 的平方残余时的强大威力。 4.3 丢番图方程与整系数方程 勾股数与 Pell 方程的基础解法： 讲解如何通过参数构造法求解不定方程，并介绍无穷递降法在证明某些丢番图方程无整数解时的应用。 同余式与不定方程的联系： 强调如何通过取模运算来筛选或排除方程的潜在整数解。 本书内容编排遵循“理论先行，实践跟进”的原则，每部分理论讲解后均附有大量的、具有代表性的、来自世界各地高水平数学竞赛的非特定年份精选例题，旨在帮助读者真正掌握解决问题的思维路径和技巧，而非仅仅停留在记忆解题步骤的层面。它是一部为志在攀登数学思维高峰的探索者准备的指南。

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这本《国内外数学奥林匹克试题精粹：数论部分（2002-2012）》的出版，对于所有热衷于数学竞赛、尤其是对数论领域有浓厚兴趣的学生和教师来说，简直就是一份迟来的厚礼。首先，从装帧和排版来看，浙江大学出版社一贯的严谨风格得到了很好的体现，纸张质量上乘，字体清晰易读，这对于长时间沉浸在复杂的数学公式和证明中的读者至关重要。更重要的是，这个时间跨度——2002年到2012年，恰好覆盖了中国数学教育体系和国际竞赛格局发生深刻变化的“黄金十年”。很多老一辈的竞赛选手回忆录中提到的那些经典难题，都能在这本书中找到它们最原始、最权威的考查形式。我个人特别欣赏的是，它不仅仅罗列了题目，从试题的难度梯度设置上，就能看出编者对不同阶段学习者需求的深刻理解，初期的题目旨在巩固基础概念，而后期则逐步过渡到需要精妙组合思想和深入数论定理支撑的难题。对于那些渴望突破瓶颈，想从“会做题”迈向“会创新解题思路”的读者，这本书无疑提供了最直接的“实战演练场”。

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翻开书页，扑面而来的是那种久违的、纯粹的学术气息。我特意比对了几道我记忆中非常棘手的往年国家集训队选拔试题，发现这里的原题表述精准无误，避免了许多网络资源中常见的翻译或转录错误，这对于需要精确理解题意的竞赛学习者来说，是保障学习效率的关键。但更值得称赞的是其侧重于“精选”而非“大而全”。在数论这个庞大的分支中，选择哪些题目最具代表性、最能体现核心思想的演变，是极其考验编纂功力的。这本书似乎做到了这一点，它没有被那些过于偏僻或者只依赖特殊技巧的“怪题”所占据，而是聚焦于那些能考察数论基本功，例如同余理论、丢番图方程、初等数论与组合的交叉应用等核心板块。对于准备参加更高层次（比如国际数学奥林匹克预备阶段）选拔的学员，这本书提供的不是简单的解题步骤，而更像是一套经过时间检验的“思维训练手册”，指导你如何系统地构建一个数论问题的解题框架。

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作为一个常年关注高中数学竞赛动态的观察者，我发现这本书的价值远超一本普通的题库。它提供了一种独特的“历史视角”。2002年到2012年，正好是中国在国际舞台上影响力迅速攀升的阶段，同时，区域性如中国台湾、香港地区的优秀试题也开始进入主流视野。这本书的“国内外”定位，确保了我们在接触中国主流竞赛思维的同时，也能领略到例如波兰、俄罗斯等传统强国在数论考法上的细微差异。这种视野的拓展，对于培养选手的“全局观”至关重要。我尤其喜欢它对某些经典数论证明技巧的“潜移默化”渗透。例如，如何利用二次互反律去简化模运算问题，或者如何构造特定的代数结构来应对线性同余式组。这些内容不是在专门的理论章节讲解，而是巧妙地隐藏在每一道精心挑选的考题的解法思路之中，让你在“解题”的过程中自然而然地吸收高阶的数学智慧。

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我给这本书一个非常高的评价，主要是基于其对“可复用性”和“启发性”的侧重。很多竞赛教辅材料的通病是，提供了完美的解法，但读者看完后往往难以举一反三。然而，本书在解析部分的处理上显得尤为高明。它似乎在说：“看，这个问题可以从模 $p$ 的性质入手，但如果换成模 $p^k$，你需要考虑什么？” 或者“初看是丢番图问题，但通过变量代换，我们将其转化为一个更熟悉的二次型问题。” 这种对“解题路径选择”的探讨，而非仅仅给出“最优路径”，才是真正的高水平教学。它培养的不是机械的解题工人，而是能够灵活应对新挑战的数学思考者。这本书真正做到了“授人以渔”，让读者理解为什么某个定理在此时适用，以及在其他类似场景下应如何变通，这对那些已经掌握基础知识，渴望冲击顶尖成绩的“高阶选手”来说，是无可替代的资源。

评分☆☆☆☆☆

坦白说，市面上的奥赛资料汗牛充栋，但能真正沉淀下来，成为案头常备工具书的不多。这本数论精选集凭借其清晰的时间轴定位和严苛的选材标准，成功地做到了这一点。它没有试图用数量取胜，而是用质量说话。我注意到，很多试题的背景知识跨度很大，从基础的欧几里得算法到较为深奥的狄利克雷级数（虽然高中不直接要求，但其思想常以初等形式出现），这种广度极大地锻炼了读者的数学想象力。特别是那些需要巧妙构造函数的题目，展示了纯数学之美。对于高中生而言，能够将如此复杂的概念（如模运算在数论中的核心地位）与具体的数字操作结合起来，是极大的心智磨练。这本书无疑为构建扎实的数论知识体系提供了一个坚实、可靠且极具挑战性的基石。